轴对称与将军饮马问题（基础篇）专题练习
一、两定点一动点
1、答案：D
分析：
解答：∵点B和B’关于直线l对称，且点C在l上，
∴CB=CB’，
又∵AB’交l于C，且两条直线相交只有一个交点，
∴CB’+CA最短，即CA+CB的值最小，将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．
2、答案：B
分析：
解答：MN是正方形ABCD的一条对称轴，
∴PD=AP，
当PC+PD最小时，即点P位于AC与MN的交线上，
此时∠PCD=45°．
3、答案：C
分析：
解答：当PC+PE最小时，P在BE与AD的交点位置，
如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵D、E分别是边BC，AC的中点，
∴P为等边△ABC的重心，
∴BE⊥AC，
∴∠PCE=∠ACB=×60°=30°，
∴∠CPE=90°-∠PCE=90°-30°=60°，
选C．
4、答案：作图见解答．
分析：
解答：如图所示：
5、答案：作图见解答．
分析：
解答：所作图形如图所示：
6、答案：（1）画图见解答．
（2）画图见解答．
（3）P（0，4）．
分析：
解答：（1）
（2）
（3）过点A作AM⊥x轴于M，
∵A（2，6），
∴M（2，0），AM=6，
又∵B（4，0），
∴点B关于y轴的对称点B’（-4，0），
∴B’M=6=AM，
∴△AB’M为等腰直角三角形，
∴∠P’BO=45°，
∴△P’BO也为等腰直角三角形，
∴B’O=PO=4，
∴P（0，4）．
7、答案：（1）画图见解答．
（2）画图见解答．
分析：
解答：（1）关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标相反．
（2）作C关于y轴的对称点C1，连接C1B，交y轴于点P．连接PB，PC，此时△PBC周长最小．
8、答案：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）3.5．
分析：
解答：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）S△AOB=3×3-×1×2-×2×3-×1×3=9-1-3-1.5=9-5.5=3.5．
二、一定点两动点
9、答案：D
分析：
解答：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2，交OA于M，
交OB于N，则OP1=OP=OP2，∠OP1M=∠MPO，
∠NPO=∠NP2O，
根据轴对称的性质可得MP=P1M，PN=P2N，
∴△PMN的周长的最小值=P1P2，
由轴对称的性质可得∠P1OP2=2∠AOB=2a，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=180°-2a，
∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2M
=∠OP1P2+∠OP2P1
=180°-2a，
选D．
10、答案：B
分析：
解答：分别作点P关于OB，OA对称点C、D，
连CD，分别交OA、OB于点M、N，连OC、OD、PM、PN、MN，
∴PM=DM，OP=OD，∠COB=∠POB，∠DOA=∠POA，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是6cm，
∴PM+PN+MN=6，
∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，
∴OC=OD=CD，即△OCD为等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°．
11、答案：D
分析：
解答：如图，作点D关于直线AB的对称点G，作点D关于直线BC的对称点H，
连接GH交AB于点E，交BC于点F，则此时△DEF的周长最小，
∵∠DAB+∠ABC+∠DCB+∠ADC=360°，∠DAB=∠DCB=90°，∠ABC=α
∴∠ADC=360°-∠DAB-∠DCB-∠ABC=180°-α，
∴∠G+∠H=180°-∠ADC=α，
∴∠EDF=∠ADC-（∠ADE+∠CDF）=180°-2α．
选D．
12、答案：18
分析：
解答：根据题意点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，
故有MP=MC，NP=ND；
则CD=CM+MN+ND=PM+MN+PN=18cm．
13、答案：20
分析：
解答：根据题意，EP=EM，PF=FN，
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，
∴MN=20．
14、答案：15；100
分析：
解答：连接OP，OP1，OP2，PP1，PP2．
由对称可知，MP1=MP，NP=NP2，
