(共14张PPT)
高中数学 必修１
情境问题：
在第2.3.1节中，我们利用对数求出了方程0.84x＝0.5的近似解；
利用函数的图象能求出方程0.84x＝0.5的近似解吗？
情境问题：
如图1，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于
(－2，0)点，试根据图象填空 ：
(1)k 0，b 0；
(2)方程kx＋b＝0的解是 ；
(3)不等式kx＋b＜0的解集 ．
x
y
O
－2
方程f (x)＝0的解、不等式f (x)＜0、f (x)＞0的解集
与函数y＝f (x)的图象密切相关：
方程f (x)＝0的解是函数y＝f (x)的图象与x轴交点的横坐标，
如何定义这一数值呢？
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象x轴交于点(－3，0)
和(1，0)，且开口方向向下，试画出图象并结合图象填空：
(1)方程ax2＋bx＋c ＝0的解是 ；
(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为 ；
不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为 ．
图1
－2
x
y
O
－4
2
3
1
数学建构：
函数零点的定义：
一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)的根称为一次函数y＝kx＋b的零点．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
的零点．
一般地，对于函数y＝f (x)(x D)，我们把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x D)的零点．
数学应用：
例1 函数y＝f (x)(x [－5，3])的图象如图所示 ，根据图象，写出函数f (x)的零点及不等式f (x)＞0与f (x)＜0的解集．
y
x
O
－5
－3
－1
1
3
函数f (x)的零点
x1＝－2
x2＝0
x3＝2
不等式f (x)＞0的解集为
{x|－2＜x＜0或2＜x≤3}
不等式f (x)＜0的解集为
{x|－5≤x＜－2或0＜x＜2}
数学探究：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的零点、图象与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根的关系．
△＝b2－4ac △＞0 △＝0 △＜0
ax2＋bx＋c＝0的根
y＝ax2＋bx＋c的图象
y＝ax2＋bx＋c的零点
见课本74页表2-5-1
数学应用：
例2 求证：二次函数y＝2x2＋3x－7 有两个不同的零点．
变式练习1．下列区域：(1)(－3，－2)，(2)(－2，－1)，(3)(－1，0)，
(4)(0， 1)，(5)(1，2)，(6)(2，3)，函数y＝2x2＋3x－7的两个零点分别
在其中的区间 上．
(1)
(5)
数学建构：
函数零点存在条件 ：
若函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f (a)·f (b)＜0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点．
思考：若x0是二次函数y＝f (x)的零点，且a＜x0 ＜b，那么f (a)·f (b)＜0
一定成立吗？
数学应用：
例3．判断函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点？
变式练习2．
(1)函数f(x)＝2x2－5x＋2的零点是_______ ．
(2)若函数f(x)＝x2－2ax＋a没有零点，则实数a的取值范围是_________；
(3) 二次函数y＝2x2＋px＋15的一个零点是－3，则另一个零点是 ；
数学应用：
例4．求证：函数f(x)＝x3＋x2＋1在区间(－2，－1)上存在零点．
变式练习3．
已知函数f(x)＝x3－3x＋3在R上有且只有一个零点，且该零点在区间[t，t＋1]上，则实数t＝ ．
数学应用：
补充例题．若关于x的方程x2＋(m－2)x＋2m－1＝0有一根在(0，1)内，试确定实数m 的范围．
变式1．已知方程2ax2－x－1＝0在(0，1)内恰有一解，求实数a的取值范围．
变式2．已知方程ax2＋2x－1＝0在(0，1)内恰有一解，求实数a的取值范围．
数学应用：
补充练习1．已知函数f (x)＝(x－a)(x－b)－2(a＜b)的两个零点分别是 ， ( ＜ )，则实数a、b、 、 的大小关系用“＜”按从小到大的顺序排列是 ．
2．若函数f (x)＝x2－ax＋a2－7的零点一个大于2，一个小于2，则实数
a的取值范围是 ．
3．若函数f (x)＝x2－ax＋a2－7的零点都大于2，则实数a的取值范围
是 ．
4．若函数f (x)＝x2－ax＋a2－7的零点都小于2，则实数a的取值范围
是 ．
小结：
二次函数与
一元二次方程
函数的零点
二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系
函数零点存在的条件
二次函数
的零点
作业：
P81习题2.5第1，2．(共11张PPT)
高中数学 必修１
情境问题：
函数存在零点的判定：
若函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，
且f (a)·f (b)＜0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点．
二分法求函数的近似解：
对于在区间[a，b]上不间断，且满足f (a)·f (b) ＜0的函数y＝f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
二分法求方程近似解的前提是确定根存在的区间，如何能迅速地确定区间(a，b)呢？
数学建构：
方程解的几何解释：
方程f(x)＝g(x)的解，就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．
方程f(x)＝g(x)的解，就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．利用两个函数的图象，可精略地估算出方程f(x)＝g(x)的近似解，这就是图象法解方程．
注：
(1)在精确度要求不高时，可用图象法求解；
(2)在精确度要求较高时，先用图象法确定解存在的区间，再用二分法求
解．
图象法求方程的近似解 ：
数学探究：
例1．求方程lgx＝3－x的近似解(精确到0.1)．
1
y
O
1
x
g (x)＝3－x
f (x)＝lgx
由图知，方程lgx＝3－x的根唯一，x (2，3)．
记函数h(x)＝ lgx＋x－3．
则h(2)＝ lg2－1＜0，h(3)＝ lg3＞0．
又h(2.5)＝ lg2.5－0.5＜0，
则x (2.5 ，3)．
又h(2.75)＝ lg2.75－0.25＞0
则x (2.5 ，2.75)．
……
数学探究：
例2．求函数f (x)＝x3－3x＋1零点的近似值 (精确到0.1)．
作出函数y＝x3与y＝3x－1的图象，如图：
1
y
O
1
x
由图知，方程x3＝3x－1的根应有3个
分别在区间(－2，－1)，(0，1)，(1，2)内
在区间(－2，－1)内的近似解约为－1.9；
在区间(0，1)内的近似解约为0.4；
在区间(1，2)内的近似解约为1.5；
数学应用：
例3．在同一坐标系内分别画出函数f (x)＝2x与g(x)＝4－x的图象，并根据图象确定方程2x＋x＝4解存在的区间(区间长度为1)．最后利用计算器，求出方程2x＋x＝4的近似解(精确到0.1)．
数学建构：
数形结合：
数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够
从不同侧面认识事物，华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚，焉能分
作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微。”把数量关系的研究转
化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，
这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结
合的思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起
来，使抽象思维与形象思维结合起来．
在使用的过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化．
数学应用：
方程lgx＝x－5的根在区间(a，a＋1)内，则正整数a＝ ．再结合二分法，得lgx＝x－5的近似解约为 (精确到0.1)．
数学应用：
用不同的方法解方程2x2＝3x－1．
小结：
图象法求方程的近似解．
数形结合．
作业：
P81练习第1题．(共15张PPT)
高中数学 必修１
本章知识网络结构图：
集合部分是高中数学的基础，请回忆并归纳本章所学到的主要知识．
复习回顾
元素与集合：
属于( )与不属于( )
关系：
子集
包含A B
A＝ B
A A
真子集
对象：
运算：
补集
交集
并集
{x|x A，且x B}．
A∩B＝
{x|x A，或x B}．
A∪B＝
规定：
空集 ：
A ；
区间：
区间与连续的实数集的转换．
应用：
区间 连续的实数集合
[a，b]＝{x | a≤x≤b}，
设a，b R，a＜b且，规定
(a，b)＝{x | a＜x＜b}，
[a，b)＝{x | a≤x＜b}，
(a，b]＝{x | a＜x≤b}，
(a，＋ )＝{x | x＞a }，
(－ ，b)＝{x | x＜b}，
(－ ，＋ )＝R．
闭与开对应等与不等．
复习回顾
(4) {0}．
(3){y|y＝－x2＋2，x∈R}∩{y|y＝－x＋2， x∈R}＝{(0，2)，(1，1)}；
1．下列写法是否正确，说明理由．
(2){(x ，y)|x＝1，或y＝2}＝{(1，2)}＝{1，2}；
(1){(1，2)}＝{(2，1)}
元素与集合：
属于( )与不属于( )
关系：
集合与集合：
包含A B
A＝ B
A A
真子集
小结
确定性
数学应用
例1．设集合A ＝{x－y，x＋y，xy }，B ＝{x2－y2，x2＋y2，0 }，且A＝B，求实数x和y的值及集合A．
在平面内，设A，B，O为定点，则下列集合表示什么图形？
(1){P | PA ＝ PB}；
(2){P | PO ＝ 1}．
练习：
小结：集合元素的确定性，互异性和无序性．
数学应用
例2．如果U是全集，集合M、P、S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．(M∩P)∪S B．(M∩P)∩S
C．(M∩P)∩ US D．(M∩P)∪ US
U
M
P
S
小结：自然语言、数学语言与图形语言的转换．
数学应用
已知S＝{1，2，3，4，5}，非空集合A S．且满足：若a A，
3
则6－a A．满足条件的集合A共有多少个？
用列举法表示：
数学应用
练习 设I＝{x|x为不大于20的质数}，A、B为I的子集，A∩( IB) {3，5}，( IA)∩( IB)＝{7，19}，( IA)∩B＝{2，17}，则A∩B＝________．
2．学校举办了排球赛，某班45名学生中有12名同学参赛。后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛．已知两项都参赛的有6名同学．两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？
数学应用
设任一有限集合M所包含元素的个数记为mod(M)，则mod(A∪B)＝
mod(A)＋mod(B)－mod(A∩B)
小结1：
求集合A∪B，A∩B， U(A∪B)； U(A∩B)；
计算( UA)∪( UB)，并与 U(A∩B)比较，有什么结论？
( UA)∩( UB)与 U(A∪B)呢？
小结2：
对全集S的任意两个子集A，B，都有
S(A∪B)＝( SA )∩( SB )； S(A∩B)＝( SA )∪( SB )．
数学应用
4．设全集S＝{1，2，3，4，5，6}，集合A ＝{1，3，6}，B ＝{2，3，5}．
例3．(1)若集合{x | x2＋ax＋1＝0，x R}中只含有一个元素，求a的值．
(2)若集合{x | ax2＋x＋1＝0，a R}中只含有一个元素，求a的值．
小结3：
1．利用集合来表示方程或方程组的所有解是集合应用的一个重要方面，准确进行集合语言和方程语言的转化，是解题的关键．
2．二次项系数含字母的“形式上”的一元二次方程利用判别式符号判别根的个数时，要注意二次项系数不为零的情况，这一点应引起足够重视．
数学应用
1．已知集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0，a∈R}．若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
2．若集合{x | x2＋ax＋b＝ x，x R}中仅有一个元素a，求实数a，b的值．
数学应用
练习 已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．
(1)若A∩B＝A∪B，求实数a的值．
(2) A∩B，A∩C＝ ，求实数a的值．
数学应用
(1)搞清集合的具体含义(从元素的一般形式出发，搞清是点集，还是数集？)；
(2)正确书写符号(补集、子集(包含于)、真子集、属于、常用数集)；
(3)掌握利用图形(Venu图、数轴)解题，学会用图和符号语言来表示关系（集合与集合、元素与集合）；
(4)注意空集在解题中的作用，防止因漏掉空集而导致解题错误；
(5)正确把握方程(组)、不等式(组)的解集．
小结：
应用：
方程(组)的解集；
不等式(组)的解集；
生活问题数学化、数学问题生活化．
作业：
课本P17-8，9，10，12．(共12张PPT)
高中数学 必修１
情境问题：
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……一个细胞分裂x次后，得到细胞的个数为y，则y与x的函数关系是什么呢？
从我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子至今大部分还能发芽开花．这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古生物的年代，可以用放射性碳法：在动植物体内都含有微量的放射性14C．动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰减，大约每经过5730年(14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半．经过科学测定，若14C的原始含量为1，经过x年后的残留量为y，则 y与x的函数关系是什么呢？
y ＝2x
y ＝ax，这里的a为常数，0＜ a ＜1 ．
………………………………(1)
…………(2)
(1)和(2)有什么相同的特征？
数学建构：
2．指数函数的定义域是什么？
3．函数y＝2x和函数y＝x2有什么区别？
4．函数y＝2·3x和y＝23x是不是指数函数？
一般地，函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数．
指数函数的定义：
1．在指数函数的解析式y＝ax中，为什么要规定a＞0且a≠1？
思考问题：
数学应用：
(1)y＝2·3x；(2)y＝3x-1；(3)y＝x3； (4)y＝－3x；
(5)y＝(－3)x；(6)y＝ x；(7)y＝3x2；(8)y＝xx；
(9)y ＝4-x，(10)y＝(2a－1)x(a＞ ，且a≠1)．
练习：判断下列函数是否是指数函数：
数学建构：
指数函数的图象与性质：
在同一坐标系画出(1)y＝2x，(2)y＝ 的图象，
观察并总结函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质．
借助于计算机在同一坐标系内画出函数(1)y＝10x，(2)y＝2.5x，(3)y＝0.1x，(2)y＝0.4x的图象，进一步验证函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质，
并探讨函数y＝ax与y＝a-x(a＞0，且a≠1)二者之间的关系．
数学建构：
一般地，指数函数y＝ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：
a＞1 0＜a＜1
图象
定义域
值域
性质
R
(0，＋ )
x
y
O
1
R上的减函数
x
y
O
1
图象恒过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
指数函数的性质：
R上的增函数
数学应用：
(1)1.52.5，1.53.2；
(2)0.51.2，0.51.5；
(3)1.50.3，0.81.2．
小结：
在解决比较两个数的大小问题时，一般情况下是将其看作一个函数的两个函数值，利用函数的单调性直接比较它们的大小，如(1)、(2)．当两个数不能直接比较时，我们可以将其与一个已知的过渡数进行比较大小，从而得出该两数的大小关系．常用来过渡的值有0或±1等，根据实际问题也可能是其它数值．
