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华师版数学八年级上14.1.2直角三角形的判定导学案
课题
14.1.2直角三角形的判定
单元
第14章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1、探索并掌握直角三角形判别思想，理解并掌握勾股定理的逆定理，会用勾股逆定理解决实际问题；
2、探索并掌握直角三角形判别思想，理解并掌握勾股定理的逆定理，会用勾股逆定理解决实际问题。
重点
难点
重点:理解并掌握勾股定理的逆定理，并会应用。
难点:理解勾股定理逆定理的推导。
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
预习课本，完成下列各题：
1、如图，在△ABC中，D是BC上一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则DC的长为（ ）
A.
13
B.
12
C.
9
D.
8
2、在△ABC中，AB=25，AC=24，BC=7，则△ABC中最大内角的度数为______．
合
作
探
究
探究一：
古埃及人曾经用下面的方法画直角:将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图14.1.8那样用桩钉钉成一个三角形,他们认为其中一个角便是直角.
你知道这是什么道理吗?
图14.1.8
试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形:
(1)
a=3，b=4，c=5;
(2)
a
=
4，b=6，c=8;
(3)
a
=
6，b=8，c=10.
你画的三角形如何?
勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=
c2
,那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.
探究二：
已知:如图14.1.9(1)
,在△ABC中，AB
=
c,
BC
=a,
AC=
b，a2+b2=c2.
求证:∠C=90°.
探究三：
例4
已知△ABC,AB=n2-1，BC=2n,AC=n2+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗?若是,哪一条边所对的角是直角?请说明理由.
想一想，为什么选择AB2+BC2
？AB、BC、CA的大小关系是怎样的?
注意：
(1)勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法，在没有确定直角三角形时，只能说三角形的边，不能说斜边或直角边;
(2)如果三角形的三边长a、b、c满足a2-b2=c2,那么这个三角形同样是直角三角形，只是这时a为斜边长.
当
堂
检
测
1、下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ）
A.
9、12、15
B.
12、18、22
C.
8、15、17
D.
5、12、13
2、如果一个三角形的三边长分别为6，a，b，且（a+b）（a-b）=36，那么这个三角形的形状为（ ）
A.
锐角三角形
B.
钝角三角形
C.
直角三角形
D.
等边三角形
3、下列说法中错误的是（ ）
A.
在△ABC中，若∠A=∠C-∠B，则△ABC是直角三角形
B.
在△ABC中，若a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形
C.
在△ABC中，若∠A，∠B，∠C的度数比是7：3：4，则△ABC是直角三角形
D.
在△ABC中，若三边长a：b：c=2：2：3，则△ABC是直角三角形
4、已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．
小明的解题过程如下：
因为a2c2-b2c2=a4-b4，①
所以c2（a2-b2）=（a2-b2）（a2+b2），②
所以c2=a2+b2，③
所以△ABC是直角三角形．④
请根据上述解题过程回答下列问题：
（1）小明的解题过程中，从第______（填序号）步开始出现错误；
（2）请你将正确的解答过程写下来．
课
堂
小
结
判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法是？
参考答案
自主学习：
1、
解：∵AB=13，AD=12，BD=5，
∴AD2+BD2=AB2，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=180°-∠ADB=90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：DC===9，
故选：C．
2、解：∵AB=25，AC=24，BC=7，
∴△ABC的最大内角是∠ACB，
∵在△ABC中，AB=25，AC=24，BC=7，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
即最大内角的度数是90°，
故答案为：90°．
合作探究：
探究一：
可以发现，按(1)、(3)所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角;按(2)所画的三角形不是直角三角形.
在这三组数据中，(1)、(3)两组数据恰好都满足a2+b2=c2.
探究二：
证明：如图14.1.9(2)
,作△A'B'C'
,
使∠C'=
90°,A'C'=
b,
B'C'=
a,
则A'B'2
=
a2+
b2=
c2，即A'B'
=
c.
在△ABC和△A'B'C'中，
BC=
a=
B'C'
AC
=
b=
A'C'，
AB
=
c=A'B',
∴△ABC≌△A'B'C'.
∴∠C=∠C'=90°.
探究三：
解
∵AB2+
BC2=
(n2-1)2+
(2n)2
=
n4-2n2+1+4n2
=
n4+2n2+1
=(n2+1)2
=AC2
∴△ABC是直角三角形
边AC所对的角是直角.
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
例如,3、4、5,
6、8、10,
n2-1、2n、n2+1(n为大于1的正整数)等都是勾股数.
当堂检测：
1、解：A、92+122=152，能构成直角三角形；
B、122+182≠222，不能构成直角三角形；
C、82+152=172，能构成直角三角形；
D、52+122=132，能构成直角三角形．
故选：B．
2、解：∵（a+b）（a-b）=36，
∴a2-b2=36，
∴a2+36=b2，
又∵6，a，b是三角形三边长，
∴这个三角形的形状为直角三角形，
故选：C．
解：A、在△ABC中，若∠A=∠C-∠B，则∠C=90°，则△ABC是直角三角形，故正确；
B、根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，故正确；
C、在△ABC中，若∠A，∠B，∠C的度数比是7：3：4，则∠A=90°，则△ABC是直角三角形，故正确；
D、∵22+22=8≠32，故不是直角三角形，故错误．
故选：D．
解：（1）根据题意可知，
∵由c2（a2-b2）=（a2-b2）（a2+b2），
∴通过移项得（a2-b）[c2-（a2+b2）]=0，故③错误；
故答案为：③．
（2）∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴c2（a2-b2）=（a2-b2）（a2+b2），
∴c2（a2-b2）-（a2-b2）（a2+b2）=0，
∴（a2-b）[c2-（a2+b2）]=0，
∴a2-b2=0或c2-（a2+b2）=0，
∴a=b或c2=a2+b2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
课堂小结：
(1)利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三角形的内角和定理判断;
(2)利用勾股定理的逆定理,即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系来判断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方.
