江苏南京苏教版八年级上数学勾股定理中等难度50题（word版，含解析）

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点P为边AN上一动点（且点P不与点A，B重合），PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，点M为EF中点，则PM的最小值为（　　）
A． B． C． D．
2．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（　　）
A．14S B．13S C．12S D．11S
3．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AC边上的高是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=BD，AC⊥BD，若AB=4，AD=5，则DC的长（　　）
A．7 B． C． D．2
5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF，ACPQ，BDMC，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．则S1+S2+S3+S4等于（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
6．如图，在△ABC中，∠A=90°，P是BC上一点，且DB=DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB=1：3，BC=，则PE+PF的长是（　　）
A． B．6 C． D．
7．如图，正方形ABCD边长为2，从各边往外作等边三角形ABE、BCF、CDG、DAH，则四边形AFGD的周长为（　　）
A．4+2+2 B．2+2+2 C．4+2+4 D．2+2+4
8．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB=90°，BE=4，AD=7，则AB的长为（　　）
A．10 B．5 C．2 D．2
9．如图△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，且BD＜DC，以AD为边作正三角形ADE，当△ABC的面积是25，△ADE的面积是7时，BD与DC的比值是（　　）
A．3：4 B．3：5 C．1：2 D．2：3
10．已知等边三角形ABC边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连结OC，则线段OC长的最小值是　 　．
11．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=7，E是BC上的一个动点（不与点B，C重合），△DEF≌△ABC，其中点A，B的对应点分别是点D，E．当点E运动时DE边始终经过点A．设EF与AC相交于点G，当△AEG是等腰三角形时，BE的长为　 　．
12．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，且AD=CD，连接BD，若AB=2，BD=，则BC的长为　 　．
13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F，则△AFC的面积为　 　．
14．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，分别以AB、BC、AC为边作正方ABED、BCFK、ACGH，再作Rt△PQR，使∠R=90°，点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，则PQ的长为　 　．
15．如图，水平距离为80米（BC=80米）的A，B两村庄隔着一条小河，并且河宽15米，A与河l1的距离为40米，B与河l2的距离为20米，为了方便行人之间来往，现在要在两条小河上各建一条垂直于河岸的桥，那么A，B两村庄来往的最短路程是　 　米．
16．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，若CD=6，BD=6.5，则AD=　 　．
17．四边形ACBD中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADB=30°，AD=6，CD=7，则BD=　 　．
18．如图，在△ABC中，AB=BC=6，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为　 　．
19．如图，A（1，0），B（0，1），若△ABO是一个三角形台球桌，从O点击出的球经过C、D两处反弹正好落在A洞，则C的坐标是　 　．
20．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若两直角边AC=4，BC=6，现将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，延长后得到下图所示的“数学风车”，则该“数学风车”所围成的总面积是　 　．
21．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=．分别以AB，AC，BC为边，向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN，连接GE，DN．则图中阴影的总面积是　 　．
22．如图，△ABC是直角三角形，记BC=a，分别以直角三角形的三边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN，过点C作BA边上的高CH并延长交正方形ABDE的边DE于K，则四边形BDKH的面积为　 　．（用含a的式子表示）
23．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，D是BC边上一动点，BE⊥AD，交其延长线于点E，EF⊥AC，交其延长线于点F，则AF的最大值为　 　．
24．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=2，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，连接BD，则BD=　 　．
25．如图，点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，PA：PB：PC=3：4：5，以AC为边作△AP′C≌△APB，连接PP′，则有以下结论：①△APP′是等边三角形；②△PCP′是直角三角形；③∠APB=150°；④∠APC=105°．其中一定正确的是　 　．（把所有正确答案的序号都填在横线上）
26．如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=　 　．
27．如图所示，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=10，E是AD上一点，现有一动点P沿着折线A﹣E﹣C运动，在AE上的速度是4单位/秒，在CE上的速度是2单位/秒，则点P从A到C的运动过程中至少需　 　秒．
28．在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的四边形，则原直角三角形纸片的斜边长是　 　．
29．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为　 　．
30．如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道，平板车的长不能超过　 　米．
31．如图，在△ABC中，AB=AC=2，点P在BC上．若点P为BC的中点，则m=AP2+BP?PC的值为　 　；若BC边上有100个不同的点P1，P2，…，P100，且mi=APi2+BPi?PiC（i=1，2，…，100），则m=m1+m2+…+m100 的值为　 　．
32．图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC=6cm，BC=5cm，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”．则①图中小正方形的面积为　 　；②若给这个“数学风车”的外围装饰彩带，则需要彩带的长度至少是　 　．
33．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于　 　．
34．如图平面直角坐标系中，已知三点A（0，7），B（8，1），C（x，0）．
（1）求线段AB的长；
（2）请用含x的代数式表示AC+BC的值；
（3）根据（2）中得出的规律和结论，直接写出代数式﹣的最大值．
35．如图，AD∥BC，AC⊥AB，AB=3，AC=CD=2．
（1）求BC的长；
（2）求BD的长．
36．如图，△ABC中，D是BC的中点，AB=，AC=，AD=3，求BC的长及△ABC的面积．
37．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，且BC⊥OC于点C，点A的坐标为（2，2），AB=4，∠B=60°，点D是线段OC上一点，且OD=4，连接AD．
（1）求证：△AOD是等边三角形；
（2）求点B的坐标；
（3）在x轴上求一点P，使△OBP为等腰三角形．
38．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）△ABC的面积为　 　．
（2）若△DEF的三边DE、EF、DF长分别为，，，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并求出△DEF的面积为　 　．
（3）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD（D与C在AB异侧），使△ABD为等腰直角三角形，则线段CD的长为　 　．
