用配方法解一元二次方程 导学案
一、学习目标
1、经历探究将一元二次方程的一般（x＋m）2= n（n≥0）形式的过程，进一步理解配方法的意义
2、会用配方法解一元二次方程，体会转化的思想方法
学习重点难点
重点：掌握配方法，解一元二次方程
难点：把一元二次方程转化为的（x＋m）2= n（n≥0）形式
二、预习导学（课本33.34 页）
请说出完全平方公式。
（a＋b）2 = （a-b）2 =
用直接开平方法解下例方程：
（1） （2）
3、通过类比的思想，思考如何解下列方程
（1） （2）
三、学习内容
问题1、请你思考方程与 有什么关系，如何解方程呢？
问题 2、能否将方程转化为（的形式呢？
先将常数项移到方程的右边，得_____________
（为了方程左边得到一个完全平方式 在方程的____加上一次项系数_______，即32后，得）
x2＋2·x·3 ＋32 = －4＋32
（x＋3）2 = 5
解这个方程，得
x＋3 = _______
所以 x1 = _______ x2 = ________
3.将下列各进行配方：
⑴＋8x＋_____＝（x＋_____）2 ⑵－5x＋_____＝（x－_____）2
⑶－x＋_____＝（x－____）2 ⑷2－6x＋_____＝（x－____）2
4.课堂练习：课本33页做一做
例题1
（1）－x＋3＝0. →思考如何解 （2）2x2-3x+6=0
小结：用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1、先把方程化成一般形式，并且二次项系数化为1再把常数项移到方程右边；
2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；
3、方程右边是非负数时可利用直接开平方法求解。
思考：为什么在配方过程中，方程的两边总是加上一次项系数一半的平方？
四、当堂训练
1、填空：
（1）x2+6x+ =(x+ )2；(2)x2-2x+ =(x- )2；
(3)x2-5x+ =(x- )2；(4)4x2+x+ =(x+ )2；
(5)x2+px+ =(x+ )2；
2、将方程x2+2x-3=0化为(x+m)2=n的形式为 ；
3、用配方法解方程x2+4x-2=0时，第一步是 ，第二步是 ，第三步是 ，解是 。
4、用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可变形为（ ）
A.(x-4)2=9 B.(x+4)2=9
C.(x-8)2=16 D.(x+8)2=57
5、已知方程x2-5x+q=0可以配方成(x- )2=的形式，则q的值为（ ）
A. B. C. D. -
6、已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q的值是（ ）
A.9 B.7 C.2 D.-2
7、用配方法解下列方程：
（1）x2-4x=5； （2）2x2-7x+3=0；
（3）4x2+8x+3=0； （4）y2+2y-4=0；
五、拓展延伸
1、用配方法说明代数式 2x2－4x＋3的值恒大于0
并且说出x为何值时它有最小值？最小值为几？
2、试用配方法证明：代数式x2+3x-的值不小于-。用一元二次方程解决实际问题导学案(二)
一、学习目标
1、进一步体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法
2、进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力
了解增长率与减少率相关应用题的求解。
二、学习重点难点
了解增长率与减少率相关应用题的求解。
三、学习过程
列方程解应用题步骤：1审2设3找4列5解6答
（一）课本44页一起探究
1、课本填空
2、列出方程并求解
3、小结： 原始量、现在量、增长（减少）率为x 、增长（减少）次数为n
则增长（减少）率公式为_________________
练习：某种手表,原来每只售价96元,经过连续2次降价后,现在每只售价54元,平均每次降价的百分率是多少
（二）例题一批上衣原来每件500元 ，第一次降价销售甚慢 ，第二次大幅度降价的百分率是第一次的2倍。 结果以每件240元的价格迅速售出 。求每次降价的百分率
分析：设第一次降价的百分率为X,则第二次降价百分率为_____________
第一次降价后的售价为____________________________
第二次降价后的售价为_____________________________
练习：1某厂经过两年体制改革和技术革新，生产效率翻了一番，求平均每年的增长率（精确到0.1%）
2、某企业2005年初投资100万元生产适销对路的产品，2005年底，将获得的利润与年初的投资和作为2006年初的投资。到2006年底，两年共获得56万元，已知2006年的年获利率比2005年的年获利率多10个百分点，求2005和2006年的年获利率各是多少
四、课堂小结
这节课我学会了_________________ _________________
我的困惑是
五、课后练习
1、某超市1月份的营业额为36万元，3月份的营业额为49万元，设每月的平均增长率为，则可列方程（ ）
A、 B、 C、 D、
2、某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均月增长率为，则依题意列方程为（ ）
A、 B、
C、 D、
3、某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到580元，设平均每次降价的百分率为，则下面列出的方程正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
4、某厂计划在两年内把产量提高44%，如果每年与上一年的增长率相同，那么这增长率是_______________。
5、把棱长为30mm的正方体钢材锻压成半径为mm，高为100mm的圆柱形零件毛坯，那么可列出的方程是_________________________________。
6、一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位上的数字比个位上的数字大2，若设个位数字为，列出求这个两位数的方程__________________________。
7、某商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.
