5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第二课时）教案（Word）

《5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第二课时）》
教学设计
教学目标
经历利用函数图象研究函数性质的过程，掌握正弦函数、余弦函数的性质．
教学重难点
教学重点：正弦函数、余弦函数的单调性、最值等性质．
教学难点：正弦函数、余弦函数单调区间的求法．
课前准备
PPT课件．
教学过程
（一）新知探究
问题1：对于一般的函数，我们一般要研究其哪些性质？观察正弦函数、余弦函数的图象，完成下面的表格．
正弦函数
余弦函数
定义域
值域
图象
周期
奇偶性
对称轴
对称中心
单调递增区间
单调递减区间
最大值点
最小值点
预设的师生活动：教师布置该任务后，学生通过观察图象，进行直观想象，完成上述表格，之后互相交流讨论，进行修改完善，并进行展示交流．注意，在此环节，只是利用图象得出结论，下一环节才从代数的角度分析．
在完成表格时，因为三角函数的周期性和图象的丰富的对称性，学生在猜想并写出单调区间、最值点时可能会产生遗漏，在写出对称轴、对称中心时可能会有疑惑．对此，在学生展示交流过程中，教师可以通过如下追问促进学生的思考，帮助他们理解，并借助信息技术，引导学生进行直观想象．
追问1：如何理解点（π，0）也是正弦函数y＝sin x的对称中心？如何理解直线x＝π2是正弦函数y＝sin x的对称轴？
追问2：逐一列举正弦函数y＝sin x的单调递增区间，它们与区间[－π2，π2]之间有怎样的关系？
预设答案：
正弦函数
余弦函数
定义域
R
R
值域
[-1，1]
[-1，1]
图象
周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
对称轴
x=π2+kπ，k∈Z
x=kπ，k∈Z
对称中心
kπ，0，k∈Z
π2+kπ，0，k∈Z
单调递增区间
[-π2+2kπ，π2+2kπ]，k∈Z
[(2k-1)π，2kπ]，k∈Z
单调递减区间
[π2+2kπ，3π2+2kπ]，k∈Z
[2kπ，(2k+1)π]，k∈Z
最大值点
x=π2+2kπ，k∈Z
x=2kπ，k∈Z
最小值点
x=-π2+2kπ，k∈Z
x=(2k-1)π，k∈Z
设计意图：按照已有的研究方案，落实函数研究的方法和程序．培养学生运用类比、对比的方法，并根据图象进行合理猜想，直观感知研究对象的意识和能力．
问题2：教科书分别选择了哪个区间研究正弦函数、余弦函数的单调性？为什么？
预设的师生活动：教师布置任务后，学生阅读教科书，回答问题．
预设答案：正弦、余弦函数选择的区间分别为[-π2，3π2]、[-π，π]，这两个区间距离原点最近，我们相对更熟悉一点．
设计意图：引导学生阅读教科书，重视教科书，在直观感知的基础上系统、规范地认知函数的性质，并获得精准规范的表达，培养思维的严谨性．
例1 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．
（1）y＝cos x+1，x∈R；
（2）y＝－3sin 2x，x∈R．
追问：如何转化为你熟悉的函数求解？
师生活动：学生先独立完成，之后就解题思路和结果进行展示交流，教师及时予以明确换元法及其重要作用．
预设答案：解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．
（1）使函数y＝cos x+1，x∈R取得最大值的x的集合 ，就是使函数y＝cos x，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝；
使函数y＝cos x+1，x∈R取得最小值的x的集合 ，就是使函数y＝cos x，x∈R取得最小值的x的集合｛x｜x＝2kπ+π，k∈Z｝；
函数y＝cos x+1，x∈R的最大值是1＋1＝2；最小值是－1＋1＝0．
（2）令z＝2x，使函数y＝－3sin 2x，x∈R取得最大值的x的集合，就是使y＝sin z，z∈R取得最小值的z的集合｛z｜z＝－false＋2kπ，k∈Z｝．
由2x＝z＝－false＋2kπ，得x＝－false＋kπ．所以，y＝－3sin 2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝－false＋kπ，k∈Z｝．
