华东师大版九年级数学上学期《第24章 解直角三角形》 单元同步卷（word版含答案）

第24章
解直角三角形
一．选择题
1．把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，若∠B＝25°，∠D＝58°，则∠BCE的度数是（　　）
A．83°
B．57°
C．54°
D．33°
2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（　　）
A．BC＝EC
B．EC＝BE
C．BC＝BE
D．AE＝EC
3．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（　　）
A．（，）
B．（，1）
C．（2，1）
D．（2，）
4．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2，D为BC的中点，AE＝AB，则△EBD的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
6．在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高线，若BD＝2，BC＝6，则AB＝（　　）
A．
B．
C．
D．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（　　）
A．不变
B．增大
C．减小
D．先变大再变小
9．规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，给出以下四个结论：
（1）sin（﹣30°）＝﹣；
（2）cos2x＝cos2x﹣sin2x；
（3）cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；
（4）cos15°＝．
其中正确的结论的个数为（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝A′C′＝3，若∠B+∠B′＝90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（　　）
A．25：9
B．5：3
C．：
D．5：3
二．填空题
11．如图示在△ABC中∠B＝　
　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为　
　．
13．已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为　
　．
14．如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝　
　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosA的值是　
　．
三．解答题
16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
17．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称．
（1）求证：△AEF是等边三角形；
（2）若AB＝2，求△AFD的面积．
18．如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM．
（1）求证：EF＝AC．
（2）若∠BAC＝45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．
19．如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝．
（1）求BC的长；
（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：＝1.4，＝1.7，＝2.2）
20．已知α为锐角，且，求的值．
参考答案
一．选择题
1．
B．
2．
C．
3．B．
4．
B．
5．
A．
6．
C．
7．
D．
8．
C．
9．
C．
10．
A．
二．填空题
11．
25°．
12．
2．
13．
8．
14．．
15．
．
三．解答题
16．（1）证明：∵直角△ABC中，∠C＝90°﹣∠A＝30°．
∵CD＝4t，AE＝2t，
又∵在直角△CDF中，∠C＝30°，
∴DF＝CD＝2t，
∴DF＝AE；
解：（2）∵DF∥AB，DF＝AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形，
即60﹣4t＝2t，
解得：t＝10，
即当t＝10时，?AEFD是菱形；
（3）当t＝时△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；
当t＝12时，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）．理由如下：
当∠EDF＝90°时，DE∥BC．
∴∠ADE＝∠C＝30°
∴AD＝2AE
∵CD＝4t，
∴DF＝2t＝AE，
∴AD＝4t，
∴4t+4t＝60，
∴t＝时，∠EDF＝90°．
当∠DEF＝90°时，DE⊥EF，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠DEA＝30°，
∴AD＝AE，
AD＝AC﹣CD＝60﹣4t，AE＝DF＝CD＝2t，
∴60﹣4t＝t，
解得t＝12．
综上所述，当t＝时△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；当t＝12时，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）．
17．解：（1）∵AE是BC边上的高，
∴AE⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AE⊥AD，即∠DAE＝90°，
∵点F是DE的中点，即AF是Rt△ADE的中线，
∴AF＝EF＝DF，
∵AE与AF关于AG对称，
∴AE＝AF，
则AE＝AF＝EF，
∴△AEF是等边三角形；
（2）记AG、EF交点为H，
∵△AEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称，
∴∠EAG＝30°，AG⊥EF，
∵AB与AG关于AE对称，
∴∠BAE＝∠GAE＝30°，∠AEB＝90°，
∵AB＝2，
∴BE＝1、DF＝AF＝AE＝，
则EH＝AE＝、AH＝，
∴S△ADF＝××＝．
18．（1）证明：∵CD＝CB，点E为BD的中点，
∴CE⊥BD，
∵点F为AC的中点，
∴EF＝AC；
（2）解：∵∠BAC＝45°，CE⊥BD，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∵点F为AC的中点，
∴EF垂直平分AC，
∴AM＝CM，
∵CD＝CM+DM＝AM+DM，CD＝CB，
∴BC＝AM+DM．
19．解：（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示：
在Rt△ADC中，AC＝4，
∵∠C＝150°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，
CD＝AC?cos30°＝4×＝2，
在Rt△ABD中，tanB＝＝＝，
∴BD＝16，
∴BC＝BD﹣CD＝16﹣2；
（2）在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，如图2所示：
∵∠ACB＝150°，
∴∠AMC＝∠MAC＝15°，
tan15°＝tan∠AMD＝＝＝＝2﹣≈0.27≈0.3．
20．解：如图，设∠α为直角三角形的一个锐角，
∵cosα＝，
∴设α的邻边为1k，斜边为3k，
由勾股定理，得α的对边为＝2k，
∴tanα＝2，sinα＝，
故＝2+
＝2+3﹣2＝3．