第三章 函数的应用
核心速记·必考点夯基
一、
1.有实数根 与x轴有交点 有零点
2.(1)[a,b] 连续不断
(2)f(a)·f(b)<0 f(c)=0
二、
1.增函数 增函数 增函数
①越来越快 越来越慢
②ax>xn>logax
2.(1)kx+b (3)ax2+bx+c
(6)axn+b
典题突破·热考点精练
【例1】(1)B (2)C
【例2】A
【例3】【解析】(1)若m=-1,则当x≥0时,f(x)=2(x-1)2-1,
f(0)=2×1-1=1,
f(1)=2×0-1=-1,
因为f(0)·f(1)<0,
所以由零点存在性定理可知,函数f(x)在区间(0,1)内有零点.
(2)由题意可知,函数图象如图所示.
因为f(x)的值域为[-2,+∞),
所以当x=1时,f(1)=m=-2,
所以m=-2.
【例4】(1)D
(2)y=R-100Q-20
000
=
Q∈Z.
①0≤Q≤400时,y=-(Q-300)2+25
000,
当Q=300时,ymax=25
000.
②Q>400时,y=60
000-100Q<20
000,
综合①②,当每年生产300件产品时,总利润最大,为25
000元.
达标训练·合格考通关
1.B 2.B 3.B 4.A 5.D
6.a2=4b 7.2 8.6 10
000
9.【解析】令x2-mx+a-m=0,
因为函数f(x)对任意的实数m恒有零点,故不论m取何值,方程x2-mx+a-m=0恒有解,
即Δ=(-m)2-4(a-m)≥0,即a≤+m对任意的实数m恒成立.
因为+m=(m+2)2-1≥-1,
所以a≤-1.
所以实数a的取值范围是(-∞,-1].
10.【解析】(1)S=400+tm-120(0≤t≤24).
(2)当m=80时,S=80t-120+400,
设u=,则u∈[0,12],t=,
S=40,
当u=时,即t=时,S=130最少.
故小时后蓄水池水量最少.
11.【解析】(1)因为函数f(x)=ax2+2(1-a)x-1为二次函数,
所以a不为0,又因为二次函数f(x)=ax2+2(1-a)x-1为偶函数,
所以对称轴x=-=0?a=1.
(2)因为二次函数f(x)=ax2+2(1-a)x-1图象是连续函数图象,且f(0)=-1<0,f(2)=4a+4(1-a)-1=3>0,故函数f(x)在区间(0,2)内有零点.
(3)因为-
所以-1x<1.令t=sin
x,
则y=f(sin
x)的最小值与函数y=f(t)(t∈(-1,1))的最小值相同,
当a>0时,二次函数f(x)=ax2+2(1-a)x-1开口向上,且对称轴为x=-=1-.
由1-<-1?a<,即0f(x)min=f(-1)=3a-3.
由-1≤1-≤1,即a≥时,
f(x)min=f=--1=1-a-.
由1->1,即a<0时,二次函数开口向下,x=1->1,
此时f(x)min=f(-1)=3a-3,
综上得y=f(sin
x)
存在最小值h(a).
且h(a)=,
当a<0时,因为h(a)=3a-3为减函数,得h(a)<-3,
当0-3当a≥时,因为a+≥2,当且仅当a=1时等号成立,
故1-a-≤-1,此时h(a)的最大值为-1,综上h(a)的最大值为-1.
PAGE第三章 函数的应用
考试内容
考纲要求
考点1 方程的根与函数的零点
理解
考点2 用二分法求方程的近似解
识记
考点3 几类不同增长的函数模型
理解
考点4 函数模型的应用
应用
一、函数与方程
1.方程、函数、图象之间的关系:
方程f(x)=0________?函数?
y=f(x)的图象________?函数?
y=f(x)________.?
2.函数零点的存在性定理:
条件
(1)函数y=f(x)在区间____________上的图象是__________的一条曲线?
(2)______________________?
结论
函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得______________,这个c也就是方程f(x)=0的根?
