如皋市2020～2021学年度高二年级第一学期教学质量调研(一)
数
学
试
题
1、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
抛物线的准线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
2．
已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率
为（
）
A．
B．
C．
D．
3．
已知椭圆上一点到其左焦点的距离为，则点到右准线的距离为（
）
A．4
B．6
C．8
D．12
4．
已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则的值
为（
）
A．
B．
C．
D．
5．
设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．
为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的，两点为平行四边形一组相对的顶点，当平行四边形的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为（
）
A．
B．
C．
D．
7．
已知椭圆，过点(4，0)的直线交椭圆于，两点．若中点坐标为，则椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
8．
已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，该圆与双曲线在第一象限的交点为，则（
）
A．
B．
C．
D．
2、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．
已知双曲线，则不因改变而变化的是（
）
A．渐近线方程
B．顶点坐标
C．离心率
D．焦距
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，若，则双曲线的离心率可能为（
）
A．
B．
C．
D．
11．设，为椭圆的左、右焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．点的横坐标为
D．
12．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（
）
A．点的坐标为
B．若,,三点共线，则
C．若直线与的斜率之积为，则直线过点
D．若，则的中点到轴距离的最小值为
3、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．当时，方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围
为
▲
．
14．设椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点．在中，若有两边之和为，则第三边的长度为
▲
．
15．双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，，直线交双曲线的另一支于点，，则双曲线的离心率
是
▲
．
16．已知是抛物线的焦点，，为抛物线上任意一点，的最小值为3，则
▲
；若过的直线交抛物线于,两点，有，
则
▲
．
4、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知抛物线的焦点为，是上一点，且在第一象限，满足．
（1）求点的坐标和抛物线的方程；
（2）已知过点的直线与有且只有一个公共点，求直线的方程．
18．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，的中心与的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于,两点，交于,两点．
（1）求的值；
（2）设为与的公共点，若，求与的标准方程．
19．（本小题满分12分）
设椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆上的点到焦点距离的最大值为．
（1）求椭圆的方程;
（2）动直线与交于，两点，已知，
且,求证：直线恒过定点．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的左顶点为，右焦点，斜率为的直线与交于，两点．
（1）当直线过原点时，满足直线，斜率和为，求弦长；
（2）当直线过点时，满足直线，斜率和为，求实数的值．
21．（本小题满分12分）
已知双曲线的实轴长为，为右焦点，，，且为等边三角形．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与的左右两支分别交于、两点，求面积的取值
范围．
22．（本小题满分12分）
已知点为抛物线的焦点，直线与抛物线相交于两点，抛物线在两点处的切线交于．
（1）求证：三点的纵坐标成等差数列；
（2）若，其中为定值，求证：△的面积的最大值为．高二数学参考答案
单选
多选
填空题
(1)焦点坐标
为
分
解
所
标为(2,4√2),抛物线的方程为
4分
2)当直线l的斜率不
与抛物线有两个交
舍
直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k
方程,消去x
线l:y=42与抛物线只有一个交点
分
≠0,则△=256-4k(-32k+6√2)=0解得
综上:直线l的方程为y
分
(1)因为椭圆C的离心率为,所以设其方程为
F(
以AB=3c
又抛物线C2
椭圆C的右焦点F(
设其方程为
±2c,所以
解
所
因为OM
分
椭圆方程为
抛物线方程
4
9.(1)设椭圆方程为
(a>b>0),焦距为
又题意可得
分
又
以椭圆方程为
Δ
得
MAM
2(x+x2)+4=(91+m)(02+m)-2[1(y+y2)
(
分
解
所
线l恒过定点
分
0.(1)椭圆方
分
因为
入椭圆方程得
所
分
43消去y得
k
2x
△>0恒成
得
k(x-A(-12=一k又k≠0
得
)设焦距为2
),且△MNF为等边三角形
所
所以
所以双曲线方程为
当直线l的斜率不存
线与双曲线没有交点
当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k
消去y得到
设P(
Q(x2,y2)
因为直线/与E的左右两支分别交于两点,所以
解得
(或由双曲线的渐近线方程为
今t
因为
单调递增,所以当
最小为4
分
明:抛物线方程为
设424,x1),由题意可知切线的斜率一定存在,设
消去x得,k2-4
因为直线与抛物线相切,所以Δ=0解得
分
切线方程为y
理设
条切线方程为
分
将①②联立方程组,解得
所以A、M.B三点的纵坐标成等差数列
6分
(2)取AB的中点Q,连接MQ,过M点作MN
垂足为
设直线AB的方程为x
t(由题意
所