例1．比较大小
数学应用：
义域时，必须注意以前我们求函数定义域时的一些限制条件：
虽然指数函数y＝ax的定义域R，但是在求与指数函数有关的复合函数的定
例2．求下列函数的定义域，并探求其值域．
(1) y＝
(2) y＝
说明：
(1)分式的分母不能为0；
(2)偶次根式的被开方数大于或等于0；
(3)0的0次幂没有意义；
(4)在实际问题中必须使实际问题有意义．
数学应用：
解 由f(x)＞g(x)，得
例3．函数f(x)＝a ，g(x)＝a (a＞0且a≠1) ，若f(x)＞g(x)，
x2－3x＋1
x2＋2x－4
求x的取值范围．
a ＞a
x2－3x＋1
x2＋2x－4
(1)当a＞1时，x2－3x＋1 ＞x2＋2x－4，解得x＜1
(2)当0＜a＜1时，x2－3x＋1＜x2＋2x－4，解得x＞1
若a＞1，则x的取值范围为{x|x＜1}；
综上所述：
若0＜a＜1，则x的取值范围为{x|x＞1}．
数学应用：
若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则它的单调性为 ．
小结：
指数函数的定义：
函数y＝ax(a＞0，a≠1)叫做指数函数．
指数函数的图象和性质：
指数函数的定义域为R，图象恒过点(0，1)，
当0＜a＜1时，指数函数在R上递减；
当a＞1时，指数函数在R上递增．
利用指数函数的性质进行大小比较．
作业：
P54习题2.2(2)2，3，4．
课后探究：
已知函数f (x)＝
．
给出f (x)的定义域，值域，奇偶性和单调性．(共12张PPT)
高中数学 必修1
如图(课本34页图2―1―13)，是气温 关于时间t的函数，记为 ＝f (t)，观察这个函数的图象，说出气温在哪些时间段内是逐渐升高的或是下降的？
问题：怎样用数学语言刻画“随时间的增大气温逐渐升高 ”这一特征？
y随x的增大而增大．
情境问题：
t/h
/℃
O
2
2
6
10
24
20
10
(x≥0 )
在一碗水中，加入一定量的盐，盐加得越多就越咸．设水的质量为1，盐的质量为x，盐水的浓度为y，则y与x之间的函数关系是 y＝ ．
问题一：怎样用数学语言刻画“盐加得越多就越咸”这一特征？
问题二：函数的解析式能反映出这个特征吗？
y随x的增大而增大．
情境问题：
一次函数y＝2x＋1中， 随x的增大， y如何变化？
y随x的增大而增大！
数学建构：
x
y
O
P1(x1，y1)
P2(x2，y2)
在函数y＝2x＋1的图象上任取两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，满足x1＜x2，
有y1－y2＝(2x1＋1)－(2x2＋1)＝2(x1－x2)
因为x1＜x2，则有x1－x2＜0，
所以y1－y2＜0，即y1＜y2．
所以说y随x的增大而增大．
数学建构：
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I A．
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增函数， I称为y＝f(x)的单调增区间．
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，
那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数， I称为y＝f(x)的单调减区间．
如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．
数学应用：
如果定义域为A的函数y＝f(x)的图象如图所示．
针对图形，指出哪些函数是A上的单调增函数，哪些函数是A上的单调减函数．
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
(1)
(2)
(3)
(4)
数学应用：
x
y
O
表述二次函数y＝x2＋2x－1的单调性：
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
在区间(－ ，－1)上单调递减，在区间(－1，＋ )上递增．
在区间(－ ，－1)上是减函数，在区间(－1，＋ )上是增函数．
二次函数y＝x2＋2x－1的减区间是(－ ，－1)，增区间是(－1，＋ )．
x
y
O
表述反比例函数y＝ 的单调性：
在第一象限，y随x的增大而减小，
在第三象限，y随x的增大而减小．
在区间(0，＋ )上单调递减，在区间(－ ，0)上也单调递减．
数学应用：
在区间(0，＋ )上是减函数，在区间(－ ，0)上也是减函数．
函数y＝ 的减区间是(－ ，0)和(0，＋ )．
注：函数y＝ 的减区间不能表示为(－ ，0)∪(0，＋ )．
(1)y＝－x2＋2；
例1.说出下列函数的单调区间：
(2)y＝ ＋1 (x≠0) ．
解：
(1)函数y＝－x2＋2的增区间为(－ ，0]，减区间为(0，＋ )．
(2)函数y＝ ＋1的单调减区间为(－ ，0)和(0，＋ )．
数学应用：
(1)证明：函数y＝－x2＋2在区间(－ ，0]上单调递增；
例2.完成下列证明：
(2)证明：函数y＝ ＋1在区间为(－ ，0)上单调递减．
数学应用：
(1)单调性是函数的本质属性，可根据图象写出判定函数的单调性；
(2)根据已知函数的单调性判定相关函数的单调性
(3)写单调区间时，注意区间的端点；
(4)将y＝f(x)的图象上下平移时，单调区间不发生改变；左右平移时，
单调区间相应平移；
(5)单调区间不能随便求并集．
小结：
作业：
P43第2，7题．(共14张PPT)
高中数学 必修１
情境问题：
一般地，函数y=ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数．
指数函数的定义：
指数函数的图象与性质：
a＞1 0＜a＜1
图象
定义域
值域
性质
R
(0，＋ )
x
y
O
1
R上的减函数
x
y
O
1
图象恒过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
R上的增函数
情境问题：
对于函数y＝ax(a＞0且a≠1)，图象恒过定点(0，1)．
若a＞1，则当x＞0时，y 1；而当x＜0时，y 1；
若0＜a＜1，则当x＞0时，y 1；而当x＜0时，y 1．
数学应用：
(1) 3x≥1；
(2) 0.2x＜1；
(3)3x≥30.5；
(4)0.2x＜25；
(5)9x＞3x-2；
(6)3×4x－2×6x≤0．
例1．解下列不等式：
数学建构：
例2．说明下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系，并画出它们的示意图：
(1)y=2x－2
(2)y=2x＋2
(3)y=2x－2
(4)y=2x＋2
注：
(1)函数图象进行平移变换的一般规律：
左右平移：y＝f(x) y＝f(x＋k)(当k＞0时，向左平移，反之向右平移)；
上下平移：y＝f(x) y＝f(x)＋h(当h＞0时，向上平移，反之向下平移)．
(2)如函数的图象有渐近线，平移时，渐近线应和图象一起平移．
数学应用：
(1)将函数f (x)＝3x的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，可以得到函数 的图象．
(2)将函数f (x)＝3-x的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可以得到函数 的图象．
(3)将函数 f (x)＝ ＋2图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
所得函数的解析式是 ．
(4)对任意的a＞0且a≠1，函数y＝a2x-1的图象恒过的定点为 ，函数y＝a2x－1的图象恒过的定点的坐标是 ．
数学探究：
注：
(1) 函数图象对称变换的一般规律：
完全变换：关于y轴对称 y＝f (x) y＝f (－x)；
关于x轴对称 y＝f (x) y＝－f (x)．
不完全变换：典型的有y＝f (x) y＝f (|x|)与y＝f (x) y＝|f (x)|．
(2) 函数的图象如有渐近线，对称变换时，渐近线应和图象一起翻折．
(6)如何利用函数f(x)＝2x的图象，作出函数|f(x)－1|的图象？
(5)如何利用函数f(x)＝2x的图象，作出函数y＝2|x|和y＝2|x－2|的图象？
数学建构：
平移变换：
对称变换：
完全对称变换：
1．函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称；
2．函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称；
3．函数y＝f(x)的图象与到函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
1．函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(x＋a)的图象关系为左右平移；
2．函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(x)＋a的图象关系为上下平移；
局部对称变换：
1．y＝|f(x)|的图象是保留函数y＝f(x)的图象上位于x轴上方部分，
而将位于x轴下方部分作关于x轴对称变换；
2．函数y＝f(|x|)的图象是保留y＝f(x)的图象上位于y轴右侧部分，
而将位于y轴右侧部分作关于y轴对称变换；
注：任一偶函数y＝f(x)都可以表示为y＝f(|x|)形式．
数学应用：
例3．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且x＜0时，f(x)＝1－2x，试画出此函数的图象．
数学应用：
例4．求函数 的最小值以及取得最小值的x时值．
数学应用：
(1)函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于 ．
(2)函数y＝2-|x|的值域为 ．
(3)设a＞0且a≠1，如果y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值为14，求a的值．
(4)当x＞0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，求实数a的取值范围．
小结：
1．指数函数的性质及应用；
2．指数型函数的定点问题；
3．指数型函数的草图及其变换规律．
作业：
P54习题2.2(2)6，7，10．
数学探究：
(2)对于任意的x1，x2 R ，若函数f(x)＝2x ，试比较
2
f(x1)＋f(x2)
与
的大小．
(1)函数f (x)的定义域为(0，1)，则函数 的定义域为 ．(共11张PPT)
高中数学 必修1
情境问题:
列表法
解析法
图象法
函数的表示法
如果函数y＝f(x) 在不同的区间上具有不同的对应法则呢
例1．某市出租汽车收费标准如下：在3km以内(含3km)路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费．试写出收费额关于路程的函数解析式．
数学应用:
实际问题中，分段函数是常见的函数模型．
例2．如图，梯形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(6，0)，B(4，2)，C(2，2)．一条与y轴平行的动直线l从O点开始作平行移动，到A点为止．设直线l与x轴的交点为M，OM＝x，记梯形被直线l截得的在l左侧的图形的面积为y．求函数y＝f(x)的解析式、定义域、值域．
x
y
O
A
B
C
数学应用：
1．如图，点P在边长为2的正方形边上按A→B→C→D→A的方向移动，试将AP表示成移动的距离x的函数．
数学应用：
A
B
C
D
P
例3．将函数f(x)＝ | x＋1|＋| x－2|表示成分段函数的形式，并画出其图象，根据图象指出函数f(x)的值域．
数学应用：
f (x)＝
2x－1
x≥2
－2x＋1
x＜－1
3
－1≤x＜2
y
x
O
f (x)
2．函数f(x)＝| 2x＋1|与g(x)＝| x＋1| ＋| x| 是同一函数吗？
画出函数f(x)与g(x)的图象．
x －3 －2 －1 0 1 2 3
f(x) 5 3 1 1 3 5 7
g(x) 5 3 1 1 3 5 7
数学应用：
列表对比：
f(x)＝| 2x＋1|
f(x)＝
2x＋1，
x≥－0．5
－2x－1，
x＜－0．5
g(x)＝
2x＋1
x≥0
－2x－1
x＜－1
1
－1≤x＜0
y
x
O
y
x
O
g(x)＝| x＋1| ＋| x|
数学应用：
3．若f(x)＝ 求f(－1)，f(0)，f(2)，f(f(－1))，f(f(0))，f(f(0.5))的值．
数学应用：
x2－1，x≥0，
2x＋1，x＜0．
小结：
2．分段函数的应用 ．
1．分段函数与分类讨论．
注：分段函数不是几个函数，而是一个完整的函数，只是在不同的区间上具有不同的对应关系．
作业：
P32第3，10，12题．(共16张PPT)
高中数学 必修１
情境创设
A＝{ x｜x3－x2－2x＝0}；
B＝{ x｜(x＋2)(x＋1)(x－2)＝0}．
用列举法表示下列集合:
思考：集合A与B之间有包含关系么？
那你能用图示来反映集合A与B之间的关系吗？
A
B
－1，2
0
－2
情境创设
用数轴表示集合A＝{x｜x≤3}，B＝{ x｜x＞0 }，C＝{x｜0＜x≤3}之间的关系
思考：集合A、B与C之间的关系如何刻画呢？
0
1
2
3
4
数学建构
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集(intersection set)，记作A∩B，读作：“A交B”．即
A
B
A∩B
＝{x|x A，且x B}．
A∩B
1．交集的定义
数学建构
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集(union set)，记作A∪B，读作：“A并B”．即
＝{x|x A，或x B}．
A∪B
2．并集的定义
A
B
A∪B
1．如果A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝ ，A∪B＝ ．
2．已知A∪B＝{－1，0，1，2，3}，A∩B＝{－1，1}，如果A＝{－1，0，1} ，则B＝ ．
{0，1}
{－1，0，1，2，3}
{－1，1，2，3}
数学应用
例1变式．已知元素(1，2) A∩B，A＝{( x，y)| y2＝ax＋b}，B＝{( x，y)| x2－ay－b＝0}，求a，b的值并求A∩B ．
例1．已知A＝{( x，y)| x＋y ＝2}，B＝{( x，y)| x－y ＝4}，求集合A∩B．
数学应用
数学应用
3．如果A＝{x |2x≤8} ，B＝{x |3x－8≥7 －2x} ，则A∩B＝ ．
6．已知A ＝{x|x是矩形}，B＝{x|x是菱形}，则A∩B＝ ，A∪B＝ ．
{x |3≤x≤4}
{x|x是正方形}
{x|x是矩形或菱形}
5．已知A ＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则A∩B ＝ ，A∪B ＝ ．
{x|x是斜三角形}
4．已知A ＝{x | x＞0}，B＝{x | x＜0}，则A∩B ＝ ，A∪B ＝ ．
{x | x≠0}
7．若A＝{x|x为等腰三角形}，B＝{x|x为直角三角形}，则A∩B＝
，A∪B＝ ．
{x|x为等腰直角三角形}
{x|x为等腰或直角三角形}
填表：
A
B∩A
B
A
B
A
B
A
B
A∪B
数学应用
A
A
A
A
S
S
数学建构
一般地，对于任意的两个集合A，B．
＝
A∩B B∩A
＝
A∪B B∪A
A∩ ＝
A∪ ＝
A
A
A∩A＝
A∪A ＝
A
A∩B A
A∪B A
A∩B B
A∪B B
小结：
若A∩B＝A，则A B
若A∪B＝A，则A B
思考：设A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{y|0＜y＜4}，能否求A∩B、A∪B？
例2．学校举办了排球赛，某班45名学生中有12名同学参赛．后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛．已知两项都参赛的有6名同学．两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？
数学应用
3．有关区间的规定：
[a，b]＝{x | a≤x≤b}，
设a，b R，且a＜b，规定
(a，b)＝{x | a＜x＜b}，
[a，b)＝{x | a≤x＜b}，
(a，b]＝{x | a＜x≤b}，
(a，＋ )＝{x | x＞a }，
(－ ，b)＝{x | x＜b}，
(－ ，＋ )＝R．
a
b
a
b
数学建构
0
例3． 设A＝(0, ＋ )，B＝(－ ，1]，求A∩B和A∪B．
解：A∩B= (0, ＋ ) ∩ (－ ，1]
＝ (0，1] ；
A∪B=R．
1
说明：利用数轴进行集合运算时，应特别注意端点处的值是否能取得．
数学应用
变式：设A＝(0，1]，B＝{0}，求A∪B．
练习 设A＝(－1，8)，B＝(－ ，－5)∪[4，＋ )，求A∩B、A∪B．
解：在同一条数轴上分别标出区间A与B
则有：A∩B＝[4，8)，
A∪B＝(－ ，－5)∪(－1，＋ )．
