5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第三课时） 教案(word)

《5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
（第三课时）》教学设计
教学目标
1．经历从和角公式推导二倍角公式的过程，体会公式false的意义，发展学生逻辑推理素养．
2．掌握公式false，false及其变形形式，false，发展学生逻辑推理、数学运算素养．
教学重难点
教学重点：经历从和角公式推导二倍角公式的过程，体会公式false的意义．
教学难点：把握角度关系；二倍角余弦公式的应用．
课前准备
PPT课件．
教学过程
（一）整体感知
引导语：以公式C(α-β)为基础，我们已经得到六个和(差)角公式，下面将以和(差)角公式为基础来推导倍角公式．
（二）新知探究
问题1：你能利用false推导出false的公式吗？你能用不同的方法推出这些公式吗？
预设的师生活动：学生独立进行推导，教师巡视并收集学生的不同证法，或请学生将不同的证法列举在黑板上．
预设答案：这里不同的证法主要体现在两个方面：一是推导的依据具有多样性，例如可以将false中false替换为false推得false，也可以由false中的false替换为false，而推导公式false时，可以从false出发，也可以由false合作推出；二是推导的顺序具有多样性，学生可以自行设计三个二倍角公式的证明顺序，由于推导其中最后一个公式时可以借助已推出的两个公式，因此不同的顺序可能会导致最后一步有所差异．
false．
三个公式分别简记为false，false，false．
设计意图：给学生一定的自由度，由学生自己制定计划，并完成二倍角公式的证明．
追问：如果要求二倍角的余弦公式(false)中仅含false的正弦或仅含余弦，那么你能得到怎样的结论？
预设的师生活动：学生独立进行推导．
预设答案：false，false．
设计意图：引导学生发现公式false的两种变形形式，为下一课时半角公式做好铺垫．
说明：以上五个公式都叫做二倍角公式，或倍角公式．倍角公式给出了任意角false的三角函数与false的三角函数之间的关系．这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去．
问题2：从和角公式、差角公式、倍角公式的推导过程可以发现，这些公式之间存在紧密的逻辑联系，你能设计一张结构图描述它们之间的推出关系吗？
预设的师生活动：学生进行归纳整理，作出结构图，然后小组交流，最后教师挑选一到两组学生面向全班交流展示．
预设的答案：
以上关系仅供参考，其中公式的分布及箭头流向的方式并不唯一，也不必完全画出，但所有公式中，起点一定是false，其它的每一个公式都至少有一个指向它的箭头．
设计意图：培养学生总结反思的学习习惯，促使学生对3个课时推导出的所有公式进行简单回顾梳理，并感悟公式false作为所有公式推导的起源具有特殊意义．
例1 （1）已知sin 2α=513，π4＜α＜π2，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值．
（2）已知锐角false满足false，求false的值．
（3）在△ABC中，cos A=45，tan B=2，求tan(2A+2B)的值．
追问1：在（1）中，已知条件给出了false的正弦值．我们应该把false看作一个整体还是将它看作false的二倍？待求的是false的三角函数值，二者之间有什么关系？
预设答案：把false看作一个整体．待求角是已知角的二倍．
设计意图：向学生渗透分析问题的常规方法，即分析化简已知条件，明确待求目标，寻找办法拉近二者之间的距离．顺带指出，“倍”是描述两个数量之间关系的，2α是α的二倍，4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，这里蕴含着换元思想．
追问2：在（2）中，注意题目中的已知角与待求角，你能制定多少种不同的方案解出此问题？哪一种方法最便捷？