39．如图，在等腰△ACE中，已知CA=CE=2，AE=2c，点B、D、M分别是边AC、CE、AE的中点，以BC、CD为边长分别作正方形BCGF和CDHN，连结FM、FH、MH．
（1）求△ACE的面积；
（2）试探究△FMH是否是等腰直角三角形？并对结论给予证明；
（3）当∠GCN=30°时，求△FMH的面积．
40．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值．
41．阅读下列材料：
小明遇到一个问题：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．
参考小明解决问题的方法，完成下列问题：
（1）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．
①利用构图法在答卷的图2中画出三边长分别为、、的格点△DEF；
②计算①中△DEF的面积为　 　；（直接写出答案）
（2）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，正方形PRDE，连接EF．
①判断△PQR与△PEF面积之间的关系，并说明理由．
②若PQ=，PR=，QR=3，直接写出六边形AQRDEF的面积为　 　．
42．如图所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长．
43．探究下列几何题：
（1）如图（1）所示，在△ABC中，CP⊥AB于点P，求证：AC2﹣BC2=AP2﹣BP2；
（2）如图（2）所示，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点P，猜一猜AB，BC，CD，DA之间有何数量关系，并用式子表示出来（不用证明）；
（3）如图（3）所示，在矩形ABCD中，P是其内部任意一点，试猜想AP，BP，CP，DP之间的数量关系，并给出证明．
44．设a，b，c，d都是正数．求证：+＞．
45．如图：四边形ABCD中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°．试探索以AB、BC、BD为边，能否组成直角三角形，并说明理由．
46．已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．
（1）如果CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；
（2）如图2，如果CA＜CB，（1）中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
47．（1）如图1，AD是△ABC边BC上的高．
①求证：AB2﹣AC2=BD2﹣CD2；
②已知AB=8，AC=6，M是AD上的任意一点，求BM2﹣CM2的值；
（2）如图2，P是矩形ABCD内的一点，若PA=3，PB=4，PC=5，求PD的值．
48．如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC=5km，B厂距离河边BD=1km，经测量CD=8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．
（1）设ED=x，请用x的代数式表示AE+BE的长；
（2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？
（3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为　 　．
49．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图（1），等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则∠APB=　 　，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌　 　这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．
（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图（2），△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2．
50．阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：
已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：
（1）图1中△ABC的面积为　 　；参考小明解决问题的方法，完成下列问题：
（2）图2是一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）．
①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为、、的格点△DEF；
②计算△DEF的面积为　 　．
（3）如图3，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABDE，ACFG，连接EG．若AB=，BC=，
AC=，则六边形BCFGED的面积为　 　．
　
　
一．选择题（共9小题）
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点P为边AN上一动点（且点P不与点A，B重合），PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，点M为EF中点，则PM的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先证明四边形CEPF是矩形，因为M是EF的中点，推出延长PM经过点C，推出EF=CP，可得PM=EF=PC，求出PC的最小值可得PM的最小值．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
∴BC==4，
∵PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∴∠PEC=∠PFC=∠EPF=90°，
∴四边形CEPF是矩形，
∵M是EF的中点，
∴延长PM经过点C，
∴EF=CP，
PM=EF=PC，
当PC⊥AB时，PC=，
∴PM的最小值为，
故选：D．
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的斜边上的高的求法，注意当CP⊥AB时，CP最小．
　
2．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（　　）
A．14S B．13S C．12S D．11S
【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解决问题．
【解答】解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2
由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，
∵AM=2EF，
∴2a=2b，
∴a=b，
∵正方形EFGH的面积为S，
∴b2=S，
∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=13b2=13S，
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
　
3．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AC边上的高是（　　）
A． B． C． D．
【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AC的长，再利用三角形的面积公式求出△ABC中AC边上的高即可．
【解答】解：作BD⊥AC于D，如图所示：
∵小正方形的边长为1，
∴AC==，
∵S△ABC=2×2﹣×1×1﹣×2×1﹣×2×1=1.5，
∴S△ABC=×AC×BD=××CD=1.5，
解得：CD=．
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形的面积；根据题意得出△ABC的面积等于正方形面积减去其他3个三角形的面积是解决问题的关键．
　
4．如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=BD，AC⊥BD，若AB=4，AD=5，则DC的长（　　）
A．7 B． C． D．2
【分析】如图作DH⊥BA交BA的延长线于H．首先证明△ABC≌△DHB，推出DH=AB=4，利用勾股定理求出AH、BD，即可解决问题；
【解答】解：如图作DH⊥BA交BA的延长线于H．
∵AC⊥BD，
∴∠BEC=∠ABC=∠H=90°，
∵∠BDH+∠HBD=90°，∠CAB+∠ABD=90°，
∴∠CAB=∠HDB，
∵AC=BD，
∴△ABC≌△DHB，
∴AB=DH=4，
在Rt△BDH中，∵DH=4，AD=5，
∴AH==3，
∴AC=BD===，BC==7，
∴BE==，DE=，EC==，
在Rt△EDC中，DC==，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
　
5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF，ACPQ，BDMC，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．则S1+S2+S3+S4等于（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】过F作AM的垂线交AM于G，通过证明S1+S2+S3+S4=Rt△ABC的面积×3，依此即可求解．
【解答】解：∵图中S4=SRt△ABC．S3=S△FPT，
∴S1+S3=SRt△ABC．
S2的左上方的顶点为F，过F作AM的垂线交AM于G，可证明Rt△AGF≌Rt△ABC，而图中Rt△GFK全等于①，
∴S2=SRt△ABC．
S1+S2+S3+S4