∴△PMN的周长为MN+MP+NP=MN+MP1+NP2=P1P2=15．
由对称可知，∠OPM=∠OP1M，∠OPN=∠OP2N，
∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=180°-2∠AOB=100°．
15、答案：6
分析：
解答：连AD，过A作AN⊥BC于N，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴DB+DM=AD+DM，
在△ADM中，AD+DM＞AM，
∴（AD+DM）min=AM，
又M为BC上动点，
∴当AM⊥BC时最小，即为AN，
∵S△ABC=12cm2，BC=4cm，
∴AN=2×12÷4=6cm．
16、答案：2α
分析：
解答：过P的作关于OB的对称点P’，作P’C⊥OA于C，交OB于D，
此时PD=PD’，根据点到直线的距离最短可知PD+DC=P’C最短．
∵∠PDB=P’DB，∠CDO=∠P’DB，
∴∠CDO=∠PDB，
∵P’C⊥OA，∠AOB=α，
∴∠CDO=90°-α，
∴∠PDC=180°-2（90°-α）=2α．
17、答案：50°
分析：
解答：作A关于BC的对称点为E，作A关于CD的对称点F，
连接EF交BC，CD于点M，N．
此时AMN的周长就是最小的时候．
设∠NAD=∠F=α，∠E=∠BAM=β，
∵∠B=∠D=90°，∠C=65°，
∴∠BAD=α+β+∠MAN=115°．
∵2α+2β+∠MAN=180°，
∴α+β=65°．
∴∠MAN=∠BAD-（α+β）=50°．
18、答案：4
分析：
解答：作D关于BA，BC的对称点E，F．连接BE，BF．则当M，N是CD与BA，BC的交点时，△MND的周长最短，最短的值是EF的长．
连接BE、BF，
∵D、E关于BA对称，BE=BD，
∴∠ABE=∠ABD，
同理，∠FBC=∠DBC，BF=BD，
∴∠EBF=2∠ABC=60°，BE=BF，
∴△BEF是等边三角形．
∴EF=BE=BD=4．
故答案是：4．
19、答案：4
分析：
解答：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN=ME，
∴CE=CM+ME=CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为20，AB=10，
∴×10×CE=20，
∴CE=4．
即CM+MN的最小值为4．
故答案为4．
20、答案：3
分析：
解答：如图：CM即为最短距离．
∠BAC=30°，CM⊥AB，
AC=2CM=6，CM=3．
21、答案：5
分析：
解答：如图，作N关于AD的对称点N’，连接MN’，
作BN’’⊥AC于N’’，交AD于M’．
∵BM+MN=BM+MN’≤BN’’，
∴当M与M’，N与N’’重合时，BN’’最小，
∵S△ABC=·AC·BN’’=15，AC=6，
∴解得BN’’=5，
∴BM+MN的最小值为5．
22、答案：．
分析：
解答：如图所示，易得CM+MN≥．
∴可得CM+MN最小值为．
23、答案：（1）如图所示：
（2）△ABC是直角三角形．
分析：
解答：（1）如图所示：
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
由（1）可知：AA’⊥OM，AA’’⊥ON，AB=A’B，AC=A’’C，
∴∠A’=∠BAA’，∠A’’=∠CAA’’，
∴∠A’AA’’=360°-90°-90°-∠MON=135°，
∴∠BAA’+∠CAA’’=∠A’’+∠A’=180°-∠A’AA’’=45°，
∠BAC=∠A’AA’’-（∠BAA’+∠CAA’’）=90°，
∴△ABC是直角三角形．
24、答案：△PQR周长的最小值为PO=8．
分析：
解答：作P点关于OA，OB的对称点P1、P2，
利用轴对称的知识，证明OP=OP1=OP2，且∠P1OP2=60°，
得到等边三角形OP1P2，
∴△PQR周长的最小值为PO=8．
25、答案：作图见解答．
分析：
解答：如图所示：
作法：
①作点C关于直线AO的对称点点D，
②作点C关于直线BO的对称点点E，
③连接DE分别交直线AO，BO于点M，N，则CM+MN+CN最短．
26、答案：4.8．
分析：
解答：如图，
作PQ⊥AC于点Q，PE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴PQ=PE，
要使PC+PQ最小，即使PC+PE最小，
∴当C、P、E共线且CE⊥AB时PC+PE最小，
这时PC+PQ=PC+PE==4.8．轴对称与将军饮马问题（基础篇）专题练习
一、两定点一动点
1、如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B’．②连接AB’与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（
）．
A.