预设答案：方案一，直接把false展开，结合同角三角关系解出false的正弦余弦值，再用倍角公式与差角公式计算false；方案二，视false为一个整体，借助同角关系解出false，再由关系false算出false的正弦、余弦值，下同方案一；方案三，注意到false，视false为一个整体，借助同角关系解出false，再用二倍角公式直接求解．
设计意图：引导学生分析题目的一般方法，先确认条件及目标，再制定解题方案，最后经过可行性分析，选择最优方案实施．同时再次突显出分析角差异及换元思想在三角恒等变形中的重要性．
追问3：在（3）中，2A+2B与A，B之间能构成怎样的关系？你能想到几种不同的求解顺序？
预设答案：false可以看作false的二倍角的和，也可以看作false的和的二倍角．有两种求解顺序，即先计算二倍角再计算和角，或先计算和角，再计算二倍角．
设计意图：（3）题具有一定的综合性，也是和角公式与倍角公式的综合应用问题．由于对2A+2B与A，B的之间关系的看法不同会产生不同的解题思路．不过，它们都是对倍角、和角关系的联合运用，本质上没有区别．此外，在三角形的背景下研究问题，常常伴随着一些隐含条件，如0＜A＜π，A+B+C=π等．凭借本题目，教师可抓住机会醒学生对此类信息多加关注．
预设答案：
解：（1）由π4＜α＜π2，得π2＜2α＜π．
又sin 2α=513，所以 cos 2α=-1-5132=-1213．
于是sin 4α=sin［2×(2α)］=2sin 2αcos 2α=2×513×-1213=-120169；
cos 4α=cos［2×(2α)］=1－2sin22α=1－2×5132=119169；
tan 4α=sin 4αcos 4α =-120169×169119=-120119．
（2）由false，可知false，
故false，
于是false．
（3）解法1：在△ABC中，由 cos A=45，0＜A＜π，得sin A=1-cos2A=1-452=35．
所以 tan A=sin Acos A =35×54=34，tan 2A=2tan A1-tan2A =2×341-342=247．
又 tan B=2，所以 tan 2B=2tan B1-tan2B =2×21-22=-43．
于是 tan(2A+2B)=tan 2A+tan 2B1-tan 2Atan 2B =247-431-247×-43=44117．
解法2：在△ABC中，由 cos A=45，0＜A＜π，得sin A=1-cos2A=1-452=35．
所以tan A=sin Acos A =35×54=34．
又 tan B=2，所以 tan(A+B)=tan A+tan B1-tan Atan B =34+21-34×2=-112．
所以tan(2A+2B)=tan［2(A+B)］=2tan(A+B)1-tan2(A+B)=2×-1121--1122=44117．
例2 证明：（1）1＋sin 2θ-cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ＝tan θ．
（2）3＋cos 4α－4cos 2α＝8sin4α；
（3）tan αtan 2αtan 2α-tan α＋3(sin2α－cos2α)＝2sin2α-π3．
追问：以上各个等式的左右两侧差异很明显，而且都是左侧相对复杂，右侧相对简单．因此我们需要借助三角恒等变换的公式对每个等式的左侧进行化简变形，最终变为等号右侧的形式．你能发现每个等式等号两侧最明显的差异是什么吗？你打算如何利用你发现的差异指导我们后续恒等变换？
预设答案：（1）的两侧有以下差异：第一，角不同，左边是二倍角，右边是单倍角，第二，结构不同，左边是比的形式，右侧不是，因此打算借助二倍角公式把左边的false化为false，由于右侧的比值只有一项，因此需要想办法把左边的分子与分母的项数尽可能变少；（2）的两侧最明显的差异是，角不同，左侧包括false，而右侧仅含有false，因此打算利用二倍角公式将左侧的false变为false，再将false变为false；（3）两侧差异有三处：第一，角不同，左侧第二项所含角为false，其它项包括等号右侧均为false，第二，函数名称不同，左侧第一项为正切，其它各项均为正弦、余弦，第三，结构不同，左侧为两项之和，右侧仅有一项，因此打算逆用二倍角公式将第二项变为含有false的形式，将第一项的正切利用同角三角关系转化为正弦、余弦，最后逆用和角公式或差角公式将两项合并成一项，从等号右侧形式推断，最可能的情形就是提取false之后，剩下的部分组成false与false两角差的正弦形式．
