3.3 勾股定理的简单应用 同步训练题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
初中数学苏科版八年级上册3.3勾股定理的简单应用
同步练习
一、单选题
1.古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB＋AC=9尺，BC=3尺，则AC等于（???
）尺．
A.?3.5??????????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????????C.?4.5??????????????????????????????????????????D.?5
2.如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的正中央，高出水面部分BC的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′，则这根芦苇AB的长是（???
）
A.?15尺????????????????????????????????????B.?16尺????????????????????????????????????C.?17尺????????????????????????????????????D.?18尺
3.将一根
24cm
的筷子，置于底面直径为
15cm
，
高
8cm
的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为
hcm
，
则
h
的取值范围是（???
）
A.?h≤15cm??????????????????????B.?h≥8cm??????????????????????C.?8cm≤h≤17cm??????????????????????D.?7cm≤h≤16cm
4.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（　　）
A.?6??????????????????????????????????????????B.?8??????????????????????????????????????????C.?16??????????????????????????????????????????D.?55
5.如图，有两棵树，一棵高12m，另一棵高4m，两树相距15m，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（??
）
A.?8m?????????????????????????????????????B.?10m?????????????????????????????????????C.?13m?????????????????????????????????????D.?17m
6.如图(图在第二页)所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（??
）
A.?13?????????????????????????????????????????B.?26?????????????????????????????????????????C.?47?????????????????????????????????????????D.?94
7.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（???
）
A.?12m????????????????????????????????????B.?13m????????????????????????????????????C.?16m????????????????????????????????????D.?17m
8.如图，正
的边长为
，过点
的直线
，且
与
关于直线
对称，
为线段
上一动点，则
的最小值是(???
)
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
9.如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（??
）
A.?5cm??????????????????????????????????B.?12cm??????????????????????????????????C.?16cm??????????????????????????????????D.?20cm
10.如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60
cm，水深为AE=40
cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60
cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵，则小动物爬行的最短路线长为（??
）
A.?40
cm????????????????????????????????B.?60
cm????????????????????????????????C.?80
cm????????????????????????????????D.?100
cm
二、填空题
11.有两根木棒，分别长12cm，5cm，要再在14cm的木棒上取一段，用这三根木棒为边做成直角三角形，这第三根木棒要取的长度是________cm.
12.我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，1丈＝10尺，那么折断处离地面的高度是________尺.
13.如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为________米.
14.如图，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点且BE＝1，P为对角线AC上的一动点，连接PB，PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是________.
15.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是__m/s.
16.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为________.
三、解答题
17.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子
斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离
为0.7米，顶端到地面距离
为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端到地面距离
为2米，求小巷的宽度
.
18.已知长方体的长为1cm、宽为1cm、高为4cm（其中AC=1cm,BC=1cm，CG=4cm）.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到F点，最短的路程是多少？
19.如图所示是一块菜地，已知AD＝8
m，CD＝6
m，∠D＝90°，AB＝26
m，BC＝24
m，求这块菜地的面积．
20.如图，梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米.
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
解：解：设竹子折断处离地面AC=x尺，则斜边为AB=（9-x）尺，根据勾股定理得：
解得：x=4，
∴AC=4尺．
故答案为：B．
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9-x）尺，利用勾股定理解题即可．
2.【答案】
C
解：解：依题意画出图形，
设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=（x-2）尺，
因为B'E=16尺，所以B'C=8尺
在Rt△AB'C中，82+（x-2）2=x2
，
解之得：x=17，
即芦苇长17尺．
故答案为：C．
【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为16尺，则B'C=8尺，设出AB=AB'=x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．
3.【答案】
C
解：当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cm
AD是筷子，AB长是杯子直径，BC是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长
由题意得：AB=15cm，BC=8cm，△ABC是直角三角形
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC=17cm
∴8cm≤h≤17cm
故答案为：C
【分析】筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得.
4.【答案】
C
解：解：∵a、b、c都是正方形，
∴AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，
∴△ACB≌△DCE，
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2
，
即Sb=Sa+Sc=11+5=16，
故答案为：C．
【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
5.【答案】
D
解：解：如图，设大树高为AB=10=2m，
小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于E，连接AC，则四边形EBDC是矩形，
∴EB=CD=4m，EC=15m，AE=AB﹣EB=12﹣4=8（m），
在Rt△AEC中，AC=
=
=17（m）．
故小鸟至少飞行17m．
故选：D．
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
6.【答案】
C
解：解：如图
根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为
，C、D的面积和为
，
，于是
，即
故选C．
【分析】根据正方形的性质和面积以及图像的构成可求解.
7.【答案】D
解：解：设旗杆高度为x，
如图，
则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2
，
即（x﹣2）2+82=x2
，
解得：x=17，
即旗杆的高度为17米．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理a2+b2=c2
，
求出旗杆的高度.
