（课件+教案+学案+中考+单元测试）人教版九年级下册第二十八章 《锐角三角函数》备课精品包（35份打包）

九年级数学（下册）
第二十八章“锐角三角函数”教材分析
本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念）以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。
本章重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号 sin A、cos A、tan A表示函数等，学生过去没有接触过，所以对学生来讲有一定难度。至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。
一、教科书内容与课程学习目标
（一）本章知识结构框图
本章知识的展开顺序如下所示：
（二）教科书内容
本章内容分为两节。第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容。第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用。
在28.1节 “锐角三角函数”中，教科书先研究了正弦函数，然后在正弦函数的基础上给出余弦函数和正切函数的概念。对于正弦函数，教科书首先设置了一个实际问题，把这个实际问题抽象成数学问题，就是在直角三角形中，已知一个锐角和这个锐角的对边求斜边的问题。由于这个锐角是一个特殊的30°角，所以可以利用“在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半” 这个结论来解决这个问题。接下去教科书又提出问题：如果30°角所对的边的长度发生改变，那么斜边的长变为多少？解决这个的问题仍然需要利用上述结论。这样就能够使学生体会到“无论直角三角形的大小如何，30°角所对的边与斜边的比总是一个常数”。这里体现了函数的对应思想，即30°角对应数值。接下去，教科书又设置一个“思考”栏目，让学生进一步探讨在直角三角形中，45°角所对的边与斜边的比有什么特点。利用勾股定理就可以发现这个比值也是一个常数。这样就使学生认识到“无论直角三角形的大小如何，45°角所对的边与斜边的比总是一个常数”。通过探讨上面这两个特殊的直角三角形，能够使学生感受到在直角三角形中，如果一个锐角的度数分别是30°和45°，那么它们所对的边与斜边的比都是常数。这里体现了函数的思想，也为引出正弦函数的概念作了铺垫。有了上面这样的感受，会使学生自然地想到，在直角三角形中，一个锐角取其他一定的度数时，它的对边与斜边的比是否也是常数的问题。这样教科书就进入对一般情况的讨论。对于这个问题，教科书设置了一个“探究”栏目，让学生探究对于两个大小不等的直角三角形，如果有一个锐角对应相等，那么这两个相等的锐角所对的直角边与斜边的比是否相等，利用相似三角形对应边成比例这个结论就可以得到“在直角三角形中，当锐角的度数一定时，不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是一个固定值”。由此引出正弦函数的概念。这样引出正弦函数的概念，能够使学生充分感受到函数的思想，即在直角三角形中，对一个锐角的每一个确定的值，sin A都有唯一确定的值与它对应。在引出正弦函数的概念之后，教科书在一个“探究”栏目中，类比正弦的概念，从边与边的比的角度提出一个开放性问题：在直角三角形中，当一个锐角确定时，这个角的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？提出这个问题的目的是要引出对余弦函数和正切函数的讨论。由于教科书比较详细地讨论了正弦函数的概念，所以对余弦函数和正切函数概念的讨论采用了直接给出的方式，具体的讨论由学生类比正弦函数自己完成。在余弦函数和正切函数的概念给出之后，教科书在边注中分析了锐角三角函数的角与数值之间的对应关系，突出了函数的思想。一些特殊角的三角函数值是经常用到的，教科书借助于学生熟悉的两种三角尺研究了30°、45°、60°角的正弦、余弦和正切值，并以例题的形式介绍了已知锐角三角函数值求锐角的问题，当然这时所要求出的角都是30°、45°和60°这些特殊角。教科书把求特殊角的三角函数值和已知特殊角的三角函数值求角这两个相反方向的问题安排在一起，目的是体现锐角三角函数中角与函数值之间的对应关系。本节最后，教科书介绍了如何使用计算器求非特殊角的三角函数值以及如何根据三角函数值求对应的角等内容。由于不同的计算器操作步骤有所不同，教科书只就常见的情况进行介绍。
28.2节“解直角三角形”是在第一节“锐角三角函数”的基础上研究解直角三角形的方法及其在实际中的应用。本节开始，教科书设计了一个实际背景，其中包括两个实际问题，这两个实际问题抽象成数学问题分别是已知直角三角形的一个锐角和斜边求这个角的对边与已知直角三角形的一条直角边和斜边求这两个边的夹角的问题。解决这两个问题需要用到28.1节学习的有关正弦函数和余弦函数的内容。这两个问题实际上属于求解直角三角形的问题，设计这个实际问题的目的是要引出解直角三角形的内容。因此，教科书借助于这个实际问题背景，设计了一个“探究”栏目，要求学生探讨在直角三角形中，根据两个已知条件（其中至少有一个是边）求解直角三角形，最后教科书归纳给出求解直角三角形常用的反映三边关系的勾股定理，反映锐角之间关系的互余关系，以及反映边角之间关系的锐角三角函数关系。这样，教科书就结合实际问题背景，探讨了解直角三角形的内容。接下去，教科书又结合四个实际问题介绍了解直角三角形的理论在实际中的应用。第一个实际问题是章前引言中提到的确定比萨斜塔倾斜程度的问题。这个问题实际上是已知直角三角形的斜边和一个锐角的对边，求这个锐角的问题。这要用到正弦函数。第二个问题是确定“神舟”五号变轨后，所能看到地面的最大距离。这个问题实际上是已知直角三角形的斜边和一个锐角的邻边，求这个锐角的问题。这要用到余弦函数。第三个问题是确定楼房高度的问题。这个问题抽象成数学问题是已知直角三角形的一个锐角和它的邻边，求这个角的对边。这要用到正切函数。第四个实际问题是在航海中确定轮船距离灯塔的距离。解决这个问题需要反复利用正弦函数。本节最后，教科书采用将测量大坝的高度与测量山的高度相对比的方式，直观形象地介绍了“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的微积分的基本思想。
（三）课程学习目标
对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求。
1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sin A、cos A、tan A表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角。
2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角。
3.理解直角三角形中边与边的关系、角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题。
4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想；通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受。
二、本章编写特点
（一）加强与实际的联系