8、某企业2005年初投资100万元生产适销对路的产品，2005年底，将获得的利润与年初的投资和作为2006年初的投资。到2006年底，两年共获得56万元，已知2006年的年获利率比2005年的年获利率多10个百分点，求2005和2006年的年获利率各是多少
9、某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购买。决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完。经结算，这批服装共盈利430元。如果两次打折相同，每次打了几折？
中考链接：
某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元。
⑴若该商店两次调价的降价率相同，求这个降价率。
⑵经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件。若该商店原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？
拓展延伸
1、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤3）。那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2
2、如图3所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
图3用一元二次方程解决实际问题导学案(一)
一、学习目标
1、经历用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步认识方程模型的重要性。
2、能根据实际问题正确列出方程并求解，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。3、提高分析问题、解决问题的能力，进一步增强数学的应用意识。
二、学习重点难点
根据实际问题正确列出方程求解并根据实际意义检验结果的合理性
三、学习过程
列方程解应用题步骤：1审题 2设未知数 3找等量关系 4列方程 5解方程6答出问题
（一）课本42页一起探究
1、找出问题中的等量关系
2、列出方程并求解
3、方程的解都符合这个问题的实际意义吗？
注意：要根据问题的实际意义检验结果的合理性。
练习：如图，在一块长35M，宽26M的矩形地面上，修剪同样宽的两条互相垂直的道路，（两条道路与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850M ，道路的宽应为多少？
（二）例题：
某商场销售一批衬衫，平均每天可出售30件，每件赚50元，为扩大销售，减少库存，商场决定降价，如果每件降1元，商场平均每天可多卖2件，若商场平均每天要赚2100元，问衬衫降价多少元
分析：1、设每件衬衫降价x元，则每件衬衫的盈利为 元，每天销售的衬衫为 件
2、等量关系
3、列方程并求解
练习： 3、西瓜经营户以2元/kg的价格购进一批小型西瓜，以3元/kg的价格出售，每天可售出200kg，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0。1元/kg，每天可多售出40kg，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利润200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
四、课堂小结
这节课我学会了
我的困惑是
五、课堂检测
1、某商店购进一批运动服，每件售价120元，可获利20％，则这种运动服每件进价是_________________元。
2、若两个相邻偶数的积是168，这两个偶数是_________________
3.两个连续奇数的积是323，求这两个数。
4、将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，如果该商品每涨价1元，其销售量就减少10个。商店为了赚取8000元的利润，这种商品的售价应定为多少 应进货多少？
5、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，可以卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20％，商店计划要赚400元，每件商品售价多少？需要卖出多少件商品？
6、一张桌子的桌面长6米 宽为4米。长方形台布的面积是桌面面积的两倍 。若将台布铺在桌子上四边（四个角除外）垂下的长度相同，求这块台布的长和宽 。
六、拓展延伸
1、某商店如果将进货价8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件，现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨0.5元，其销售量就可以减少10元，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润。
2、17.如图，在中,AC⊥BC,点M从C点出发沿BC匀速向点B运动,点N从点C出发沿CA匀速向点A运动。已知点N的速度每秒比点M快1cm，两点同时出发，运动2秒后相距10cm。求点M和点N运动的速度。28.1一元二次方程 导学案
学习目标
1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（≠0）
2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
学习重点难点
1、一元二次方程的概念和一般形式.
