高三数学 人教A版选修2-1第三章《复数》（32张PPT）

第5讲　复　数
高三数学 人教A版选修2-1
[最新考纲]
1．理解复数的基本概念．
2．理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示法及其几何意义．
4．会进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
知 识 梳 理
1．复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和 若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若 ，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di? (a，b，c，d∈R)．
虚部
a＝0且b≠0
a＝c且b＝d
a＝c，b＝－d
辨 析 感 悟
1．对复数概念的理解
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解． (×)
(2)2i比i大． (×)
(3)复数1－i的实部是1，虚部是－i. (×)
两点提醒　一是在实数范围内无解的方程在复数范围内都有解，且方程的根成对出现，如(1)；
二是两个虚数不能比较大小，如(2)．
Z(a，b)
2．对复数几何意义的认识
(4)原点是实轴与虚轴的交点． (√)
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(√)
(6)已知复数z的共复轭复数＝1＋2i，则z在复平面内对应的点位于第三象限． (×)
(a－c)＋(b－d)i
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
(a＋c)＋(b＋d)i
z1＋(z2＋z3)
z2＋z1
答案　(1)D　(2)D
规律方法 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．
答案　(1)B　(2)A
考点二　复数的几何意义
【例2】 (1)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于 (　 )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案　(1)B　(2)C
规律方法 要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征．
【训练2】 (1)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是 (　　)．

A．A B．B
C．C D．D
(2)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
解析　(1)设z＝－a＋bi(a，b∈R＋)，则z的共轭复数＝－a－bi，它的对应点为(－a，－b)，是第三象限的点，故选B.
(2)在复平面内，复数z＝a＋bi与点(a，b)一一对应．∵点(a，b)关于原点对称的点为(－a，－b)，则复数z2＝－2＋3i.
答案　(1)B　(2)－2＋3i
规律方法 在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．
【训练3】 (1)(2014·临沂模拟)设z＝1＋i，则＋z2等于(　　)．
A．1＋i B．－1＋i C．－i D．－1－i
(2)设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝ (　　)．
A．1＋i B．1－I C．－1＋i D．－1－i
答案　(1)A　(2)A
[反思感悟] (1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值．
(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．
能力提升
1.小本复习材料P202
A组第9题，B组4
2.(2015·临沂模拟)已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C.若 =λ +μ (λ,μ∈R),求λ+μ的值.
【解析】由已知得A(-1,2),B(1,-1),C(3,-4),
故 =(3,-4), =(-1,2), =(1,-1),
若 =λ + μ , 即(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1),
得 解得
故λ+μ=-1+2=1.
思考题：
复数有关概念的应用
【典例】(2013·陕西高考)设z是复数,则下列命题中的假命题是( )
A.若z2≥0,则z是实数 B.若z2<0,则z是虚数
C.若z是虚数,则z2≥0 D.若z是纯虚数,则z2<0
【自我矫正】选C.设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi.
对于A:若z2≥0,则 故b=0或a,b都为0,
即z为实数,所以A正确;
对于B:若z2<0,则 即 故z为纯虚数,即z是虚数,所
以B正确;
对于C:若z是虚数,则b≠0,z2=a2-b2+2abi,
由于a的值不确定,故z2无法与0比较大小,所以C错误;
对于D:若z是纯虚数,
则 z2=-b2<0成立,所以D正确.