本章主要包括锐角三角函数和解直角三角形两大块内容。这两大块内容是紧密联系的。锐角三角函数是解直角三角形的基础，解直角三角形的理论又为解决一些实际问题提供了强有力的工具。解直角三角形为锐角三角函数提供了与实际紧密联系的沃土。因此本章编写时，加强了锐角三角函数与解直角三角形两大块内容与实际的联系。例如，在章前引言中利用确定山坡上所铺设的水管的长度问题引出正弦函数；结合使用梯子攀登墙面问题引出解直角三角形的概念和方法；等等。再有，教科书利用背景丰富有趣的四个实际问题，从不同的角度展示了解直角三角形在实际中的广泛应用。教科书这样将锐角三角函数和解直角三角形的内容与实际问题紧密联系，形成“你中有我，我中有你”的格局，一方面可以让学生体会锐角三角函数和解直角三角形的理论来源于实际，是实际的需要，另一方面也让学生看到它们在解决实际问题中所起的作用，感受由实际问题抽象出数学问题，通过解决数学问题得到数学问题的答案，再回到实际问题的这种实践—理论—实践的认识过程。这个认识过程符合人的认知规律，有利于调动学生学习数学的积极性，丰富有趣的实际问题也能够激发学生的学习兴趣。
（二）加大学生的思维空间，发展学生的思维能力
本章编写时一方面继续保持原有的通过设置“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”等栏目来扩大学生探索交流的空间，发展学生的思维能力。同时结合本章内容的特点，又考虑到学生的年龄特征（学习本章内容的学生已经是九年级），对于本章的一些结论，教科书采用了先设置一些探究性活动栏目，然后直接给出结论的做法，而将数学结论的探索过程完全留给学生，不像前两个年级那样，将这些探究过程通过填空或留白等方式引导学生进行探究。例如，教科书在详细研究了正弦函数，给出正弦函数的概念之后，设置了一个“探究”栏目，并提出问题：“在直角三角形中，当一个锐角确定时，它的对边与斜边的比就随之确定，那么，此时其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？”接下去，教科书直接给出了余弦函数和正切函数的概念，而将“邻边与斜边的比、对边与邻边的比也分别是确定的”这个结论的探究过程完全留给学生自己完成。再如，对于30°、45°、60°这几个特殊角的三角函数值，教科书也是首先设置一个“思考”栏目，在栏目中提出问题“两块三角尺中有几个不同的锐角，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值”，然后教科书用一个表格直接给出了这几个特殊角的三角函数值，而将这些角的三角函数值的求解过程留给学生完成。这样的一种编写方式就为学生提供了更加广阔的探索空间，开阔思路，发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式。
（三）揭示数学内容的本质
本章的一个教学目标是使学生理解锐角三角函数的概念，这个概念与学生以前所学的一次函数、反比例函数和二次函数有所不同，它反映的不是数值与数值的对应关系，而是角度与数值之间的对应关系，学生初次接触这种对应关系，理解起来有一定困难，而这种对应关系对学生深刻理解函数的概念又有很大帮助，因此，教科书针对这种情况，加强了对锐角三角函数所反映的角度与数值之间的对应关系的刻画。例如，对于正弦函数，教科书首先研究了在直角三角形中，30°和45°的锐角所对的边与斜边的比分别是常数和，然后就一般情况进行研究，并得出结论：当一个锐角的度数一定时，这个角的对边与斜边的比也是一个常数，这样就突出了锐角与比值的对应关系，即对于每一个锐角，都有一个比值与之对应，从而给出正弦函数的定义。同样，教科书在阐述余弦函数和正切函数时也突出了锐角与“邻边与斜边的比值”之间的对应关系以及锐角与“对边和邻边的比值”之间的对应关系，并在边注进一步强调了这种函数关系：对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是A的函数。同样地，cos A，tan A也是A的函数。这样，就可以让学生对变量的性质以及变量之间的对应关系有更深刻的认识，加深对函数概念的理解。
微积分的思想在数学中占有重要的地位，其基本思想是“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”，这个基本思想是很朴素的，是可以在初等数学中得到反映的。教科书在本章最后，结合解直角三角形的内容，采用与测量大坝的高度和测量山的高度相对比的方式，直观形象地介绍了在确定山的高度时，如何将山坡“化整为零”，如何将山坡的长度“化曲为直、以直代曲”，又如何将每一部分的高度“积零为整”。这样编写的目的是要体现微积分的基本思想，让学生通过直观形象的例子对微积分的基本思想有一个初步的认识。综上所述，本章编写时注意突出数学内容的本质，强调数学思想方法，这有助于提高学生的数学素养。
三、几个值得关注的问题
（一）注意加强知识间的纵向联系
第27章“相似”为本章研究锐角三角函数打下了基础，因为利用“相似三角形的对应边成比例”可以解释锐角三角函数定义的合理性。例如，教科书在研究正弦函数的概念时，利用了“在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半”，得出了“在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于”。事实上，在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么这样的直角三角形都相似。因此，不管这样的三角形的大小如何，它们的对应边都成比例。这也就是说，对于sin 30°=，虽然教科书是从两个特殊的直角三角形（30°的对边分别是70和50）归纳得到的，但这个结论是可以从三角形相似的角度来解释的。同样，对于45°也有类似的情况。当然，教科书利用相似三角形的有关结论解释了在一般情形中正弦定义的合理性。因此，锐角三角函数的内容与相似三角形是密切联系的，教学中要注意加强两者之间的联系。
全等三角形的有关理论对理解本章内容有积极的作用。例如，在研究解直角三角形时，教科书通过探索得到结论：事实上，在直角三角形的六个元素中，除了直角，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就确定下来了。这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素。这个结论的获得实际上利用了直角三角形全等的有关理论，因为对于两个直角三角形，如果已知两个元素对应相等，并且其中有一个元素是边，那么这两个直角三角形就全等，也就是已知一个直角三角形的除直角外的两个元素，其中至少有一个是边，这个三角形就确定下来。所以就可以利用这两个元素求出其余的元素。因此，利用三角形全等的理论，有利于理解解直角三角形的相关内容。教学中要注意加强知识间的相互联系，使学生的学习形成正迁移。
另外，本章所研究的锐角三角函数反映了锐角与数值之间的函数关系，这虽然与一次函数、反比例函数以及二次函数所反映的数值与数值之间的对应关系有所不同，但它们都反映了变量之间的对应关系，本质上是一致的。教学时，要注意让学生体会这些不同函数之间的共同特征，更好地理解函数的概念。
（二）注意数形结合，自然体现数与形之间的联系
数形结合是重要的数学思想和数学方法，本章内容又是数形结合的很理想的材料。例如，对于锐角三角函数的概念，教科书是利用学生对直角三角形的认识（在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半，45°的直角三角形是等腰直角三角形）以及相似三角形的有关知识引入的，结合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质。再比如，解直角三角形在实际中有着广泛的作用，在将这些实际问题抽象成数学问题并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角等的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决。因此在本章教学时，要注意加强数形结合，在引入概念、推理论述、化简计算、解决实际问题时，都要尽量画图帮助分析，通过图形帮助找到直角三角形的边、角之间的关系，加深对直角三角形本质的理解。
