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14.1.3
反证法
数学华师版
八年级上
复习导入
表示判断的语句叫做命题，
正确的命题叫真命题，
错误的命题叫假命题，
命题分为真命题与假命题.
什么叫做命题？命题分为什么?
新知讲解
我们已经知道，当一个三角形的三边长a、b、c(
a≤b≤c)有关系a2+b2=
c2时，这个三角形一定是直角三角形。
那么，如果此时a2+b2≠c2,这个三角形是否一定不是直角三角形呢?
新知讲解
做一做
画出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形,
你发现了什么?
(1)a=
1.0，b=2.4,
c=2.6;
(2)a=2，b=3,C=4;
(3)a=1.5，b=2.5,c=3.
新知讲解
我们可以发现，第一组恰好满足a2+b2=c2,由勾股定理的逆定理可知，组成的三角形是一个直角三角形，与所画图形一致.
而另外两个三角形的较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方，所画图形都不是直角三角形.
新知讲解
由此，可以猜想:
当一个三角形的三边长a、b、c
(a≤b≤c)有关系
a2
+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形.
然而,想从已知条件a2
+b2≠c2(a≤b≤c)出发，直接经过推理,得出结论,十分困难.
新知讲解
我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论:
(1)假设它是一个直角三角形;
(2)根据勾股定理,一定有a2+b2=c2,与已知条件a2+b2≠c2矛盾;
(3)因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.
这种证明方法叫做“反证法”.
注意a、b、c
的大小关系:a≤b≤c.
新知讲解
“反证法”其步骤为:
先假设结论的反面是正确的;
然后通过演绎推理,推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾;
从而说明假设不成立,进而得出原结论正确.
回想一下，以前用过类似的方法吗?
新知讲解
读一读
反证法是数学证明的一种重要方法,历史上许多著名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法,有时该问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”.
因此，牛顿就说过:“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的证明方法.
新知讲解
思考
现在再回到勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即“在△ABC中，如果AB=c,
BC=a,
CA=b,且∠C=90°
,
那么a2+b2
=c2”是一个真命题.
新知讲解
先思考作什么假设,再用反证法写出推理过程.
对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢?即“在△ABC中,如果AB=c,
BC=a,
CA=b,且∠C≠90°,那么
a2+b2≠c2”是真命题吗?
新知讲解
例5
求证:两条直线相交只有一个交点.
已知:两条相交直线l1与l2.
求证:l1与l2只有一个交点.
分析
:想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发,经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的,因此可以考虑用反证法.
证明
假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，
不妨假设l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.
这与两点确定一条直线,即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立,因此两条直线相交只有一个交点.
新知讲解
例6
求证:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知:△ABC.
求证:△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
新知讲解
证明：
假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°,
即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°.
于是
∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°.
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
新知讲解
新知讲解
变式
用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．
已知：在△ABC中，AB=AC．
求证：∠B，∠C必为锐角.
新知讲解
证明：假设∠B，∠C都不是锐角，即∠B，∠C为直角或钝角，
∵AB=AC，∴∠B=∠C，
当∠B、∠C都是直角时，∠B+∠C=180°，
这与三角形内角和定理相矛盾，
当∠B、∠C都是钝角时，∠B+∠C＞180°，
这与三角形内角和定理相矛盾，
综上所述，假设不成立，
∴∠B，∠C必为锐角．
注意：
反证法是一种间接证明命题的基本方法，
通常在证明一个数学命题时，如果运用直接语法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明.
新知讲解
反证法适用场景：
（1）结论本身是以否定形式出现的.
（2）有关结论是以“至多……”“至少……”的形式出现的命题.
（3）结论的反面比原结论更具体，更简单容易的命题.
（4）关于唯一性、存在性的问题.
新知讲解
互为否定的表述方式:
是——不是；
等于——不等于；
都是——不都是;
小于——不小于;
大于——不大于；
至少有一个——一个也没有;
至少有三个——至多有两个
新知讲解
课堂练习
1、下列说法中不正确的是（
）
A.
“同位角相等”的反面是“同位角不相等”
B.
反证法是一种间接的证明方法
C.
用反证法证明“平行于同一直线的两直线互相平行”时，应假设“这两条直线互相垂直”
D.
用反证法证明时，把假设作为一个已知条件来用
课堂练习
解：A.“同位角相等”的反面是“同位角不相等”，正确；
B.反证法是一种间接的证明方法，正确；
C.用反证法证明“平行于同一直线的两直线互相平行”时，应假设：“这两条直线相交”，故错误；
D.用反证法证明时，把假设作为一个已知条件来用，故正确.
故选C.
课堂练习
2、选择用反证法证明“已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，求证：∠A，∠B，∠C三个内角中至少有一个角大于或等于60°”时，应先假设（
）
A.
∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°
B.
∠A≥60°，∠B≥60°，∠C≥60°
C.
∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°
D.
∠A≤60°，∠B≤60°，∠C≤60°
解：第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于60°．
故选：C．
课堂练习
拓展提高
3、用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．
求证：∠1=∠A+∠B．
拓展提高
证明：假设∠1≠∠A+∠B，
在△ABC中，∠A+∠B+∠2=180°，
∴∠A+∠B=180°-∠2，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=180°-∠2，
∴∠1=∠A+∠B，
与假设相矛盾，
∴假设不成立，
∴原命题成立,即∠1=∠A+∠B．
课堂总结
“反证法”步骤是什么？
先假设结论的反面是正确的;
然后通过演绎推理,推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾;
从而说明假设不成立,进而得出原结论正确.
