5.4.3正切函数的性质与图象 教案（Word）

《5.4.3 正切函数的性质与图象》教学设计
教学目标
1．经历先利用诱导公式、正切函数的定义研究正切函数的部分性质，然后根据性质与定义画图，再依据图象研究其它性质的过程，发展逻辑推理素养．
2．初步理解和掌握正切函数的图象与性质，并通过初步应用正切函数的性质，发展数学运算素养．
教学重难点
教学重点：正切函数的性质与图象，研究函数图象与性质的一般思路和方法．
教学难点：正切函数图象．
课前准备
PPT课件．
教学过程
（一）整体感知
引导语：前面我们研究了正弦、余弦函数的图象与性质，接下来我们研究正切函数．
1．研究思路
问题1：（1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？
（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？
预设的师生活动：师生交流，整理出可能的研究思路．
预设答案：可以有两种思路．思路1，按照正余弦函数图象与性质的研究思路，先描点画图，得到图象，根据图象观察获得性质，再证明．思路2，也可以换一种研究思路，即先从数的角度出发，利用函数解析式分析其性质，然后再根据性质画图，之后再观察图象得到更多的性质．
追问：我们选择思路2进行研究．结合研究正弦函数、余弦函数图象与性质的经验，你觉得应该先研究哪个性质？
预设的答案：先研究周期性，再研究奇偶性．
设计意图：规划思路，整体把握，有序研究，在“森林”里研究“树木”．
（二）新知探究
2．周期性和奇偶性
问题2：类比正弦函数周期得出过程，判断正切函数是周期函数吗？如何求正切函数的周期？
预设的师生活动：先让学生独立思考，然后交流．
预设答案：由诱导公式tan（x＋π）＝tan x，x∈R，且x≠false＋kπ，k∈Z．
根据周期函数的定义及周期的定义可知：正切函数是周期函数，并且周期是π．
问题3：你能用简洁的办法判断正切函数的奇偶性吗？请你试一试．
预设的师生活动：学生可以独立完成，之后互相核对、规范过程．
预设答案：由诱导公式tan（－x）＝－tan x，x∈R，且x≠false＋kπ，k∈Z．
可知：正切函数是奇函数．
问题4：你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？据此确定的研究方案是什么？可以类比正弦函数性质的研究进行思考．
预设的师生活动：学生可以独立完成，交流之后进一步确定后续的研究路径．
预设答案：根据正切函数的周期性，只要研究正切函数在一个周期，比如区间（－false，false）内的图象与性质即可．再根据正切函数的奇偶性，只要研究正切函数在半个周期，比如区间[0，false）内的图象与性质即可．
因此接下来的研究方案是：先考察函数y＝tan x，x∈[0，false）的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展．
3．正切函数的图象
问题5：如何画出函数y＝tan x，x∈[0，false）的图象呢？
图1
追问1：画函数图象的基本方法是描点法，画正弦函数图象是根据正弦函数定义的几何意义，用几何描点法画图的．那么正切函数定义的几何意义是什么？画图解释．
预设的师生活动：先让学生画图，根据定义写出tan x，并给出几何解释．
预设答案：如图1所示，设x∈[0，false），在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B（x0，y0）．过点B作x轴的垂线，垂足为M则
tan x＝false＝false．①
追问2：①式虽然解释清楚了正弦函数的几何意义，但利用①式显然是不方便画图的．回想利用正弦函数的几何意义为什么可以方便地描点？据此你将如何优化①式，以方便描出正切函数图象上的点呢？
预设答案：正弦函数的几何意义就是角的终边与单位圆交点的纵坐标，是一条线段，而正切函数的几何意义是两条线段的长度比，因此应该设法优化这个比，使它在数值上也可以表示为一条线段，即让分母中的线段数值上为1．于是得到：
图2
如图2，过点A(1，0)作x轴的垂线与角x的终边交于点T，则
tan x＝false＝false＝false＝AT．②
由②式可知，当x∈[0，false）时，线段AT的长度就是相应角x的正切值．因此可以利用线段AT画出函数y＝tan x，x∈[0，false）的图象．
追问3：请你利用②式，在坐标纸上画出函数y＝tan x，x∈[0，false）的图象．并观察图象有哪些特征？
预设的师生活动：教师提前给学生准备好坐标纸，纸上画着单位圆及坐标系．先让学生在坐标纸上画图，画完图之后观察图象，说出特征．然后教师用课件直观展现函数y＝tan x，x∈[0，false）的图象的特征．特别是通过演示，直观解释“无限逼近直线false”．