　 四、课时安排
　　本章教学时间约需12课时，具体分配如下：
28.1　锐角三角函数　　　　 约6课时
28.2　解直角三角形 　　　　约4课时
数学活动
小结 约2课时
　　
附：本章课堂教学设计6课时
陈新智
2011年5月28日
教学流程图 创设情境，导入新课 展示学习目标 自学方法指导学生自学，教师巡视 检查自学效果当堂训练课堂小结
教学设计评价
课 堂 教 学 设 计
课题：28.1锐角三角函数（1） ——正弦 授课时数： 1
日期： 设 计 人： 陈新智
设计要素 设 计 内 容
教学内容分析 教科书首先设置了一个实际问题，把这个实际问题抽象成数学问题，通过思考、探究，得到“在直角三角形中，当锐角的度数一定时，不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是一个固定值”。由此引出正弦函数的概念。
教学目标 知识与技能 1、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实，从而理解正弦的概念。 2、能根据正弦概念正确进行计算
过程与方法 通过思考和探究，让学生发现“这个角的对边与斜边的比是一个固定值”的过程。
情感态度价值观 引导学生通过探索数量的比值关系，发现规律，从而培养学习数学的兴趣。
学情分析 学生初次接触“正弦”的概念，是很难理解的，注意加强对数量关系的比较、分析。
教学分析 教学重点 理解正弦（sinA）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值
教学难点 难点 当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
解决办法 结合图形，从实际例子入手，引导学生仔细观察、比较、分析，总结规律。
教学策略 谈话，讨论，交流，仔细比较，认真分析
教学资源 教材 教师教学用书 中学教材全解 与教材配套的练习册
板书设计 28.1锐角三角函数（1） ——正弦 一、讨论交流：结论：①直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 ②直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 ③在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比 二、正弦函数概念：规定：在Rt△ABC中，∠C=90，∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c．在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= =． sinA＝
教学环节 教师活动 学生活动 教学媒体使用预期效果
导入新课 　 阅读教材73页引言部分，导入新知识。
揭示学习目标 教师口述学习目标
学生自学 教师巡视，个别指导 学生阅读教材第74至76页内容
检测、反馈 （1）教师问，①74页思考？ ②75页思考？ ③75页探究？（回顾三角形相似的判断方法） （2）师生归纳：正弦函数概念（3）教师强调解题的书写格式 （1）学生一边思考，一边回答。（2）请一名学生板书75页探究的依据。（3）请两名学生板演例1
当堂训练 1、77页练习2、在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是( )A． B．3 C． D．
全课小结 在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是 ． 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的 ，记作 ，
教学流程图
教学设计评价
课 堂 教 学 设 计
课题：28．1锐角三角函数（2）——余弦、正切 授课时数： 1
日期： 设 计 人： 陈新智
设计要素 设 计 内 容
教学内容分析 余弦、正切仍然是直角三角形的边角关系，学习了正弦概念，余弦、正切的概念是容易掌握的。在此基础上得出锐角三角函数的概念。
教学目标 知识与技能 1、感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。2、能根据余弦、正切的概念，正确进行计算
过程与方法 逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
情感态度价值观 引导学生结合图形，探索数量关系，培养学习数学的兴趣，进一步领会数形结合的思想方法。
学情分析 在第一课时的基础上，学生对锐角三角函数有了一定的认识，学习余弦、正切的概念，问题不会大。
教学分析 教学重点 理解余弦、正切的概念
教学难点 难点 熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。
解决办法 数形结合，理解概念，总结规律
教学策略 仔细观察、认真比较
教学资源 教材 教师教学用书 中学教材全解 与教材配套的练习册
板书设计 28.1锐角三角函数（2） ——余弦、正切一、正弦的概念：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝二、余弦、正切在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA==；把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA==．三、锐角三角函数我们把锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数．四、计算
教学环节 教师活动 学生活动 教学媒体使用预期效果
导入新课 1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？2、在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比是 ，现在我们要问：∠A的邻边与斜边的比呢？∠A的对边与邻边的比呢？ 讨论，回答
揭示学习目标 教师口述学习目标
学生自学 教师巡视，个别指导 学生阅读教材第77至78页内容
检查自学效果 类似于正弦的情况，教师问，学生答：如图在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的．我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA==；把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA==．例如，当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°= ；当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= ． （教师讲解并板书）：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数．
当堂训练 教材78页练习1.2.3.