板书设计
课题：14.1.3
反证法
?
教师板演区
?
学生展示区
一、反证法
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P117练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P117练习第6题中小学教育资源及组卷应用平台
华师版数学八年级上14.1.3
反证法导学案
课题
14.1.3
反证法
单元
第14章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1.通过实例，体会反证法的含义.
2.了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题.
重点
难点
运用反证法进行推理论证.
理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
预习课本，完成下列各题：
1、用反证法证明“a＜1”，应先假设（ ）
A.
a≥1
B.
a＞1
C.
a=1
D.
a≠1
2、
用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角”时，下列假设正确的是（
）
A.
三角形中最少有一个角是直角
B.
三角形中没有一个角是直角
C.
三角形中三个角全是直角
D.
三角形中有两个或三个角是直角
合
作
探
究
探究一：
我们已经知道，当一个三角形的三边长a、b、c(
a≤b≤c)有关系a2+b2=
c2时，这个三角形一定是直角三角形。
那么，如果此时a2+b2≠c2,这个三角形是否一定不是直角三角形呢?
画出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形,
你发现了什么?
(1)a=1.0，b=2.4,
c=2.6;
(2)a=2，b=3,C=4;
(3)a=2，b=2.5,c=3.
由此，可以猜想:
当一个三角形的三边长a、b、c
(a≤b≤c)有关系a2
+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形.
然而,想从已知条件a2
+b2≠c2(a≤b≤c)出发，直接经过推理,得出结论十分困难.
我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论:
(1)假设它是一个直角三角形;
(2)根据勾股定理,一定有a2+b2=
c2,与已知条件a2+
b2≠c2矛盾;
(3)因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.
这种证明方法叫做“反证法”.
“反证法”其步骤为:
先假设结论的反面是正确的;
然后通过演绎推理,推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾;
从而说明假设不成立,进而得出原结论正确.
回想一下，以前用过类似的方法吗?
探究二：
现在再回到勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即“在△ABC中，如果AB=c,
BC=a,
CA=b,且∠C=90°,
那么a2
+b2
=c2”是一个真命题.
对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢?即“在△ABC中,如果AB
=
c,
BC
=
a,
CA
=
b,且∠C≠90°那么a2
+b2≠c2”是真命题吗?
先思考作什么假设,再用反证法写出推理过程.
例5
求证:两条直线相交只有一个交点
已知:两条相交直线l1与l2.
求证:l1与l2只有一个交点.
分析:想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发,经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的,因此可以考虑用反证法.
探究三：
例6
求证:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知:△ABC.
求证:△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
反证法适用场景：
（1）结论本身是以否定形式出现的.
（2）有关结论是以“至多……”、“至少……”的形式出现的命题.
（3）结论的反面比原结论更具体，更简单容易的命题.
（4）关于唯一性、存在性的问题.
互为否定的表述方式:
是——不是；
等于——不等于；
都是——不都是;
小于——不小于;
大于——不大于；
至少有一个——一个也没有;
至少有三个——至多有两个
当
堂
检
测
1、下列说法中不正确的是（
）
A.
“同位角相等”的反面是“同位角不相等”
B.
反证法是一种间接的证明方法
C.
用反证法证明“平行于同一直线的两直线互相平行”时，应假设“这两条直线互相垂直”
D.
用反证法证明时，把假设作为一个已知条件来用
2、选择用反证法证明“已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，求证：∠A，∠B，∠C三个内角中至少有一个角大于或等于60°”时，应先假设（
）
A.
∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°
B.
∠A≥60°，∠B≥60°，∠C≥60°
C.
∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°
D.
∠A≤60°，∠B≤60°，∠C≤60°
3、用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．
求证：∠1=∠A+∠B．
课
堂
小
结
“反证法”步骤是什么？
参考答案
自主学习：
1、解：反证法证明“a＜1”，应先假设a≥1，
故选：A．
2、解：根据反证法的步骤，则可假设为三角形中有两个或三个角是直角．
故选：D．
合作探究：
探究一：
我们可以发现，第一组恰好满足a2+
b2=
c2,由勾股定理的逆定理可知，组成的三角形是一个直角三角形，与所画图形一致.
而另外两个三角形的较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方，所画图形都不是直角三角形.
探究二：
证明:
假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，
不妨假设l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.
这与两点确定一条直线,即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立,因此两条直线相交只有一个交点.
探究三：
证明：
假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°,
即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°.
于是
∠A+∠B+∠C>
60°+60°+
60°=
180°
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
当堂检测：
1、解：A.“同位角相等”的反面是“同位角不相等”，正确；
B.反证法是一种间接的证明方法，正确；
C.用反证法证明“平行于同一直线的两直线互相平行”时，应假设：“这两条直线相交”，故错误；
D.用反证法证明时，把假设作为一个已知条件来用，故正确.
故选C.
2、解：第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于60°．
故选：C．
3、证明：假设∠1≠∠A+∠B，
在△ABC中，∠A+∠B+∠2=180°，
∴∠A+∠B=180°-∠2，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=180°-∠2，
∴∠1=∠A+∠B，
与假设相矛盾，
∴假设不成立，
∴原命题成立,即∠1=∠A+∠B．
课堂小结：
先假设结论的反面是正确的;
然后通过演绎推理,推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾;
从而说明假设不成立,进而得出原结论正确.
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精品试卷·第
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