苏科版八年级上册数学 1.3.6探索三角形全等的条件 HL 教案

11.3探索三角形全等的条件HL

学习目标
⒈理解“HL”的条件，并运用“HL”判别两个直角三角形全等；
⒉了解特殊与一般的关系，培养辩证的思维方法；
⒊要求学生学会文字语言、符号语言和图形语言的表达和相互转化．
此外，通过多种说理形式的训练，让学生选择自己喜欢的表达方式进行说理．
学习难点
理解“HL”的条件，并运用“HL”判别两个直角三角形全等
教学过程
㈠设置情景，探索问题
教材中提供了情境，让学生思考，直角三角形全等的条件有哪些？一方面可以复习前面所学过的各种判定方法，另一方面也提出了一个新的问题：“AAA”显然不能作为直角三角形全等的条件，那么满足“SSA”条件的两个直角三角形是否全等呢？自然引发学生进行操作和讨论．
根据教学实际，我们还可以设计其它情境．
情境1：试用尺规作出满足下列条件的三角形．
⑴∠B=30°，AB=5cm，AC=3cm；（追问：所作的三角形为什么不一定全等？）
⑵∠B=30°，AB=5cm，AC=2.5cm；（追问：所作的三角形全等吗？）
对于这个情境，我们可以与学生一道进行如下探索：
⑴如图11.3-5-1，对于非直角三角形，满足条件的三角形有两个△ABC1和△ABC2，它们不全等是显然的，因为△ABC2比△ABC1多出了部分，这部分就是等腰△AC1 C2；其实我们还可以由∠AC2B是锐角而∠AC1B是钝角作出判断．
⑵对上述图形，如果逐渐减小AC的长度，我们会发现C1 C2的长度也随之减小，△AC1 C2随之变得越来越“窄”（高不变），如图11.3-5-2，我们可以想像，当AC的长度减小到某一个值时，C1 C2褪化为一点，这时AC1 和AC2都与高AD重合， 即△ABC2和△ABC1都是直角三角形，且△ABC2≌△ABC1．其实我们仍然可以从∠AC2B和∠AC1B都是直角作出判断．
情境2：先准备一张等腰三角形纸片ABC（AB=AC），将它沿底边上的高AD对折．让学生猜测：高两侧的部分能否完全重合？(如图11.3-5-3)为什么？
这里，让学生经历操作过程，感知其中的现象，并形成定向的数学思考．
情境3：两个直角三角形全等的条件有哪些？与你的同伴交流交流．
这个活动既是方法回顾的过程，又是质疑和辨别的过程，同时，也为“HL”的引入提供了自然的情境．
问题1：“SSA”和“AAA”不能作为三角形全等的判定，你能举出反例吗？
让学生进入理性思考阶段．
问题2：既然直角三角形是特殊的三角形，那么它是否也有特殊的全等条件呢？
情境4：动手操作．
在操作时可以提醒学生注意：
⑴所作图形须符合“SSA”的条件；
⑵工具选择要合理；
⑶尽量减少作图中的人为误差．
问题：你发现了什么？
对两个直角三角形，除直角外，如果斜边和一条直角对应相等，那么这两个直角三角形全等．
这个结论是一个特殊的直角三角形全等的条件，简写为“斜边、直角边”或“HL”．
说明:⑴通过折纸，激发学生进行数学思考，进一步加深对“HL”的理解；
⑵如何正确进行文字语言、符号语言和图形语言的相互转化．
例题设计
⒈教材P.119例4．关于例题教学的建议：
⑴用“HL”的首要条件是在两个直角三角形中；
⑵让学生辨清所用全等的条件究竟是“HL”还是“SAS”；
⑶如果设AD、BC的交点为E，那么在图中，你还能得到哪对全等三角形？试说明理由；
⑷如果对图形作适当的变式(如图11.3-5-4)，结论是否仍然成立？
⒉如图11.3-5-5，AC=AD，∠C=∠D=90°.
⑴试说明：AB是∠DBC的平分线.
⑵如果连结DC，你有什么新的发现？
说明：本题主要引导学生如何形成用“HL”的意识；连结DC后，我们可以得到更多的全等三角形，可以让学生在不同的情景下合理选择全等三角形的条件．
⒊如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D.AC与BD相交于点E.试问：当图中哪两条线段相等时，△ABC≌△BAD？
说明：
⑴本题的用意在于，让学生理解两个直角三角形全等的条件不一定都是“HL”，要根据已有的条件确定选用哪种方法最合适；
⑵这一个条件可以是下列中的任意一个：
①AD=BC；②AC=BD；③DE=CE；④EA=EB；
⑶本题还可以进一步追问：如果所问的条件不限“两条线段相等”，那么你又能确定哪些条件呢？
【课后作业】
班级 姓名 学号
1．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有 对全等三角形．

（第1题图） （第2题图）
2．如图，△ABC≌△ADE，则，AB= ，∠E=∠ ．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= 　 °．
3．把两根钢条AA?、BB?的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）， 如图， 若测得AB=5厘米，则槽宽为 米．

（第3题图） （第4题图） （第6题图）
4．如图，∠A=∠D，AB=CD，则△ ≌△ ，根据是 ．
5．如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90，若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 或 ； 若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 ，或
6．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，则______≌______。依据是______,BD＝______,∠BAD=______.
7.如图，已知AB=AC，AD=AE，BE与CD相交于O，ΔABE与ΔACD全等吗？说明你的理由。（6分）
8．如图，已知∠ACB＝∠BD＝90°，若要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来。
9.已知：如图，AD⊥DB，BC⊥CA，AC、BD相交于点O，且AC=BD.
⑴试说明：OD=OC．
(本题目的在于让学生在较为复杂的图形中发现“HL”的条件，并能用“HL”解决简单的问题)
⑵在图中，你还能得到哪些结论？
10.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D为底边BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
⑴要得到DE=DF，点D应该满足什么条件？请说明理由．
⑵在⑴的条件下，试探究直线AD上任意一点P所具有的特征，并说明理由．
说明：其实，本题是在课堂练习⑶的基础上，对角平分线的条件是性质进行进一步探究．⑴中的条件可以是下列中的任意一个：
AE=AF（“HL”）、BD=CD（“AAS”）、BE=CF（“ASA”）、∠DAE=∠DAF（“AAS”）、∠ADE=∠ADF（“ASA”）等．⑵中直线AD上任意一点P所具有的特征是“点P到AB、AC边的距离相等”．（也可以说“点P到点B、点C的距离相等”）