课堂小结 本节课的收获 学生回答，相互补充
布置作业 练习册对应的作业
教学流程图
教学设计评价
课 堂 教 学 设 计
课题：28．1锐角三角函数（3）——特殊角的三角函数值 授课时数：1
日期： 设计人： 陈新智
设计要素 设 计 内 容
教学内容分析 本节内容借助于学生熟悉的两种三角尺研究了30°、45°、60°角的正弦、余弦和正切值，并以例题的形式介绍了已知锐角三角函数值求锐角的问题，当然这时所要求出的角都是30°、45°和60°这些特殊角。
教学目标 知识与技能 熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数。
过程与方法 逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
情感态度价值观 引导学生结合图形，探索数量关系，培养学习数学的兴趣，进一步领会数形结合的思想方法。
学情分析 只要能够正确理解正弦、余弦、正切的概念，结合图形，写出特殊角的三角函数，就能求出每一个特殊角的三角函数值。
教学分析 教学重点 熟记30°、45°、60°角的三角函数值
教学难点 难点 由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数
解决办法 结合图形，写出特殊角的三角函数，理解30°、45°、60°角的三角函数值的由来。
教学策略 讨论，交流，仔细比较，认真分析
教学资源 教材 教师教学用书 中学教材全解 与教材配套的练习册
板书设计 特殊角的三角函数值1、什么叫做∠A的锐角三角函数？2、如图，sin30°=cos30°=tan30°= 同理可以得到3、特殊角的三角函数值可列表如下： 角度α三角函数值函数名称30°45°60°sinαcosαtgα1ctgα1
教学环节 教师活动 学生活动 教学媒体使用预期效果
揭示学习目标 教师口述学习目标
学生自学 教师巡视，个别指导 1、学生思考并讨论教材第79的“探究”2、熟记30°、45°、60°角的三角函数值3、学习例3和例4（注意书写格式）
检查自学效果 1、教师提问，学生回答或板书2、指导学生进一步探究：（1）互余两角的三角函数之间的关系： sin(90°-α)=cosα， cos(90°-α)=sinα（2）平方关系：sin2α+cos2α=1 1、根据两幅三角板的边与边的关系，写出30°、45°、60°角的三角函数值。2、根据表格中的三角函数值，说出对应的角的度数。（相互提问、交流）
当堂训练 教材80页得练习 指名板演，全班齐练
课堂小结 学生归纳，相互补充
布置作业
教学设计评价
课 堂 教 学 设 计
课题：28．1锐角三角函数（4）——运用计算器求锐角的三角函数值和
由三角函数值来求角 授课时数： 1
日期： 设计人： 陈新智
要素 设 计 内 容
内容 借助计算器求非特殊锐角的三角函数值和由三角函数值来求角的度数
教学目标 知识与技能 让学生熟识计算器一些功能键的使用，会用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角
过程与方法 通过计算器的熟练应用，学习数学知识，培养数学能力。
情感态度价值观 培养学生的动手能力和学习数学的兴趣。
学情分析 由于学生对计算器的操作比较熟悉，所以学习本节内容不成问题。
教学分析 教学重点 运用计算器处理三角函数中的值或角的问题
教学难点 难点 已知三角函数值来求角的度数
解决办法 明确概念，不断探索、尝试。
教学策略 尝试和探究贯穿课堂全过程，重视引导、指导和讲解。
教学资源 教材 教师教学用书 中学教材全解 与教材配套的练习册
板书设计 用计算器求锐角的三角函数值1、计算：（1）sin30°·cos45°+cos60°; （2）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°+·tan30°2、用计算器求三角函数值：（1）sin18° （2）tan30°36‘ （3）cos55°3、根据三角函数值求角的度数：（1）已知sinA=0.5018，求∠A的度数；（2）已知cos B=0.6252，求∠B的度数。4、注意计算器功能键的使用
教学环节 教师活动 学生活动 教学媒体使用预期效果
导入新课 今天我们学习借助计算器求非特殊锐角的三角函数值和由三角函数值来求角的度数。
揭示学习目标 教师口述学习目标
指导学生自学 注意计算器功能键的使用。 学生自学教材第80、81页的内容。
学生自学 教师巡视，个别督查
检查自学效果 指名做黑板上的试题，全班齐练。
学生归纳更正
当堂训练 教材第81页练习题
课堂小结 借助计算器求非特殊锐角的三角函数值的注意事项是什么？ 学生回答，相互补充。
教学设计评价
课 堂 教 学 设 计
课题：28．2解直角三角形（1） 授课时数： 1
日期： 设计人： 陈新智
设计要素 设 计 内 容
教学内容分析 教科书借助于实际问题背景，设计了一个“探究”栏目，要求学生探讨在直角三角形中，根据两个已知条件（其中至少有一个是边）求解直角三角形，最后教科书归纳给出求解直角三角形常用的反映三边关系的勾股定理，反映锐角之间关系的互余关系，以及反映边角之间关系的锐角三角函数关系
教学目标 知识与技能 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形
过程与方法 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
情感态度价值观 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
学情分析 本节内容比较抽象，学生学习会有一定的困难，关键是理解直角三角形中边角之间关系的锐角三角函数关系。
教学分析 教学重点 直角三角形的解法．
教学难点 难点 三角函数在解直角三角形中的灵活运用
解决办法 通过猜测、比较、验证，突破重难点
教学策略 谈话，讨论，交流，比较，分析
教学资源 教材 教师教学用书 中学教材全解 与教材配套的练习册
板书设计 解直角三角形1、什么叫解直角三角形？2、直角三角形ABC中，各元素之间的关系：(1)三边之间关系 ： a2 +b2 =c2 (勾股定理) （2)锐角之间关系： ∠A+∠B=90°．(3)边角之间关系：
教学环节 教师活动 学生活动 教学媒体使用预期效果
导入新课 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？今天我们来学习解直角三角形的问题。
揭示学习目标 教师口述学习目标
学生自学 教师巡视，个别督查 学生阅读教材85页至86页内容
检查自学效果 按照板书内容提问 学生回答，相互补充
当堂训练 教师督促巡视，批改先做完的学生作业 1、学生板书例1、例22、教材87页练习
课堂小结 小结“已知一边一角，如何解直角三角形？” 学生归纳本节课的收获
教学设计评价
课 堂 教 学 设 计
课题：28．2解直角三角形（2） 　 授课时数： 1
日期： 设计人： 陈新智
设计要素 设 计 内 容
教学内容分析 通过确定“神舟”五号变轨后，所能看到地面的最大距离，这一实际问题，来探索直角三角形中边与角的关系，即解直角三角形的应用。
教学目标 知识与技能 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
过程与方法 通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用， 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
情感态度价值观 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识
学情分析 本节内容的难点是实际问题转化成数学模型，学生学习是有一定难度的。
教学分析 教学重点 将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
教学难点 难点 实际问题转化成数学模型
解决办法 通过观察、比较及数形结合的思想方法突破重难点
教学策略 动手操作，比较，归纳
教学资源 教材 教师教学用书 中学教材全解 与教材配套的练习册
板书设计 解直角三角形（2）1、解直角三角形指什么？ 2、解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理理： (2)锐角之间的关系： (3)边角之间的关系：3、什么是仰角、俯角？4、例题
教学环节 教师活动 学生活动 教学媒体使用预期效果
揭示学习目标 教师口述学习目标 学生认真听，用心记
学生自学 出示自学提纲 按板书提示进行预习，教材87、88页.