－1
－5
4
8
数学应用
要素分析
对象
关系
定义
两个集合A、B
A与B是任意两个集合
直观理解
交集
并集
＝{x|x A，且x B}．
A∩B
＝{x|x A，或x B}．
A∪B
A
B
A
B
A
B
若B A，则A∩B＝B，A∪B＝A
小结
课本P13-习题2，3，5，7．
作业(共19张PPT)
高中数学 必修１
数学建构：
本章知识要点：
主要运用数形结合的方法来研究函数的性质．
函数的图象
函数的性质
数学建构：
知识点：
一般函数 特殊函数
一次 二次 反比例 指数函数 对数函数 幂函数
y=x y=x2 y=x3 y=x0.5 y=x-1
定义域
值域
图象
单调性
奇偶性
其他
数学应用：
例1．二次函数的图象顶点为A(1，16)，且图象在x轴上截得的线段长为8，求这个二次函数的解析式．
变式：(1)已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)对称轴是x＝1；(2)f(x)的
最大值为15；(3)f(x)的两个零点的立方和等于17．求f(x)的解析式．
(2)已知f(2x＋1)＝4x＋3，求f(x)．
(3)已知 ，a、b、c R，abc≠0且a2≠ b2，求 f (x)．
一．函数的概念
数学应用：
例2．判断下列各组函数是否表示同一个函数．
(1) y＝
与y ＝ x＋1
(2) y＝
＋1与y ＝ x＋1
数学应用：
例3．求函数y ＝ 2x－3－ 的定义域与值域．
数学应用：
1．求下列函数的定义域．
(1) f (x)＝
(2) f (x)＝
(3) f (x)＝
(4) f (x)＝
(5) f (x)＝log2(4＋3x)
(6) f (x)＝
数学应用：
求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的的取值范围，列出不等式(组)，然后求出它们的解集．其准则一般有以下几个：
(5)对于实际问题，必须具有实际意义．
(2)幂函数y = xa中，当a≤0时，要求 x≠0．
(3)偶次根式中，被开方数为非负数．
(1)分式中，分母不等于零．
(4)对数的真数应为正数．
在一些具体函数综合问题中，函数定义域往往具有隐蔽性，所以在研究
这些问题时，必须树立“定义域优先”的原则．
数学应用：
复合函数f[g(x)]的定义域既要考虑内函数g(x)的值域 ，同时要考虑外函数f (x)的定义域，情况相对复杂．
3．已知函数f(x)＝ ，则函数f[f(x)]的定义域是 ．
1
x－1
2．已知函数f (x)＝2x＋1，x [1，5]，试求函数f(2x－3)的表达式．
数学建构：
定义域
函数的三要素
对应法则
值域
函数的生命线
研究函数的目的
(1)解析法：
(2)列表法：
(3)图象法：
数学应用：
二、函数的图象
例4．下列关于函数y = f(x)(x D)的图象与直线x＝a交点的个数的结论，(1)有且只有1个；(2)至少有1个；(3)至多有1个，其中正确的是 ．
画出下列函数的图象：
(1) f (x)＝|x2－x|
(2) f (x)＝|2x－1|
(3) f (x)＝|x－1|＋|x|
(4) f (x)＝|x|－|x－1|
(5) f (x)＝|x－1|＋|x＋1|
(6) f (x)＝|x－1|－|x＋1|
数学建构：
描点法
函数的图象
基本图形变换
(1)平移变换：
(2)对称变换：
数学应用：
函数的简单性质：
例5．若函数f(x)是R上的增函数，对实数a、b，若a＋b＞0，则下列不等关系： (1)f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；(2)f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)；(3)f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b)；(2)f(a)－f(b)＜f(－a) －f(－b)；其中正确的是 ．
数学应用：
函数的简单性质：
例6．判断下列函数的奇偶性．
设f(x)是定义在R上的一个任意函数，下列函数：(1)y＝|f(x)；
(2)y＝f(|x|)； (3)y＝xf(x2)；(4)y＝－ f(－x)；(5)y＝f(x)－f(－x)；
(6)y＝f(x) ＋f(－x)中，必为奇函数的有________；必为偶函数的有________．
(1) f (x)＝|x－1|＋|x＋1|
(2) f (x)＝|x－1|－|x＋1|
(3) f (x)＝
(4) f (x)＝
x2＋2x，x≤0，
－x2＋2x，x＞0，
数学建构：
单调性
函数的性质
奇偶性
(1)奇函数： f(－x)＝－f(x)
(2)偶奇函数： f(－x)＝f(x)
数学应用：
函数性质的综合应用：
例7．设函数f(x)是定义在实数集R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝x(x＋1)，试求当x＞0时，f(x)的解析式．
数学应用：
函数性质的综合应用
例8．已知函数f(x)＝ (a，b，c Z)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)＜3，求a，b，c的值．
数学应用：
函数性质的综合应用：
(1)与y＝x2－2x＋5的图象关于y轴对称的图象的函数解析式是 ．
(2)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1，2a]，则a＝ ，b＝ ．
(3)已知函数f(x)为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和为 ．
(4)f(x)是偶函数，且在[a，b]上是减函数(0＜a＜b)，则f(x)在[－b，－a]上的单调性为 ．(若改为奇函数呢 )
作业：
P95第4，5，7，9题．(共18张PPT)
高中数学 必修１
情境问题：
对数函数的定义：
函数y＝logax (a＞0，a≠1)叫做对数函数．
对数函数的定义域为(0，＋ )，值域为R ．
对数函数的图象和性质：
对数函数的图象恒过点(1，0)，
当0＜a＜1时，对数函数在(0，＋ ) 上递减；
当a＞1时，对数函数在(0，＋ )上递增．
如图所示曲线是对数函数y＝logax的图像，
已知a值取1.5，e，0.5，0.2，则相应于C1，C2，
C3，C4的a的值依次为 ．
1
O
y
x
C1
C2
C3
C4
数学应用：
例1 ．如图所示曲线是对数函数y＝logax的图像，已知a值取0.2，0.5， 1.5，e，则相应于C1，C2，C3，C4的a的值依次为 ．
1
O
y
x
C1
C2
C3
C4
数学探究：
例2．分别将下列函数与y＝log3x的图象在同一坐标系中画出，并说明二者之间的关系.
x
y
O
(1) y＝log3(x－2)；
(2) y＝log3(x＋2)；
(3) y＝log3x－2；
(4) y＝log3x＋2.
数学探究：
例2．分别将下列函数与y＝log3x的图象在同一坐标系中画出，并说明二者之间的关系.
x
y
O
(1) y＝log3(x－2)；
(2) y＝log3(x＋2)；
(3) y＝log3x－2；
(4) y＝log3x＋2.
y＝log3x
y＝log3(x－2)
将函数y＝log3x的图象向右平移2个单位，即得y＝log3(x－2)的图象.
数学探究：
例2．分别将下列函数与y＝log3x的图象在同一坐标系中画出，并说明二者之间的关系.
(1) y＝log3(x－2)；
(2) y＝log3(x＋2)；
(3) y＝log3x－2；
(4) y＝log3x＋2.
y＝log3x
y＝log3(x＋2)
将函数y＝log3x的图象向左平移2个单位，即得y＝log3(x＋2)的图象.
x
y
O
数学探究：
例2．分别将下列函数与y＝log3x的图象在同一坐标系中画出，并说明二者之间的关系.
(1) y＝log3(x－2)；
(2) y＝log3(x＋2)；
(3) y＝log3x－2；
(4) y＝log3x＋2.
y＝log3x
y＝log3x－2
将函数y＝log3x的图象向下平移2个单位，即得y＝log3x－2的图象.
x
y
O
数学探究：
例2．分别将下列函数与y＝log3x的图象在同一坐标系中画出，并说明二者之间的关系.
(1) y＝log3(x－2)；
(2) y＝log3(x＋2)；
(3) y＝log3x－2；
(4) y＝log3x＋2.
y＝log3x
y＝log3x＋2
将函数y＝log3x的图象向上平移2个单位，即得y＝log3x＋2的图象.
x
y
O
数学建构：
平移变换：
1．函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(x＋a)的图象关系为左右平移；
2．函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(x)＋a的图象关系为上下平移；
平移法则：左加右减，上加下减
数学应用：
x
y
O
(3)由函数y＝ log3(x＋2)，y ＝log3x的图象与直线y=－1，y＝1所围成的封闭图形的面积是 .
(1)将函数y＝logax的图像沿x轴向右平移2个单位，再向下平移1个单
位，所得函数图像的解析式 ．
(2)对任意的实数a(a＞0，a≠1)，函数y＝loga(x－1)＋2的图像过的定点
坐标为 ．
数学应用：
例3．画出函数y＝log2|x|的图象．
x
y
O
结合函数y＝log2|x|的图象，说出它的有关性质．
注：偶函数y＝f(x)总可以写作y＝f(|x|) ．
说出函数y＝log2(x－2)2的单调区间．
数学应用：
(1)画出函数y＝|log2x|的图象．
结合图象讨论，写出该函数的单调区间．
x
y
O
试比较y＝|log2x|的图象y＝|log0.5x|的图象，说出二者的关系．
数学应用：
(2)在同一坐标系中，画出函数y＝log2x与y＝log2(－x)的图象，并说明二者之间关系．
x
y
O
将函数y＝log2x的图象作关于y对称的图象，即为函数y＝log2(－x)的图象．
y＝log2x
y＝log2(－x)
数学应用：
(3)在同一坐标系中，画出函数y＝log2x与y＝－log2x的图象，并说明二者之间关系．
x
y
O
将函数y＝log2x的图象作关于x对称的图象，即为函数y＝－log2x的图象．
y＝log2x
y＝－log2x
数学建构：
对称变换：
完全对称变换
1．函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称；
2．函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称；
3．函数y＝f(x)的图象与到函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
局部对称变换
1．y＝|f(x)|的图象是保留函数y＝f(x)的图象上位于x轴上方部分，
而将位于x轴下方部分作关于x轴对称变换；
2．函数y＝f(|x|)的图象是保留y＝f(x)的图象上位于y轴右侧部分，
而将位于y轴右侧部分作关于y轴对称变换；
注：任一偶函数y＝f(x)都可以表示为y＝f(|x|)形式．
数学应用：
画出函数y＝|log2x－1|的图象．
x
y
O
说明函数y＝ log2 的图象与函数y＝ log2x图象的关系．
小结：
平移变换：
对称变换：
掌握基本图形，掌握变换规律．
构造复杂函数的图象，能利用函数的图象揭示函数的性质．
作业：
P70习题2.3(2)6，8，9．(共12张PPT)
高中数学 必修１
情境问题：
某城市现有人口总数为100万，如果人口的年自然增长率为1.2﹪，问:
(1)写出该城市人口数y(万人)与经历的年数x之间的函数关系式;
(2)计算10年后该城市的人口数；
(3)计算大约多少年后，该城市人口将达到120万
(4)如果20年后该城市人口数不超过120万，年人口自然增长率应该控制在多少
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖关系的有效工具．利用函数模型可以处理生产、生活中许多实际问题．
数学探究：
1．等腰三角形顶角y(单位：度)与底角x的函数关系为 ．
2．某种茶杯，每个0.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的
函数 ，其定义域为 ．
数学应用：
例1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元．分别写出总成本C(万元)、单位成本P(万元)、销售收入R(万元)以及利润L(万元)关于总产量x(台)的函数关系式．
数学应用：
1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为x件时的成本函数是C(x)＝200＋10x＋0.5x2(元)，若每售出一件这种商品的收入是200元，那么生产并销售这种商品的数量是200件时，该企业所得的利润可达到 元．
2．有m部同样的机器一起工作，需要m小时完成一项任务．设由x部机
器（x为不大于m的正整数）完成同一任务，求所需时间y(小时)与机器的部数x的函数关系式．
数学建构：
函数模型：
函数模型是最常用的数学模型，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．
数学应用：
例2．大气温度y(℃)随着离开地面的高度x(km)增大而降低，到上空11 km为止，大约每上升1 km，气温降低6℃，而在更高的上空气温却几乎没变(设地面温度为22℃)．
求：(1) y与x的函数关系式；
(2)x＝3.5 km以及x＝12km处的气温．
由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同，因此本例第1小题得到的是关于自变量的分段函数；
在例2的条件下，某人在爬一座山的过程中，分别测得山脚和山顶的温度为26℃和14.6℃，试求山的高度．
数学应用：
3．A、B两地相距150千米，某人以60千米/时的速度开车从A到B，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A，则汽车离开A地的距离x与时间t的函数关系式为 ．
4．某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，慢车到达终点需
16min，快车不慢车晚发车3min，且行驶10min到达终点站.试分别写出
两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式．两车在何时相遇？相
遇时距始发站多远？
数学应用：
5．某产品总成本C(万元)与产量x(台)满足关系C＝3000＋20x－0.1x2，其中
0＜x＜240．若每台产品售价25万元，则厂家不亏本的最低产量为 台．
数学建构：
数学应用题的一般求解程序：
(1)审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系；
(2)建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应
的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得到数学结论；
(4)结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意
下结论．
小结：
建立数学模型
解出模型结果
解释实际问题
实际问题
作业：
P84练习1，2，3．(共16张PPT)
高中数学 必修1
情境问题：
1．函数及函数定义域的概念：
一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每个元素x，在集合B中都有惟一的元素和它对应，那么这样的对应叫从A到B的一个函数．通常记为：y＝f(x)，x A， x的值构成的集合A叫函数y＝f(x)的定义域．
2．回忆常见函数的模型及图象：
是不是每一个函数都可以用图象表示呢？怎样才能准确地作出一个函数的图象呢？
y ＝2x－1
x
y
O
y
x
O
y ＝x2
y
x
O
请画出下列函数的图象：
1．一次函数y＝2x－1
2．反比例函数
3．二次函数y＝x2
数学应用：
数学建构：
画图象，先列表，描点连线平滑好；
画直线，找两点，再用直尺把线连；
抛物线，找顶点，对称轴就很明显．
作函数的图象的基本方法：
——描点法：
函数的图象：
一般地，我们将自变量的一个值x0作为横坐标就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，自变量取遍函数定义域A的每个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，y)|y＝f(x)，x A}，这些点组成的曲线就是函数y＝f(x)的图象．
例1．画出下列函数的图象；
数学应用：
(1) f(x)＝x＋1； (2) f(x)＝x＋1，x {－1，0，1，2，3}；
(3)f(x)＝(x－1)2＋1，x R； (4)f(x)＝(x－1)2＋1，x [1，3)．
数学应用：
y
x
(1) f(x)＝x＋1；(2) f(x)＝x＋1，x {－1，0，1，2，3}；
y
x
y ＝(x－1)2＋1
数学应用：
y ＝(x－1)2＋1，x [1，3)
除描点法画函数的图象外，常依托基本函数的图象进行构图．
(3)f(x)＝(x－1)2＋1，x R； (4)f(x)＝(x－1)2＋1，x [1，3)．