=（S1+S3）+S2+S4
=Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积
=Rt△ABC的面积×3
=2×5÷2×3
=15．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
　
6．如图，在△ABC中，∠A=90°，P是BC上一点，且DB=DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB=1：3，BC=，则PE+PF的长是（　　）
A． B．6 C． D．
【分析】作PM⊥AC于点M可得矩形AEPM，易证△PFC≌△CMP，得到PE+PF=AC，在直角△ABC中，根据勾股定理就可以求得．
【解答】解：（1）作PM⊥AC于点M，可得矩形AEPM
∴PE=AM，利用DB=DC得到∠B=∠DCB
∵PM∥AB．
∴∠B=∠MPC
∴∠DCB=∠MPC
又∵PC=PC．∠PFC=∠PMC=90°
∴△PFC≌△CMP
∴PF=CM
∴PE+PF=AC
∵AD：DB=1：3
∴可设AD=x，DB=3x，那么CD=3x，AC=2x，BC=2x
∵BC=
∴x=2
∴PE+PF=AC=2×2=4．
（2）连接PD，PD把△BCD分成两个三角形△PBD，△PCD，
S△PBD=BD?PE，
S△PCD=DC?PF，
S△BCD=BD?AC，
所以PE+PF=AC=2×2=4．
故选：C．
【点评】解决本题的关键是作出辅助线，把所求的线段转移到一条线段求解．
　
7．如图，正方形ABCD边长为2，从各边往外作等边三角形ABE、BCF、CDG、DAH，则四边形AFGD的周长为（　　）
A．4+2+2 B．2+2+2 C．4+2+4 D．2+2+4
【分析】连接AG，分别求出∠ABF和∠FCG的度数，再根据AB=BC=FC，求证△ABF≌△FCG，可得AF=FG，同理AF=AG，设AB中点为K，连GK，可得△AKG为直角三角形，再利用由勾股定理求得AG，然后即可求得四边形AFGD的周长．
【解答】解：连接AG，那么等腰三角形ABF顶角∠ABF=90°+60°=150°，
等腰三角形FCG顶角∠FCG=360°﹣90°﹣2×60°=150°
又AB=BC=FC，所以△ABF≌△FCG，
∴AF=FG．
同理AF=AG，设AB中点为K，连GK，可得△AKG为直角三角形，
∴AK=1，KG=2+，由勾股定理得AG====+．
四边形AFGD的周长为：AF+FG+GD+DA=2（+）+2×2=4+2+2．
故选：A．
【点评】此题主要考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识点，此题有一定难度，属于难题．
　
8．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB=90°，BE=4，AD=7，则AB的长为（　　）
A．10 B．5 C．2 D．2
【分析】设EC=x，DC=y，则直角△BCE中，x2+4y2=BE2=16，在直角△ADC中，4x2+y2=AD2=49，解方程组可求得x、y，在直角△ABC中，AB=．
【解答】解：设EC=x，DC=y，∠ACB=90°，
∴在直角△BCE中，CE2+BC2=x2+4y2=BE2=16
在直角△ADC中，AC2+CD2=4x2+y2=AD2=49，
解得x=，y=1．
在直角△ABC中，AB===2，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角△BCE和直角△ADC求DC．BC的长度是解题的关键．
　
9．如图△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，且BD＜DC，以AD为边作正三角形ADE，当△ABC的面积是25，△ADE的面积是7时，BD与DC的比值是（　　）
A．3：4 B．3：5 C．1：2 D．2：3
【分析】根据△ABC的面积，可以计算AF，BF，设DF=x，根据△ADE的面积计算x的值，根据BD=BF﹣DF，CD=CF+DF即可计算BD，CD长度，即可计算BD：CD．
【解答】解：作AF⊥BC，
∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，即AB=2AF．BF=AF=AF．
△ABC的面积为×BC×AF=25，计算得：AF=5，BF=5．
设DF=x，则AD=，
根据正三角形面积计算公式S=AD×（）=AD2=7，
计算得：x=，
∴BD=BF﹣DF=4，CD=CF+FD=6，
故BD：CD=2；3，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，考查了三角形面积的计算，本题中根据正三角形ADE计算DF是解题的关键．
　
二．填空题（共24小题）
10．已知等边三角形ABC边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连结OC，则线段OC长的最小值是　﹣1　．
【分析】利用等边三角形的性质得出C点位置，进而求出OC的长．
【解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，
当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短，
∴△ABC是等边三角形，
∴CE过点O，E为BD中点，则此时EO=AB=1，
故OC的最小值为：OC=CE﹣EO=BCsin60°﹣×AB=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及等边三角形的性质，得出当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短是解题关键．
　
11．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=7，E是BC上的一个动点（不与点B，C重合），△DEF≌△ABC，其中点A，B的对应点分别是点D，E．当点E运动时DE边始终经过点A．设EF与AC相交于点G，当△AEG是等腰三角形时，BE的长为　1或　．
【分析】首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE＞∠C，可得AE≠AG，然后分别从AE=EG与AG=EG去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案．
【解答】解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE＞∠C，
∴∠AGE＞∠AEF，
∴AE≠AG；
当AE=EG时，则△ABE≌△ECG，
∴CE=AB=6，
∴BE=BC﹣EC=7﹣6=1，
当AG=EG时，则∠GAE=∠GEA，
∴∠GAE+∠BAE=∠GEA+∠CEG，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴=，
∴CE==，
∴BE=7﹣=；
∴BE=1或．
故答案为：1或．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
　
12．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，且AD=CD，连接BD，若AB=2，BD=，则BC的长为　　．
【分析】将△ADB以D为旋转中心，逆时针旋转60°，使A与C点重合，B与E点重合，连接BE，根据旋转的性质得∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，易得△DBE为等边三角形，则DB=BE，根据周角的定义和四边形内角和定理得∠ECB=360°﹣∠BCD﹣∠DCE=360°﹣∠BCD﹣∠A=360°﹣（360°﹣∠ADC﹣∠ABC）=60°+30°=90°，则△ECB为直角三角形，根据勾股定理得EC2+BC2=BE2，利用等线段代换可得BD2=AB2+BC2，再代入计算即可求解．
【解答】解：如图，
将△ADB以D为旋转中心，逆时针旋转60°，使A与C点重合，B与E点重合，连接BE，
∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，
又∵∠ADC=60°，
∴∠BDE=60°，
∴△DBE为等边三角形，
∴DB=BE，
又∴∠ECB=360°﹣∠BCD﹣∠DCE
=360°﹣∠BCD﹣∠A
=360°﹣（360°﹣∠ADC﹣∠ABC）
=60°+30°
=90°，
∴△ECB为直角三角形，
∴EC2+BC2=BE2，
∴BD2=AB2+BC2．
∴BC==．
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．
　
13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F，则△AFC的面积为　6　．
【分析】由于AF∥BC，从而易证△AEF≌△DEC（AAS），所以AF=CD，从而可证四边形AFBD是平行四边形，所以S四边形AFBD=2S△ABD，又因为BD=DC，所以S△ABC=2S△ABD，所以S四边形AFBD=S△ABC，再根据等底等高的三角形面积等于平行四边形面积的一半即可求出答案．
【解答】解：∵AF∥BC，
∴∠AFC=∠FCD，
在△AEF与△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS）．
∴AF=DC，
∵BD=DC，
∴AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴S四边形AFBD=2S△ABD，
又∵BD=DC，
∴S△ABC=2S△ABD，
∴S四边形AFBD=S△ABC，
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，
∴S△ABC=AB?AC=×4×6=12，
∴S四边形AFBD=12，
∴△AFC的面积为12÷2=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查平行四边形的性质与判定，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高．