检查自学效果 指名板书，相互补充
当堂训练 督促巡视，批改先做完的学生作业 教材89页练习，指名板演，全班齐练
课堂小结 本节课我的收获: 先由学生归纳，教师再补充。
布置作业
教学设计评价
听歌曲，介绍作者
展示学习目标及任务
小黑板
学习方法指导
小黑板
巡视，适当点拨
检测自学效果，指导学生更正并运用
出示检测题
激情总结
放音乐，板书课题
了解学习任务
理解识记学习方法
根据自学提示，自主合作探究
判断他人结论，更正、补充并说明理由
完成检测
小黑板
课后完成作业
_
斜边
c
_
对边
a
_
邻边b
_
C
_
B
_
A
_
斜边
c
_
对边
a
_
邻边b
_
C
_
B
_
A
PAGE
21(共51张PPT)
问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.
A
B
C
思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？
情
境
探
究
根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即
A
B
C
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.
可得 AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管。
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 。
A
B
C
50m
30m
B '
C '
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 。
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？
A
B
C
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；
当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值.
探究
A
B
C
A'
B'
C'
任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A‘＝ ，那么 与 有什么关系．你能解释一下吗？
由于∠C＝∠C’＝90°， ∠A＝∠A’＝
所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
探究
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA， 即
例如，当∠A＝30°时，我们有
当∠A＝45°时，我们有
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
在图中
∠A的对边记作a
∠B的对边记作b
∠C的对边记作c
正 弦
注意
sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”；
sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比；
sinA不表示“sin”乘以“A”。
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
A
B
C
3
4
例 题 示 范
A
B
C
13
5
(1)
(2)
试着完成图（2）
练习
A
C
3
5
B
2、在平面直角平面坐标系中，已知点A(3，0)
和B(0，-4)，则sin∠OAB等于____.
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边
上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=___.
4、在Rt△ABC中, ∠C=90°, ,
则sin∠A=___.
1、如图，求sinA和sinB的值．
5、如图，在△ABC中， AB=CB=5，sinA= ，求△ABC 的面积。
B
A
C
5
5
28.1锐角三角函数（2）
——正弦 正切
复习与探究：
1.锐角正弦的定义
在 中，
∠A的正弦：
2、当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为什么？
新知探索:
1、你能将“其他边之比”用比例的式子表示出来吗？这样的比有多少？
2、当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边的比， ∠A的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并说出理由。
方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；
方法二：根据相似三角形的性质来说明。
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
A
B
C
斜边c
对边a
邻边b
★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
余弦（cosine），记作cosA， 即
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的
正切（tangent），记作tanA， 即
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注意
cosA，tanA是一个完整的符号，它表示∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；
cosA，tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比；
cosA不表示“cos”乘以“A”， tanA不表示“tan”乘以“A”
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对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数。
同样地， cosA，tanA也是A的函数。
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
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A
B
C
6
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=6， ，求cosA和tanB的值．
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例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．
A
B
C
2
3
延伸：由上面的计算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值有什么规律吗？
结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦。
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练习
课本P78 练习1，2，3.
补充练习
1、在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.
A
B
C
D
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补充练习
2、如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=12，AB=13，∠BCM=∠BAC，求sin∠BAC和点B到直线MC的距离．
3、如图所示，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，
求证：
28.1锐角三角函数（3）
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A
B
C
∠A的对边a
∠A的邻边b
斜边c
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请同学们拿出自己的学习工具——一副三角尺，思考并回答下列问题：
1、这两块三角尺各有几个锐角？它们分别等于多少度？
2、每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系？如果设每块三角尺较短的边长为1，请你说出未知边的长度。
30°
60°
45°
1
2
1
1
45°
新知探索:30°角的三角函数值
sin30°=
cos30°=
tan30°=
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cos45°=
tan45°=
sin45°=
新知探索:45°角的三角函数值
sin60°=
cos60°=
tan60°=
新知探索:60°角的三角函数值
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30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角函数 30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
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例1 求下列各式的值：
（1）cos260°＋sin260°
（2）
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求下列各式的值：
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例2 （1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ，
求∠A的度数．
A
B
C
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（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的 倍，求 a ．
A
B
O
当A，B为锐角
时，若A≠B，则
sinA≠sinB,
cosA≠cosB,
tanA≠tanB.
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1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，
，
求∠A、∠B的度数．
B
A
C
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2、求适合下列各式的锐角α
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A
B
C
D
4、如图,△ABC中,∠C=900,BD平分∠ABC,
BC=12,BD= ,求∠A的度数及AD的长.
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小结 :
我们学习了30°, 45°, 60°这几类特殊角的三角函数值．
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作业
课本P82 第3题
《同步练习》P51-52（四）（五）
28.1锐角三角函数（4）
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D
A
B
E
1.6m
20m
42°
C
引例 升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼。当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42°（如图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？
这里的tan42°是多少呢？
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前面我们学习了特殊角30°45°60°的三角函数值，一些非特殊角(如17°56°89°等)的三角函数值又怎么求呢？
这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务.
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1、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：
（1）我们要用到科学计算器中的键：
sin
cos
tan
（2）按键顺序
◆如果锐角恰是整数度数时，以“求sin18°”为例，按键顺序如下：
按键顺序 显示结果
sin18°
sin
18
sin18
0.309 016 994
∴ sin18°= 0.309 016 994≈0.31
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1、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：
◆如果锐角的度数是度、分形式时，以“求tan30°36′”为例，按键顺序如下：
方法一：
按键顺序 显示结果
tan30°36′
tan
30
36
tan30°36′
0.591 398 351
∴ tan30°36′ = 0.591 398 351≈0.59
方法二：
先转化， 30°36′ =30.6°,后仿照 sin18°的求法。
◆如果锐角的度数是度、分、秒形式时，依照上面的方法一求解。
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（3）完成引例中的求解：
tan
20
42
+1.6
19.608 080 89
∴ AB = 19.608 080 89≈19.61m
即旗杆的高度是19.61m.
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练习:
使用计算器求下列锐角的三角函数值.（精确到0.01）
（1）sin20°，cos70°；
sin35°，cos55°；
sin15°32′，cos74°28′；
（2）tan3°8′，tan80°25′43″；
（3）sin15°+cos61°tan76°.
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按键的顺序 显示结果
SHIFT
2
0
9
17.30150783
4
sin
·
7
=
已知三角函数值求角度，要用到sin，Cos，tan的第二功能键“sin－１ Cos－１，tan－１”键例如：已知sinα＝0.2974,求锐角α．按健顺序为：
如果再按“度分秒健”就换算成度分秒，
°′″
即∠ α＝17o18’5.43”
2、已知锐角的三角函数值，求锐角的度数：
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例 根据下面的条件，求锐角β的大小（精确到1″）
（1）sinβ=0.4511；（2）cosβ=0.7857；
（3） tanβ=1.4036.