2、正确理解和掌握一般形式中的a≠0 ，“项”和“系数” .
教学过程
一、预习内容：
1.整式方程特点：____________________________________________________,举例
一元一次方程特点：_________________________________________________举例
2.分式方程特点： ， 举例
二、概念一
1. 方程x2－4x＝0 x(x－1)＝x x2－2x＝4 x2－3x+(x－2)＝0
它们是上述的哪种方程？它们还具有哪些特点？
叫做一元二次方程
2.概念巩固练习
下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
三、概念二
1. 也叫方程的根。
2.概念巩固练习
1）．请检验下列各数哪个为方程的解 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2）、关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ）
A、 B、 C、或 D、
3）．写出一个一元二次方程，使它的一个根为2 ．
四、概念三
1. ，我们把它叫做一元二次方程的一般形式。
2. 对上述概念的理解：
（1）为何a≠0？ （2） 是二次项， 是二次项系数。
（3） 是一次项， 是一次项系数。 （4） 是常数项。
（5）一元二次方程的一般形式（≠0）具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外还要意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。
3. 概念巩固练习
1）.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1） （ 2）（x-2）(x+3)=8 （3）
2）、 方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
3）、写出一个一元二次方程使它的二次项系数、一次项系数、常数项系数的和为零，该方程可以是_____________。
五、当堂训练：
1.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。
2、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项
2x(x-1)=3(x-5)-4
3、关于的方程，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？
4.若方程是关于x的一元二次方程，则( )
A． B．m=2 C．m=-2 D．
5．如果方程（m2－1）x2－mx+5=0是一元二次方程，则…………………………………（ ）
A．m≠－1 B．m≠1 C．m≠±1 D．m≠0
6．若方程中，a, b, c满足a+b+c=0和a－b+c=0，则方程的根是（ ）
A．1，0 B．－1，0 C．1，－1 D．无法确定
六：课堂小结：
今天我们学到了 。
还有什么困惑28.2用公式法解一元二次方程导学案（一）
学习目标：
1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。
2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。
3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。
学习重点难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；
教学过程
一、预习导学：
问题1能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为呢？
问题2、为什么在得出求根公式时有限制条件b2－4ac≥0？
当，且时，大于等于零吗？
请说明理由________________________________________________________
_____________________________________________________________________
二、合作交流
结论：
这个公式说明方程的根是由方程的系数、、所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数、、的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
（1）
解：∵= ，= ，=
∴=（ ）2 －4×（ ）×（ ）
= + =
∴==
∴= ；= ；
∴原方程的解是：= ，=
例1、解下列方程：
(1) (2)；
(3) (4)
注意：应用公式法解一元二次方程时应将一元二次方程化成一般形式
三、课堂小结
本节课学习了
四、课堂检测
1、把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0)形式为 ，b2-4ac= .
2、方程x2+x-1=0的根是 。
3、用公式法解方程x2+4x=2,其中求的b2-4ac的值是（ ）
A.16 B. 4 C. D.64
4、用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac= ，方程的根是 .。
5、用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（ ）
A.x1.2= B. x1.2=
C. x1.2= D. x1.2=
6、把方程(2x-1)(x+3)=x2+1化为ax2 + bx + c = 0的形式，b2-4ac= ，方程的根是 .