例2．从人口统计年鉴中查到我国从1949年至1999年人口数据资料如下表所示：
数学应用：
把人口数y(百万人)看作是年份x的函数，试根据表中数据画出函数的图象．
年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999
人口数(百万) 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246
此类图形常借助于电脑的Excel进行．
数学建构：
用Excel作图的基本步骤 ：
⑴赋值
⑵命令函数
⑶进行函数运算
⑷选择“XY散点图/无数据点平滑线散点图”插入图表．
例3．画出函数f(x)＝x2＋1的图象，并根据图象回答下列问题：
⑴比较f(－2)，f(1)，f(3)的大小；
⑵若0＜x1＜x2，试比较f(x1)与f(x2)的大小．
y
x
y ＝x2＋1
数学应用：
构造函数的图象，最主要是为了应用．
x1
x2
画出下列函数的图象：
(1)y＝|x－1|＋|x＋1|；
(2)y＝|x－1|－|x＋1|；
数学应用：
(3)y＝x|2－x|．
(1) y＝|x－1|＋|x＋1|
数学应用：
＝
－2x，x≤－1，
2，－1＜x≤1，
2x，x＞1．
y
x
O
(2) y＝|x－1|－|x＋1|
数学应用：
＝
－2，x≤－1，
2x ，－1＜x≤1，
2，x＞1．
y
x
O
数学应用：
(3) y＝ x|2－x|
＝
－x2＋2x ，x≤2，
x2－2x，x＞2．
y
x
O
小结：
描点法：
基本图象变换法：
M＝{(x，y) |y＝ f(x)，x A}
函数的图象：
函数图象的构造：
平移变换
对称变换
函数图象的应用：
作业：
课本P29第3题．(共13张PPT)
高中数学 必修１
复习回顾与情境创设
A＝{ x｜x2≤0}，
B＝{ x｜x＝(－1)n＋ (－1)n+1，n Z} ，
C＝{ x｜x2－x－2＝0}，
D＝{ x｜－1≤x≤2，x Z}．
将下列用描述表示的集合改为用列举法表示：
问题：集合A与B之间有什么关系？
思考：集合C与D之间有什么关系？
数学建构
1．子集的含义：
记作A B，或B A ，亦记作A B，或B A．
注意： 与 的区别．
A B 若a A，则a B．
图示法表示：
集合A中的任一个元素，都是集合B的元素，我们称集合A是集合B的子集．
读作A包含于B，或B包含A．
B
A
思考：A B与B A能否同时成立？
若A B且B A，则A＝B ．
数学应用
例1．按要求完成下列各题：
(1)写出集合{a，b}的所有子集；
(2)写出集合{1，2，3}的所有子集；
数学建构
2．真子集的定义：
A B，且至少存在一个x，满足x B但x A．如
A B
即A B，且A ≠B ．即A B，且B中至少存在一个x A．
A＝B
即A B且B A．
数学建构
子集的性质：
(1)A A；
(2)若A B且B C，则A C；
(3) A．
注：关于子集的一个特别规定：
规定：空集 是任何集合的子集．空集 是任何非空集合的真子集．
2．下列结论：(1)空集没有子集；(2)任何集合至少有两个子集；(3)空集是任何集合的真子集；(4)若 A，则A ≠ ．其中正确的有 个．
3．设x，y R，A＝{(x，y)| y－3＝x－2 }，
B＝{(x，y)| ＝1 }，说明A与B的关系．
x－2
y－3
数学应用
1．在“①1 {0，1，2}，②{1} {0，1，2}，③{0，1，2} {0，1，2}，④{0，1，2} {0，1，2}，⑤{0，1，2}＝{2，0，1}”这五个写法中，错误写法有 个．
数学应用
例2．写出N，Z，Q，R的包含关系，并用Venn图表示．
R
Q
Z
N
例3．设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x｜x2－2ax＋b＝0}，若B≠ ，B A，求a，b的值．
数学建构
1．已知A＝{x|1≤x≤3 }，B＝{x| x－a≥0 }，且A B， 求实数a的取值范围．
变式1：B＝{x| x－a＞0 }，且A B，求实数a的取值范围．
变式2：已知A＝{x|1＜x≤3 }， B＝{x| x－a＞0 }，且A B，求实数a的取
值范围．
数学应用
数学应用
2．已知集合P = {x | x2＋x－6=0}，集合Q = {x | ax＋1=0}，满足Q P，求a所取的一切值．
思考：
已知集合A＝{x|x＝k＋ ，k Z}，集合B＝{x|x＝ ＋1，k Z}，集合C
＝{x|x＝ ，k Z}，试判断集合A，B，C的关系．
1．包含与子集：
2．真包含与真子集：
3．包含——真包含与相等
4．关于空集的规定：
小结
课本P10-1，2，5．
作业：(共13张PPT)
高中数学 必修１
情境问题：
一般地，函数y=ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数．
指数函数的定义：
某工厂今年的年产值为a万元，为了增加产值，今年增加了新产品的研发，预计从明年起，年产值递增15%，则明年的产值为 万
元，后年的产值为 万元．若设x年后实现产值翻两番，则
得方程 ．
a(1＋15%)
a(1＋15%)2
(1＋15%)x＝2
数学建构：
在实际问题中，经常会遇到类似的指数函数模型，设原有基数(如今年的产值)为m，平均增长率为p，则对于经过时间x后的数值y要以用y＝m(1＋p)x表示．我们把形如y＝kax(k R，a＞0且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．
2．递增的常见模型为y＝(1＋p%)x(p＞0)；
递减的常见模型则为y＝(1－p%)x(p＞0)．
1．指数型函数，常见于工农业生产，环境治理以及投资理财等；
数学应用：
例1．某种放射性物质不断变化为其他，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的84%，写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式．
截止到1999年底我国人口约13亿．如果今后能将人口平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口约为多少(精确到亿)？
变式：
数学建构：
对于实际应用问题还有两点必需注意：
一是精确度的问题，同学们在解决问题时往往忽视题中的精确度；
二是定义域，在实际问题中函数的定义域必需使实际问题有意义．
数学应用：
1．一电子元件去年生产某种规格的电子元件a个，计划从今年开始的m年内，每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长p%，试写出此种规格电子元件的年产量随年数变化的函数关系式；
2．一电子元件去年生产某种规格的电子元件的成本是a元/个，计划从今年开始的m年内，每年生产此种规格电子元件的单件成本比上一年下降p%，试写出次种规格电子元件的单件成本随年数变化的函数关系式．
练习：
数学应用：
例2．某医药研究所开发一种新药，据检测：如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量为y(微克)与服药后的时间t(小时)之间近似满足如图曲线，其中OA是线段，曲线ABC是函数y＝kat的图象．试根据图象，
求出函数y＝ f(t)的解析式．
A(1，8)
y
O
x
B(7，1)
C
数学应用：
例3．某位公民按定期三年，年利率为2.70%的方式把5000元存入银行.问三年后这位公民所得利息是多少元？(利息＝本金×存期×利率)
变式：某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是
x，本利和(本金加上利息)为y元．
(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式；
(2)如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．
(复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一
种计算利息方法)
数学建构：
单利与复利：
银行存款往往采用单利计算方式，而分期付款、按揭则采用复利计算．这是因为在存款上，为了减少储户的重复操作给银行带来的工作压力，同时也是为了提高储户的长期存款的积极性，往往定期现年的利息比再次存取定期一年的收益要高；而在分期付款的过程中，由于每次存入的现金存期不一样，故需要采用复利计算方式．比如“本金为a元，每期还b元，每期利率为r”，第一期还款时本息和应为a(1＋p%)，还款后余额为a(1＋p%)－b，第二次还款时本息为(a(1＋p%)－b)(1＋p%)，再还款后余额为(a(1＋p%)－b)(1＋p%)－b＝a(1＋p%)2－b(1＋p%)－b，……，第n次还款后余额为a(1＋p%)n－b(1＋p%)n-1－b(1＋p%)n-2－……－b．这就是复利计算依据．
数学应用：
例4．2000~2002年，我国国内生产总值年平均增长7.8%．按照这个增长速度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到2010年我国年国内生产总值约为2000年的多少倍(结果取整数)．
数学应用：
3．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经3小时后，这种细菌可由1个分裂成个 ．
4．我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番，设平均每年增长率为x，则得方程 ．
练习：
小结：
1．指数模型的建立；
2．单利与复利；
3．用图象近似求解．
作业：
P54习题2.2(2)3，10．(共16张PPT)
高中数学 必修1
复习回顾与情境创设：
说出下列函数的单调性：
x
y
O
在(0，＋ )上是增函数．
在(－ ，0)上是减函数；
y＝f(x)
我们从这两个函数的图象上除看到了单调性，还能看到什么性质吗？
如何用数学语言来刻画这一几何性质呢？
x
y
O
y＝f(x)
(1)f(x) ＝x2－2
(2)f(x) ＝
在(0，＋ )上也是减函数．
在(－ ，0)上是减函数；
数学建构：
二次函数f(x)＝x2－2的图象关于y轴对称．
x
y
O
f(x)上任一点(x，y)关于y轴的对称点(－x，y)也在函数图象上．
用数学语言刻画就是有 f(－x)= f(x)．
(x，y)
(－x，y)
y＝f(x)
反过来，若函数y＝f(x)对于定义域内任一实数x，都有f(－x)= f(x)，
函数的图象具有什么性质呢？
f(－x)＝f(x)恒成立 函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．
反比例函数f(x)＝ 的图象关于原点对称．
x
y
O
f(x)上任一点(x，y)关于原点的对称点(－x，－y)也在函数图象上．
用数学语言刻画就是有 f(－x)=－f(x)．
(x，y)
(－x，－y)
y＝f(x)
反过来，若函数y＝f(x)对于定义域内任一实数x，都有f(－x)=－f(x)，
函数的图象具有什么性质呢？
f(－x)＝－f(x)恒成立 函数y＝f(x)的图象关于原点对称．
数学建构：
已知函数f(x)的定义域为A，
若对任意的x A ，都有f(－x)= －f(x)，则称函数f(x)为奇函数．
奇函数的图象关于原点对称．
偶函数的图象关于y轴对称．
如果对任意的x A ，都有f(－x)= f(x)，则称函数f(x)为偶函数．
数学建构：
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．
反之则说函数不具有奇偶性．
例1．判断函数f(x)＝x3＋5x的奇偶性．
数学应用：
对于定义在R上的函数f(x)，下列判断是否正确：
(1)若f(2)＝f(－2)，则f(x)是偶函数
(2)若f(2)≠f(－2)，则f(x)不是偶函数
(3)若f(2)＝f(－2)，则f(x)不是奇函数
对于f(x)=x2－2x－1 ，f(1)= －2 ， f(－1)=2，
显然有f(－1)=－f(1)，函数是奇函数吗？
数学应用：
例2．判定下列函数是否为偶函数或奇函数：
(1)f(x)＝x3－x； (2)f(x)＝2x；
(3)f(x)＝2|x|； (4)f(x)＝x－1
x [－1，3]
练习：判断下列函数的奇偶性：
1．f(x)＝x＋
2．f(x)＝x2＋
3．f(x)＝
3．f(x)＝
小结：判断函数具有奇偶性用定义，而判定函数不具有奇偶性
只需看定义域或举反例．
数学应用：
x
y
O
已知奇函数f(x)在y轴右边的图象如图所示，请你画出左边的图象．
如果f(x)是偶函数呢？
数学应用：
x
y
O
设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，当x [0，5]时， f(x)的图象如图所示，试写出不等式f(x)＜0的解集．
如果f(x)是偶函数呢？
5
2
数学应用：
x
y
O
x0
x
y
O
2
2
上面两个图象也具有对称性，所对应的函数具有奇偶性吗？
x
y
O
下面两幅呢？
x
y
O
数学应用：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数的条件是 ．
一次函数y＝kx＋b(k≠0)是奇函数的条件是 ．
b＝0
b＝0
函数y＝f(x)的奇偶性，是函数的本质属性，可看作是将对称性特殊化．
奇函数是中心对称的特殊形式，
偶函数则是轴对称的特殊形式．
数学应用：
例3．判断函数f(x)＝
x2＋2x，x≤0，
x2－2x，x＞0
的奇偶性．
变式：判断函数f(x)＝
x2－x－1，x＜0
x2＋x－1，x＞0
的奇偶性．
小结：分段函数奇偶性的判断：
先画出图象，结合图象给出奇偶性的结论，再利用定义分段证明．
注：若数字0在定义域内，不能忽略讨论，
且对于奇函数f(x)，若0在定义域内，则必有结论f(0)＝
0
数学应用：
例4．已知函数f(x)＝x5＋2ax3＋3bx －2，若f(－2)＝3，求f(2)的值．
小结：1．利用规律f(－x)＋f(x)等于常数项的2倍解题．
2．一个定义域关于数0对称的函数，总可以表示成一个奇函数与
一个偶函数的和．
变式：若函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，且f(x)＋ g(x)＝
1
x2－x＋1
，求f(x)与 g(x)的解析式．
数学应用：
1．定义域内．
2．任意一个x．
3．都有
f(－x)=f(x)
f(－x)= －f(x)
偶函数
奇函数
有理函数
不含有奇次幂项
不含有偶次幂项
4．判定具有奇偶性
判定不具有奇偶性
用定义
看定义域
举反例
小结：
作业：
思考下列函数的奇偶性：
P43第5，6题．
(3)f(x)＝(x－1)·
(4)f(x)＝(x－1)·
(1)f(x)＝|x＋1|＋ |x－1|
(2)f(x)＝|x＋1|－ |x－1|
(5)f(x)＝(共18张PPT)
高中数学 必修１
情境问题：
某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生的走法的是 ( )
t
d
d0
t0
t
d
d0
t0
t
d
d0
t0
t
d
d0
t0
A
B
C
D
D
在解决实际问题中，灵活选择数学模型是解决问题的关键．
情境问题：
某工厂第一季度某产品月产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)．已知4月份的产量为1.36万件，问：用以上哪个函数作为模拟函数好？为什么？
数学建构：
1．数据的拟合．
数据拟合就是研究变量之间这种关系，并给出近似的数学表达式的一种方法．根据拟合模型，我们还可以对某变量进行预测或控制．解决数据拟合问题应首先作出散点图，然后通过观察散点趋势选用相应的模型进行拟合．为使散点图更为清晰，可将数据适当简化．
2．函数模型的选择．
(1)直线型函数——一次函数
(2)对称型函数——二次函数
(3)单调型函数——指数型函数
反比例幂型函数
y＝k·ax＋b或
数学应用：
例1．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温到32℃时，需要多长时间；降温到36℃时，需要多长时间(结果精确到0.1) ？
物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始
温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，
其中Ta表示环境温度， h称为半衰期．
数学探究：
例2．在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)＝ f(x+1) － f(x)，某公司每月最多生长100台报警系统装置，生产x台(x N*)的收入为 R(x)＝3000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4000(单位：元)，利润是收入与成本之差.
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；
(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否有相同的最大值？
边际函数是经济学中的一个基本概念，也是通过大量的数据拟合，从中筛选出恰当的数学模型，从而使得经济学研究更加准确，决策更加科学.