按键盘顺序如下:
按键的顺序 显示结果
26048’51”
0
.
sin
1
1
5
=
4
SHIFT
°′″
即∠ β ＝26048’51”
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驶向胜利的彼岸
练习:
1、已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
（1）sinA=0.627 5，sinB=0.054 7；
（2）cosA=0.625 2，cosB=0.165 9；
（3）tanA=4.842 5，tanB=0.881 6.
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2、已知tanA=3.1748，利用计算器求锐角A的度数。(精确到1′)
答案:∠A≈72°52′
练习:
3、已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a（精确到1′）
（1）sin a=0.2476；（2）cos a=0.4；（3）tan a=0.1890.
答案: (1)α≈14°20′;
(3)α≈10°42′.
(2)α≈65°20′;
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4、一段公路弯道呈弧形，测得弯道
AB两端的距离为200米，AB 的半径为1000米，求弯道的长（精确到0.1米)
⌒
⌒
A
B
O
R(共12张PPT)
小结与复习(2)
知识构架
锐角三角函数
直角三角形中的边角关系
解直角三角形
实际问题
例1、如图，在△ABC中，AC、BC边
上的高BE、AD交于点H，若AH=3，
AE=2，求tanC的值。
范例
角的巧妙转化
C
A
B
D
E
H
巩固
1、如图，在△ABC中，∠C=90°，
BD为∠ABC的平分线，BC=3，CD=
，求∠ABC和AB。
C
A
B
D
巩固
2、如图，在直角坐标系中，P是第一
象限的点，其坐标为(x，8)，且OP与x
正半轴的夹角α的正切值是 ，求：
(1) x 的值；
(2) 角α的正弦值。
P(x，8)
α
y
x
o
范例
例2、根据图中所给的数据，求避雷针
CD的长。
仰角和俯角
52m
A
B
C
D
45°
30°
巩固
3、如图，要拆除一烟囱AB，在地面上
事先划定以B为圆心，半径与AB等长的
圆形危险区。现从离B点21m远的
建筑物CD顶端测得点A的仰角为
45 °，点B的俯角为30°，
问：离B点35m远的受保
护文物是否在危险区
内？
A
E
B
D
C
30°
45°
巩固
4、 如图，在高楼前D点测得楼顶的仰
角为30°，向高楼前进60米到C点又测
得仰角为45°，求高楼AB的高度。
30°
45°
D
C
B
A
范例
例3、如图，一轮船以30海里/时的速度
向东北方向航行，在A处观测灯塔S在
船的北偏东75°的方向。航行12min后
到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东
方向。已知距离此灯塔8海里以外的海
区为航行安全区，
这艘船可以继续
沿东北方向航行
吗？为什么？
北
东
A
S
B
方位角
巩固
5、如图，台风以32km/h的速度由北向
难推进，台风的影响半径为15km。某
市观测站S第一次观测到台风中心A位
于南偏西30°，半小时后，观测到台
风中心位于南偏西60°。台风继续向
北推进，会影响该市吗？
北
东
A
B
S
巩固
6、准备在A、B两地之间修一条2千米
的笔直公路，经测量，在A的北偏东
60°方向，B地的北偏西45°方向的C
处有一个半径为0.7千米的公园，问计
划修建的公路会不会穿过公园？为什
么？
60°
45°
C
A
B
小结
锐角三角函数
直角三角形中的边角关系
解直角三角形
实际问题【课标要求】
考点 课 标 要 求 知识与技能目标
了解 理解 掌握 灵活应用
认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)30。，45。，60。角的三角函数值 ∨
使用计算器已知锐角求它的三角函数值，同已知三角函数值求它对应的锐角 ∨
运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题 ∨
【能力训练】
一、选择题
1.每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式,让我们体会到了国旗的神圣.某同学产生了用所学知识测量旗杆高度的想法.在地面距杆脚5m远的地方, 他用测倾器测得杆顶的仰角为a,则tana=3,则杆高(不计测倾器高度)为( ).
A.10m B.12m C.15m D.20m
2.如图,测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°, 沿着倾角为30°的山坡前进1 000m到达D处,在D处测得山顶B的仰角为60°, 则山的高BC大约是(精确到0.01)( ).
A.1 366.00m; B.1 482.12m; C.1 295.93m; D.1 508.21m
3.铁路路基的横断面为等腰梯形,其腰的坡度为2:3,顶宽6m, 路基高4m,则路基的下底宽( ).
A.18m B.15m C.12m D.10m
　　4.已知:Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=,AB=15,则AC的长是( ).
A.3 B.6 C.9 D.12
5.如图,测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度,选M点作为观测点,从M点测量山顶P的仰角(视线在水平线上方,与水平线所夹的角)为30°, 在比例尺为1:50 000的该地区等高线地形图上,量得这两点的图上距离为6cm, 则山顶P的海拔高度为( )
A.1 732m; B.1 982m; C.3 000m; D.3 250m
二、填空题
1.某山路的路面坡度i=1:,沿此 山路向上前进200m, 升高了____m.
2.某落地钟钟摆的摆长为0.5m,来回摆动的最大夹角为20°. 已知在钟摆的摆动过程中,摆锤离地面的最低高度为am,最大高度为bm,则b-a= ____m(不取近似值).
3.如图,△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,BD=6,AD=BC,cos∠ADC=,则DC的长为______.
三、解答题
1.如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,坡角α=28°,斜坡AB= 9m,求拦水坝的高BE.(精确到0.1m,供选用的数据:sin28°=0.469,cos28°=0.8829, tan28°=0.5317,cos28°=1.880 7)
　　2.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cos∠DAC.
(1)求证:AC=BD;(2)若sinC=,BC=12,求AD的长.
3.已知,如图,A、B、C 三个村庄在一条东南走向的公路沿线上,AB=2km.在B村的正北方向有一个D村,测得∠DAB=45°,∠DCB=28°, 今将△ACD区域进行规划,除其中面积为0.5km2的水塘外,准备把剩余的一半作为绿化用地,试求绿化用地的面积.(结果精确到0.1km2,sin28°=0.469 5,cos28°=0.882 9, tan28°=0.531 7,cos28°=1.880 7)
4.我市某区为提高某段海堤的防海潮能力,计划将长96m 的一堤段(原海堤的横断面如图中的梯形ABCD)的堤面加宽1.6m, 背水坡度由原来的1:1改成1:2,已知原背水坡长AD=8.0m,求完成这一工程所需的土方, 要求保留两个有效数字.