转化思想
B.
三角形的两边之和大于第三边
C.
两点之间，线段最短
D.
三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
2、如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是（
）．
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
无法确定
3、如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（
）．
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
90°
4、如图，PQ为△ABC边上的两个定点，在BC边上求作一点M，使PM+QM最短．（保留作图痕迹，不写作法，无需证明）
5、如图，解答下列问题：
①画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．
②在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短．（保留作图痕迹）
6、在平面直角坐标系中，已知点A（2，6），B（4，0），在y轴上求一点P，使△ABP的周长最小．
（1）在坐标系中画出A、B两点的位置．
（2）画出点P的位置．
（3）求出点P的坐标．
7、在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，B，C的坐标分别是（-4，6），（-2，2），（-1，4）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中A，B，C的对称点分别为A1，B1，C1．
（2）请在y轴上求作一点P，使△PBC的周长最小．
8、如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．
（1）画出△AOB关于直线x=-1轴对称后图形△A’O’B’．
（2）点P在x轴上使△APB周长最小时，在图中画出点P．（请保留作图痕迹）
（3）求出△AOB的面积．
二、一定点两动点
9、如图，∠AOB=a，点P是∠AOB内的一定点，点M、N分别在OA、OB上移动，当△PMN的周长最小时，∠MPN的值为（
）．
A.
90°+a．
B.
90°+a．
C.
180°-a．
D.
180°-2a．
10、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（
）．
A.
15
B.
30
C.
45
D.
60
11、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=α，在AB，BC上分别找一点E、F，使△DEF的周长最小，此时，∠EDF=（
）．
A.
α
B.
90°-α
C.
D.
180°-2α
12、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD=18cm，则△PMN的周长为______cm．
13、如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长是______
cm．
14、已知：如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于点M，交OB于点N，P1P2=15，则△PMN的周长为______；若∠O=40°，则∠MPN=______°．
15、如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，垂足为E，若M为BC边上一动点，D为EF上一动点，则BD+MD的最小值为______cm．
16、如图，已知点P在锐角∠AOB内部，∠AOB=α，在OB边上存在一点D，在OA边上存在一点C，能使PD+DC最小，此时∠PDC=______．
17、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=65°，M、N分别是边BC，CD上的动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN=______．
18、如图，D是∠ABC内一点，BD=4，∠ABC=30°，设M是射线BA上一点，N是射线BC上一点，则△MND的周长的最小值是______．
19、如图，已知钝角三角形ABC的面积为20，最长边AB=10，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为______．
20、如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、线段AD上的动点，则MN+BN的最小值是______．
21、如图，在锐角△ABC中，AC=6，△ABC的面积为15，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．
22、如图，∠AOB=30°，OC=2，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得CM+MN最小，求出此最小值．
23、如图，已知点A是锐角∠MON内的一点．
（1）按要求画图：（不写作法，尺规作图，保留作图痕迹）
①分别作点A关于OM，ON的对称点A’，A’’．
②试分别在OM、ON上确定点B，点C，使△ABC的周长最小．
（2）若∠MON=45°时，试判断△ABC的形状，并说明理由．
24、如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内一点，PO=8，在∠AOB的两边有点R、Q（均不同于O），求△PQR周长的最小值．
25、某班举行晚会，桌子摆成两条直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，BO桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．
26、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，求PC+PQ的最小值．