情境问题：
1．一流的职业高尔夫选手约70杆即可打完十八洞，而初学者约160杆．初学者打高尔夫球，通常是开始时进步较快，但进步到某个程度后就不易再出现大幅进步．某球员从入门学起，他练习打高尔夫球的成绩记录如下图所示：根据图中各点，请你从下列函数中：(1)y＝ax2＋bx＋c；(2)y＝k·ax＋
b；(3)y＝ ＋b (x＞0) ；判断哪一种函数模型最能反映这位球员练习的进展情况？
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
80
100
120
140
160
练习总次数
打完18洞的杆数
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
80
100
120
140
160
练习总次数
打完18洞的杆数
y＝ax2＋bx＋c
过(40，120)，(80，100)，(120， 90)三点的
数学探究：
二次函数的解析式为
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
80
100
120
140
160
练习总次数
打完18洞的杆数
y＝k·ax＋b
数学探究：
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
80
100
120
140
160
练习总次数
打完18洞的杆数
过(40，120)，(80，100)，(120， 90)三点的幂
型函数的解析式为
数学探究：
数学应用：
由
当x＝200时，y≈83杆．
，得
因此至第200次练习时，打完十八洞估测约需要83杆．
综上所述，该问题选指数型函数进行拟合较好．
按照这种趋势，如果他不退步，至第200次练习时，打完十八洞估测
约多少杆？
数学应用：
在处理数据拟合(预测或控制)问题时，通常需要以下几个步骤：
(1)根据原始数据，在屏幕直角坐标系中绘出散点图；
(2)通过观察散点图，画出“最贴近”的曲线，即拟合曲线；
(3)根据所学知识，设出拟合曲线的函数解析式．
(4)利用此函数解析式，根据条件对所给的问题进行预测和控制．
数学应用：
例3．某工厂第一季度某产品月产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)．已知4月份的产量为1.36万件，问：用以上哪个函数作为模拟函数好？为什么？
2．一家人(父亲、母亲、孩子)去某地旅游，有两空旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，只要父亲一人买全票，其他家庭成员均享受半价；乙旅行社承诺，家庭旅行算团体旅行，按全价的三分之二计算．已知这两家的原价是一样的，若家庭中的孩子数是不同的，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，并比较选择哪家更优惠？
数学应用：
3．某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0．1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 ，问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？
数学应用：
4．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，试计算镭的半衰期？
数学应用：
5．某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年增加21%，第三年比第二年增加44%，则这两年的平均增长率为 ．
6．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增
长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千
克粮食，求出函数y关于x的解析式．
小结：
确立数学模型
解出模型结果
解释实际问题
实际问题
选择不同模型加以拟合
作业：
P88第4题．(共16张PPT)
高中数学 必修１
情境问题：
指数函数与对数函数是我们刚接触的两类函数模型，我们要将它们与前面所学内容常做比较．我们看下面几个函数问题：
1．某人购买了每千克1元的蔬菜x千克，应付y元，这里x与y的关系是什么？
5．某人在xs内骑车匀速行进了1km，那么他的速度y(km/s)是多少
2．正方形的边长为x，则它的面积y是多少？
3．如果正方体的棱长为x，那么它的体积y是多少？
4．如果正方形场地的面积为x，那么它的边长y是多少？
思考问题：
这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？
数学建构：
2．幂函数的定义域是什么？
一般地，我们把形如y＝x ( R)的函数称为幂函数，
其中底数x是自变量，指数 是常数．
幂函数的定义：
1．幂函数与指数函数有什么区别？
思考问题：
常见的幂函数有y＝x，y＝x2，y＝x-1， y＝x3以及y＝x0.5．
数学建构：
函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，y＝x0.5在同一坐标系的图象：
x
y
O
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x-1
y＝x0.5
数学建构：
幂函数的图象与性质：
分别画出函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，y＝x0.5的图象，并根据图象填写下表：
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x-1 y＝x0.5
定义域
单调性
奇偶性
数学建构：
幂函数的性质：
(1)定点：
当 ＞0时，幂函数图象还通过定点(0，0)．
所有幂函数在区间(0，＋ )上都有定义，并且都通过点(1，1)；
(2)单调性：
(3)奇偶性：
当 ＜0时，则在区间(0，＋ )上是减函数．
当 ＞0时，在区间[0，＋ )上是增函数，
常见的幂函数中，y＝x，y＝x-1和 y＝x3是奇函数；
y＝x2是偶函数 ；
y＝x0.5不具有奇偶性．
数学应用：
例1 写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
(1) (2)y＝x-2
(3)y＝x2 ＋ x-2 (4)
数学应用：
例2．比较下列各组数的大小：
(1) 1.50.5， 1.70.5；
(2) (－1.25)3，(－1.26)3；
(3)3.14-1， -1；
(4)314，221．
数学应用：
练习．比较下列各组数的大小：
(1) 5.25-1，5.26-1，5.26-2；
(2)0.50.5，0.30.5，0.50.3．
数学应用：
例3 如图是幂函数y＝xm、y＝xn与y＝x-1在第一象限的图象，则实数m，n与－1，0，1的大小关系是 ．
x
y
O
y＝xm
y＝xn
y＝x-1
y＝x
数学应用：
1．下列函数：(1)y＝0.2x；(2)y＝x0.2；(3)y＝x-3；(4)y＝3·x-2．其中是幂函数的有 (写出所有幂函数的序号)．
2．下列说法：(1)若幂函数的图象过点(－1，1)，则此幂函数一定是偶函数；(2)幂函数y＝xn(n＜0)在其定义域内是减函数；(3)幂函数y＝x0的图象是一条直线；(4)幂函数y＝xn(n＞0)在其定义域内是增函数．其中正确结论的序号是 ．
数学应用：
3．已知幂函数y＝f (x)的图象过点(2， )，则这个函数的解析式为________．
4．函数 的定义域是 ．
数学应用：
5．当x (1，＋ )时，下列函数：(1)y＝x0.5，(2)y＝x-2，(3)y＝x2，(4)y＝x-1中，图象都在直线y＝x下方，且是偶函数的是 ．
6．幂函数y＝x ( R)的图象一定不经过第 象限．
小结：
对任意的 R，y＝x 的图像必将出现在第I象限中；
若y＝x 为偶函数，则y＝x 的图像必出现在第II象限中；
若y＝x 为奇函数，则y＝x 的图像必出现在第III象限中；
对任意的 R，y＝x 的图像都不会出现在第VI象限中．
数学应用：
7．已知 函数，当a＝ 时，f(x)为正比例函数；
当a＝ 时，f(x)为反比例函数；当a＝ 时，f(x)为二次函数；
当a＝ 时，f(x)为幂函数．
8．若a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c三个数按从小到大的顺
序排列为 ．
小结：
幂的大小比较通常采用以下两种方法；
(1)指数相同时，利用幂函数的性质进行比较；
(2)底数相同时，可直接利用指数函数的性质进行比较．
小结：
幂函数的定义；
幂函数的图象；
幂函数的性质；
幂函数的应用．
作业：
P73习题1，2，4，5．
课后探究：若 ，试求a的取值范围．(共13张PPT)
高中数学 必修１
情境问题：
说出下列各式的意义，并说出其结果
(1)
＝ ，
＝ ；
(2)
＝ ，
＝ ；
(3)
＝ ，
＝ ；
(4)
＝ ，
＝ ．
当m为偶数时，
＝？
＝
如果请你也将
表示为2s的形式， s等于多少最合适？
推而广之，当m为n的倍数时，
＝？
＝
数学建构：
1.分数指数数幂与根式．
我们规定：
(a＞0，n，m N*，且n＞1)
(a＞0，n，m N*，且n＞1)
0的正分数指数幂为0， 0的负分数指数幂没有意义．
注意：
②底数为什么要为正数
①分数指数幂只是根式的一种新的表示形式；
数学建构：
2.有理数幂的运算法则．
规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到有理数指数．
asat ＝ as＋t ，
(a＞0，b＞0， s，t Q)
(as)t＝ ast ，
(ab)s＝ asbs，
小结：
引入分数指数幂并将幂的运算性质推广到有理数的意义
将乘方与开方的运算统一为同一种运算，即幂的运算．
数学应用：
例1.求值：
数学应用：
例2.用分数指数幂的形式表示下面这个数：
说明 （1）式子中既含有分数指数幂，又含有根式时，为了方便计算应该把根式统一化成分数指数幂的形式，再根据运算性质运算．
（2）对于计算结果，并不强求用统一的形式来表示，如果没有特别的要求，一般用分数指数幂的形式表示．但结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
数学应用：
化简：
数学应用：
化简：
数学应用：
化简：
的值.
已知：
求
数学应用：
化简下列各式：
(1)
(2)
(3)
数学应用：
当t ＝ 时，求 的值.
乘方
幂
开方
根式
正分数指数幂
正整数指数幂
零指数幂与负整数指数幂
负分数指数幂
整数指数幂
分数指数幂
有理数指数幂
幂的运算法则
asat ＝ as＋t ，
(a＞0，b＞0， s，t Q)
(as)t＝ ast ，
(ab)s＝ asbs，
小结：
实数指数幂
作业：
P48-2，4，5．(共14张PPT)
高中数学 必修1
奇函数、偶函数的定义：
都有f(－x)＝ －f(x)，则称函数f(x)为奇函数．
奇函数的图象关于原点对称．
偶函数的图象关于y轴对称．
都有f(－x)＝ f(x)，则称函数f(x)为偶函数．
情境问题：
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．
反之则说函数不具有奇偶性．
奇偶性和单调性都是函数的本质属性，这二者之间有何联系呢？
已知函数f(x)的定义域为A，若对任意的x A ，
数学探究：
画出函数f(x)＝x2－2|x|－1图象，通过图象，指出它的单调区间，并判定它的奇偶性．
数学应用：
例1．已知奇函数f(x)在区间[a，b](0＜a＜b)上是单调减函数，
求证：函数f(x)在区间[－b，－a]上仍是单调减函数．
若f(x)是偶函数，则单调性恰好相反．
若f(x)是奇函数，则在两个区间上的单调性一致；
若(a，b)是奇函数f(x)的单调区间，则(－b，－a)也是单调区间，
数学应用：
已知奇函数f(x)在区间[a，b](0＜a＜b)上的最大值是3，则函数f(x)在区间[－b，－a]上最 值，该值是 ．
x
y
O
a
b
－b
－a
3
设函数f(x)是R上的偶函数，且在(－ ，0)上是增函数．则f(－2)与f(a2－2a＋3)(a R)的大小关系是 ．
f(－2)≥f(a2－2a＋3)
函数f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，且在定义域上是增函数．
若f(1－a)＋f(1－a2)＞0，则实数a的取值范围是 ．
0＜a＜1
数学应用：
已知函数f(x＋1)是偶函数，则函数f(x)的对称轴是 ．
x＝1
数学应用：
变式：已知函数f(x＋1)是奇函数，则函数f(x)的对称中是 ．
(1，0)
若函数f(x)＝x2－ax－b满足对于任意的实数x都有f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)的最小值为－2，求实数a，b的值．
已知定义域为R的函数f(x)在(8，＋ )上为减函数，且函数y＝f(x＋8)函数为偶函数，则f(2)，f(8)，f(10)的大小关系为 ．
已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且f (x)＝f(2－x)，若f (x)在区间[1，2]上是减函数，则f (x)在区间 [－2，－1]上的单调性为 ，在区间[3，4]上的单调性为 ．
单调增
数学应用：
f(8)＜f(10)＜ f(2)
单调减
x
y
O
例2．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，而且x＞0时，f(x) ＝x－1，试求函数y＝f(x)的表达式．
数学应用：
练习 函数f (x)＝x| x |＋px，p为常数，则 （ ）
A．对于任何常数p，f (x)既不是奇函数也不是偶函数
B．对于任何常数p，f (x)是奇函数
C．对于任何常数p，f (x)是偶函数
D．只有当p＝0时，f (x)是奇函数
B
数学应用：
例3．已知函数f(x)对于任意的实数x、y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
(1)求f(0)的值；
(2)试判断函数f(x)的奇偶性；
(3)若x＞0都有f(x)＞0，试判断函数的单调性．
数学应用：
抽象函数是以常见的函数作为模型．
赋值是寻找解决抽象函数的突破口．
抽象函数常以单调性和奇偶性为考查内容．
数学建构：
函数性质的运用
用奇偶性确定单调性；
用奇偶性确定解析式；
抽象函数问题．
如果函数具有奇偶性，那么该函数的定义域关于数零对称．
小结：
作业：
课本43页6，8，9，10．(共11张PPT)
高中数学 必修１
情境问题：
在细胞分裂问题中，细胞个数y是分裂次数 x的指数函数y＝2x.因此，知道x的值(输入值是分裂的次数)，就能求出y的值(输出值是细胞个数).
(1)用含有 y的代数式表示 x，如何表达？
x ＝log2y．
(2)上述关系式中， x是y的函数吗？
x
y＝2x
y
x
y
x＝log2y
类似地，前面提到的放射性物质，经过的时间x(年)与物质的剩余量y的关系为y＝0.84 x.反之，写成对数式为x＝log0.84 y.