预设答案：如图3所示，可以画出函数y＝tan x，x∈[0，false）的图象．
图3
观察图象可知：当x∈[0，false）时，随着x的增大，线段AT的长度也在增大，而且当x趋向于false时，
AT的长度趋向于无穷大．相应地，函数y＝tan x，x∈[0，false）的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线false，但不会与该直线相交．
设计意图：通过一个个追问，帮助学生理解正切函数的几何意义，并利用它画出函数的图象．
问题6：你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？
预设的师生活动：先由学生独立完成，而且学生应该能够完成该问题．之后师生一起再把过程规范条理了．
预设答案：如图4，
第一步，因为正切函数是奇函数，只要画函数y＝tan x，x∈[0，false）图象关于原点的对称图形，就可得到y＝tan x，x∈(－false，0]的图象；
第二步，根据正切函数的周期性，只要把函数y＝tan x，x∈(－false，false）图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数
图4
y＝tan x，x∈R，且x≠false＋kπ，k∈Z的图象，
我们把它叫做正切曲线(tan gent curve)．
观察图象，可以看出：正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x＝false＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．
设计意图：画出函数的图象，并观察图象特征．
4．单调性和值域
问题7：从函数图象与性质研究的基本套路看，还需要研究正切函数的什么性质？观察函数y＝tan x，x∈[0，false）的图象，你得到的结论是什么？
预设的师生活动：先让学生独立完成，再进行展示交流，并予以规范．
预设答案：还需要研究正切函数的单调性与值域．
（1）单调性
观察正切曲线可知，正切函数在-π2，π2上单调递增．
由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间-π2+kπ，π2+kπ(k∈Z)上都单调递增．
（2）值域
当x∈-π2，π2时，tan x在-∞，+∞内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值．
因此，正切函数的值域是实数集R．
5．应用
例1．求函数falseπ2x+π3的定义域、周期及单调区间．
追问：类比正余弦函数图象与性质的应用，求解该题目的思路是什么？
预设答案：通过换元转化为函数y＝tan x的性质问题求解．
解：自变量x的取值应满足π2x＋π3≠kπ＋π2，k∈Z，即x≠2k+13，k∈Z．
所以，函数的定义域是x|x≠2k+13，k∈Z．
设z=false，由tan (z＋π)=tan z，得：tan π2x+π3+π=tan π2x+π3，
即tan π2x+2+π3 =tan π2x+π3．
因为对任意x∈x|x≠2k+13，k∈Z都有
tan π2x+2+π3 =tan π2x+π3，
所以，函数的周期为2．
由-π2＋kπ＜π2x＋π3＜π2＋kπ，k∈Z，解得：
-53＋2k＜x＜13＋2k，k∈Z．
所以，函数在区间-53+2k，13+2k，k∈Z上单调递增．
练习：第213页练习第1，2，5题．
（三）归纳小结
问题7：本节课是按照怎样的研究套路进行的？获得了关于正切函数图像与性质的哪些基本知识、技能？在应用中有哪些经验？
预设的师生活动：学生梳理，师生一起完善．
预设答案：按照函数研究的基本套路确定了研究内容．并采用了新的研究路径：性质——图象——性质．
知道了正切函数的周期、奇偶性、单调性及值域．
会画正切函数的图象．特别是知道了函数图象无限逼近直线x＝false＋kπ，k∈Z．
在利用正切函数求解与例1类似的问题时，要先求定义域．
（四）布置作业
教科书习题5.4第7，8，9，12，13，14，15题．
（五）单元检测设计
求下列函数的定义域、周期和单调区间：
（1）y＝tan 2x；（2）y＝5tanfalse．
预设答案：
（1）定义域：{x|x∈R，且x≠π4+kπ2(k∈Z)}；周期false；
单调递增区间（－π4+kπ2，π4+kπ2）k∈Z；
（2）定义域：{x|x∈R，且x≠(2k+1)π(k∈Z)}；周期2π；
单调递增区间（－π+2kπ，π+2kπ）k∈Z．
设计意图：检测学生对本节课学习到的基本知识的掌握情况．