第一章 集合与函数概念
考试内容
考纲要求
考点1 集合的含义与表示
识记
考点2 集合间的基本关系
理解
考点3 集合的基本运算
理解
考点4 函数的概念(包括求简单函数的解析式、定义域和值域)
理解
考点5 函数的表示法
掌握
考点6 函数的单调性与最大(小)值
掌握
考点7 函数的奇偶性
理解
一、集合
1.集合的含义与表示:
(1)集合的含义:一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做______.?
(2)集合中元素的特征:确定性、________、无序性.?
(3)集合和元素的关系:
(4)集合的表示方法:________、________、Venn图法.?
2.集合间的基本关系:
定义
符号表示
图形语言
子集
集合A中__________元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有______关系,称集合A是集合B的子集
A?B(或B?A)
真子集
如果集合A?B,但存在元素__________,称集合A是集合B的真子集
AB(或BA)
集合相等
如果__________,就说集合A与B相等
A=B
3.空集:
(1)定义:______________的集合叫做空集,记作?.?
(2)性质:①空集是__________的子集,②空集是任何非空集合的真子集.?
4.集合的基本运算:
(1)并集、交集、补集:
概念类别
自然语言
符号表示
并 集
由所有______集合A______集合B的元素组成的集合,叫做A与B的并集,记作________(读作“________”)?
A∪B=______?______?
交 集
由______集合A______集合B的所有元素组成的集合,叫做A与B的交集,记作______(读作“________”)?
A∩B=____?____?
补 集
对于一个集合A,由全集U中________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作________.?
UA=____?____?
(2)集合中的常用运算性质:
①并集性质
A∪A=____,A∪?=____.?
A∪B=B∪A,A∪B=A?B?A
②交集性质:A∩A=____,A∩?=____.?
A∩B=B∩A.
A∩B?A,A∩B?B.
A∩B=A?A?B
二、函数及其表示
1.函数的概念:
(1)函数的定义:设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的______一个数x,在集合B中都有__________的数f(x)和它对应,那么就称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y=f(x),x∈A.?
(2)定义域:
________的取值范围(数集A)叫做函数的定义域.?
(3)值域:
函数值的集合____________叫做函数的值域.?
(4)相等函数:如果两个函数的________相同,并且__________完全一致,则这两个函数为相等函数.?
2.函数的常用表示法:________、________、________.?
3.分段函数:若函数在其定义域的不同子集上,因__________不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.?
三、函数的基本性质
1.函数的单调性:
(1)增函数、减函数:
增函数
减函数
定义
设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的________两个自变量x1,x2?
当x1当x1图象
(2)单调性、单调区间:若函数y=f(x)在区间D上是________或________,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.?
2.函数的奇偶性:
偶函数
奇函数
定义
对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有
f(-x)=______,函数f(x)叫做偶函数?
f(-x)=
______,函数f(x)叫做奇函数?
图象特征
图象关于____对称?
图象关于____对称?
3.函数的最大值、最小值:
最值
最大值
最小值
条件
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
(1)对于任意的x∈I,都有________?(2)存在x0∈I,使________?
(3)对于任意的x∈I,都有________?(4)存在x0∈I,使__________?
结论
M是函数y=f(x)的最大值
M是函数y=f(x)的最小值
热点一 集合的基本关系及运算
【例1】(1)已知集合M={1,2,3},N={2,3,4},P={3,5},则(M∩N)∪P=( )
A.
B.{2,3}
C.
D.{1,2,3,4,5}
(2)已知集合A={1,2,3,a},4∈A,则a=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
(3)(2020·湖南学业水平考试真题)已知集合A={x|x=1},B={x|x2=a}.若A?B,则a=______.?
热点二 函数的概念
【例2】(1)(2020·湖南学业水平考试真题)已知函数f(x)=若f(0)=a,则f(a)=( )
A.4
B.2
C.
D.0
(2)函数f(x)=lg(x-3)的定义域为________.?