数学建构：
2．对数函数的定义域是什么？
3．对数函数的值域是什么？
一般地，函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数．
对数函数的定义：
1．在对数函数的解析式y＝logax中，为什么要规定a＞0且a≠1？
思考问题：
数学应用：
例1．在同一个直角坐标系中分别画出下列函数的图象．
(1) y＝log2x与y＝2x；
x
y
O
y＝2x
y＝log2x
x
y
O
数学建构：
一般地，对数函数y＝logax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：
a＞1 0＜a＜1
图象
定义域
值域
性质
R
(0，＋ )
R上的减函数
图象恒过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
对数函数的图象与性质：
R上的增函数
x
y
O
1
x
y
O
1
数学建构：
x
y
O
y＝x
函数y＝ax与y＝logax (a＞0且a≠1)是互为反函数：
一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，
那么它的反函数记为y＝f －1(x)，且函数
y＝f －1(x)的图象与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．
x
y
O
y＝2x
y＝log2x
y＝x
数学应用：
例2．求下列函数定义域：
(1) y＝log0.2(4－x)
y＝log (5－x) (2x－3)
y＝log0.5x2
(2) y＝loga (a＞0且a≠1)
变式：
数学应用：
小结：
在解决比较两个数的大小问题时，一般情况下是将其看作一个函数的两个函数值，利用函数的单调性直接比较它们的大小，如(1)、(2)．当两个数不能直接比较时，我们可以将其与一个已知的过渡数进行比较大小，从而得出该两数的大小关系．常用来过渡的值有0或±1等，根据实际问题也可能是其它数值，此外还要心中有函数的图象．
例3．比较大小：
(1) log23.4，log23.8；
(2)log0.51.8，log0.52.1；
(3) log75，log67 ；
(4)log3 ，log0.31.5 ；
(5) log25，log748 ；
(6)log3.42；log1.12．
利用单调性
利用中间量“1”
利用中间量“0”
利用图象性质
利用中间量“2”
数学应用：
求函数y＝log0．5(1－x)＋log0．5 (x＋3)的最小值．
解下列方程：
(1)log2(3x)=log2(2x＋1)
(2)log5(2x＋1)=log5(x2－2)
(3) =lg (x－1)
小结：
对数函数的定义：
函数y＝logax(a＞0，a≠1)叫做对数函数．
对数函数的定义域为(0，＋ )，值域为R ．
对数函数的图象和性质：
对数函数的图象恒过点(1，0)，
当0＜a＜1时，对数函数在(0，＋ )上递减；
当a＞1时，对数函数在(0，＋ )上递增．
作业：
P70习题2.3(2)2，3，4．(共16张PPT)
高中数学 必修1
情境创设
正方形的边长为a，则正方形的周长为 ，面积为 ．
初中学过的函数的概念如何表述？
一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个
值， y都有惟一的值与之对应，我们就说y是x的函数，x是自变量．
常用的表示函数关系的方法：
(1)解析法；
(2)列表法；
(3)图象法．
常见的函数模型：
一次函数、二次函数和反比例函数；
一次函数的一般形式为y ＝ kx＋b(k≠0)；
二次函数的一般形式y ＝ ax2＋bx＋c(a、b、c 是常数 ，a≠0)．
反比例函数的一般形式为y ＝ (k≠0)
k
x
情境问题
1．某城市在某一天24小时内的气温变化情况如下图所示，试根据函数图象回答下列问题：
(1)这一变化过程中，有哪几个变量？
(2)这几个变量的范围分别是多少？
t/h
/℃
O
2
2
6
10
24
20
10
2．估计人口数量变化趋势是我们指定一系列相关政策的依据。下表是我国从1949年至1999年人口数据资料：
年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999
人口数
/百万 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246
(1)这个表中，涉及哪几个变量？
(2)这些变量的范围分别是多少？
情境问题
3．一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落的时间x(s)之间近似地满足y＝4.9x2．若一物体下落2s，你能求出它下落的距离吗？
x(s)
y(s)
y＝4.9x2
O
(1)这个过程中，涉及哪几个变量？
(2)这些变量的范围分别是多少？
情境问题
4．如图，A(－2，0)，B(2，0)，点C在直线y＝2上移动．则△ABC的面积S与点C的横坐标x之间的变化关系如何表达？
x
y
y＝2
O
情境问题
A
B
C
(1)这个过程中，涉及哪几个变量？
(2)我们能否说S是x的函数呢？
5．用集合表示函数y＝ 的定义域和值域．
情境问题
(1)从函数的角度看这个问题中的函数，有什么问题吗？
(2)如何改变函数的定义，使之满足函数的要求呢？
数学建构
1．函数的概念以及记法
一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集
合A中的每个元素x，在集合B中都有惟一的元素和它对应，那么这样的
对应叫从A到B的一个函数．
x的值构成的集合A叫函数y＝f(x)的定义域．
通常记为：y＝f (x)，x A，
例1. 判断下列对应是否为集合A 到 B的函数：
(1)A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8，10}，f：x→2x；
(2)A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6，8}，f：x→2x．
(3)A＝{1，2，3，4，5}，B＝N，f：x→2x．
若是集合A 到 B的函数，则函数的定义域和值域分别是什么？
数学应用
判断下列对应是否能构成函数？为什么？
1． x ，其中x≠0，x∈R
2．x y，其中y2＝x，x∈N，y∈R
该问题中函数的定义域和值域分别是什么？
小结：给定函数时，一般要指明定义域．若没指明，则认为定
义域是指使函数表达式有意义的输入值(即自变量)的集合．
数学应用
1
2
3
4
2
4
6
8
x
y
f
(1)
1
2
3
2
4
6
8
x
y
f
(2)
x
y
f
1
2
3
4
5
2
4
6
8
(3)
x
y
f
1
2
3
4
5
2
4
6
8
10
(4)
数学应用
3．判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．
例2. 求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝ ；
(2)f(x)＝ ；
小结：求函数定义域的法则：
整式型函数的定义域为R；
二次根式的被开方数非负；
分式的分母不为零；
实际问题要有实际意义；
其他要求．
数学应用
求下列函数的定义域：
数学应用
例3．下列各组函数中，是否表示同一函数？为什么？
(3)y＝2x－1(x R)与y＝2t－1(t R)；
数学应用
(1)y＝x与y＝ ；
(2) y＝ 与y＝ ；
(4)y＝ 与y＝ ．
小结
A
B
f
一对一(即单值对应)
2．要素：两个非空数集A，B，一个对应法则f
3．两个关键词：每一个，惟一
4．一个方向：从A到B．
5．一个记法： y＝ f(x)．
1．定义
作业
P28习题2.1(1)1，2(共13张PPT)
高中数学 必修１
情境问题:
一般地，如果a (a＞0，a≠1 )的b次幂等于N，即ab＝N．那么就称b为以a为底的N的对数．记作：logaN＝b．
对数的定义：
a＞0，a≠1
b R
N＞0
ab＝N
对数式
指数式
logaN＝b
(1)已知loga2＝m，loga3＝n，求am+n的值．
(2)设logaM＝m，logaN＝n，能否用m，n表示loga(M·N)呢？
数学建构：
对数的运算性质：
loga(M·N)＝ logaM＋logaN
loga ＝logaM－logaN
其中a＞0，a≠1，M＞0，N ＞0
logaMn＝
nlogaM， n R
数学应用：
1．下列命题：(1)lg2·lg3＝lg5；(2)lg23＝lg9；(3)若loga(M＋N)＝b，则M＋N＝ab；(4)若log2M＋log3N＝log2N＋log3M，则M＝N．其中真命题有 (请写出所有真命题的序号)．
数学应用：
例1 求下列各式的值：
(2)log2(23×45)
(1)log5125
小结：
(1) lg5＋lg2＝1是对数中一个最常用的等式；
(2)双重根式常用平方进行求解．
(3)(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2； (4)lg( )．
数学应用：
lg25＋lg2·lg5＋lg20＝_________．
(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2lg5＝________．
数学应用：
例2 已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，求下列各式的值(结果保留4位小数)：
(1)lg12；
(2)lg ；
(3)lg ．
数学应用：
2．已知lg2＝a，lg3＝b，试用含a，b的代数式表示下列各式：
(1)lg54；(2)lg2.4；(3)lg45．
3．化简：
数学应用：
例3 设lga＋lgb＝2lg(a－2b)，求log4 的值．
变式．若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg2＋lgx＋lg y，求 的值．
数学应用：
例4 求方程lg(4x＋2)＝lg2x＋lg3的解．
小结：
2.常用对数中一个重要的恒等式：lg5＋lg2＝1．
1.对数的运算性质：
loga(M·N)＝ logaM＋logaN
loga ＝logaM－logaN
其中a＞0，a≠1，M＞0，N ＞0
logaMn＝
nlogaM， n R
作业：
P63习题2.3(1)3(5)～(6)，5．
数学探究：
化简：(共21张PPT)
高中数学 必修１
数学建构：
根式与分数指数幂
对数
数的运算
数学应用：
已知x＋x-1＝3，求下列各式的值：
(1)
(2)
(3)x－x-1
(4)
一、根式与分数指数幂
数学应用：
若2lg ＝lga＋lgb，求log2 的值．
注：零和负数没有对数，是在解决对数计算中易忽略的细节．
二、对数及其运算法则
数学应用：
设a、b、c都是不等于1的正数，求证：
数学建构：
根式与分数指数幂
对数及其运算法则
新增的数的运算
数学应用：
若函数f(x)＝(2a2－3a＋2)ax是指数函数，则实数a＝ ．
三、指数函数的概念、图象与性质
数学应用：
求下列函数的定义域与值域：
(1) f(x)＝ ；
(2) f(x)＝ ．
数学应用：
已知函数f(x)的图象过定点(0，2)，则函数f(2x－1)＋1的图象必过定点是 ．
数学应用：
下列关系：(1)0＜a＜b＜1；(2)1＜a＜b；(3)0＜b＜a＜1； (4)1＜b＜a．
能满足loga3＞logb3的有 (写出所有正确结论的序号) ．
四、对数函数的概念、图象与性质
数学应用：
已知y＝loga(2－x)是x的增函数，则实数a的取值范围是 ．
已知函数f(x)＝loga(2－ax)在区间(－ ，4)上是增函数，则实数a的取值范围是 ．
数学应用：
设f(x)＝lg(ax2－2x＋a)
(1)若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围．
注意体会二者的区别．
数学应用：
已知f(x)＝logax是区间(0，＋ )上的单调增函数，g(x)是f(x)的反函数，则g(x)的单调性是 ，单调区间为 ．
五、指数函数与对数函数的互为反函数关系
注：如果函数f(x)的反函数f -1(x)存在，则f(x)的定义域是f -1(x)的值域； f(x)的值域是f -1(x)的定义域． f(x)与f -1(x)的图象关于直线y＝x对称．
数学应用：
已知函数f(x)满足：对任意的实数a、b，都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)，试写出一个满足上述条件的f(x)＝ ．
六、幂函数的概念、图象与性质
数学建构：
指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)
函数基本模型
对数函数y＝log x(a＞0，a≠1)
幂函数y＝x
(1)y＝x
(2)y＝x2
(3)y＝x3
(4)y＝x-1
(5)y＝x0.5
y＝kx＋b
y＝ax2＋bx＋c
y＝
y＝ax3＋bx2＋cx＋d
y＝
数学应用：
已知函数f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，下列结论：(1) 2a＞2c；(2)2a＞2b； (3)2-a＜2c；(4)2a＋2c ＜2．其 中一定不正确的结论序号有 (写出所有不正确结论的序号) ．
已知0＜a＜b＜1， 则aa、ab、ba三个数的大小关系为 ．
数学应用：
已知函数y＝ax，y＝bx， y＝cx， y＝dx的图象在同一坐标系的位置如图所示，则a，b，c，d 的大小关系为 ．
x
y
O
y＝ax
y＝bx
y＝cx
y＝dx
1
1
数学应用：
已知函数y＝logax，y＝logbx， y＝logcx， y＝logdx的图象在同一坐标系的位置如图所示，则a，b，c，d 的大小关系为 ．
x
y
O
y＝ logax
y＝ logbx
y＝ logcx
y＝ logdx
1
1
数学应用：
已知函数y＝xa，y＝xb， y＝xc与 y＝x与 y＝x-1位于第一象限内的图象在同一坐标系中的位置如图所示，则实数a，b，c与0，1和－1 的大小关系为 ．
x
y
O
y＝ax
y＝bx
y＝cx
1
1
y＝x-1
y＝x
数学探究：
已知定义在实数集上的函数y＝f(x)满足对于任意的x、y∈R， f(x＋y)＝f(x) f(y)．求证：(1)f(0)＝1；(2)对任意的实数x， f(x)＞0；
(3)若当x＞0时，有f(x)＞1，求证f(x)是增函数．
作业：
P93习题10，11，12，14，17，25．(共13张PPT)
高中数学 必修1
情境问题：
复述函数单调性的定义．
上节课，我们利用下图(课本34页图2-1-13)认知了函数的单调性，该天气温的变化范围是什么呢？
最高气温为9℃，在14时取得；最低气温为－2℃，在4时取得；
该天气温的变化范围为[－2，9]．
情境问题：
t/h
/℃
O
2
2
6
10
24
20
10
数学建构：
一般地，设y＝f(x)的定义域为A．若存在定值x0∈A，使得对任意
x∈A， f(x)≤f(x0)恒成立，则称f(x0)为y ＝ f(x)的最大值，记为ymax＝ f(x0)．
此时，在图象上，(x0，f(x0))是函数图象的最高点．
若存在定值x0∈A，使得对任意x∈A，f(x)≥f(x0)恒成立，则称f(x0)
为y ＝ f(x)的最小值，记为ymin＝ f(x0)．
此时，在图象上，(x0，f(x0))是函数图象的最低点．
例1．求下列函数的最小值．
数学应用：
二次函数的最值；
求f(x)＝－x2＋2x在[0，10]上的最大值和最小值．
不间断函数y＝f(x)在闭区间上必有最大值与最小值．
(1) f(x) ＝－x2＋2x，x R； (2) g(x) ＝ ，x [1，3]．
3
－1
－4
x
4
3
5
5
7
－1
－2
y
O
如图，已知函数y＝f(x)的定义域为[－4，7]，根据图象，说出它的最大值与最小值．
数学应用：
例2．已知函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，a＜c＜b．当x∈[a，c]时，f(x)是单调增函数；当x∈[c，b] 时，f(x)是单调减函数．试证明：
f(x)在x＝c时取得最大值．
x
y
O
a
b
c
数学应用：
例2．已知函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，a＜c＜b．当x∈[a，c]时，f(x)是单调增函数；当x∈[c，b] 时，f(x)是单调减函数．试证明：
f(x)在x＝c时取得最大值．
x
y
O
a
b
c
数学应用：
变式：已知函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，a＜c＜b．当x∈[a，c]时，f(x)是单调减函数；当x∈[c，b] 时，f(x)是单调增函数．试证明：f(x)在x＝c时取得最小值．
x
y
O
a
b
c
数学应用：
1．函数y＝ (x∈[0，3])的值域为__________．
2．函数y＝ (x∈[2，6])的值域为__________．
3．函数y＝ (x∈(－ ，－2])的值域为_________．
4．函数y＝ 的值域为__________．
5．函数y＝ 的值域为__________．
数学应用：
例3．求函数f (x)＝x2－2ax在[0，4]上的最小值．
数学应用：
解：f (x)＝x2－2ax＝(x－a)2－a2．
(1)当a≤0时，f (x)在区间[0，4]上单调递增，
f (x)min＝ f (0)＝0．
(2)当0＜a＜4时，当且仅当x ＝a时，f (x)取得最小值，
f (x)min＝ f (a)＝－a2．
(3)当a≥4时，f (x)在区间[0，4]上单调递减，
f (x)min＝ f (4)＝ 16－8a ．
记f (x)在区间[0，4]上的最小值为g (a) ，则
g (a)＝
0， a≤0，
－a2， 0＜a＜4，
16－8a ，a≥4 ．
单调性
最值
值域
小结：
作业：
课本37页第3题，43页第3题．
补充：已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－3，2]上有最大值4，求实数a的值．(共14张PPT)
高中数学 必修1
情境问题：
定义域
值域
A＝{x|y＝ f(x)}
C＝{y|y＝ f(x)，x A}
M＝{(x，y)|y＝ f(x)，x A}
函数的图象
函数的三要素
函数存在的范围
函数本质属性的直观反映
函数变化的范围
下表的对应关系能否表示一个函数呢？
x 1 3 5 7
y －1 －3 0 0
1．1 n mile(海里)约为1854m，根据这一关系，写出米数y关于海里数x的函数解析式．
2．用长为30cm的铁丝围成矩形，试将矩形的面积S(cm2)表示为矩形一边长x(cm)的函数，并画出函数的图象．
数学应用：
数学应用：
例1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x {1，2，3，4})的函数，并指出该函数的值域．
解析法
y＝2x
(x {1，2，3，4})
x 1 2 3 4
y
2
4
6
8
y
x
O
某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销售量就减少10个．
单价 10
数量 100
利润
200
11
90
270
12
80
320
13
70
350
14
60
360
15
50
350
16
40
320
17
30
270
18
20
200
19
10
110
20
0
0
根据上表确定销售价格，使得利润最大！
此题能否利用解析式求使利润最大的销售价格？
数学应用：
对应关系清晰明了
直观而形象
简单便于研究
不连续、容量小
对应关系不清晰
抽象
数学建构：
表示法
列表法
图象法
解析法
优点
缺点
已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：
x 1 2 3 4
f(x) 3 1 2 4
x 1 2 3 4
g(x) 1 4 2 3
则f(f(1))＝ ， f(g(2))＝ ；
g(f(3))＝ ， g(g(4))＝ ；
2
4
4
2
数学应用：
例2．如图，是一个二次函数的图象的一部分，试根据图象中的有关数据，求出函数f(x)的解析式及其定义域．
数学应用：
y
x
O
数学应用：
3．已知f(x)是一次函数，且图象经过(1，0)和(－2，3)两点，求f(x)的解析式．
4．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x－4，求f(x)的解析式．
*5．已知f(x)是二次函数，且f(x＋1)－x－1＝ f(x)，且f(0)＝0，求f(x)．
数学建构：
已知函数模型求函数的解析式：
待定系数法求解．
(1)设出函数的解析式；
(2)建立有关参数的方程或方程组；
(3)解方程(组)得参数的值；
(4)求出函数的解析式．
6．设 f(x)＝2x＋3，g(x)＝ f(x＋1)，求g(x)．
7．已知函数f(x＋1)＝x2－2x，求f(x)．
数学应用：
数学建构：
已知f(x＋a)求函数f(x)的解析式：
(1)凑配；
(2)换元f(x＋a) f(t)(t＝x＋a)；
注：用这两种方法求函数解析式时，需要注明自变量x的取值范围.
