苏科版八年级上册数学 3.1勾股定理 教案

《勾股定理》教学设计
课题：苏教版数学八年级上3.1《勾股定理》
教材简介：
这节课是九年制义务教育课程标准教科书（苏教版），八年级第三章第一节“勾股定理”第一课时。勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一。它揭示了三角形三条边之间的数量关系，主要用于解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，同时在实际生活中具有广泛的用涂。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际操作，拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系比较、探索、归纳，帮助学生理解勾股定理，以利于进行正确的应用。
目标预设：
1.理解并掌握勾股定理的内容和证明，能够灵活运用勾股定理及其运算；
2．让学生经历从数到形再由形到数的转化过程，经历探求三个正方形面积间的关系转化为三边数量关系的过程；并从过程中让学生体会数形结合思想，发展将未知转化为已知，由特殊推测一般的合情推理能力；
3．让学生经历拼图实验、计算面积的过程，在过程中养成独立思考、合作交流的学习习惯。
重点、难点：
教学重点：勾股定理的证明与运用。
教学难点：用面积法证明勾股定理。
设计理念：
“数学源于生活，有用于生活”是本章书所体现的主要思想。创设生动、启发性的问题情景，激发学生的问题冲突，让学生在感到“有趣”、“有意思”的状态下进入学习过程；充分让自己动手操作，大胆猜想数学问题的结论，老师是整个活动的组织者，更是一位参入者，学生之间相互交流、协作，从而形成生动的课堂环境；实行“小组合作制”，各小组中自己推荐一人担任“发言人”，一人担任“书记员”，在讨论结束后，由小组的“发言人”汇报本小组的讨论结果，并可上台利用“多媒体视频展示台”展示本组的优秀作品，其他小组给予评价。这样既保证讨论的有效性，也调动了学生的学习积极性。
设计思路：
为了使学生能更好的认识勾股定理，我通过“做”数学引导学生进行探索活动，例如，本节课设计了2个活动：1.在小方格纸中，已知分别以直角边为3、4的直角三角形的三边为一边作正方形，试计算斜边的长度；2.通过拼图表示所得大正方形的面积，然后探索直角三角形三边的数量关系。为了使学生能更好地认识勾股定理，本节课力求呈现够勾股定理的两种证法，引导学生感悟这个定理的发现、证明中蕴涵的数学文化以及丰富的数学思想，以突出勾股定理在数学发展中的重要地位。
教学过程：
（一）创设情境，导入新课
问题：已知三角形的两边长为3和4，第三边确定吗？有什么范围呢？
教师用教具展示固定两边，夹角改变，第三边也随之改变；当夹角确定时第三边也被确定。那么当夹角是特殊角直角时第三边是多少呢？
【设计意图】由判定三角形全等的条件SAS知第三边是可求的，并且由一般到特殊也符合学生的认知。
（二）观察演算，合作探究，初具概念
实验1：将刚刚的直角三角形放入方格纸中，如图所示，分别以三边向外作正方形。如何求得第三边的长度？
学生借助手头的学案，学生个体或学生间观察交流探究，通过割或补的方法求得正方形R的面积，从而得到第三边的长度，ppt课件同步演示。
【设计意图】首先，利用方格纸降低了学生探究的难度，让每个学生都可做，可得；其次得到三个正方形面积间的关系而得到直角三角形三边之间的关系；再者学生初步具有了勾股定理的雏形，即在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。且已知的两边长与上面的情境相吻合。
（三）引导实验，探究论证，形成体系
实验2：用4块全等的直角三角形拼图，使外围形成一个正方形.
教师利用ppt课件展示，提出问题；学生利用课前准备的四个全等的直角三角形纸片自己进一步探究，交流；猜测验证。教师用ppt课件演示拼凑过程，精讲强调面积的无缝、不重叠拼接得到面积相等。
教师关注学生之间的交流，关注学生借助面积法探究问题的不同解法，选取代表性的方法演示。学生个体或小组探究、交流。
视学生的学习情况确定下步的教学：
方案1：学生能够用面积分割法如图一或用面积补全法如图二的方法验证了结论，则直接进行下一步的教学。
方案2：学生不能够得到，探究学习有困难，则教师借助ppt课件演示，精讲点拨面积的割补法，对命题进行验证。
【设计意图】问题更深一层次，调动学生高涨的探究热情，且有了刚刚割补两种方法求面积的方法的图形直观，学生也教容易地拼出图形。同时摆脱了方格图中正整数的约束，有效的渗透了由特殊到一般的数学思想。
问题：假设直角三角形的两条直角边是a和b，斜边为c，用含有a、b、c的代数式表示正方形的面积.得到什么结论？
【设计意图】教无定法，视学定教；学生是学习的主人，教师是学生学习的合作者。学生亲自画图，演算，利于对结论的理解。亲身感受知识的产生、形成，初步体会面积法；再次了解勾股定理。培养学生的动手探究能力，养成严谨的学习习惯；学会交流，达到知识、方法共享，体验合作的乐趣、合作的成功。
问题：通过我们大家一起的实验，你得到任意直角三角形的三边之间有什么关系吗？试用语言描述。
学生描述，教师板书。出示三种语言表达。
【设计意图】加深对勾股定理内容的叙述、理解，达成目标。体会数学观察---探究---整理----归纳的数学方法，体验学习的成功。
问题：我们已经对直角三角形三边之间关系有了充分的认识。刚刚我们只是稍作论证，其实有许多古人对该命题进行了多种严谨的论证。课后有兴趣的学生可以再行研究。
【设计意图】感受我国数学知识的悠久历史，唤起爱国精神，启发学习数学的兴趣。
（四）巩固练习，夯实基础
1.求下列图中字母所表示的正方形的面积

2．求下列直角三角形中未知边的长：

3.在Rt△ABC中,
(1)若∠A=90°，BC=10,AB=8,则AC =_________
(2)若∠B=90°，AC=25,CB=15,则AB =_________
(3)若∠C=90°，BA=13,AC=12,则CB=
4.一个零件的形状如图所示，已知∠A＝∠CBD＝90°，AC＝3 cm，AB＝4 cm，BD＝12 cm，求CD的长．
【设计意图】这几题均针对勾股定理的直接运用。提高学生对新知识的理解、运用。巩固目标。第1题主要考察三个正方形面积之间的关系，这也是得到勾股定理最直观的图形反映；第2题仍然是图形中给出两边，直接利用勾股定理求得第三边，已知两边可以来那个条直角边，亦可以一条直角边一条斜边；第3题没有图形呈现，要学生根据文字先画出对应的图形，关键判断清楚哪两边为直角边，哪边为斜边；第4题是勾股定理简单的实际问题运用，体现出数学服务于生活。
（五）归纳提高，巩固运用，形成能力
问题：我们这节课研究的勾股定理是对什么的研究？它侧重是研究直角三角形的什么关系？以前学习直角三角形的哪些知识？
学生回忆，发言。学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法及评价学生在课堂上的表现对学生进行思想教育。
教师强调：勾股定理的前提条件是直角三角形，也就是说其他的三角形是不具备的，但要解决其他三角形的计算问题，我们要借助辅助线（特别是高线）把它转化为直角三角形。教师板书。
【设计意图】更新知识系统，逐渐完善知识脉络，提高分析问题解决问题的能力。并且也为下节课的教学内容铺垫。教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对直角三角形有一个整体全面认识，同时感受数形结合的数学思想。