　
14．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，分别以AB、BC、AC为边作正方ABED、BCFK、ACGH，再作Rt△PQR，使∠R=90°，点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，则PQ的长为　2+7　．
【分析】首先证明△ABC≌△GFC（SAS），利用全等三角形的性质可得：∠CGF=∠BAC=30°，在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、进而可求出PQ的长．
【解答】解：延长BA交QR于点M，连接AR，AP．
在△ABC和△GFC中
，
∴△ABC≌△GFC（SAS），
∴∠CGF=∠BAC=30°，
∴∠HGQ=60°，
∵∠HAC=∠BAD=90°，
∴∠BAC+∠DAH=180°，
又∵AD∥QR，
∴∠RHA+∠DAH=180°，
∴∠RHA=∠BAC=30°，
∴∠QHG=60°，
∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，
∴△QHG是等边三角形．
AC=BC?tan60°=，
则QH=HA=HG=AC=，
在直角△HMA中，HM=AH?sin60°=×=，AM=HA?cos60°=，
在直角△AMR中，MR=AD=AB=2．
∴QR=++2=+，
∴QP=2QR=2+7．
故答案为：2+7．
【点评】本题考查了勾股定理和含30度角的直角三角形以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度较大，正确运用三角函数以及勾股定理是解决本题的关键．
　
15．如图，水平距离为80米（BC=80米）的A，B两村庄隔着一条小河，并且河宽15米，A与河l1的距离为40米，B与河l2的距离为20米，为了方便行人之间来往，现在要在两条小河上各建一条垂直于河岸的桥，那么A，B两村庄来往的最短路程是　115　米．
【分析】在AC上取一点A′，使得AA′=15，连接BA′交l2于F，作EF⊥l1垂足为E，连接AE．则AE+EF+FB的值最小．
【解答】解：在AC上取一点A′，使得AA′=15，连接BA′交l2于F，作EF⊥l1垂足为E，连接AE．则AE+EF+FB的值最小．
∵AA′=EF，AA′∥EF，
∴四边形AA′FE是平行四边形，
∴AE=A′F，
在Rt△A′BC中，BA′===100米，
∴AE+EF+FB=BA′+AA′=115米．
故答案为115．
【点评】本题考查勾股定理的应用、两点之间线段最短、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
　
16．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，若CD=6，BD=6.5，则AD=　　．
【分析】在CD外侧作等边△CDE，连接AE，易证∠ACE=∠BCD，进而可以证明△ACE≌△BCD，可得AE=BD，在Rt△ADE中根据勾股定理可以求得DE的长，即可解题．
【解答】解：在CD外侧作等边△CDE，连接AE，则∠ADE=90°，DE=DC，∠DCE=60°，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE=BD=6.5，
∵在Rt△ADE中，DE2=AE2﹣AD2=BD2﹣AD2=6.52﹣AD2=62，
∴AD=，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACE≌△BCD是解题的关键．
　
17．四边形ACBD中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADB=30°，AD=6，CD=7，则BD=　10　．
【分析】作AH⊥BD于H，CN⊥BD于N，CM⊥HA于M，则四边形CMHN是矩形．首先证明△BCN≌△ACM，四边形CMHN是正方形，设CN=a．构建方程求出a即可解决问题；
【解答】解：作AH⊥BD于H，CN⊥BD于N，CM⊥HA于M，则四边形CMHN是矩形．
∵∠BCA=∠MCN=90°，
∴∠BCN=∠MCA，
∵∠CNB=∠M=90°，BC=CA，
∴△BCN≌△ACM，
∴CM=CN，BN=AM，
∴四边形CMHN是正方形，设CN=a．
在Rt△AHD中，AD=6，∠ADH=30°，
∴AH=3，DH=3，
在Rt△CND中，∵CN2+DN2=CD2，
∴a2+（a+3）2=（7）2，
整理得：2a2+6a﹣71=0，
解得a=或（舍弃），
∴AM=BN=，
∴BD=BN+NH+DH=++3=10，
【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
　
18．如图，在△ABC中，AB=BC=6，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为　3或3或3　．
【分析】利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得△BOP为等边三角形，利用锐角三角函数可得AP的长；易得BP，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．
【解答】解：当∠APB=90°时（如图1），
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP为等边三角形，
∵AB=BC=6，
∴AP=AB?sin60°=6×=3；
当∠ABP=90°时（如图2），
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴∠BPO=30°，
∴BP===3，
在直角三角形ABP中，
AP==3；
如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP=AO=3，
故答案为3或3或3．
【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．
　
19．如图，A（1，0），B（0，1），若△ABO是一个三角形台球桌，从O点击出的球经过C、D两处反弹正好落在A洞，则C的坐标是　（，）　．
【分析】应先作出点O及点A的对称点，过两个点的直线与直线AB的交点即为所求点．
【解答】解：如图所示，
∵点O关于AB的对称点是O′（1，1），
点A关于y轴的对称点是A′（﹣1，0）
设AB的解析式为y=kx+b，
∵（1，0），（0，1）在直线上，
∴，解得k=﹣1，
∴AB的表达式是y=1﹣x，
同理可得O′A′的表达式是y=+，
两个表达式联立，解得x=，y=．
故答案为：（，）．
【点评】考查对称的知识；根据作相关点的对称点得到点D的位置是解决本题的关键．
　
20．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若两直角边AC=4，BC=6，现将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，延长后得到下图所示的“数学风车”，则该“数学风车”所围成的总面积是　100　．
【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由BC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
【解答】解：在直角三角形ACB中，
AB=
62+42
=2
13
，
中间小正方形的面积：
2
13
×2
13
﹣6×4÷2×4
=52﹣48
=4，
4+（6+6）×4÷2×4
=4+96
=100．
故答案为：100
【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
　
21．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=．分别以AB，AC，BC为边，向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN，连接GE，DN．则图中阴影的总面积是　2　．
【分析】如图将△GAE绕点A顺时针旋转90°得到△KAB．首先证明S△ABK=S△ABC=S△AGE，同理可证S△BDN=S△ABC，推出S△AEG+S△BDN=2?S△ABC，由此即可解决问题．
【解答】解：如图将△GAE绕点A顺时针旋转90°得到△KAB．
∵∠GAC=∠EAB=90°，
∴∠GAE+∠CAB=180°，
∵∠GAE=∠KAB，
∴∠KAB+∠CAB=180°，
∴C、A、K共线，
∵AG=AK=AC，
∴S△ABK=S△ABC=S△AGE，
同理可证S△BDN=S△ABC，
∴S△AEG+S△BDN=2?S△ABC=2××2×=2．
故答案为2．
【点评】本题考查的是勾股定理、正方形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
　
22．如图，△ABC是直角三角形，记BC=a，分别以直角三角形的三边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN，过点C作BA边上的高CH并延长交正方形ABDE的边DE于K，则四边形BDKH的面积为　a2　．（用含a的式子表示）
【分析】由射影定理得到BC2=BH?BA，即BH?BA=a2，再由矩形面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵BC⊥AC，CH⊥BA，
∴BC2=BH?BA，即BH?BA=a2，
∵四边形ABDE是正方形，
∴BD=BA，
∴四边形BDKH的面积=BH?BD=BH?BA=a2，
故答案为：a2．
【点评】本题主要考查了射影定理，正方形的性质，矩形面积，由射影定理得到BC2=BH?BA是解题的关键．
　
23．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，D是BC边上一动点，BE⊥AD，交其延长线于点E，EF⊥AC，交其延长线于点F，则AF的最大值为　4　．
