5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 教案(word）

《5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象》教学设计
教学目标
1．经历绘制正弦函数图象的过程，掌握描点法，掌握绘制正弦函数图象的五点法．
2．经历绘制余弦函数图象的过程，理解其中运用的图象变换的思想．
教学重难点
教学重点：正弦函数、余弦函数的图象．
教学难点：掌握准确绘制正弦函数图象上一个点的方法．
课前准备
PPT课件．
教学过程
（一）整体感知
问题1：三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函数研究的方法，学习了三角函数的定义之后，接下来应该研究什么问题？怎样研究？你的研究思路是什么？
追问：（1）研究指数函数、对数函数图象与性质的思路是怎样的？
（2）绘制一个新函数图象的基本方法是什么？
（3）根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗？选择哪一个区间即可？
预设的师生活动：教师提出问题，学生活动回忆函数研究的路线图，师生共同进行交流、规划，完善方案．
预设答案：（1）研究的线路图：函数的定义→函数的图象→函数的性质．
（2）绘制一个新函数图象的方法都是描点法．
（3）对于三角函数，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置，这一特性已经用诱导公式一表示，据此，可以简化对正弦函数、余弦函数图象与性质的研究过程，比如可以先画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，再画正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．
设计意图：规划研究方案，构建本单元的研究路径，以便整体把控整个单元的教学进程，建立整体观念．
（二）新知探究
1．正弦函数的图象
问题2：绘制函数的图象，首先需要准确绘制其上一点．对于正弦函数，在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)？
追问1：根据正弦函数的定义思考，一个的横坐标x0在单位圆上表示哪个几何量？sin x0的几何意义又是什么？
预设的师生活动：教师引导学生结合图1，根据定义分析，确定x0，sin x0对应的几何量．
图1
追问2：根据上述分析，如何具体地作出点T(x0，sin x0)？
预设的师生活动：教师和学生讨论后，共同通过提前准备的工具尝试绘制这个点．
预设答案：方法一（学生操作）：“手工细线缠绕”法；方法二（教师操作）：利用信息技术．
设计意图：教师引导学生剖析一个点的画法，深化对正弦函数定义的理解．通过分析点的坐标的几何意义，准确描点．
问题3：我们已经学会绘制正弦函数图象上的任意一个点，类比指数函数、对数函数图象的画法，接下来，如何画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象？你能想到什么办法？
预设的师生活动：学生给出设想，师生讨论后选择一种或者多种适合的方法实施．
预设答案：
方案一：在区间[0，2π]内任取一些横坐标的值，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接．
方案二：为方便操作，可以在区间[0，2π]内取等分点，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接．
追问：这两种绘制方法的异同是什么？
预设的师生活动：学生用方案二绘制函数图象．教师借助信息技术，用方案一绘制函数图象．
预设答案：两种方法本质相同，在信息技术条件支持下都容易实现，在手工操作的条件下，用方案二比较可行．
设计意图：确定画出一个周期内正弦函数图象的方法，并实施，同时体会信息技术给数学研究带来的便捷．
问题4：根据函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，你能想象正弦函数y＝sin x，x∈R的图象吗？依据是什么？请你画出该函数的图象．
预设的师生活动：学生画图，教师予以指导．
预设答案：根据诱导公式一，可知函数y＝sin x，x∈[2kπ，2π]2(k+1)，k∈Z且k≠0的图象与y＝sin x，x∈[0，2π]的图象形状完全一致．因此将函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象不断向左、向右平移（每次移动false个单位长度），就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，如图2所示．
图2
5.3－3
教师指出，正弦函数的图象叫做正弦曲线(sine curve)，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
设计意图：绘制函数y＝sin x，x∈R的图象，并培养说理的习惯．
问题5：如何画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]图象的简图？
追问：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
预设的师生活动：教师提出问题，引导学生观察图2，并说出他的想法．
预设答案：观察图2，在函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个点（0，0），false，π2，1（π，0），false，3π2，-1（2π，0）在确定图象形状时起关键作用．因此只要描出这五个点，按照正弦函数图象的走势，并用光滑的曲线将之连接就可以画出函数的简图，称之为“五点法”．
设计意图：观察函数图象，概括其特征，获得五点法画图的简便画法．
2．余弦函数的图象
问题6：如何画出余弦函数y＝cos x的图象？
预设的师生活动：学生可能会类比正弦函数图象的画法，提出用类似的方法画余弦函数的图象．对此教师应予以肯定，并进一步提出追问的问题．
追问1：由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对有密切关联的函数．诱导公式表明，余弦函数和正弦函数可以互化．相应的，能否通过对正弦函数图象进行变换得到余弦函数的图象？
预设的师生活动：学生先用排除法观察诱导公式，选择简洁的公式，作为正弦函数、余弦函数关系研究的依据．教师引导学生通过比较进行选择．从数的角度看，可以选择关系：cos x＝sin（x+false）．记f（x）＝sin x，则cos x＝f（x+false）．因此函数y＝cos x的图象，可以看作将函数y＝sin x的图象上的点向左平移false个单位得到．
追问2：你能在两个函数图象上选择一对具体的点，解释这种平移变换吗？
预设的师生活动：这是教学的难点，教师要首先进行示范．教师可以先选择一个具体的点，进行分析，然后上升到对一般点的分析．得到图象之后还可以再利用图象进行验证．
预设答案：设（x0，y0）是函数y＝cos x图象上任意一点，则有y0＝cos x0＝sin（x0+false）．
令x0+false＝t0，则y0＝sin t0，即在函数y＝sin x图象上有对应点（t0，y0）．
比较两个点：（t0，y0）与（x0，y0）．因为x0+false＝t0，即x0＝t0－false．
所以点（x0，y0）可以看做是点（t0，y0）向左平移false个单位得到的．
所以只要将函数y＝sin x图象上的点向左平移false个单位即可得到函数y＝cos x的图象，如图3所示：
图3
教师指出，余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫做余弦曲线（cosine curve）．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪形”曲线．
设计意图：利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象获得余弦函数图象．增强对两个函数图象之间的联系性的认识．
问题7：类似于用“五点法”作正弦函数图象，如何做出余弦函数的简图？
追问：余弦函数在区间[－π，π]上相应的五个关键点是哪些？请将它们的坐标填入下表，然后作出y＝cos x，x∈[－π，π]的简图．
x
cos x
预设的师生活动：
预设答案：
设计意图：观察余弦函数图象，掌握其特征，获得“五点法”．
例1 先用五点法画出下列函数的图象，然后再说明如何经过图象变换得到下列函数的图象：
（1）y＝1+sin x，x∈［0，2π］；　　（2）y＝－cos x，x∈［0，2π］．
预设的师生活动：学生先独立完成，之后就解题思路和结果进行展示交流，教师点评并给出规范的解答．
预设答案：
（1）按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来．
将函数y＝sin x，x∈［0，2π］的图象向上平移一个单位长度可得；
（2）按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来．
将函数y＝cos x，x∈［0，2π］的图象关于x轴对称可得．
设计意图：巩固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握，熟练“五点法”画图，提高画图的基本技能．通过分析图象变换，深化对函数图象关系的理解，并为后续的学习做好铺垫．
（三）布置作业
1．教科书P200练习第3，4题；
2．教科书习题5.4第1题．
（四）目标检测设计
教科书第200页练习第2题．
设计意图：考查学生对正弦函数、余弦函数图象的基本特征的掌握程度，是否会利用“五点法”作图．