二、函数模型及其应用
1.三种函数模型的性质:
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
在(0,+∞)上的增减性
______
______
______
增长速度
①y=ax(a>1):随着x的增大,y增长速度________,会远远大于y=xn(n>0)的增长速度,y=logax(a>1)的增长速度________?②存在一个x0,当x>x0时,有______?
2.常见的几类函数模型:
(1)一次函数模型:f(x)=________(k,b为常数,k≠0).?
(2)反比例函数模型:f(x)=+b(k,b为常数,k≠0).
(3)二次函数模型:f(x)=__________(a,b,c为常数,a≠0).?
(4)指数函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1).
(5)对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1).
(6)幂函数模型:f(x)=__________(a,b,n为常数,a≠0,n≠1).?
(7)“对勾”函数模型:f(x)=x+(k为常数且k>0).
3.运用函数模型解决实际问题的过程:
热点一 函数零点的判断
【例1】(1)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
x
-1
0
1
2
3
f(x)
8
4
-2
0
6
则函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
(2)(2018·湖南学业水平考试真题)函数f(x)=log2(x-1)的零点为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
函数零点的判断方法
(1)转化为方程的解.
(2)用零点存在性定理直接判断.
(3)转化为两个函数图象的交点问题,体现了数形结合的思想.
提醒:用零点存在性定理时,注意使用的条件.
热点二 二分法的应用
【例2】用二分法研究函数f(x)=x2+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)<0,
f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈______,第二次计算______.以上横线应填的内容分别是( )?
A.(0,0.5) f(0.25)
B.(0,1) f(0.25)
C.(0.5,1) f(0.75)
D.(0,0.5) f(0.125)
热点三 函数零点的应用
【例3】已知函数f(x)=
(1)若m=-1,求f(0)和f(1)的值,并判断函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点;
(2)若函数f(x)的值域为[-2,+∞),求实数m的值.
热点四 函数模型的应用
【例4】(1)如果某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率是( )
A.
B.
C.-1
D.-1
(2)某车间生产某种产品,固定成本为2万元,每生产一件产品,成本增加100元,已知总收益R(总收益指工厂出售产品的全部收入,它是成本与总利润的和,单位:元)是年产量Q(单位:件)的函数,满足关系式:R=f(Q)=求每年生产多少产品时,总利润最大?此时总利润是多少元?
一、选择题
1.函数f(x)=2x-1的零点为( )
A.1
B.0
C.(1,0)
D.(0,0)
2.用二分法求函数f(x)=x3-的零点时,初始区间大致可选在( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(2,4)
3.如图是函数f(x)的图象,它与x轴有4个不同的公共点,给出下列四个区间中,存在不能用二分法求出的零点,则该零点所在的区间是( )
A.[-2.1,-1]
B.[1.9,2.3]
C.[4.1,5]
D.[5,6.1]
4.设f(x)=ln
x+x-3.用二分法求方程ln
x+x-3=0在(2,3)内的近似解的过程中,得到f(2)<0,f(2.25)>0,f(2.5)>0,f(3)>0,则该方程的根落在区间( )
A.(2,2.25)
B.(2.25,2.5)
C.(2.5,3)
D.不能确定
5.某一种商品降价10%后,欲恢复原价,则应提价( )
A.10%
B.9%
C.11%
D.11%
二、填空题
6.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是______.?
7.函数f(x)=ln
x-零点的个数是________.?
8.里氏震级M的计算公式为:M=lg
A-lg
A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1
000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为______级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的______倍.?
三、解答题
9.已知函数f(x)=x2-mx+a-m对任意的实数m恒有零点,求实数a的取值范围.
10.某自来水厂蓄水池中有400吨的水,水厂每小时可向蓄水池注入m吨水(m>0),同时蓄水池又向居民小区供水,t小时内,水量为120
吨(0≤t≤24).设t小时后水池的水量为S.
(1)写出S与t的关系式;
(2)当m=80时,多少小时后蓄水池的水量最少?
11.(2019·湖南学业水平考试真题)已知二次函数f(x)=ax2+2(1-a)x-1.
(1)若f(x)为偶函数,求a的值;
(2)判断函数f(x)在区间(0,2)内是否有零点,请说明理由;
(3)已知函数y=f(sin
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