【分析】由AB=5、AC=3、BC=4可得出∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O，则点C、E在圆上，作BC的平行线切⊙O于点E，过点E作EF⊥AC的延长线于点F，此时AF最长，连接OE，过点O作OM⊥AC于点M，根据OE⊥EF、OE⊥EF、EF⊥AF可得出四边形OEFM为矩形，进而可得出MF的长度，再根据点O为AB的中点利用三角形中位线的性质可得出AM的长度，由AF=AM+MF可求出AF的最大值．
【解答】解：∵AB=5，AC=3，BC=4，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°．
以AB为直径作⊙O，则点C、E在圆上，作BC的平行线切⊙O于点E，过点E作EF⊥AC的延长线于点F，此时AF最长，连接OE，过点O作OM⊥AC于点M，如图所示．
∵OM⊥AC，∠ACB=90°，
∴OM∥BC．
∵点O为AB的中点，
∴点M为AC的中点，
∴AM=AC=．
∵EF切⊙O为点E，
∴OE⊥EF，
∴OE∥MF，
∴四边形OEFM为矩形，
∴MF=OE=AB=，
∴AF=AM+ME=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、切线的性质、三角形中位线的性质以及矩形的判定与性质，通过作切线找出AF最长时点E的位置是解题的关键．
　
24．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=2，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，连接BD，则BD=　+2　．
【分析】根据已知条件得到AB=AC=AD，于是得到点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，根据圆周角定理得到∠CBD=∠CAD=30°，∠BDC=BAC，过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥BD于F，得到∠CAE=∠BCD，根据全等三角形的性质得到DF=AE，CF=CE=1，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB=AC=5，△ABC是等边三角形，
∴AC=AD=5，
∴AB=AC=AD，
∴点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∵∠CAD=60°，
∴∠CBD=∠CAD=30°，∠BDC=BAC，
过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥BD于F，
∴∠CAE=，∠AEC=∠CFD=90°，
∴∠CAE=∠BCD，
在△ACE与△DCF中，，
∴△AEC≌△DFC，
∴DF=AE，CF=CE=1，
∴BF=，
∴DF==2，
∴BD=BF+DF=+2．
故答案为：+2．
【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
　
25．如图，点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，PA：PB：PC=3：4：5，以AC为边作△AP′C≌△APB，连接PP′，则有以下结论：①△APP′是等边三角形；②△PCP′是直角三角形；③∠APB=150°；④∠APC=105°．其中一定正确的是　①②③　．（把所有正确答案的序号都填在横线上）
【分析】先运用全等得出AP′=AP，∠CAP′=∠BAP，从而∠PAP′=∠BAC=60°，得出△PAP′是等边三角形，∠AP′P=60°，PP′=AP，再运用勾股定理逆定理得出∠PP′C=90°，由此得解．
【解答】解：△ABC是等边三角形，则∠BAC=60°，又△AP'C≌△APB，则AP=AP′，∠PAP′=∠BAC=60°，
∴△APP'是正三角形，①正确；
又PA：PB：PC=3：4：5，
∴设PA=3x，则：PP′=PA=3x，P′C=PB=4x，PC=5x，
根据勾股定理的逆定理可知：△PCP'是直角三角形，且∠PP′C=90°，②正确；
又△APP'是正三角形，
∴∠AP′P=60°，
∴∠APB=150°③正确；错误的结论只能是∠APC=105°．
故答案为①②③．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的性质以及等边三角形的知识，解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．
　
26．如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=　18　．
【分析】正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，故直角三角形的三边分别为5、4、3，通过求△DEF的面积求出△BDC，△GFI，△AEH的面积即可．
【解答】解：∵DF=DC，DE=DB，且∠EDF+∠BDC=180°，
过点A作AI⊥EH，交HE的延长线于点I，
∴∠I=∠DFE=90°，
∵∠AEI+∠DEI=∠DEI+∠DEF=90°，
∴∠AEI=∠DEF，
∵AE=DE，
∴△AEI≌△DEF（AAS），
∴AI=DF，
∵EH=EF，
∴S△AHE=S△DEF，
同理：S△BDC=S△GFI=S△DEF，
S△AHE+S△BDC+S△GFI=S1+S2+S3=3×S△DEF，
S△DEF=×3×4=6，
∴S1+S2+S3=18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了正方形各边相等，且各内角等于直角的性质，考查了三角形面积的计算，解本题的关键是找到：S△AHE+S△BDC+S△GFI=3×S△DEF．
　
27．如图所示，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=10，E是AD上一点，现有一动点P沿着折线A﹣E﹣C运动，在AE上的速度是4单位/秒，在CE上的速度是2单位/秒，则点P从A到C的运动过程中至少需　5　秒．
【分析】如图，作CH⊥AB于H交AD于E．P沿着折线A﹣E﹣C运动的时间=+=（EC+AE）=（EC+EH）=CH，根据垂线段最短可知，当CH⊥AB时，P沿着折线A﹣E﹣C运动的时间最短，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，作CH⊥AB于H交AD于E．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠HAE=30°，∵∠AHE=90°，
∴HE=AE，
∵P沿着折线A﹣E﹣C运动的时间=+=（EC+AE）=（EC+EH）=CH，
根据垂线段最短可知，当CH⊥AB时，P沿着折线A﹣E﹣C运动的时间最短，
∵CH、AD是等边三角形的高，
∴CH=AD=10，
∴P沿着折线A﹣E﹣C运动的时间最时间=5s．
故答案为5．
【点评】本题考查勾股定理、垂线段最短、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
　
28．在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的四边形，则原直角三角形纸片的斜边长是　10或8　．
【分析】先根据题意画出图形，此题要分两种情况，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可求出斜边的长．
【解答】解：①如图所示：
，
连接CD，
CD==5，
∵D为AB中点，
∴AB=2CD=10；
②如图所示：
，
连接EF，
EF==4，
∵E为AB中点，
∴AB=2EF=8．
故答案为：10或8．
【点评】此题考查了勾股定理，图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解．
　
29．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为　　．
【分析】根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．
【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，
，
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′．
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′=，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=，
∴BD=CD′=，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，作出全等图形是解题关键．
　
30．如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道，平板车的长不能超过　4　米．
【分析】如图，先设平板手推车的长度不能超过x米，则得出x为最大值时，平板手推车所形成的三角形CBP为等腰直角三角形．连接PO，与BC交于点N，利用△CBP为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度不能超过多少米．
【解答】解：设平板手推车的长度不能超过x米
则x为最大值，且此时平板手推车所形成的三角形CBP为等腰直角三角形．
连接PO，与BC交于点N．
∵直角走廊的宽为2m，
∴PO=4m，
∴NP=PO﹣ON=4﹣2=2（m）．
又∵△CBP为等腰直角三角形，
∴AD=BC=2CN=2NP=4（m）．
故答案为：4
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用以及等腰三角形知识，解答的关键是由题意得出要想顺利通过直角走廊，此时平板手推车所形成的三角形为等腰直角三角形．
　
