方程的根与函数的零点

(共17张PPT)
课件大赛参赛课件
问题1：求下列方程的根．
1. 4x-5=0
2. x2-2x-15=0
3. 3x5+6x-1=0
课题引入
方程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
函
数
的
图
象
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2－2x－3=0
x
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
y
x
0
－1
2
1
1
2
问题2 填写下面表格，请思考,方程的根和函数图象与x轴交点的横坐标的关系，你能得出什么结论？
y= x2－2x+1
y= x2－2x－3
y= x2－2x+3
方程的实数根
无实数根
对应的函数
函数图像
与x轴的交点
问题探究
(简图)
问题3 若将上面特殊情形推广到一般情形，那么上述结论是否仍然成立？
ax2+bx+c=0(a>0)
△＞0
△=0
△＜0
函数的图象（简图）
方程的根
图象与x轴的交点
(x1,0)
(x2,0)
(x1,0)
没有交点
两个不相等
的实数根
x1 、x2
有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
对于函数y=f(x), 叫做函数
y=f(x)的零点。
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
函数的零点定义：
等价关系
使f(x)=0的实数x
零点是“点”吗？
例1：求函数f（x）=x2-2x-8，x∈[-3,5]的零点
求函数零点的步骤：
(1)令f(x)=0;
(2)解方程f(x)=0；
(3)写出零点
想一想：
（1）函数y＝f(x)在某个区间上是否 一定存在零点？
（2）什么条件下，函数y＝f(x)一定存在零点？
（Ⅱ）观察函数的图象
① f(a).f(b)_____0（＜或＞）．
在区间(a,b)上______(有/无)零点；
② f(b).f(c) _____ 0（＜或＞）．
在区间(b,c)上______(有/无)零点；
③ f(c).f(d) _____ 0（＜或＞）．
在区间(c,d)上______(有/无)零点；
1. y=x2-2x-8
3. y=x3-2
2. y=-3x+4
＞
x
＞
y
＞
x
＞
x
＞
x
＞
y
＞
y
＞
y
0
0
0
0
X+3 X≥0
X-1 X＜0
4.f(x)=
x
5.f(x)=
1 x ≥0
-3 x＜0
y
y
x
x
＞
＞
0
6.f(x)=
x3+2 x ≥0
x3-2 x＜0
＞
＞
x
y
0
0
y
x
0
y
x
0
y
x
形成结论：
x
y
0
思考：若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，则一
定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？
x
y
0
想一想：
在怎样的条件下，可以确定零点的个数以及零点的个数是唯一的呢？
1. y=x2-2x-8
4. y=x3-2
3. y=-3x+4
＞
x
＞
y
＞
x
＞
＞
y
＞
y
0
0
0
x
0
＞
x
＞
y
2. y=x3+4x2-5
如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数值的符号互异,即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数，那么，这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点。
形成结论：
由表和图像可知：
f(0)<0,f(1)>0，
即f(0)·f(1)<0，
说明这个函数在区间(0,1)内
有零点。
由于函数f(x)在定义域
(-∞,+∞)内是增函数，所以
它仅有一个零点。
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象
例题 2 求函数f(x)=3x5+6x-1的零点个数。
x
f(x)
-2
-1
0
1
2
107
8
-1
-10
-109
0
y
x
1
小结:
1．函数零点的定义
2．等价关系
3．函数的零点或相应方程的
根的存在性以及个数的判断
再见