1．函数的表示方法．
2．不同表示法的优缺点．
小结：
3．求函数的解析式y＝f(x)
待定系数法
换元法
凑配法
分类讨论法
P32第1，4，5题．
作业：(共17张PPT)
高中数学 必修１
情境问题
我先自我介绍，而后请部分同学自我介绍一下．
在介绍的过程中，同学们都不约而同地提及“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等词语，这些所涉及的范围与“学生×××”相比，它们有什么区别，又有什么联系呢？
数学建构
集合的含义：
一般地，由在一定范围内不同的、确定的对象的全体组成一个集合．
构成集合的每一个个体都叫做集合的一个元素．
数学建构
高一(6)班学生；
高一(6)班女生；
下列对象能构成集合的有哪些？不能构成集合的又有哪些？为什么？
高一(6)班喜欢数学的学生；
高一(6)班高个子男生；
小结：
什么样的对象能构成集合？
数学建构
集合的语言描述：
1．用自然语言描述
高一(6)班全体学生组成的集合；
2．用数学语言描述
高一(6)班全体班干的集合；
{x|x是高一(6)班学生}
{x|x是高一(6)班男生}
列举法—有限个元素．
描述法—适用所有；
{×××，×××，××，×××}
数学应用
例1．表示下列集合：
中国直辖市
方程x2－2x－3＝0的解
不等式2x＋1＞0的解集
中国国旗的颜色
方程x2―2x＋1＝0的解呢？
方程x2―2x＋3＝0的实数解呢？
空集
互异
用符号 表示
有限集常用列举法，确定、无序
无限集只能用描述法表示，{x|P(x)}
{北京，上海，天津，重庆}
北京，上海，
天津，重庆
数学建构
集合的分类：
元素的个数
有限集
无限集
空集
——符号
——描述法
——列举或描述法
集合的表示法：
数学应用
小结：集合的确定性与无序性；
集合的相等．
集合所含元素的个数；
例2．判断下列说法是否正确？说明理由．
(1)所有的较小正数组成的集合；
(2)1， ， ， ，0.5， ．这些数组成的集合有6个元素；
(3){1，3，5，7}与{3，1，7，5}表示同一个集合；
数学应用
例3．将下列用描述法表示的集合改为列举法表示：
(1){(x，y)| x＋y ＝ 3，x N，y N }
(2){(x，y)| y ＝ x2－1，|x |≤2，x Z }
(3){ x R | x3－2x2＋x＝0}
小结：常用数集的记法．
数学建构
集合的表示形式：
字母表示
一般表达形式：集合A，集合P，…
符号表示的特殊数集：
自然数集—N
正整数集—N*或N+
整数集—Z
有理数集—Q
实数集—R
图形表示
数轴
文氏图
(1)若集合A＝{ x｜ax＋1＝0}＝ ，求实数a的值．
数学应用
例4．完成下列各题：
(2)若－3 { a－3，2a－1，a2－4}，求实数a．
小结：元素与集合的关系：属于(a A)与不属于(a A).
数学建构
小结：集合的确定性 元素的确定性．
“不属于(a A) ”两种关系，且二者必有一个存在，但不能同时存在.
虽然集合的表达形式不惟一，但每一个集合所表达的对象是确定的．
元素的确定性表现为：集合a与元素A之间只有“属于(a A) ”与
数学应用
注：
读懂集合是完成有关集合问题的前提．
1．已知集合A＝{ x|x≤3 ，x R }，a＝ ，b＝2 ，则实数a，b
与集合A的关系为 ．
a A且b A
数学应用
2．用适当的方法表示下列集合：
(1){(x，y)|2x＋3y ＝ 12，x、y N }
(2){y|y ＝－x2－2x＋10，x Z，y N }
(3){ x Z| Z }
(4)使y＝ 有意义的实数x．
3．用列举法表示下列集合:
(1){ x｜x＋1＝0}
(2){ x｜x为15的正约数}
(3){ x｜x 为不大于10的正偶数}
(4){(x，y)｜x＋y＝2且x－2y＝4}
(5){(x，y)｜x {1，2}，y {1，3}}
(6){(x，y)｜3x＋2y＝16，x N，y N}
4．用描述法表示下列集合：
(1)奇数的集合；(2)正偶数的集合．
数学应用
小结
集合的含义：
集合与元素的关系：
确定的、
互异的、
无序的、
属于( )与不属于( )
集合的分类：
有限集
无限集
集合的表示：
列举法
描述法
图示法
一些常用数集的记法：
自然数集N，正整数集N*，整数集Z，有理数集Q，实数集R.
集合的相等
作业：
课本P7-3，4．(共11张PPT)
高中数学 必修１
数学建构：
1．函数零点的定义．
一般地，对于函数y＝f (x)(x D)，我们把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x D)的零点．
函数y＝f (x)的零点既为方程f (x)＝0的实数解，也就是函数 y＝f (x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点存在性的判断．
函数f(x)在区间[a，b](a＜b)上不间断，且满足f(a)f(b)＜0，则f(x)在区间(a，b)上存在零点．
一、函数的零点
数学应用：
已知在(a，b)(a＜b)上不间断的函数f(x)满足f(a)f(b)＜0，则f(x)在区间(a，b)上 零点．
至少有一个
变式：已知二次函数f(x)在(a，b)(a＜b)上满足f(a)f(b)＜0，则f(x)在区间(a，b)上 零点．
有且只有一个
数学建构：
3．二次函数的零点．
(1)如果二次函数 f (x)＝ax2＋bx＋c在区间(m，n)上有一个零点，
则有f (m)· f (n)＜0．
(2)如果二次函数 f (x)＝ax2＋bx＋c在区间(m，n)上有两个零点，则有
f (m)· f (n)＞0
△＝b2－4ac≥0
数学应用：
设关于x的方程3tx2＋(3－7t)x＋7＝0的两个实根 ， 满足0＜ ＜1＜ ＜2，求实数t的取值范围．
数学应用：
已知 ，试求实数a的取值范围，使得
(1)方程有解；
(2)方程有正根；
(3)方程有不小于1的解．
数学应用：
某公司为了打开某种新产品的销路，决定进行广告促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系式是Q＝ (x≥
0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需投入32万元，若每件售价是“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，当年产销量相等．试将年利润y(万元)表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，该公司是亏损还是盈利？
二、函数模型
数学应用：
某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车就增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车
(2)当每辆车的月租金为多少元时，公司的月收益最大 最大月收益是多少元
数学应用：
某企业生产的新产品必须靠广告来打开销路．该产品的广告效应是产品的销售额与广告费之间的差．如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据对市场进行调查显示：每付出100元的广告费，所得的销售额为1000元．问该企业应该投入多少广告费，才能获得最大的广告效应？
数学建构：
4．函数的应用．
确立数学模型
解出模型结果
解释实际问题
实际问题
作业：
P94习题16，21，28．(共14张PPT)
高中数学 必修１
情境创设：
已知矩形的长为4、宽为3，如果长增加x，宽减少0.5x，所得新矩形的面积为S．
(1)将S表示成x的函数；
(2)求面积S的最大值，并求此时x的值．
涉及几何图形的问题也是数学建模问题中常见题型．
数学应用：
例1．有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数关系式，并求出它的定义域．
A
B
O
C
D
E
数学应用：
x
t
O
A
B
C
y
l
1．直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线l：x＝t截此梯形所得位于l左方图形的面积为S，则函数S＝f(t)的大致图象为 ( )
t
S
A
B
C
D
1
2
1
3
t
S
1
2
2
3
t
S
1
2
1
3
t
S
1
2
1
3
数学应用：
2．一个圆柱形容器的底部直径是dcm，高是hcm，现在以vcm3/s的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x(cm)与注入溶液的时间t(s)之间的函数关系式，并写出函数的定义域．
3．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状可能是（ ）
h
V
H
数学应用：
要使每天收入最高，每间客房定价为 .
例2．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现每间客房每天的价格与住房率有如下关系：
每间客房定价 20元 18元 16元 14元
住房率 65% 75% 85% 95%
每间客房定价 20元 18元 16元 14元
住房率 65% 75% 85% 95%
营业额
1300
1350
1360
1330
解析法：以20元为标准，设下降x个2元(x≤3)，则住房率增加10x%，记
营业额为y元，则有
y＝ 100(65%＋10% x)(20－2x)
＝－20x2＋70x＋1300
数学应用：
4.某公司将进货单价为10元一个的商品按13元一个销售，每天可卖200个．
若这种商品每涨价1元，销售量则减少26个．
(1)售价为15元时，销售利润为多少？
(2)若销售价必须为整数，要使利润最大，应如何定价？
数学应用：
5．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车就增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车
(2)当每辆车的月租金为多少元时，公司的月收益最大 最大月收益是多少元
数学应用：
例3．今年5月，荔枝上市．由历年的市场行情得知，从5月10日起的60天内，荔枝的市场售价与上市时间的关系大致可用如图所示的折线ABCD表示(市场售价的单位为元／500g)．
请写出市场售价S(t)(元)与上市时间t(天)的函数关系式，并求出6月20日当天的荔枝市场售价．
A
B
C
D
O
5
7
10
10
40
60
t(天)
S(元)
数学应用：
6．根据市场调查，某商品在最近40天内的价格f(t)与时间t满足：
f(t)＝ 销售量g(t)与时间t满足：g(t)＝
(0≤t≤40，t N)，求这种商品日销售金额的最大值．
(0≤t≤40，t N)，
－t＋41 (0≤t≤40，t N)，
7．一批材料可以建成200m长的围墙，现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间隔成3个相等的的矩形，则围成的矩形的最大面积为 m2．
数学应用：
数学应用：
8．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控手段以达到节约用水的目的．某市收水费方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．该市规定：(1)若每户每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每月的定额损耗费a元；(2)若每户每月用水量超过立方米时，除了付基本费和损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；(3)每户每月的损耗费不超过5元．
(I)求每户月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系；
(II)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示，试分析一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求m，n，a的值．
月份 用水量(立方米) 水费(元)
一 4 18
二 5 26
三 2.5 10
小结：
确立数学模型
解出模型结果
解释实际问题
实际问题
作业：
P93第4，16题．(共12张PPT)
高中数学 必修１
情境问题：
设x年可实现翻一番的目标，则有
假设2005年我国的国民生产总值为a亿元，如每年平均增长8%，那么经过多少年，国民生产总值可翻一番？
a(1＋0.08)x＝2a，即1.08x＝2．
在指数式中，已知底数和指数，通过乘方运算可求幂；而已知指数和幂，则可通过用开方运算或分数指数幂运算求底数；已知底数和幂，如何求指数呢？
数学建构：
一般地，如果a (a＞0，a≠1 )的b次幂等于N，即ab＝N．那么就称b为以a为底的N的对数．记作：logaN＝b．
1．对数的定义．
a＞0，a≠1
b R
N＞0
ab＝N
对数式
指数式
logaN＝b
底数
指数
幂
底数
真数
对数
数学应用：
例1．将下列各指数式改写成对数式．
(1)24=16
(2)3－3=
(3)5a=20
(4) =0.45
log216＝4
log3
＝－3
logaab＝b
log520＝a
log
0.45＝b
a
＝N
logaN
对数恒等式
对数是一种运算
对数是一个结果
对数的本质
数学应用：
例2．求下列各式的值:
(1)log264
(2)log927
根据对数的定义，写出下列各式的值(其中a＞0，a≠1 )
(1)log10100
(2)log255
(3)log2
(4)log
(5)log33
(6)logaa
(7)log31
(8)loga1
3
2
－1
－1
1
1
0
0
数学建构：
2．关于对数的几个要点．
(1)负数和0没有对数；
(2)常用对数：底数为10的对数称为常用对数，记为lgN；
(3) 自然对数：底数为e的对数称为常用对数，记为lnN．
① loga ab＝b；
② a ＝N
logaN
(4)对数恒等式
数学应用：
例3．将下列对数式改写成指数式．
(1) log5125＝3
(3) lga＝－1.699
(2)
数学应用：
例4．已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值．
求22＋ 的值．
log25
数学应用：
练习
0
0
0
－13
1．(1)lg(lg10)＝ ；
(2)lg(lne)＝ ；
(3)log6[log4(log381)]＝ ；
(4)log3( )＝1，则x＝________．
数学应用：
练习
2．把logx ＝z表示成指数式是 ．
3．设
，则满足
的x值为_______．
．
5．设x＝log23，求
小结：
ab＝N logaN＝b．
注： (1)负数和0没有对数；
(2)常用对数与自然对数；
(3)对数恒等式．
① loga ab＝b；
②
作业：
P63习题2.3(1)1，2，3(1)～(4)．(共14张PPT)
高中数学 必修１
函数的本质是建立在两个非空数集A、B上的单值对应，在我们的周围，还存在着不是数与数的对应关系，比如：
(1)A＝{P|P是数轴上的点}，B＝R，f：点的坐标；
(2)对于任意的△ABC，B＝R，f：三角形的面积．
如何刻画这些对应关系呢？
情境问题：
数学建构：
1．映射的定义．
一般地，设 A，B是两个非空的集合，如果按某种对应法则 f，对于集合A中的每一个元素 x，在集合B中都有惟一的元素 y 和它对应，
这样的单值对应叫做从集合A 到集合 B的映射，记作：f：A→B.
(1)映射是函数概念的推广，函数是一类特殊的映射；
(2)映射f：A→B中，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合；
(3)映射的方向性：映射f：A B与f：B A是不一样的.
(4)箭尾集合中元素的任意性（少一个也不行），箭头集合中元素的唯
一性（多一个也不行）．
例1．下列对应是不是从集合A到集合B的映射，为什么？
(1) A＝R， B＝{x R∣x≥0 }， f：“求平方”；
(2) A＝R， B＝{x R∣x>0 }， f：“求平方”；
(3)A＝{x∈R∣x>0 }，B＝R， f：“求平方根”；
(4)A＝{平面上的圆}，B＝{平面上的矩形}， f：“圆的内接矩形”．
数学应用：
数学建构：
2．映射的类型．
映射可以是“一对一”或“多对一”的对应，但不能是“一对多”．
即映射应是单值对应，或称单射．
数学应用：
1．请分析下列对应，哪些是A到B的映射？
(1)A＝R，B＝{x|x是数轴上的点}，f：实数与数轴上的点对应；
(2)A＝{中国，日本，韩国}，B＝{北京，东京，汉城，华盛顿}，
f：相应国家的首都；
(3)A＝{x|x是高一年级有QQ号的学生}，B＝{x|x是QQ号码}，
f：该生对应的QQ号；
(4)A＝{x|x是我校高一年级的班级}，B＝{x|x是我校高一年级的学生}，f：该班级对应的学生．
数学应用：
2．已知M＝{x|0≤x≤2}，N＝ {y|0≤y≤2}，下列图中表示从M到N的映射共有多少个？
2
1
1
2
x
y
2
1
1
2
x
y
2
1
1
2
x
y
2
1
1
2
x
y
O
2
1
1
2
x
y
O
O
2
1
1
2
x
y
O
O
O
逆映射
数学应用：
例2．若A＝{－1，m，3}，B＝{－2，4，10}，定义从A到B的一个映射f：x→y＝3x＋1，求m值．
3．已知A＝R，B＝R，则在f：A →B使A中任一元素a与B中元素2a－1相对应，则在f：A→ B中，A中元素9与B中元素_________对应；与集合B中元素9对应的A中元素为_________．
数学应用：
4．若元素(x，y)在映射f的象是(2x，x＋y)，则(－1，3)在f下的象是 ，
(－1，3)在f下的原象是 ．
反馈练习：
例3．设集合A＝{x|0≤x≤6 }，集合B＝{y|0≤y≤2 }，下列从A到B的对应法则f，其中不是映射的是( )
5．下列对应中，哪些是 从A到B的映射？
数学应用：
1
2
3
4
2
4
6
8
x
y
f
(1)
x
y
f
1
2
3
4
2
4
6
8
(3)
x
y
f
1
2
3
4
2
4
6
8
(4)
1
2
3
4
2
4
6
8
x
y
f
(2)
6．设集合M＝{x∣0≤x≤1 }，集合N＝{y∣0≤y≤1 }，则下列四个图象中，表示从M到N的映射的是( )
数学应用：
x
x
x
x
y
y
y
y
O
O
O
O
(1)
(2)
(3)
(4)
小结：
对应
一对一
多对一
一对多
单值对应
映射
两个数集之间的对应
函数
a
b
c
A
B
1
2
3
4
一一对应
一定是映射，且存在逆映射．
4叫做b的象
b是4的原象
f
作业：
课本42页1，2，3．(共13张PPT)
高中数学 必修1
情境问题：
函数的概念以及记法：
一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合
A中的每个元素x，在集合B中都有惟一的元素和它对应，那么这样的对应
叫从A到B的一个函数．通常记为：y＝f(x)，x A， x的值构成的集合A叫
函数y＝f(x)的定义域．
概念中集合A为函数的定义域，集合B的作用是什么呢？
例1：已知函数f (x) ＝x2 ＋2x，求 f (－2)，f (－1)，f (0)，f (1)．
数学应用：
思考：是否存在实数x0 ，使f (x0 )＝ －2，为什么？
函数值域的概念：按照对应法则f，对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之为函数的值域．
数学建构：
注：函数值域是集合B的子集 ．
例2：已知f (x)＝(x－1)2＋1，根据下列条件，分别求函数f (x)的值域．
(1)x {－1，0，1，2，3}．
(2)x R．
(3)x [－1，3]．
(4)x (－1，2]．
(5)x (－1，1)．
数学应用：
例3．求下列函数的值域.