31．如图，在△ABC中，AB=AC=2，点P在BC上．若点P为BC的中点，则m=AP2+BP?PC的值为　4　；若BC边上有100个不同的点P1，P2，…，P100，且mi=APi2+BPi?PiC（i=1，2，…，100），则m=m1+m2+…+m100 的值为　400　．
【分析】第一个空，由等腰三角形的三线合一性质和勾股定理得出AP2+BP?PC=AB2即可；
第二个空，作AD⊥BC于D．根据勾股定理，得APi2=AD2+DPi2=AD2+（BD﹣BPi）2=AD2+BD2﹣2BD?BPi+BPi2，PiB?PiC=PiB?（BC﹣PiB）=2BD?BPi﹣BPi2，从而求得mi=AD2+BD2，即可求解．
【解答】解：若点P为BC的中点，如图1所示：
AB=AC=2，
∴AP⊥BC，BP=CP，
∴∠APB=90°，
∴AP2+BP?PC=AP2+BP2=AB2=4．
若BC边上有100个不同的点P1，P2，…，P100，
作AD⊥BC于D，则BC=2BD=2CD，如图2所示．
根据勾股定理，得
APi2=AD2+DPi2=AD2+（BD﹣BPi）2=AD2+BD2﹣2BD?BPi+BPi2，
又∵PiB?PiC=PiB?（BC﹣PiB）=2BD?BPi﹣BPi2，
∴m1=AD2+BD2=AB2=4，
∴m1+m2+…+m100=4×100=400．
故答案为：4，400．
【点评】此题主要运用了勾股定理和等腰三角形三线合一的性质；作辅助线构造直角三角形是解本题的突破点，另外代入进行整理后代换出PC也是同学们不容易考虑到的．
　
32．图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC=6cm，BC=5cm，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”．则①图中小正方形的面积为　1cm2　；②若给这个“数学风车”的外围装饰彩带，则需要彩带的长度至少是　76cm　．
【分析】①表示出小正方形的边长，然后利用正方形的面积公式列式计算即可得解；
②利用勾股定理求出外围直角三角形的斜边，然后根据周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：图①，小正方形的面积=（6﹣5）2=1cm2；
图②，外围直角三角形的斜边==13cm，
周长=4×（13+6）=4×19=76cm，
即，需要彩带的长度至少是76cm．
故答案为：1cm2，76cm．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，读懂题目信息并准确识图是解题的关键．
　
33．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于　27+13　．
【分析】在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、QP的长，就可求出△PQR的周长．
【解答】解：延长BA交QR于点M，连接AR，AP．
∵AC=GC，BC=FC，∠ACB=∠GCF，
∴△ABC≌△GFC，
∴∠CGF=∠BAC=30°，
∴∠HGQ=60°，
∵∠HAC=∠BAD=90°，
∴∠BAC+∠DAH=180°，
又AD∥QR，
∴∠RHA+∠DAH=180°，
∴∠RHA=∠BAC=30°，
∴∠QHG=60°，
∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，
∴△QHG是等边三角形．
AC=AB?cos30°=4×=2．
则QH=HA=HG=AC=2．
在直角△HMA中，HM=AH?sin60°=2×=3．AM=HA?cos60°=．
在直角△AMR中，MR=AD=AB=4．
∴QR=2+3+4=7+2．
∴QP=2QR=14+4．
PR=QR?=7+6．
∴△PQR的周长等于RP+QP+QR=27+13．
故答案为：27+13．
【点评】正确运用三角函数以及勾股定理是解决本题的关键．
　
三．解答题（共17小题）
34．如图平面直角坐标系中，已知三点A（0，7），B（8，1），C（x，0）．
（1）求线段AB的长；
（2）请用含x的代数式表示AC+BC的值；
（3）根据（2）中得出的规律和结论，直接写出代数式﹣的最大值．
【分析】（1）根据两点间的距离公式可求线段AB的长；
（2）根据两点间的距离公式可求线段AC，BC的值，再相加即可求解；
（3）由代数式可得﹣的最大值即为点（0，4）和点（4，1）间的距离，根据两点间的距离公式即可求解．
【解答】解：（1）；
（2）AC+BC
=+
=
=+；
（3）代数式可得﹣的最大值即为点（0，4）和点（4，1）间的距离，
最大值为=5．
【点评】本题主要考查最短路线问题，利用了数形结合的思想，构造出符合题意的直角三角形是解题的关键．
　
35．如图，AD∥BC，AC⊥AB，AB=3，AC=CD=2．
（1）求BC的长；
（2）求BD的长．
【分析】（1）在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出BC的长；
（2）过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E．根据等边对等角的性质以及平行线的性质得出∠2=∠3，利用角平分线的性质得出AB=BE=3，在Rt△BCE中，根据勾股定理可得EC=2，则ED=4，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得BD=5．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵AC⊥AB，AB=3，AC=2，
∴BC==；
（2）过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E．
∵AC=CD，
∴∠1=∠ADC，
又∵AD∥BC，
∴∠3=∠ADC，∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
又∵AC⊥AB，BE⊥DC，
∴AB=BE=3，
又由（1）BC=，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得EC=2；
∴ED=2+2=4，
在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD=5．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形、平行线、角平分线的性质，掌握各定理是解题的关键．
　
36．如图，△ABC中，D是BC的中点，AB=，AC=，AD=3，求BC的长及△ABC的面积．
【分析】作辅助线构建平行四边形ABEC，然后根据平行四边形的对边平行且相等及勾股定理的逆定理解答即可．
【解答】解：延长AD到E，使DE=AD=3，连接BE，CE．
∵D是BC的中点，
∴CD=BD，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AB∥CE，EB=CA=，
∵62+（2）2=（4）2，即AE2+AC2=EC2，
∴∠EAC=90°，
∴CD===，
∴BC=2CD=2，
∴S△ABC=2S△ACD=2×AC?AD=×3=6．
综上所述，BC的长度为2，△ABC的面积是6．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、平行四边形的判定与性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
　
37．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，且BC⊥OC于点C，点A的坐标为（2，2），AB=4，∠B=60°，点D是线段OC上一点，且OD=4，连接AD．
（1）求证：△AOD是等边三角形；
（2）求点B的坐标；
（3）在x轴上求一点P，使△OBP为等腰三角形．
【分析】（1）过点A作AM⊥x轴于点M，根据已知条件，依据三角函数求得∠AOM=60°，根据勾股定理求得OA=4，即可求得．
（2）过点A作AN⊥BC于点N，则四边形AMCN是矩形，在Rt△ABN中，根据三角函数求得AN、BN的值，从而求得OC、BC的长，得出点B的坐标．
（3）利用等腰三角形的特征，分三种情况探讨：OB=OP，PO=PB，BO=BP，进一步综合得出答案即可．
【解答】解：（1）如图2，证明：过点A作AM⊥x轴于点M，
∵点A的坐标为（2，2），
∴OM=2，AM=2，
∴在Rt△AOM中，tan∠AOM==，
∴∠AOM=60°，
由勾股定理得，OA==4，
∵OD=4，
∴OA=OD，
∴△AOD是等边三角形．
（2）如图2，过点A作AN⊥BC于点N，
∵BC⊥OC，AM⊥x轴，
∴∠BCM=∠CMA=∠ANC=90°
∴四边形ANCM为矩形，
∴AN=MC，AM=NC，
∵∠B=60°，AB=4，
∴在Rt△ABN中，
AN=AB?sinB=4×=6，
BN=AB?cosB=4×=2，
∴AN=MC=6，CN=AM=2，
∴OC=OM+MC=2+6=8，
BC=BN+CN=2+2=4，
∴点B的坐标为（8，4）．
（3）如图，
连接OB，则OB==4，
当OB=OP，则P1（4，0），P2（﹣4，0）满足条件，
作OB的垂直平分线交x轴于P3，则P3满足条件，设P3（x，0），则x2=（8﹣x）2+（4）2，x=7，P3（7，0）；
O关于BC的对称点P4（16，0）也满足条件
所以在x轴上求一点P，使△OBP为等腰三角形的点有4个P1（4，0），P2（﹣4，0），P3（7，0），P4（16，0）．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用以及勾股定理的应用，注意分类讨论思想的渗透．
　
38．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）△ABC的面积为　3.5　．
（2）若△DEF的三边DE、EF、DF长分别为，，，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并求出△DEF的面积为　5　．
