5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第一课时） 教案（Word）

《5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
（第一课时）》教学设计
教学目标
1．经历探索两角差余弦公式的过程，发展学生逻辑推理素养．
2．掌握公式false，初步体会公式false的意义，发展学生逻辑推理、数学运算素养．
教学重难点
教学重点：经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义．
教学难点：发现差角余弦公式与圆的旋转对称性间的联系．
课前准备
PPT课件．
教学过程
（一）整体感知
引导语：本节我们主要的研究内容是：三角恒等变换，即在不改变含有三角函数的式子的值的前提下，对式子变形．三角恒等变形在求值、化简、证明中有着十分广泛的应用．之前我们学习过的同角三角关系和诱导公式，都是三角恒等变换的重要工具．今天我们在此基础上学习新的恒等变换公式．
问题1：我们之前学习过诱导公式，它们的共同点是，等号左侧都是一个终边落在坐标轴上的特殊角与一个任意角的和或差，现在，我们希望将它们一般化，得到新的公式．你认为新公式应具备怎样的特点？
预设的师生活动：学生思考并回答，教师进行引导并排除不合理的回答．
预设答案：新公式应该含有两个任意角的和或差．
设计意图：对诱导公式进行梳理归纳，引出任意两个角的和与差，为后续的学习和研究指明方向．同时，指明了诱导公式与即将研究的和角、差角公式之间是特殊与一般的关系．
问题2：之前我们利用圆的对称性证明了诱导公式，你还记得当时我们证明诱导公式的思路和步骤吗？
预设的师生活动：学生回顾并回答，教师可酌情引导学生复习回顾．
预设答案：第一步，从“形”的角度出发，找到相互对称的两个角的终边关系；第二步，从“数”的角度考虑，写出单位圆上相互对称的的点的坐标；第三步，“数形”融合，将前两步的结果整合，得出结论．
设计意图：回顾诱导公式的证明思路，可供随后探究差角余弦公式时参考借鉴．
（二）新知探究
问题3：先前我们在单位圆中利用圆的对称性推导出诱导公式，下面我们继续借助单位圆，采用同样的思路研究含有两个任意角false的三角恒等变形公式．首先，我们考虑两个任意角终边不重合时的情形．如果已知任意角false的正弦、余弦，那么false与它们有什么关系呢？
设计意图：这个问题直接指向本课时的核心内容，但学生暂时难以解答，故通过以下追问引导学生逐步接近答案．
追问1：首先我们从“形”的角度出发，你认为该问题中涉及到的基本角有哪些？请你将它们连同单位圆一起画在坐标系中，将重要的点标注出来，并观察图形，你能发现哪些可能有用的等量关系．
预设答案：基本角为false，重要的点包括三个角的终边与单位圆的交点(依次记为false)，始边与单位圆的交点false．可能有用的等量关系是false．
师生活动：学生按照要求作图，并寻找等量关系，若寻找时遇到困难，教师演示动态几何图形，帮助并引导学生发现false，或找多名同学展示他们作出的图形，让学生们根据多幅图形寻找共同规律．此外，学生可能在此环节得到其它“没用”的等量关系，教师亦可收集起来，与学生们探讨其是否“有用”，最终将其它“没用”的等量关系剔除掉．
设计意图：引导学生发现导出公式false的关键步骤：false．
追问2：你能证明这个等量关系吗？
预设的师生活动：教师演示动态图形，验证猜想的正确性不会随着角false终边位置的改变而改变．学生通过思考或交流，完成证明．如果必要的话，教师可以简单介绍圆的各种对称性(包括圆的旋转对称性在内)作为提示．
预设答案：可以借助圆的旋转对称性证明false，进而得到false；可以借助圆的旋转对称性证明三角形false与三角形false全等，进而得到false；或者直接利用圆的旋转对称性证明线段false端点在旋转后分别与false重合，从而false．
设计意图：引导学生借助圆的旋转对称性完成关键步骤false的证明．
追问3：接下来，我们从“数”的角度考虑，你能写出刚刚得到的几何等量关系式中出现过的点的坐标吗？
预设的师生活动：学生按照要求写出坐标，教师演示动态图形，指出各点的坐标不会随着false终边位置的变化而变化．
预设答案：false，false，false，false．
设计意图：参照先前发现并证明诱导公式的思路，按部就班地进行操作．同时也在为将来学习平面解析几何提供预备性体验．
追问4：已知平面直角坐标系任意两点false，false，则点false之间的距离false．请你借助以上“两点间的距离公式”，融合以上“形”与“数”的探究，你能得到什么结论？
预设的师生活动：教师可运用勾股定理对距离公式进行简单的推导．学生综合各方面信息进行演算，教师可指派若干学生对其结果进行交流展示．
预设答案：根据两点间距离公式，结合false，有
false，
整理得false (*)．
设计意图：通过一系列追问作为引导，彻底完成问题2的解答．
问题4：如果两个任意角终边重合，上述结论成立吗？