热点三 函数的表示法
【例3】如图是某出租车在A,B两地间进行的一次业务活动中,离开A地的时间与相距A地的路程的函数图象,其中,纵轴s(km)表示该出租车与A地的距离,t(h)表示该出租车离开A地的时间.
(1)写出s与t的函数解析式;
(2)写出速度v(km/h)与时间t(h)的函数解析式;
(3)描述该出租车的行驶情况.
在求分段函数的解析式时,要注意各段的定义域并根据定义域对应的解析式进行求解.
热点四 函数的单调性与奇偶性
【例4】(1)(2018·湖南学业水平考试真题)已知函数y=f(x)(x∈[-1,5])的图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )
A.[-1,1]
B.[1,3]
C.[3,5]
D.[-1,5]
(2)已知函数f(x)=(x-m)2+2.
①若函数f(x)的图象过点(2,2),求函数y=f(x)的单调递增区间;
②若函数f(x)是偶函数,求m的值.
判断函数奇偶性的方法
(1)用定义判断函数奇偶性的步骤:
(2)在选择、填空题中,也可以用如下性质判断函数奇偶性:
①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;
②奇函数的和、差仍为奇函数;
③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;
④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.
热点五 函数的值域(或最值)
【例5】已知二次函数f(x)=x2+ax+b,满足f(0)=6,f(1)=5.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)当x∈[-2,2]时,求函数y=f(x)的最小值和最大值.
一、选择题
1.设不等式3-2x<0的解集为M,下列正确的是( )
A.0∈M,2∈M
B.0?M,2∈M
C.0∈M,2?M
D.0?M,2?M
2.已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A且y∈A且x-y∈A},则B中所含元素的个数为( )
A.3
B.6
C.8
D.10
3.设集合A={1,2},B={2,3,4},则A∪B=( )
A.{1,2,3,4}
B.{1,2,2,3,4}
C.{2}
D.{1,3,4}
4.若集合A={1,2,3},B={1,3,4},则A∩B的子集个数为( )
A.2
B.3
C.4
D.16
5.函数f(x)=+log2x的定义域是( )
A.(0,2]
B.[0,2)
C.[0,2]
D.(0,2)
6.若函数y=f(x)为奇函数,则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的
是( )
A.(a,-f(a))
B.(-a,-f(-a))
C.(-a,
f(a))
D.(-a,-f(a))
7.函数f(x)=的图象是( )
8.下列函数中,在(0,+∞)上是减函数的是( )
A.y=
B.y=x2+1
C.y=log2x
D.y=
二、填空题
9.(2018·湖南学业水平考试真题)已知集合A=,B=.若A∩B=,则x=______.?
10.已知集合M={0,1,2},N={x|x=2a,a∈M},则集合M∩N=______.?
11.已知函数f(x)=若f(x)=4,则x的值为______.?
12.已知函数f(x)是(0,+∞)上的减函数,则f(a2-a+1)与f的大小关系是______.?
三、解答题
13.已知函数f(x)=
(1)画出函数f(x)的大致图象;
(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间.
14.(2018·湖南学业水平考试真题)已知函数f(x)=x+(x≠0).
(1)求f(1)的值;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由.
15.函数f(x)是R上的偶函数,且当x>0时,函数的解析式为f(x)=-1.
(1)用定义证明f(x)在(0,+∞)上是减函数;
(2)求当x<0时,函数的解析式.
16.已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的定义域;
(2)若f(a)=2,求a的值;
(3)求证:f=-f(x).
17.已知函数f(x)=2+的图象经过点(2,3),a为常数.
(1)求a的值和函数f(x)的定义域;
(2)用函数单调性定义证明f(x)在(a,+∞)上是减函数.
PAGE第一章 集合与函数概念
核心速记·必考点夯基
一、
1.(1)集合 (2)互异性 (3)∈ ?
