5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第二课时） 教案（Word）

《5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
（第二课时）》教学设计
教学目标
1．经历借助false公式推导false，false，false公式的过程，进一步体会公式false的意义，发展学生逻辑推理素养．
2．掌握false，false，false等公式，发展学生逻辑推理、数学运算素养．
教学重难点
教学重点：经历从公式false出发推导其它和角、差角公式的过程，进一步体会false的意义．
教学难点：和角与差角的正弦公式的推导；逆用公式进行恒等变换．
课前准备
PPT课件．
教学过程
（一）整体感知
引导语：前一节课我们根据三角函数的定义及圆的旋转对称性，借助两点间距离的坐标公式推导出了公式false，今天我们将继续探究如何用任意角false的三角函数表示false．
（二）新知探究
问题1：你能依据false与false之间的联系，利用公式false，推导出两角和的余弦公式吗？
预设的师生活动：学生讲解其证明思路及具体证明过程，教师进行适当地点拨．
预设答案：false(简记为false)．
设计意图：引导学生对解决目标与已学公式对比分析，寻找差异，获得新知．
问题2：我们已经得到了两角和与差的余弦公式，那么怎样利用已推出公式得到正弦公式呢？以前学过的哪个公式可以实现正弦、余弦的转化呢？请你试一试．
预设的师生活动：学生思考之后按自己的想法完成证明．教师巡视，对遇到困难的学生进行引导，收集学生们的不同证法，并找相应的学生展示其证法．
预设答案：诱导公式五、六可以实现正弦与余弦的转化；证明如下：
false false
false(简记为false)．
然后用false替换上式中的false可得
false(简记为false)．
以上只是其中一种证法．
设计意图：引导学生根据目前的公式与新目标之间的差异，制定方案，完成新公式的推导．
问题3：你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从false出发，推导出用任意角false的正切表示false的公式吗？
预设的师生活动：学生思考之后按自己的想法完成证明并展示．
预设答案：证明顺序有两种，即先证和角正切公式，或先证差角正切公式；先证的公式直接由相应角的正弦与余弦相除即可，后证的公式除相除之外，还可以借助先证出的公式证明．如先证和角正切：
false
falsefalse，
false(简记作false)．
随后将false替换为false，即可得到false，false (简记作false)．
公式false，false，false给出了任意角α，β的三角函数值与其和角false的三角函数值之间的关系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．类似地，false，false，false都叫做差角公式．
设计意图：通过已推导出的公式获得更多的公式，在此过程中，学会用联系的思维方式，提升学生分析问题、解决问题的能力，发展逻辑推理素养．
例1 已知sin α=-35，α是第四象限角，求sinπ4-α，cosπ4+α，tanα-π4的值．
追问1：题目中给出了几个条件？你能否由这些条件出发得到新的条件？为了得到题目要求出的三个数值，我们需要借助什么工具？需要哪些数据？这些数据是否已经出现在已知条件中或可由已知条件推出？
预设答案：两个条件，即角false的正弦值与角false终边所在的象限．可以根据这些条件算出false的余弦值与正切值．为了求出所求数据，需借助和角公式与差角公式．需要的数据是false的正弦、余弦、正切值，以及false的正弦、余弦正切值．这些数据均可从条件中轻易推出．
解：由sin α=-35，α是第四象限角，得cos α=1-sin2α=1--352=45，
所以tan α=sin αcos α=-3545=-34．
于是有sinπ4-α=sin π4cos α-cos π4sin α=22×45-22×-35=7210；
cosπ4+α=cos π4cos α－sin π4sin α=22×45-22×-35=7210；
tanα-π4=tan α-tan π41+tan αtan π4=tan α-11+tan α=-34-11+-34=－7．
设计意图：本题目条件简单，问题明确，可加强学生对新学公式的认知程度．另外，本题目有利于培养学生分析问题和解决问题的良好思维习惯，即先认真分析条件，适度拓展条件，在明确任务，了解前进的方向，联想解决问题需要的工具(公式、定理等)、数据，再将这些所需的条件与已知条件及拓展条件相联系，逐步拉近已知条件与待求结论的距离．
追问2：如果去掉“false是第四象限角”这个条件，则答案如何？
预设答案：正确答案是，当false是第三象限角时，所求的三个三角函数值依次是false；当false是第四象限角时，所求的三个三角函数值依次是false．但有些学生可能会错误表达为sinπ4-α的值为false或false，cosπ4+α的值为false或false，tanα-π4的值为false或false．这种错误的表述方式增加了搭配的可能性，解答的准确性大幅下降，教师若发现学生存在这样的表达方式，应及时指出．
设计意图：对题目作简单的变式，一方面可以让学生巩固相关公式，对学生渗透分类与整合的数学思想，另一方面为培养学生表述问题的准确性提供了机会，同时也对追问3做了铺垫．