预设答案：当false终边重合时，false，此时等式(*)左侧false，右侧false，两侧的值相等，因此上述结论仍然成立．
设计意图：完成公式另一种情况的论证，在这个过程中，也体现了分类与整合的数学思想，有利于培养学生严谨的思维习惯．
教师讲解：综合问题3与问题4的结果，可知false对任意角false均成立．此公式给出了任意角false的正弦、余弦与其差角false的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作false．
例1 证明：
（1）false； （2）false；
（3）false； （4）false．
预设的师生活动：可以叫四位同学上黑板做，然后教师点评．
预设答案：
证明：（1）将公式false中的false分别替换为false，
得false；
（2）将公式false中的false分别替换为false，
得false；
（3）将公式false中的false分别替换为false，
得false；
（4）将公式false中的false分别替换为false，
得false．
设计意图：（1）（2）为公式false的直接套用，可加强学生对公式的熟悉程度；（3）只需将false看作false即可；（4）需将公式false中的false分别替换为false，这为下一课时中公式false的证明做好铺垫．以上诱导公式虽在之前已经证明，但在此由公式false为出发点再次进行推证原因有二：一是新证法更加简捷明了，二是凸显出公式false的重要意义．
问题5：结合例1可见，两角差的余弦公式中，含有两个任意角，这与我们之前学习的诱导公式(含有一个任意角和一个特殊角)相比，具有更高的自由度．由此你能解读诱导公式与公式false之间的关系吗？试一试．
预设的师生活动：学生思考并交流后，交流展示，教师对学生们的回答进行梳理总结，最终形成比较完备的答案．
预设答案：从区别与联系两个方面解读二者的关系：二者的区别是：第一，适用场合不同，二者涉及到的任意角的数量不同，因此适用的场合并不一样，诱导公式适用于关于一个特殊角与一个任意角代数和的恒等变换问题，差角余弦公式适用于关于两个任意角的差角的余弦值的恒等变换问题，第二，功能不同，诱导公式可以实现改变函数名称，将求任意角的三角函值转化为求锐角三角函数值的问题等功能，这些功能是false不具备的，但公式false具备求出两个任意角的差角的余弦值的功能，这是诱导公式不能完成的；二者的联系是：第一，差角余弦公式中含有两个任意角，将其中一个替换为特殊角，即可推导出部分诱导公式，因此false是更上位的公式；第二，二者均为三角恒等变换的重要变形依据，它们均可以经由圆的对称性质推导得到．
设计意图：对诱导公式和差角公式的关系进行梳理，帮助学生厘清关系，培养学生辩证分析问题的思维方式．
例2 借助公式false，解答以下题目：
（1）计算false的值；
（2）已知false，false，false，false是第三象限角，求false的值．
追问：（1）中的角度并不是差的形式，你打算如何借助false完成计算？（2）中false并没有直接给出，我们如何借助公式false求得false的值？
预设答案：对于（1），我们可以把false化成我们熟悉的false等特殊角之中某两角的差的形式，再借助公式false求解；对于（2），可以借助同角三角关系求出false，进而利用公式false求解false．
解：（1）(解法一)false
false；
(解法二)false
false；
（2）因为false，故false，
因为false是第三象限角，故false，
因此false．
设计意图：通过两个比较简单的求值问题，促使学生进一步熟悉公式false，能借助公式false解决简单的三角恒等变换问题．
（三）归纳小结
问题6：请你回顾本节课的内容，思考以下问题：
本课时出现过的哪些性质、公式、定理，它们之间具有怎样的推出关系？叙述公式false，你在使用公式解决问题时有哪些心得体会？此外你还有哪些感悟？
预设的师生活动：学生进行归纳、思考并回答．
预设答案：
false．
使用false时，由于false均为任意角，故可以代换成任意值，包括零、特殊角、负角等等．false需要false四个值齐备时方可算出，缺一不可，若有所缺，往往可以借助同角三角关系算出所缺的数值．公式false中含有两个任意角，是诱导公式更上位的公式，可以推导出诱导公式；先从“形”的角度出发，再从“数”的角度考虑，最后融合“数”与“形”，似乎是一种探究数形关系的有效策略．
设计意图：回顾反思，在头脑中形成思维网络．
（四）作业布置
教科书习题5.5第1，2，3题．
（五）目标检测设计
1．已知false，false是第二象限角，求false的值．
2．已知false，且false，false，求false的值．
预设答案：1．false ； 2．false．
设计意图：通过两个比较简单的求值问题，促使学生巩固同角三角关系及公式false，提升数学运算素养．可对学生是否达到目标“能否运用公式false解决简单的三角恒等变换问题”提供评测依据．