(1)
(2)
思考：
求函数f(x)＝ －2 的值域.
数学应用：
求函数值域的常用方法：
(1) 观察法——依托图象．
(2) 代入法——一般适用于定义域为孤立数集．
(3) 依托已知函数的值域．
(4) 其他方法．
数学建构：
例4．已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出，
数学应用：
x 1 2 3 4 x 1 2 3 4
f(x) 2 3 4 1 g(x) 2 1 4 3
试分别求f (f (1))，f (g (2))，g(f (3))，g (g (4))的值．
f(g(x))与g(f(x))的涵义以及不同之处.
x
f
f(x)
g
g(f(x))
x
g
g(x)
f
f(g(x))
数学建构：
已知函数f(x)＝2x＋1，求f(f(x))．
数学应用：
变式：已知函数f(x)＝x2－3x＋2，求f(2a＋1)．
变式：已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－3x＋2，求g(f(x)和f(g(x)．
数学探究：
已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－3x＋2，试分别求出g(f(x)和f(g(x)的值域，比较一下，看有什么发现．
小结：
定义域
对应法则
值域
函数的
通常称之函数的三要素．
f(g(x)型的函数通常被称之为复合函数．
作业：
P29第5，8，9．(共12张PPT)
高中数学 必修１
情境问题：
对数函数的定义：
函数y＝logax (a＞0，a≠1)叫做对数函数．
对数函数的定义域为(0，＋ )，值域为R ．
对数函数的图象和性质：
对数函数的图象恒过点(1，0)，
当0＜a＜1时，对数函数在(0，＋ ) 上递减；
当a＞1时，对数函数在(0，＋ )上递增．
函数y＝log2(x2＋2x＋2)的定义域和值域分别如何求呢？
数学应用：
(1)函数y＝log2x的值域是 ；
(2)函数y＝log2x(x≥1)的值域是 ；
(3)函数y＝log2x(0＜x＜1)的值域是 ．
数学应用：
例1．求函数y＝log2(x2＋2x＋2)的定义域和值域．
数学应用：
(1)已知函数y＝log2x的值域是[－2，3]，则x的范围是________________．
(2)函数 ，x (0，8]的值域是 ．
(3)函数 的值域 ．
(4)函数 的值域是_______________．
数学应用：
例2．判断下列函数的奇偶性：
数学应用：
例3．已知loga 0.75＞1，试求实数a 取值范围．
数学应用：
例4．已知函数y＝loga(1－ax)(a＞0，a≠1)．
(1)求函数的定义域与值域；
(2)求函数的单调区间．
数学应用：
(3)已知函数 (a＞0，a≠1)的图象关于原点对称，那么实数m＝ ．
(1)下列函数(1) y＝x－1；(2) y＝log2(x－1)；(3) y＝ ；(4)y＝lnx，其中值域为R的有 (请写出所有正确结论的序号)．
(2)函数y＝lg( －1)的图象关于 对称．
数学应用：
(4)求函数 ，其中x [ ，9]的值域．
小结：
借助于对数函数的性质研究对数型函数的定义域与值域；
换元法在求值域中的运用：
数形结合．
作业：
P70习题2.3(2)4，5，10，11．(共15张PPT)
高中数学 必修１
情境问题：
邓小平同志提出中国经济发展三步走方针：从1981年到1990年实现国民生产总值翻一番，从1991年到二十世纪末，国民生产总值再翻一番，人民生活水平达到小康水平；到21世纪中叶，人均国民生产总值达到中等国家水平，人民生活比较富裕，基本实现现代化．
这里面涉及到一个数学问题，十年翻一番，每年平均要增长多少呢？
如果设每年平均增长p%，80年的国民生产总值记为1，则有(1＋p%)10＝2在这里， 1＋p%叫做底数，10是指数，2是幂．
如何求p呢？
数学建构：
如果一个数的平方等于a，那么这个数是a的一个平方根，
也就是说，如果x2=a，那么x就是a的一个平方根．
如果一个数的立方等于a，那么这个数是a的立方根，
也就是说，如果x3=a，那么x就是a的立方根．
……
1．平方根与立方根．
是一个负数．这时，a的n次实数方根只有一个，记为 ．
0的n次实数方根等于0
数学建构：
当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根
一般地，如果一个实数x的满足xn=a(n＞0，n N*)，
那么称x为a的n次实数方根．
2．n次方根．
我们把 叫n次根式，n是根指数，a是被开方数．
a
数学建构：
3．根式及其性质．
数学应用：
数学应用：
例2．计算下列各式的值．
用乘方定义开方，同样用乘方运算完成开方运算．
数学建构：
4．开方运算．
数学应用：
练习：
(1)25的平方根是 ；
(2)27的立方根是 ；
(3)16的四次方根是 ；
(4)－32的五次方根是 ；
(5)a6的六次方根是 ；
(6)0的n次方根是 ．
数学应用：
练习：
下列说法：(1)正数的n次方根是正数；(2)负数的n次方根是负数；(3)0的n次方根是0；(4) 是无理数．其中正确的是 (写出所有正确命题的序号)．
数学应用：
练习：
对于a＞0，b≠0，m，n Z，以下说法：(1) am·an ＝amn；
(2) (am)n ＝am+n ；(3) am·bn ＝ (ab)m+n ；(4) ＝a-m·bm．其中正确的是 (写出所有正确命题的序号)．
数学应用：
练习：
如果a，b是实数，则下列等式：
＝a＋b；
( )2＝a＋b＋2 ；
＝a2＋b2；
＝a＋b．
其中一定成立的是 (写出所有正确命题的序号)．
数学应用：
练习：
已知 ， ，求 的值．
乘方
幂
开方
方根
小结：
根式
作业：
48页习题2.2(1)1．(共10张PPT)
高中数学 必修１
情境问题：
一般地，对于a＞0，a≠1 ，M＞0，N＞0，都有
对数的性质：
(1)已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，lg12的值约为多少？
(2)能否利用lg2与lg3的值，近似求log23的值呢，这三者之间有什么呢？
loga(M·N)＝ logaM＋logaN
loga ＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM， n R
数学建构：
对数的换底公式：
logaN＝
其中a＞0，a≠1， c＞0，c≠1， N ＞0
logcN
logca
换底公式的运用：
logab·logba＝1；
logab＝
数学应用：
例1 求log89×log332的值．
变式：
(1)求log89×log2732的值；
(2)若log34×log25×log5m＝2，则m＝ ．
数学应用：
化简：
＝ ．
＝ ．
证明：
数学应用：
例2 设xa＝yb＝zc，且 ．求证：z＝xy．
变式：
设正实数a、b、c 满足3a＝4b＝6c，
(2)比较3a、4b、6c的大小．
(1)求证： ；
数学应用：
例3．如图，2000年我国国内生产总值(GDP)为89442亿元， 如果我国的GDP年均增长7.8%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年后，我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标？(lg2≈0.3010，lg1.078≈0.0326，结果保留整数)．
数学应用：
例4．在本章第2.2.2节的开头问题中，已知测得出土的古莲子中的残余量占原来的87.9%，试推算古莲子的生活年代(lg2≈0.3010，lg0.879≈－0.0560，结果保留整数)．
小结：
换底公式中一个重要的恒等式： logaN logN a＝1
1.对数的换底公式：
logaN＝
logcN
logca
2.换底公式的应用及应用的条件.
作业：
P63习题2.3(1)6，7，8．(共12张PPT)
高中数学 必修１
复习回顾与情境创设
元素与集合：
属于( )与不属于( )
集合与集合：
子集
包含A B
A＝B
A A
真子集
情境问题：{1}和{2，3}都是集合{1，2，3}的子集， {1}和 {2，3}关系呢？
数学建构
1．补集的含义：
图示法表示：
设A S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集．
S
A
要素分析
对象
对象之间的关系
运算方法
两个集合A与S
A S (研究补集的前提)
记作 SA，即 SA＝ { x|x∈S，且x A}．
SA＝ { x|x∈S，且x A}．
例1．若全集S＝Z，A＝{ x｜x＝2k，k Z}，B＝{ x｜x＝2k＋1，k Z}，则 SA＝ ， SB＝ ．
B
A
数学应用
2．S = {x | x是至少有一组对边平行的四边形}，A = {x | x是梯形}，求 SA．
数学应用
1．已知A ={0，2，4，6}， SA ={－1，－3，1，3}， SB ={－1，0，2}，则B = ．
设全集为S，A是S的一个任意子集，则 S ( S A )＝ ．
A
2．补集的互补性．
S
{0}
数学建构：
补集的性质：
1．补集的反身性：
S S＝ ， S ＝ ．
练习：
N N*＝ ．
例2．记不等式组 的解集为A，S＝R，试求A及 SA，
并把它们表示在数轴上．
数学应用：
3x－6≤0
2x－1＞1，
解：解不等式2x－1＞1得x＞1，
解不等式3x－6≤0得x≤2，
∴A＝{x|1＜x≤2}．
则 SA＝{x|x≤1或x＞2}．
3．设全集为S = R，根据条件求A和 SA．
(1) A＝{ x | x2－4x＋4＝0}．
(2) A＝{ x | 2x－3＞1}．
(3)
(4)
数学应用：
4．设S = { x| x≥－3}，A = { x| x＞1}，则 SA= ．
数学应用：
例3．已知全集S＝{1，2，3，4，5}，A＝{ x S|x2－5qx＋4＝0}．
数学应用
(1)若 SA＝S，求q的取值范围；
(2)若 SA中有四个元素，求 SA和q的值；
(3)若A中有且只有两个元素，求 SA和q的值．
1．集合也可以定义运算．
根据一定的规则，由已知集合生成新的集合，叫做集合的运算．
2．全集；
3．补集：
大前提：A S ；
运算法则：
数学里研究问题的程序一般是
数学对象 对象之间的关系 数学运算
反馈练习
SA＝ { x|x S，且x A}．
课本P10-3，4．
作业：(共11张PPT)
高中数学 必修１
情境问题：
已知函数f (x)＝lgx＋x－3在(0，＋ )上有且只有一个零点，试给出函数f (x)零点所在的区间．
函数存在零点的判定：
若函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，
且f (a)·f (b)＜0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点．
仅知道函数f (x)的零点在(2，3)内是不够的，如何求出零点的近似值呢？
下面我们以熟悉的二次函数f (x)＝x2－2x－1为例，探求求零点近似值的方法．
数学探究：
对于函数f (x)＝x2－2x－1，因为f (－1)＝2＞0，f (0)＝－1＜0，
f (2)＝－1＜0，f (3) ＝2＞0，又f (x)在区间(－1，0)上单调减，在区间(2，3)上单调增，故在每个区间上有且只有一个零点，即x1 (－1，0)，x2 (2，3)．
我们取区间(2，3)的中点 x0＝2.5，计算f (2.5)
f (2.5)＝0.25＞0，
∴ x2 (2，2.5)
再取区间(2，2.5)的中点 x0＝2.25，计算f (2.25)．
f (2.25)＝－0.4375＜0
∴ x2 (2.25，2.5)
再取区间(2.25，2.5)的中点 x0＝2.375，计算f (2.375)
函数f (x)＝x2－2x－1在区间(2，3)上的零点的近似值(精确到0.1)如何求呢？
f (2.375)＝－0.109375＜0
∴ x2 (2.375，2.5)
再取区间(2.375，2.5)的中点 x0＝2.4375，计算f (2.4375)
f (2.4375)＝0.06640625＞0
∴ x2 (2.375，2.4375)
因为2.375和2.4375精确到0.1的近似值均为2.4，所以f (x)零点的近似值x≈2.4．
数学建构：
二分法：
对于在区间[a，b]上不间断，且满足f (a)·f (b) ＜0的函数y＝f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间．
数学建构：
给定精度 ，用二分法求函数f (x)的零点近似值的步骤：
(1)确定零点存在区间(a，b)；
(2)求区间(a，b)的中点x0；
(3)计算f (x0)：
①若f (x0)＝0，则x0就是函数的零点；
②若f (a)·f (x0)＜0，则令b＝x0(此时零点x1 ( a，x0))；
③若f (a)·f (x0)＞0，则令a＝x0(此时零点x1 (x0，b))．
(4)判断是否达到精度 ：即若| a－b |＜ ，则得到零点值a(或b)；
否则重复步骤2～4．
数学应用：
练习 确定下列函数f (x)的零点与方程的根存在的区间(k，k＋1)(k Z)．
1．函数f (x)＝x3－3x－3有零点的区间是 ．
2．方程5x2－7x－1＝0正根所在的区间是 ．
3．方程5x2－7x－1＝0负根所在的区间是 ．
4．函数f (x)＝lgx＋x－3有零点的区间是 ．
数学应用：
例1 求方程x2－2x－1＝0在区间(－1，0)上的近似解(精确到0.1)．
数学应用：
练习 利用计算器，求方程x3－3x－3＝0的近似解．
2.5
2.5
2.25
2.5
2.25
2.125
2.0625
f (2)＝－1，
f (3)＝15
f (2.5)＝5.125
f (2.25)＝1.640
f (2.125)＝0.221
f (2.0625)＝－0.414
2
3
－
＋
2
3
－
＋
2
3
－
＋
2
3
－
＋
2.5
2.25
2.125
数学应用：
例2 利用计算器，求方程lgx＝3－x的近似解(精确到0.1)．
小结：
选定初始区间
取区间的中点
中点函数值为0
结束
是
否
取新区间
是
否
方程的解满足精确度
作业：
P81习题2.5第5题．