（3）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD（D与C在AB异侧），使△ABD为等腰直角三角形，则线段CD的长为　　．
【分析】（1）如图1，运用正方形和三角形的面积公式直接求出△ABC的面积，即可解决问题．
（2）如图2，类似（1）中的方法，直接求出△DEF的面积即可解决问题．
（3）画出符合题意的图形，运用勾股定理直接求出即可解决问题．
【解答】
解：（1）如图1，△ABC的面积=
=9﹣3﹣1﹣1.5=3.5，
故答案为3.5．
（2）如图2，△DEF的面积=3×4﹣
=12﹣2﹣2﹣3=5．
故答案为5．
（3）如图3、4、5，分别求出CD的长度如下：
CD=2或CD=2或CD=3，
故答案为．
【点评】该题主要考查了勾股定理及其应用问题；牢固掌握勾股定理是灵活运用、解题的基础和关键．
　
39．如图，在等腰△ACE中，已知CA=CE=2，AE=2c，点B、D、M分别是边AC、CE、AE的中点，以BC、CD为边长分别作正方形BCGF和CDHN，连结FM、FH、MH．
（1）求△ACE的面积；
（2）试探究△FMH是否是等腰直角三角形？并对结论给予证明；
（3）当∠GCN=30°时，求△FMH的面积．
【分析】（1）连结CM，在RT△ACM中，利用勾股定理求出CM的长即可求出△ACE的面积；
（2）△FMH是等腰直角三角形，连结BM，DM，首先证明四边形四边形BCDM是边长1的菱形，设∠A=α，则∠BMA=∠DME=∠E=∠A=α，∠MDC=2α．利用三角形的内角和证明∠FMH=180°﹣∠AMH﹣∠CMH=180°﹣（α+θ）=90°即可；
（3）作△HMD的边MD上的高HQ，则由勾股定理有求出DQ的长，再利用三角形的面积公式即可求出△FMH的面积．
【解答】解：（1）连结CM，
∵CA=CE=2，M分别是边AE的中点，
∴CM⊥AE．…（1分）
在RT△ACM中，，
由勾股定理得，．
∴S△ACE=AE?CM=c．…（2分）
（2）△FMH是等腰直角三角形．…（3分）
证明：连结BM，DM．∵CA=CE=2，
点B、D、M分别是边AC、CE、AE的中点，∴BC=CD=BM=DM=1．…（4分）
∴四边形BCDM是边长为1的菱形，
∴∠CBM=∠CDM．
∴∠CBM+∠FBC=∠CDM+∠HDC，即∠FBM=∠HDM，
∴△FBM≌△MDH．…（4分）
∴FM=MH，且∠FMB=∠HMD（设大小为θ）．
又设∠A=α，则∠BMA=∠DME=∠E=∠A=α，∠MDC=2α．
在△MDH中，DM=DH=1，
∴∠DHM=∠DMH=θ，
由三角形内角和定理可有：∴∠DHM+∠DMH+∠MDH=180°，
得：θ+θ+2α+90°=180°，
∴α+θ=45°．…（5分）
∴∠FMH=180°﹣∠AMH﹣∠CMH=180°﹣2（α+θ）=90°．
∴△FMH是等腰直角三角形． …（6分）
（3）在等腰△ACE中，∠ACE=180°﹣2α，
又当∠GCN=30°时，∠ACE=360°﹣∠GCN=180°﹣30°=150°
从而有：180°﹣2α=150°，又α+θ=45°，得θ=30°，α=15°．…（7分）
如图，作△HMD的边MD上的高HQ，则由勾股定理有：
，，…（8分）
∴△FMH的面积．…（9分）
【点评】本题考查了勾股定理的运用、菱形的判定、等腰直角三角形的判定、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性强难度大．解题的关键是作△HMD的边MD上的高HQ，构造直角三角形．
　
40．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值．
【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM=EF=AP．
当AP⊥BC时，AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，
∴AM的最小值是．
【点评】考查了勾股定理的逆定理，本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质．要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．
　
41．阅读下列材料：
小明遇到一个问题：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．
参考小明解决问题的方法，完成下列问题：
（1）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．
①利用构图法在答卷的图2中画出三边长分别为、、的格点△DEF；
②计算①中△DEF的面积为　8　；（直接写出答案）
（2）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，正方形PRDE，连接EF．
①判断△PQR与△PEF面积之间的关系，并说明理由．
②若PQ=，PR=，QR=3，直接写出六边形AQRDEF的面积为　32　．
【分析】（1）利用勾股定理借助网格求出即可；
（2）六边形AQRDEF的面积=边长为的正方形面积+边长为的正方形面积+△PEF的面积+△PQR的面积，其中两个三角形的面积分别用长方形的面积减去各个小三角形的面积．
【解答】解：（1）①如图所示：
②△DEF的面积为4×5﹣×2×3﹣×2×4﹣×2×5=8；
（2）①如图3，
△PEF的面积为6×2﹣×1×6﹣×1×3﹣×3×2=，
△PQR的面积为×3×3=，
∴△PQR与△PEF面积相等；
②六边形AQRDEF的面积为（）2+++（）2=13+9+10=32．
故答案为：8；32．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．
　
42．如图所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长．
【分析】延长AD到E使AD=DE，连接CE，证△ABD≌△ECD，求出AE和CE的长，根据勾股定理的逆定理求出∠E=90°，根据勾股定理求出CD即可．
【解答】解：延长AD到E使AD=DE，连接CE，
在△ABD和△ECD中
，
∴△ABD≌△ECD，
∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，
在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，
∴AC2=AE2+CE2，
∴∠E=90°，
由勾股定理得：CD==，
∴BC=2CD=2，
答：BC的长是2．
【点评】本题综合考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质和判定、三角形的中线等知识点的应用，关键是正确地作辅助线，把已知条件转化成一个直角三角形，题型较好．
　
43．探究下列几何题：
（1）如图（1）所示，在△ABC中，CP⊥AB于点P，求证：AC2﹣BC2=AP2﹣BP2；
（2）如图（2）所示，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点P，猜一猜AB，BC，CD，DA之间有何数量关系，并用式子表示出来（不用证明）；
（3）如图（3）所示，在矩形ABCD中，P是其内部任意一点，试猜想AP，BP，CP，DP之间的数量关系，并给出证明．
【分析】（1）在Rt△ACP和Rt△BPC中利用勾股定理表示CP整理就可以得到；
（2）根据AC⊥BD，分别利用勾股定理表示出AB，BC，CD，DA，再根据AP、PC、PB、PD就可以得出数量关系；
（3）构造直角三角利用勾股定理表示AP，BP，CP，DP结合（2）的经验，就可以得到它们的关系．
【解答】（1）证明：∵在Rt△ACP中
PC2=AC2﹣AP2
在Rt△BCP中，PC2=BC2﹣BP2
∴AC2﹣BC2=AP2﹣BP2
（2）解：∵AB2=AP2+PB2，BC2=BP2+CP2，CD2=CP2+DP2，AD2=DP2+AP2．
∴AB2+CD2=AD2+BC2
（3）解：PA2+PC2=PB2+PD2
证明：过P作EF∥AD交AB，CD于E，F，过P作MN∥AB交AD，BC于M，N
则PA2=AM2+PM2，PB2=BN2+PN2，PC2=PN2+NC2，PD2=MD2+PM2
∵AM=BN，MD=NC，
∴PA2+PC2=PB2+PD2．
【点评】主要考查勾股定理的运用，多次运用勾股定理，再根据相等线段得到所需数量关系．
　
44．设a，b，c，d都是正数．求证：+＞．
【分析】构建一个三角形使得其三边为：+＞的三角形，根据三角形两边之和大于第三边可以求证．
【解答】解：如图，构造一个边长为（a+b）、（c+d）的矩形ABCD，
在Rt△ABE中，BE=，
所以BE=
在Rt△BCF中，BF=
在Rt△DEF中，EF=
在△BEF中，BE+EF＞BF
即+＞．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，本题中设计矩形ABCD并且构建三角形BEF是解题的关键．
　
45．如图：四边形ABCD中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°．试探索以AB、BC、BD为边，能否组成直角三角形，并说明理由．
【分析】先以BC为边作等边△BCE，连接AE、AC，由于AC=CD，∠ACE=∠DCB，CB=CF，利用SAS易证△DCB≌△ACE，那么AE=CB，而△ABE是直角三角形，根据勾股定理有AB2+BE2=AE2，等量代换可得AB2+BC2=BD2．
【解答】解：以AB、BC、BD为边，能够组成直角三角形．
理由如下：以BC为边作等边△BCE，连接AE、AC．如右图所示．
∵∠ABC=30°，∠CBE=60°，
∴∠ABE=90°，
∴AB2+BE2=AE2①，
∵AD=DC，∠ADC=60°，
∴△ADC是等边三角形，
在△DCB和△ACE中，DC=AC，
∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB=∠ACE，
又∵BC=CE，
∴△DCB≌△ACE，
∴BD=AE，
∵BC=BE，
由①式，可得BD2=AB2+BC2．