(注:坡度=坡面与水平面夹角的正切值;提供数据:)
5.如图,在Rt△ABC中,a、b分别是∠A、∠B的对边,c 为斜边,如果已知两个元素a、∠B,就可以求出其余三个未知元素b、c、∠A.
(1)求解的方法有多种,请你按照下列步骤,完成一种求解过程:
(2)请你分别给出a、∠B的一个具体数值,然后按照(1)中的思路,求出b、c、 ∠A的值.
6.某地有一居民楼,窗户朝南,窗户的高度为hm,此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为a,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为 (如图1-15-23.小明想为自己家的窗户设计一个直角三角形遮阳篷BCD.要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光, 又能最大限制地使冬天温暖的阳光射入室内.小明查阅了有关资料,获得了所在地区∠α和∠β 的相应数据:∠α=24 °36′,∠β=73°30′,小明又得窗户的高AB=1.65m.若同时满足下面两个条件,(1) 当太阳光与地面的夹角为α时,要想使太阳光刚好全部射入室内;(2) 当太阳光与地面的夹角为β时,要想使太阳光刚好不射入室内,请你借助下面的图形(如图), 帮助小明算一算,遮阳篷BCD中,BC和CD的长各是多少 (精确到0.01m)
以下数据供计算中选用
sin24°36′=0.416 cos24°36′=0.909
tan24°36′=0.458 cot24°36′=2.184
sin73°30′=0.959 cos73°30′=0.284
tan73°30′=3.376 cot73°30′=0.296
7.高速公路旁有一矩形坡面,其横截面如图所示,公路局为了美化公路沿线环境,决定把矩形坡面平均分成11段相间种草与栽花.已知该矩形坡面的长为550m,铅直高度AB为2m,坡度为2:1,若种草每平方米需投资20元, 栽花每平方米需投资15元,求公路局将这一坡面美化最少需投资多少元 ( 结果保留三个有效数字).
8.如图,天空中有一个静止的广告气球C,从地面A 点测得C点的仰角为45°,从地面B点测得C点的仰角为60°.已知AB=20m.点C和直线AB在同一铅垂平面上,求气球离地面的高度(结果保留根号).
参考答案：
一、1.C 2.A 3.A 4.C 5.B
二、1.10 2.(1-cos10°) 3.9
三、1.在Rt△ABE中,AB=9m,a=28°,
∵sina=,∴BE=AB.sinα=9×sin28°≈9×0.47=4.23≈4.2(m).
答:拦水坝的高BE约为4.2m.
2.(1)证明:在Rt△ABD和Rt△ADC中, ∵tanB=,cos∠DAC=, 又tanB=cos∠DAC,
∴ =,∴AC=BD.
(2)解:在Rt△ADC中,由sinC=,可设AD=12k,则AC=13k,由勾股定理,得CD=5k,又由(1)知BD=AC=13k, ∴13k+5k=12,解得k=, ∴AD=8.
3.解:在Rt△ABD中,∵∠ABD=90°,∠DAB=45°, ∴∠ADB=45°,∴BD=AB=2km. 在Rt△BCD中, ∵cot∠BCD=,∠DCB=28°, ∴BC=BD.cot∠BCD=2cot28°≈3.75(km).
∴S△ACD=AC·BD≈5.76(km2). ∴S绿地≈2.6km2.答:绿化用地的面积约为2.6km2.
4.解:如图,作EG⊥FB于G,DH⊥FB于H,记堤高为h,则EG=DH=h.
由tan∠DAH=1:1=1, 得∠DAH=45°.
∴h=DH=ADsin∠DAH=8sin45°=8×, ∴AH=DH=,
由tan∠F=EG:FG=1:2, 得FG=2EG=2h=,
∴FA=FH-AH=(FG+GH)-AH=(+ED)-=+1.6,
∴海堤断面增加的面积S梯形FADE=(ED+FA)·h≈6.4×1.41+16≈25.0(m2)
∴工程所需土方=96×S梯形FADE≈96×25.0=2 400=2.4×103(m3).
答:完成这工程约需土方2.4×103m3.
5.(1)cosB=,c; ∠B,∠A+∠B=90°,∠A;a、∠B,tanB=,b. (2)略
6.解:在Rt△BCD中,tan∠CDB=,∠CDB=∠α, ∴BC=CD·tan∠CDB=CD·tanα.
在Rt△ACD中,tan∠CDA=,∠CDA=∠β, ∴AC=CD·tan∠CDA=CD·tanβ
∵AB=AC-BC=CD·tanβ-CD·tanα=CD(tanβ-tanα).
∴CD=≈0.57(m).
∴BC=CD·tan∠CDB≈0.57×0.458≈0.26(m).
答:BC的长约为0.26m,CD的长约为0.57m.
7.解:∵AB=2m,tan∠ACB=2:1, ∴BC=1m,∴AC=.
∵550m长的坡面平均分成了11块,故每块坡面长为50m,为减少投资,应用6 块坡面种花,5块坡面种草.
∴公路局要将这块坡地美化最小需投资6×50××15+5×50× ×20=9 500≈2.12×104(元).
答:公路局要将这块坡地美化最小需投资2.12×104元.
(提示:先确定种花、 种草的块数,才能确定投资大小)
8.解:作CD⊥AB,垂足为D. 设气球离地面的高度是xm.
在Rt△ACD中,∠CAD=45°, ∴AD=CD=x.
在Rt△CBD中,∠CBD=60°, ∴cos60°=.∴BD=x,
∵AB=AD-BD,∴20=x-x. ∴x=30+10.