(4)列举法 描述法
2.任意一个 包含 x∈B,且x?A
A?B且B?A
3.(1)不含任何元素
(2)①任何集合
4.(1)属于 或属于 A∪B A并B
{x|x∈A,或x∈B} 属于 且属于
A∩B A交B {x|x∈A,且x∈B}
不属于集合A UA
{x|x∈U,且x?A}
(2)①A A ②A ?
二、
1.(1)任意 唯一确定
(2)自变量x
(3){f(x)|x∈A}
(4)定义域 对应关系
2.解析法 列表法 图象法
3.对应关系
三、
1.(1)任意 f(x1)f(x1)>f(x2)
(2)增函数 减函数
2.f(x) -f(x) y轴 原点
3.(1)f(x)≤M
(2)f(x0)=M
(3)f(x)≥M
(4)f(x0)=M
典题突破·热考点精练
【例1】(1)C (2)D (3)1
【例2】(1)C (2)(3,+∞)
【例3】【解析】(1)由题图可知,该出租车从A地到B地,用2.5小时匀速行驶了150
km,可求得速度为=60(km/h),出租车从B地回到A地,用3小时匀速行驶了150
km,此时的速度为=50(km/h),s=150-(t-3.5)×50=-50t+325.
故s与t的函数解析式是s=
(2)车速v与时间t之间的函数解析式是v=
(3)该出租车的行驶情况是:先以60
km/h的速度从A地驶向150
km远处的B地,到达B地停留1小时后,再以50
km/h的速度返回A地.
【例4】(1)B
(2)①因为函数图象过点(2,2),
所以(2-m)2+2=2,即m=2,
所以f(x)=(x-2)2+2且(2,2)为其图象顶点,因此f(x)在(2,+∞)上是增函数.
②因为f(x)是偶函数,
所以f(-x)=f(x),即(-x-m)2+2=(x-m)2+2,-2mx=2mx,
又x∈R,所以m=0.
【例5】【解析】(1)依题意得
解得
所以f(x)=x2-2x+6.
(2)f(x)=(x-1)2+5,
则f(x)在[-2,1]上递减,
在[1,2]上递增,又f(1)=5,f(-2)=14,f(2)=6,
故函数y=f(x)在区间[-2,2]上的最小值为5,最大值为14.
达标训练·合格考通关
1.B 2.D 3.A 4.C 5.A 6.D
7.C 8.A 9.2 10.{0,2} 11.3
12.f(a2-a+1)≤f
13.【解析】(1)记y=f(x),先作y=x,x∈[0,2]的图象是一条线段.
再作y=,x∈(2,4]的图象,是左端点为空心圆圈,右端点为实心点的双曲线的一部分,如图所示.
(2)由图象可得函数图象在x∈[0,4]上有一个最高点(2,2),所以函数f(x),x∈[0,4]的最大值是2.
函数图象在(2,4]上是下降的,
因此函数f(x),x∈[0,4]的单调递减区间是(2,4].
14.【解析】(1)f(1)=1+=2.
(2)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
f(-x)=-x+
=-(x+)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
15.【解析】(1)设0则f(x1)-f(x2)=-=,
因为0所以x1x2>0,x2-x1>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(0,+∞)上是减函数.
(2)设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=--1,
又f(x)为偶函数,
所以f(x)=f(-x)=--1,
即f(x)=--1(x<0).
16.【解析】(1)要使函数f(x)=有意义,只需1-x2≠0,解得x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}.
(2)因为f(x)=,且f(a)=2,
所以f(a)==2,
即a2=,解得a=±.
(3)由已知得f==,
-f(x)=-=,
所以f=-f(x).
17.【解析】(1)因为函数f(x)=2+的图象经过点(2,3),
所以2+=3,解得a=1,
所以f(x)=2+,
由x-1≠0,得x≠1,
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠1}.
(2)用函数单调性定义证明f(x)在(1,+∞)上是减函数如下:
设1=,
因为10,
x1-1>0,x2-1>0,
所以f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(1,+∞)上是减函数.
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