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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.
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14.1.2
直角三角形的判定
数学华师版
八年级上
同学们，上节课学习的勾股定理，什么是勾股定理？
1.
直角三角形满足勾股定理：
两直角边的平方和等于斜边的平方，
2．勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的任意两边，求第三边；
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系；
（3）用于说明平方关系
复习导入
新知讲解
古埃及人曾经用下面的方法画直角:将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图14.1.8那样用桩钉钉成一个三角形,他们认为其中一个角便是直角.
你知道这是什么道理吗?
图14.1.8
新知讲解
试一试
试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形:
(1)
a=3，b=4，c=5;
(2)
a=4，b=6，c=8;
(3)
a=6，b=8，c=10.
新知讲解
可以发现，按(1)、(3)所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角;按(2)所画的三角形不是直角三角形.
在这三组数据中，(1)、(3)两组数据恰好都满足
a2+b2=c2.
你画的三角
形如何?
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2
,那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.
新知讲解
新知讲解
已知:如图14.1.9(1)
,在△ABC中，AB
=c,
BC=a,
AC=b，a2+b2=c2.
求证:∠C=90°.
C
A
B
C'
A'
B'
(1)
(2)
图14.1.9
新知讲解
证明：如图14.1.9(2)
,作△A'B'C'
,
使∠C'=90°,A'C'=b,
B'C'=a,
则A'B'2
=a2+b2=
c2，即A'B'=c.
在△ABC和△A'B'C'中，
BC=a=B'C'
AC=b=A'C'，
AB=c=A'B',
∴△ABC≌△A'B'C'.
∴∠C=∠C'=90°.
C
A
B
C'
A'
B'
(1)
(2)
图14.1.9
新知讲解
例4
已知△ABC,AB=n2-1，BC=2n,AC=n2+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗?若是,哪一条边所对的角是直角?请说明理由.
新知讲解
解
∵AB2+BC2=(n2-1)2+
(2n)2
=
n4-2n2+1+4n2
=
n4+2n2+1
=(n2+1)2
=AC2
∴△ABC是直角三角形
新知讲解
边AC所对的角是直角.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
例如,3、4、5,
6、8、10,
n2-1、2n、
n2+1(n为大于1的正整数)等都是勾股数.
想一想，为什么选择AB2+BC2
？AB、BC、CA的大小关系是怎样的?
注意：
(1)勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法，在没有确定直角三角形时，只能说三角形的边，不能说斜边或直角边;
(2)如果三角形的三边长a、b、c满足a2-b2=c2,那么这个三角形同样是直角三角形，只是这时a为斜边长.
新知讲解
课堂练习
1、下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ）
A.
9、12、15
B.
12、18、22
C.
8、15、17
D.
5、12、13
解：A、92+122=152，能构成直角三角形；
B、122+182≠222，不能构成直角三角形；
C、82+152=172，能构成直角三角形；
D、52+122=132，能构成直角三角形．
故选：B．
课堂练习
2、如果一个三角形的三边长分别为6，a，b，且（a+b）（a-b）=36，那么这个三角形的形状为（ ）
A.
锐角三角形
B.
钝角三角形
C.
直角三角形
D.
等边三角形
课堂练习
解：∵（a+b）（a-b）=36，
∴a2-b2=36，
∴a2+36=b2，
又∵6，a，b是三角形三边长，
∴这个三角形的形状为直角三角形，
故选：C．
课堂练习
3、下列说法中错误的是（ ）
A.
在△ABC中，若∠A=∠C-∠B，则△ABC是直角三角形
B.
在△ABC中，若a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形
C.
在△ABC中，若∠A，∠B，∠C的度数比是7：3：4，则△ABC是直角三角形
D.
在△ABC中，若三边长a：b：c=2：2：3，则△ABC是直角三角形
课堂练习
解：A、在△ABC中，若∠A=∠C-∠B，则∠C=90°，则△ABC是直角三角形，故正确；
B、根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，故正确；
C、在△ABC中，若∠A，∠B，∠C的度数比是7：3：4，则∠A=90°，则△ABC是直角三角形，故正确；
D、∵22+22=8≠32，故不是直角三角形，故错误．
故选：D．
拓展提高
4、已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2
c2
-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状．
小明的解题过程如下：
因为a2c2-b2c2=a4-b4，①
所以c2（a2-b2）=（a2-b2）（a2+b2），②
所以c2=a2+b2，③
所以△ABC是直角三角形．④
拓展提高
请根据上述解题过程回答下列问题：
（1）小明的解题过程中，从第______（填序号）步开始出现错误；
（2）请你将正确的解答过程写下来．
拓展提高
解：（1）根据题意可知，
∵由c2（a2-b2）=（a2-b2）（a2+b2），
∴通过移项得（a2-b2）[c2-（a2+b2）]=0，
故③错误；
故答案为：③．
拓展提高
（2）∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴c2（a2-b2）=（a2-b2）（a2+b2），
∴c2（a2-b2）-（a2-b2）（a2+b2）=0，
∴（a2-b2）[c2-（a2+b2）]=0，
∴a2-b2=0或c2-（a2+b2）=0，
∴a=b或c2=a2+b2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
课堂总结
判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法:
(1)利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三角形的内角和定理判断;
(2)利用勾股定理的逆定理,即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系来判断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方.
板书设计
课题：14.1.2
直角三角形的判定
?
教师板演区
?
学生展示区
一、直角三角形的判定
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P114练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P114练习第3题