7、方程的解为 ．
8、方程(x-1)(x-3)=2的根是（ ）
A. x1=1,x2=3 B.x=22 C.x=2 D.x=-22
9、已知y=x2-2x-3，当x= 时，y的值是-3
10、用公式法解下列方程：
（1）x2-2x-8=0； （2）x2+2x-4=0； （3）2x2-3x-2=0；
（4）3x(3x-2)+1=0. （5）(5) （6）
11、已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程的一个根，求这个三角形的周长。一元二次方程的解法习题课导学案
学习目标
了解一元二次方程的各种解法。
学会选择适当的方法来解一元二次方程。
学习重点难点
能正确地选择适当的方法来解一元二次方程，熟练解出一元二次方程的解。
教学过程
复习引入
一元二次方程共有几种解法？________种，分别为_________________________________
_____________________________________________.
①直接开平方法：形如方程 、 可以用直接开平方法求解
②因式分解法：形如A·B = 0 A = 0或B = 0
③配方法：解题步骤1_____________________2_________________________________
3___________________________________________________
④公式法：一元二次方程的求根公式： （条件________）
二、学习内容
例1、用直接开平方法解下列方程：
⑴ （2） (2x-1)2-18=0
例2、用配方法解下列方程：
（1）x2 -4x -2=0 （2）2x2 -3x -4=0
例3、用公式法解下列方程：
（1） x2 -3x-2=0 （2） 2x2 -3x-4=0
练习
1、选用适当的方法解下列方程:
(1) 3x2+4x-1=0 (2) （3x -2）2-49=0 (3) x2+6x－5=0
(4) (x+2)(x－1)=10 （5）(x-2)2=2(x-2) (6) （3x -4）2=（4x -3）2
3、若a、b、c为ΔABC的三边，且a、b、c满足(a－b)(a－c)=0，判断△ABC的形状。
四、课后练习：
1、下列方程是一元二次方程的是（ ）
A、-x2+5=0 B、x（x+1）=x2-3 C、3x2+y-1=0 D、=
2、已知关于x的方程（a2-1）x2+（1-a）x+a-2=0，下列结论正确的是（ ）
A、当a≠±1时，原方程是一元二次方程 B、当a≠1时，原方程是一元二次方程。
C、当a≠-1时，原方程是一元二次方程 D、原方程是一元二次方程。
3、关于x的一元二次方程（m-2）x2+（2m—1）x+m2—4=0的一个根是0，则 m的值是（ ）
A、 2 B、—2 C、2或者—2 D、
4、方程x2-8x+5=0的左边配成完全平方式后所得的方程是（ ）
A、（x-6）2=11 B、（x-4）2=11 C、（x-4）2=21 D、以上答案都不对
5、要使代数式的值等于0，则x等于（ ）
A、1 B、-1 C、3 D、3或-1
6、一元二次方程x2-ax+6=0, 配方后为(x-3)2=3, 则a=______________.
7、关于x的方程（m-1）x2+（m+1）x+3m-1=0，当m_________时,是一元一次方程;当m_________时,是一元二次方程.
8、（2009年山西省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程：
9、、（2009年兰州）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2＝－，x1·x2＝.根据该材料填空：已知x1、x2是方程
x2+6x+3＝0的两实数根，则 x1+x2＝ ，x1·x2＝ ， +的值为 ．
10、三角形两边长分别是6和8，第三边长是x2-16x+60=0的一个实数根，求该三角形的第三条边长。28.2-1用直接开平方法解一元二次方程导学案（一）
一、学习目标
1、了解形如的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法
2、会用直接开平方法解一元二次方程
二、预习导学（课本33.34 页）
（一）复习引入
1、什么是一元二次方程？将方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项
（1） （1） （3）
2. 3的平方根是 ；0的平方根是 ；-4的平方根
3.如果那么x叫做a的______,记作________;如果,那么记作_____
（二）学习内容
1.如何解方程：x2＝4
根据平方根的定义，由x2＝4可知，x就是4的平方根，因此x的值为2和－2
即 根据平方根的定义，得 x2＝4
x＝±2
即此一元二次方程的解为： x1=2，x2 =－2
这种解一元二次方程的方法叫做____________。
例1 解下列方程：
（1）x2＝2 （2）4x2－1＝0