∴以AB、BC、BD为边，能够组成直角三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是作辅助线，并证明△DCB≌△ACE．
　
46．已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．
（1）如果CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；
（2）如图2，如果CA＜CB，（1）中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM，通过证明AM=BF，EF=EM即可得出答案；
（2）延长FD至M，使DM=DF，连接AM、EM，根据（1）通过证明AM=BF，EF=EM即可得出答案．
【解答】（1）证明：过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，
连接EM．
∵AM∥BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF．
∴AM=BF，MD=DF．
又DE⊥DF，∴EF=EM．
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．（3分）
（2）成立．
证明：延长FD至M，使DM=DF，连接AM、EM．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF．
∴AM=BF，∠MAD=∠B．
∴AM∥BC．∴∠MAE=∠ACB=90°．
又DE⊥DF，MD=FD，∴EF=EM．
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2（7分）
（说明：本题提供的两种证法对（1）、（2）两问均适用）
【点评】本题考查了勾股定理与全等三角形的判定与性质，有一定难度，关键是正确作出辅助线．
　
47．（1）如图1，AD是△ABC边BC上的高．
①求证：AB2﹣AC2=BD2﹣CD2；
②已知AB=8，AC=6，M是AD上的任意一点，求BM2﹣CM2的值；
（2）如图2，P是矩形ABCD内的一点，若PA=3，PB=4，PC=5，求PD的值．
【分析】（1）AD是△ABC边BC上的高．第一问中BD2移到左边，AC2移到右边即可．第二问中BM2=BD2+DM2，CM2=CD2+DM2，BM2﹣CM2=BD2﹣CD2，再通过AB，AC的转化即可．
（2）分别作三条边的高，利用辅助线及勾股定理解答．
【解答】解：（1）①证明：∵AD是△ABC边BC上的高，
∴在Rt△ABD及Rt△ACD中，
AD2=AB2﹣BD2，AD2=AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，即AB2﹣AC2=BD2﹣CD2．
②BM2=BD2+DM2，CM2=CD2+DM2，
∴BM2﹣CM2=BD2﹣CD2，
又CD2=AC2﹣AD2BD2=AB2﹣AD2，
∴BM2﹣CM2=AB2﹣AC2=82﹣62=28．
（2）矩形ABCD内，作PE⊥AB，PF⊥BC，PM⊥AD，
分别与AB，BC，AD相交于E，F，M，PA=3，PB=4，PC=5，
；
则PD2=AE2+MD2，
又MD=FC，
解得PD=3．
【点评】熟练掌握勾股定理及矩形的性质及运用，能够运用勾股定理进行等效代换．
　
48．如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC=5km，B厂距离河边BD=1km，经测量CD=8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．
（1）设ED=x，请用x的代数式表示AE+BE的长；
（2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？
（3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为　13　．
【分析】（1）∵ED=x，AC⊥CD、BD⊥CD，故根据勾股定理可用x表示出AE+BE的长；
（2）根据两点之间线段最短可知连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．过点B作BF⊥AC于F，构造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的长；
（3）根据AE+BE=+=AB=10，可猜想所求代数式的值为13．
【解答】解：（1）在Rt△ACE和Rt△BDE中，根据勾股定理可得AE=，BE=，
∴AE+BE=+；
（2）根据两点之间线段最短可知连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．
过点B作BF⊥AC于F，则有BF=CD=8，BD=CF=1．∴AF=AC+CF=6．
在Rt△ABF中，BA===10，
∴此时最少需要管道10km．
（3）根据以上推理，可作出下图：
设ED=x．AC=3，DB=2，CD=12．当A、E、B共线时求出AB的值即为原式最小值．
当A、E、B共线时+==13，即其最小值为13．
【点评】本题是一道生活联系实际的题目，综合性较强，综合利用了勾股定理，及用数形结合的方法求代数式的值的方法，有一定的难度．
　
49．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图（1），等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则∠APB=　150°　，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌　△ABP　这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．
（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图（2），△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2．
【分析】（1）此类题要充分运用旋转的性质，以及全等三角形的性质得对应角相等，对应边相等，得出∠PAP′=60°，再利用等边三角形的判定得出△APP′为等边三角形，即可得出∠APP′的度数，即可得出答案；
（2）利用已知首先得出△AEG≌△AFE，即可把EF，BE，FC放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明．
【解答】解：（1）将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，
∴△BAP≌△CAP′，
∴AB=AC，AP=AP′，∠BAP=∠CAP′，
∴∠BAC=∠PAP′=60°，
∴△APP′是等边三角形，
∴∠APP′=60°，
因为B P P′不一定在一条直线上
连接PC，
∴P′C=PB=4，PP′=PA=3，PC=5，
∴∠PP′C=90°，
∴△PP′C是直角三角形，
∴∠APB=∠AP′C=∠APP′+∠P′PC=60°+90°=150°，
∴∠BPA=150°；
故答案是：150°，△ABP；
（2）把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG．
则△ACF≌△ABG．
∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．
∵∠BAC=90°，∠GAF=90°．
∴∠GAE=∠EAF=45°，
在△AEG和△AFE中，
∵
∴△AEG≌△AFE．
∴EF=EG，
又∵∠GBE=90°，
∴BE2+BG2=EG2，
即BE2+CF2=EF2．
【点评】熟练掌握旋转的性质，充分运用全等三角形的性质找到相关的角和线段之间的关系．
　
50．阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：
已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：
（1）图1中△ABC的面积为　5　；参考小明解决问题的方法，完成下列问题：
（2）图2是一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）．
①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为、、的格点△DEF；
②计算△DEF的面积为　7　．
（3）如图3，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABDE，ACFG，连接EG．若AB=，BC=，
AC=，则六边形BCFGED的面积为　22　．
【分析】（1）利用恰好能覆盖△ABC的长方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可解答；
（2）①借助网格利用勾股定理画图；
②利用长方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可解答；
（3）利用六边形BCFGED的面积=正方形ABDE面积+正方形ACHG面积+△ABC的面积+△AEG的面积求解．
【解答】解：（1）S△ABC=4×3﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3=12﹣2﹣2﹣3=5．
故答案为：5，
（2）①如图，
②△DEF的面积=3×5﹣×2×4﹣×1×3﹣×1×5=15﹣4﹣﹣=7，
故答案为：7．
（3）如图3，利用网格△ABC的面积=3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3=9﹣1﹣﹣3=，
△AGE=2×4﹣×1×2﹣×1×4﹣×1×3=8﹣1﹣2﹣=．
六边形BCFGED的面积=正方形ABDE面积+正方形ACHG面积+△ABC的面积+△AEG的面积=（）2+（）2++=22．
故答案为：22．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
　
第1页（共1页）