8.【答案】
B
解：作点A关于直线BC′的对称点
，连接
C交直线BC与点D，如图所示．
由图象可知当点D在C′B的延长线上时，AD+CD最小，
而点D为线段BC′上一动点，
∴当点D与点B重合时AD+CD值最小，
此时AD+CD=AB+CB=2+2=4．
故答案为：B．
【分析】作点A关于直线BC′的对称点
，连接
C交直线BC与点D，由图象可知点D在C′B的延长线上，由此可得出当点D与点B重合时，AD+CD的值最小，由此即可得出结论，再根据等边三角形的性质算出AB+CB的长度即可．
9.【答案】D
解：解：延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形，
运用勾股定理得：
BC2=（15﹣3）2+（20﹣4）2=122+162=400，
所以BC=20．
则剪去的直角三角形的斜边长为20cm．
故选：D．
【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直角三角形解答．
10.【答案】D
解：解：如图所示作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，小虫沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短．
在直角△A′EG中，A′E=80cm，EG=60cm，
∴AQ+QG=A′Q+QG=A′G=
=100cm．
∴最短路线长为100cm．
故选：D．
【分析】做出A关于BC的对称点A′，连接A′G，与BC交于点Q，此时AQ+QG最短，A′G为直角△A′EG的斜边，根据勾股定理求解即可．
二、填空题
11.【答案】
13或
解：解：当第三根棒为斜边时，长度为：?，符合；
当第三根棒为直角边时，长度=
，
也符合.
故答案为：
13或?
.
??????【分析】分两种情况，即当第三根棒为斜边时，当第三根棒为直角边时，分别根据勾股定理列式求解即可，注意长度不能大于14.
12.【答案】
4.55
解：解：1丈=10尺，
设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2
解得：x=4.55.
答：折断处离地面的高度为4.55尺.
故答案为：4.55.
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为（10-x）尺.利用勾股定理解题即可.
13.【答案】
7
解：解：由勾股定理得：
，所以地毯的长度为4+3=7米.
故答案为：7.
【分析】根据平移的性质可知：地毯的总长度就是该直角三角形两直角边的和，故用勾股定理算出该直角三角形的另一条直角边长即可解决问题.
14.【答案】
6
解：连接DE于AC交于点P′，连接BP′，则此时△BP′E的周长就是△PBE周长的最小值，
∵BE=1，BC=CD=4，∴CE=3，DE=5，∴BP′+P′E=DE=5，∴△PBE周长的最小值是5+1=6，
故答案为6.
【分析】连接DE于AC交于点P′，连接BP′，则此时△BP′E的周长就是△PBE周长的最小值，利用勾股定理求出DE的长，由此可求出△PBE的周长的最小值。
15.【答案】
20
解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；
据勾股定理可得：BC=
=40（m），
故小汽车的速度为v=
=20m/s.
【分析】在Rt△ABC中,利用勾股定理可求出BC=40m，利用速度=路程÷时间即可求出结论.
16.【答案】
20
cm
解：解:如答图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离.
根据勾股定理，得
=20（cm）.
故答案为：20cm.
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.
三、解答题
17.【答案】
解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝2.4米，AC＝0.7米，
∴AB2＝0.72＋2.42＝6.25，
在Rt△AB′D中，∵∠ADB′＝90°，B′D＝2米，
∴AD2＋22＝6.25，
∴AD2＝2.25．
∵AD＞0，
∴AD＝1.5米．
∴CD＝AC＋AD＝0.7＋1.5＝2.2米．
答：小巷的宽度CD为2.2米．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出AD的长，进而可得出结论．
18.【答案】
根据题意，如下图所示，最短路径有以下三种情况：
沿AE、EG、GF、FB剪开，得图（1）AF2=AB2+BF2=（1+1）2+42=20cm，
沿AC、CG、GF、FH、HE、EA剪开，得图（2）AF2=AC2+FC2=12+（4+1）2=26cm，
沿AD、DH、HF、FG、GE、EA剪开，得图（3）AF2=AD2+FD2=12+（4+1）2=26cm，
综上所述，最短路径应为（1）所示，
所以AF2=20cm，
即AF=
cm，
答：最短路径应为
cm.
【分析】把长方体的表面展开，使A点与F点在同一个平面内，由两点之间线段最短可知，最短路径有以下三种情况：
如图所示，
分别利用勾股定理求出AF2
，
再从中找出AF的最小值即可.
?
19.【答案】
解：如图所示，连接AC，
∵∠D=90°，
∴AC2=AD2+CD2
，
∴AC=10，
又∵AC2+BC2=676，AB2=262=676，
∴AC2+BC2=AB2
，
∴△ABC是直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ACD=
【分析】根据题意，连接AC，根据题意可得出△ABC为直角三角形，利用两个三角形的面积差，可得出菜地面积。
20.【答案】
（1）解：根据题意得
，
∴梯子顶端距地面的高度
米
（2）解：
=
米，
∵
∴根据勾股定理得，
米，
∴
米，
答：梯子下端滑行了8米.
【分析】（1）根据勾股定理计算即可；（2）计算出
长度，根据勾股定理求出
，问题得解.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)