同理，使函数y＝－3sin 2x，x∈R取得最小值的x的集合是｛x｜x＝false＋kπ，k∈Z｝．
函数y＝－3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3．
设计意图：巩固对最值概念的理解，初步感受换元法在求解三角函数问题中的作用．
例2 不通过求值，比较下列各数的大小：
（1）sin（－false）与sin（－false）；
（2）cos（－false）与cos（－false）．
追问：比较大小的依据是什么？
预设的师生活动：学生独立完成，教师进行指导．本例中，对于（1），可直接应用函数的单调性求解；对于（2），首先要将所给的角化简，使之位于同一个单调区间内，即转化为第（1）题之后求解．
预设答案：解：（1）因为－false＜－false＜－false＜0，
正弦函数y＝sin x在区间[－false，0]上单调递增，所以sin（－false）＜sin（－false）．
（2）cos（－false）=cosfalse=cosfalse，cos（－false）=cosfalse=cosfalse，
且余弦函数在区间［0，π］上单调递减，
所以cosfalse＞cosfalse，即cos（－false）＞cos（－false）．
你能借助单位圆直观地比较上述两对函数值的大小吗？试一试．
设计意图：初步应用函数的单调性解决比较大小的问题．
例3 求函数y＝sinfalse，x∈[－2π，2π]的单调递增区间．
追问：如何转化为熟悉的函数求解？
师生活动：师生共同分析此问题，然后共同完成求解．
预设答案：通过换元转化为熟悉的函数单调性问题，然后求解．
令z＝false，x∈[－2π，2π]，则z∈false．
因为y＝sin z，z∈false的单调递增区间是z∈false，
且由false≤false≤false得false≤x≤false，
所以，函数y＝sinfalse，x∈[－2π，2π]12x+π3的单调递增区间是false．
变式：求函数y＝sinfalse，x∈[－2π，2π]的单调递增区间．
预设的师生活动：学生独立完成．对于变式问题，会有一部分学生出错，教师要引导学生将正确和错误解答进行对比分析．
预设答案：令z＝sinfalse，x∈[－2π，2π]，则z∈false．
因为y＝sin z，z∈false的单调递减区间是z∈false或false，
且由false≤false≤false或false≤false≤false得false≤x≤2π或－2π≤x≤false，
所以，函数y＝sinfalse，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是false，false．
设计意图：类比例3求解，进一步熟练换元转化的思想方法．通过变换自变量系数的符号，提高学生思维的深刻性，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
（二）归纳小结
问题3：教师引导学生回顾本单元的学习内容，回答下面的问题：
（1）正弦函数、余弦函数的图象是什么形状？它们具有什么性质？请结合一个具体的函数谈一谈．
（2）对于正弦函数，我们是如何绘制出它的图象的？又是如何研究它的性质的？余弦函数呢？
（3）通过本节课的学习，你对正弦函数、余弦函数有了哪些新的认识？对于如何研究一个函数又有了哪些新的体会？
设计意图：通过小结，复习巩固本单元所学的知识，加深对正弦函数、余弦函数的理解．通过对本单元研究过程的总结，体会研究正弦函数、余弦函数性质的方法，进一步体会研究函数的一般思路和方法．
（三）拓展研究
问题4：三角函数的定义是利用单位圆给出的，你能利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质吗？请将你的研究方案和研究报告写下来．
设计意图：让学生换一个角度认识正弦函数、余弦函数的性质，提升其理解的深刻性．同时开放学生的思维，通过探索发现提升学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力．
（四）布置作业
教科书习题5.4第4，5，6，10，11，12，16，19题．
（五）目标检测设计
教科书第207页练习第2，3题．
设计意图：考查学生对函数最值、单调性的理解．