追问3：观察追问2两种情况下的答案，你有什么发现？在本题条件下有sinπ4-α=cosπ4+α．那么对于任意角α，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？
预设答案：等式对任意角false都成立．证明方法有多种，如等号左右两侧分别用false展开后比较；将false或者false换元，然后借助诱导公式即可证明．
设计意图：通过延伸，培养学生“观察现象——提出问题——解决问题”的科学思维品质，鼓励学生多观察，多思考，多提问．激发学生的发散性思维，一题多解．
例2 利用和(差)角公式计算下列各式的值：
（1）sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°；
（2）cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°；
（3）sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°；
（4）1+tan 15°1-tan 15°．
追问：以上4个问题有什么结构特征？你是否在某些公式中见到过这样的结构特征？
预设答案：前3个问题都含有四个三角函数值，其中两个的乘积与另外两个的乘积作差，在正弦、余弦的和角与差角公式的等号右侧有过类似的结构特征；第4个问题仅含正切值，为分式形式，且分母中有常数1，与和角正切公式结构相似．
设计意图：引导学生发现题目的结构特征，并联想相关公式，为解决问题提供了方向与线索．
解：（1）由公式S(α-β)， sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°=sin(72°－42°) =sin 30°=12；
（2）由公式C(α+β)，得cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°=cos(20°+70°) =cos 90°=0；
（3）(方法一) sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°= cos24° cos 36°－sin 36°sin 24°，
由公式C(α+β)，原式=cos(36°+24°)=cos60°=12；
(方法二) sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°= sin 66°cos36°－cos 66°sin 36°，
由公式S(α-β)，原式=sin(66°-36°)=sin 30°=12；
（4）由公式T(α+β)及tan 45°=1，得1+tan 15°1-tan 15°=tan 45°+tan 15°1-tan 45°tan 15°=tan(45°+15°) =tan 60°=3．
设计意图：本题目主要考察公式的逆用，即从公式的右侧出发，变形到左侧的恒等变换方式．适度训练之后，学生对公式会有更全面，更深刻的理解．本题目中的（1）（2）是简单的公式反用，（3）的灵活度更上了一个台阶，学生需要借助诱导公式，变更函数名称，以凑成公式右侧的形式，再加以解决，解答（4）时，需要以退为进，逆向化归，将false代换成false，这个变形技巧在例3中出现过，已经作过了铺垫．
（三）归纳小结
问题4：这两节课的内容中出现了很多性质和公式，它们之间具有怎样的推出关系？你能画一个结构图来反映这种关系吗？你在使用这些公式解决问题时有哪些心得体会？
预设的师生活动：学生进行归纳、思考并回答．
预设答案：
公式中的false均为任意角，故可以代换成任意值，包括零、特殊角、甚至可以是两个任意角的和或差；公式false均需要false四个值齐备时方可使用，缺一不可，必要时需要从公式的右侧变形化简成左侧的形式；公式false中，若false之中有一个是false，则公式的结构会更简洁．
设计意图：回顾反思，在头脑中形成思维网络．
（四）作业布置
教科书习题5.5第4，5，6，13题．
（五）目标检测设计
1．（1）已知cos θ=-35，θ∈π2，π，求sinθ+π3的值；
（2）已知sin θ=-1213，θ是第三象限角，求cosπ6+θ的值；
（3）已知tan α=3，求tanα+π4的值．
2．求下列各式的值：
（1）sin 72°cos 18°+cos 72°sin 18°； （2）cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°；
（3）tan 12°+tan 33°1-tan 12°tan 33°； （4）cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°；
（5）sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26°； （6）sin 20°cos 110°+cos 160°sin 70°．
3．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α=35，β是第三象限角，求sinβ+5π4的值．
预设答案：1．（1）4-3310；（2）12-5326；（3）－2．
2．（1）1；（2）12；（3）1；（4）-32；（5）-12；（6）-1．
3．7210．
设计意图：通过若干题目，促使学生巩固和角公式与差角公式，并能从正用或者逆用两个方向着手运用公式解决问题，提升学生逻辑推理与数学运算素养．