注：形如方程（k___）可变形为x2＝k (k____)的形式，即方程左边是关于x的一次式的平方，右边是一个_____数，可用直接开平方法解此方程。方程的两根分别用表示。
例2 解下列方程：
⑴ （x＋1）2= 2 ⑵ 2（x－1）2－4 = 0 ⑶ 12（3－x）2－3 = 0
注：形如的方程的解法。
（1）解形如的方程时，可把看成整体，然后直开平方程。
（2）注意对方程进行变形，方程左边变为一次式的平方，右边是非负常数，
（3）如果变形后形如中的K是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根。
（4）如果变形后形如中的k=0这时可得方程两根相等。
三、当堂训练
1、解下例方程
(1)4x2=9 （2）45－x2＝0；
(2) (2x+1)2=25 (4) 3(2x+1)2-12 = 0
2、用直接开平方法解方程（x＋h）2=k ，方程必须满足的条件是（ ）
A．k≥o B．k≥o C．k＞o D．k＜o
3、方程（1-x）2=2的根是（ ）
A.-1、3 B.1、-3 C.1-、1+ D.-1、+1
4、下列解方程的过程中，正确的是（ ）
(A)x2=-2,解方程，得x=±
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=;x2=
(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
四．达标测评
（1）16x2－25＝0. （2）1－ 4x2＝0 (3)81(x-2)2一16 =0；28.2用分解因式法解一元二次方程导学案
学习目标
1．明确具备什么条件的一元二次方程可适用因式分解法；．
2．熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程
3. 通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神．
学习重点难点
重点：能灵活地应用分解因式法解一元二次方程
难点：理解 “或”、“且”的含义
教学过程
一、预习内容
1、我们已经学习了一元二次方程的哪三种解法______、_____、 。
形如：x2＝k(k≥0) 均可以用________法
2.配方过程的关键是 。
3.一元二次方程求根公式： 。
用直接开平方法解下列方程
（1）4x2＝24 （2）2（x＋1）2=16
2、你能解决这个问题吗？
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？
小明是这样解的： 小影是这样解的
解设这个数是x. 解设这个数是x.
依题意得：x2 = 3x 依题意得：x2 = 3x
两边同时约去x，得 x = 3 x2 – 3x = 0
这种解法正确吗？（答：_____） x（x – 3）=0
解得 x1 = 0，x2 = 3 这步的理论依据是什么？
∴这个数是0或3。
这种解法正确吗？（答：_____）
二、学习内容
引例：方程x2 – 4=0 左边能否化成两个一次因式的乘积
概念
1．当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.
即如果A·B = 0 A = 0或B = 0
（如果两个因式的积为零，则至少有一个因式为零，反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．）
“或”有下列三层含义
A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0
2．（1）方程 (x + a)(x + b) = 0的两个根为x1 =_____，x2 = ______
（2）方程(x + 2)(x -3) = 0的两个根为x1 =_____，x2 = ______
例 1(1) (3x+2)(4-x)=0 (2) 3 x2=12
(3) 4x(x-2)=5(x-2) (4) 2（3－x）2=3x-9
(3)中能否两边同时除以（x-2）为什么？
例 2（补充） 十字相乘法
x 2＋(p＋q)x＋pq=0 (x＋p)(x＋q)=0
x1= x2=
例3用十字相乘法解下列方程
（1）x2－3x-10=0 (2) x2+2x-3=0
三、本课小结：
(1）用因式分解法的条件是:方程左边易于分解而右边等于零;即一元二次方程可以转化为A·B=0的形式
（2）因式分解法解一元二次方程的本质就是降次转化为解两个一元一次方程
（3）理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
简记歌诀：左分解，右化零，两因式，各求解。
四、练习
（1） 4x2 -9=0 (2) (2x+1)2-5=0 （3）（3－x）2= 4(2x+1)2
(4) 9x2-6x+1=0 (5) x2-7x+6=0 (6) x2+3x-28=0
(7) (8)
(8) (9)
x
x
p
q
px＋qx=(p＋q)x
x
2
pq