设计意图：引导学生分析三角恒等证明问题的证明思路，一般需从对比等式两侧的差异入手，在发现它们的差异不同之后，再选择相关公式，将复杂的一侧向简单的一侧化简变形，最终证明等式成立，若两侧均比较复杂，则考虑两侧同时化简．
证明：（1）左侧false右侧；
（2）左侧false
false右侧
（3）左侧=false
false
false右侧
问题3：在例6（1）中，我们对等号左侧化简变形时，分子和分母中均含有false，但是却采用了不同的形式进行了变形，分子中利用了公式false，而分母中则利用了false．你能结合这个题目谈一谈二倍角的余弦公式的三种不同形式的特点与适用场合吗？
预设的师生活动：学生回顾反思，教师对学生们的回答进行梳理总结．
预设答案：false特征是齐次，在需要分解因式的场合有可能采用此形式；false的特征是含有false不含false，还包括false，在我们需要仅含false的场合或需要抵消false的时候可以采用此形式；类似地，false的特征是含有false但不包含false，且含有false，在我们需要仅含false的场合或需要抵消false时，可采用此形式．
设计意图：引导学生归纳反思，为使用二倍角余弦公式的不同形式时作出最佳选择打好基础．
问题4：结合例5与例6的求解过程，请你思考，利用三角恒等变形公式解决求值、化简及证明问题时，已知条件与待求式子之间，或待证等式的左右两边，通常会有各种各样的差异，我们应该重点关注其中哪些方面的差异？
师生活动：学生独立思考之后小组交流，教师进行梳理总结．
预设答案：角的差异，三角函数名称的差异，结构差异等．
设计意图：向学生渗透三角恒等变换的特点，引导学生从角度差异、三角函数名称差异及结构差异等方面着手分析问题，把握变形方向，为学生接下来要大量面对的三角恒等变换问题提供分析策略和指导方向．
（三）归纳小结
问题5：回顾本节课的内容，你能正确写出二倍角公式吗？你在认识和使用这些公式时有哪些心得体会？
预设的师生活动：学生进行归纳、思考并回答．
预设答案：公式中的二倍角和单倍角分别用false与false表示，但是使用公式时，它们也可以是false与false，false与false等，形式非常灵活；余弦二倍角公式有三种形式：false，在使用它们的时候，需要结合题目特征进行选择，例如，有时候因为只想出现false而选择最后一种形式，有时候为了和false正负抵消而选择第二种形式等等；我们在解决三角恒等变换问题的时候，往往要从角度差异、函数名称差异、代数式结构差异等方面对已知条件和待求结论寻找差异，然后再根据这些差异选择适当的公式进行变形求解．
设计意图：回顾反思，使学生在头脑中形成思维网络．
（四）作业布置
教科书习题5.5第7，8题．
（五）目标检测设计
1．已知cosα8=-45，8π＜α＜12π，求sin α4，cos α4，tan α4的值．
2．求下列各式的值：
（1）sin 15°cos 15°； （2）cos2π8－sin2π8；
（3）tan 22.5°1-tan222.5°； （4）2cos2 22.5°－1．
3．证明：（1）cos 4α＋4cos 2α＋3＝8cos4α；　　　　（2）1＋sin 2α2cos2α＋sin 2α＝12tan α＋12；
预设答案：1．sin α4＝2425，cos α4＝725，tan α4＝247．
2．（1）14；（2）22；
（3）原式＝12·2tan 22.5°1-tan222.5°＝12tan45°＝12；
（4）原式＝ cos 45°＝22．
设计意图：通过若干题目，促使学生巩固二倍角公式，并能正用或者逆用公式解决简单的求值或证明问题，提升学生逻辑推理与数学运算素养．通过计算、证明等不同类型的题目设置，对学生分析和解决三角恒等变换问题有很好的促进作用．