答:气球离地面的高度是(30+10)m.第28章 锐角三角函数整章测试
（时间45分钟 满分100分）
班级 ______________ 学号 姓名 ____ 得分____
一、选择题（每题3分，共24分）
1．在△ABC中，∠C＝90°，，则的值是（　 ）
　 A．　　　 B． 　　　C． 　 　D．
2．在△ABC中，2∠B＝∠A＋∠C，则sinB＋tanB等于（ ）
A．1 B． C． D．不能确定
3．等腰三角形底边与底边上的高的比是2:，则顶角为 （　　）
　A． 60°　　 B．90°　　 C．120°　 　D．150°
4．一段公路的坡度为1：3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是（ ）
A．30米 B．10米 C．米 D．米
5．若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（ ）
A．150 B． C． 9 D． 7
6．如图，为了测量河两岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC＝，∠ACB＝，那么AB等于（　　）
A．　　　B． C．　 D．　
7．如图，ΔABC中，AE⊥BC于E，D为AB边上一点，如果BD＝2AD，CD＝10，sin∠BCD＝，那么AE的值为（　　）
A．3　　 B．6　 　C．7.2　 　D．9
8．如图，E在矩形ABCD的边CD上，AB＝2BC，则∠CBE＋∠DAE的值是（ ）
A．2 B．2＋ C．2－ D．2＋2
二、填空题（每题2分，共20分）
9．在△中，，，30 ，则 ∠的度数是 ．
10．锐角A满足2sin（A－15０）＝ 则∠A＝　　　　　　．
11．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE＝6，sinA＝，则菱形ABCD的周长是________．
12．根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_______m（结果精确的到0.01m）．
13．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西
度．
14．已知，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=，则AB= ．
15．计算：=
16．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为300的斜坡铺设管道，若量得水管AB的长度为80米，那么点B离水平面的高度BC的长为 米.
17．如图，小红把梯子AB斜靠在墙壁上，梯脚B距墙1.6米，小红上了两节梯子到D点，此D点距墙1.4米，BD长0.55米，则梯子的长为
18．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个4单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为 （结果保留根号）．
三、解答题（共56分）
19．（4分）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．
（1）所需的测量工具是： ；
（2）请在下图中画出测量示意图；
（3）设树高的长度为，请用所测数据（用小写字母表示）求出．
20．（4分）如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米。现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长（答案可带根号）．
21．（4分）如图，灯塔A在港口O的北偏东55°方向上，且与港口的距离为80海里，一艘船上午9时从港口O出发向正东方向航行，上午11时到达B处，看到灯塔A在它的正北方向．试求这艘船航行的速度（精确到0.01海里／小时）．（供选用数据：sin55°= 0.8192 ，cos55°= 0.5736 ，tan55°=1.4281 ）
22．（6分）如图，某超市（大型商场）在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板（一楼的楼顶墙壁）与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.85米，他乘电梯会有碰头危险吗？（sin28o≈0.47，tan28o≈0.53）
23．（6分）如图，是一个实际问题抽象的几何模型，已知A、B之间的距离为300m，求点M到直线AB的距离（精确到整数）．
（参考数据：，）
24．（6分）曙光中学需制作一副简易篮球架，如图是篮球架的侧面示意图，已知篮板所在直线AD和直杆EC都与BC垂直，BC＝2.8米，CD＝1.8米，∠ABD＝40°，求斜杆AB与直杆EC的长分别是多少米？（结果精确到0.01米）
25．（6分）如图，一艘轮船在海上以每小时36海里的速度向正西方向航行，上午8时，在B处测得小岛A在北偏东300方向，之后轮船继续向正西方向航行，于上午9时到达C处，这时测得小岛A 在北偏东600方向.如果轮船仍继续向正西方向航行，于上午11时到达D处，这时轮船与小岛A相距多远
26．（6分）如图所示，张伯伯利用假日在某钓鱼场钓鱼．风平浪静时，鱼漂露出水面部分，微风吹来时，假设铅锤不动，鱼漂移动了一段距离，且顶端恰好与水面平齐（即），水平线与夹角（点在上）．请求出铅锤处的水深．
（参考数据：）
27．（6分）如图所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一电缆，共有如下两种铺设方案：
方案一：； 方案二：.
经测量得千米，千米，千米，∠BDC＝45°，∠ABD＝15°．
已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米.
（1）求出河宽AD（结果保留根号）；
（2）求出公路CD的长；
（3）哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.
28．（8分）高为12.6米的教学楼ED前有一棵大树AB（如图）．
（1）某一时刻测得大树AB、教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC=2.4米，DF=7.2米，求大树AB的高度．
（2）用皮尺、高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案，要求：
①在图2上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m 、n …表示，角度用希腊字母α、β …表示）；
②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB高度（用字母表示）．
图1 图2
参考答案
一、选择题
1．A 2．B 3．A 4．D 5．B 6．C 7．D 8．A
二、填空题
9． 10． 11．40 12．4.86 13．48 14．5 15． 16．40 17．4.40米 18（0， ( http: / / )）
三、解答题
19．（1）皮尺、标杆；（2）略；（3） 20．米 21．海里／小时
22．小敏不会有碰头危险 23．米 24．斜杆AB与直杆EC的长分别是6.00米和2.35米 25．轮船与小岛A相距130海里 26．水深约为144cm 27．（1）千米；（2）14千米；（3）方案一的铺设电缆费用低 28．（1）4.2米；（2）AB=（m tanα＋h）米（其他测量方法，只要正确均可以）
第6题 第7题 第8题
A
B
C
D
E
A
40°
52m
C
D
B
北
北
甲
乙
第11题 第12题 第13题
x
O
A
y
B
第16题 第17题 第18题
图12
第19题
第20题
B
A
O
北
东
西
南
55°
第21题
二楼
一楼
4m
A
4m
4m
B
28°
C
第20题
A
住宅小区
M
45°
30°
B
北
第20题
A
B
C
D
E
第20题
A
D
C
B
北
北
600
300
第25题
l
C
鱼漂
铅锤
P
A
B
O
h
第26题
第27题
A
B
A
B
E
C
F
光线
第28题
- 1 -28.1锐角三角函数（一）
一、课前预习 (5分钟训练)
1.如图28-1-1-1所示，某斜坡AB上有一点B′，B′C′、BC是边AC上的高，则图中相似的三角形是______________，则B′C′∶AB′=______________,B′C′∶AC′=______________.
2.在Rt△ABC中，如果边长都扩大5倍，则锐角A的正弦值、余弦值和正切值 ( )
A.没有变化 B.都扩大5倍 C.都缩小5倍 D.不能确定
3.在△ABC中，∠C＝90°，sinA=，则sinB等于( )
A. B. C. D.
二、课中强化(10分钟训练)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知tanB=，则cosA等于( )
A. B. C. D.
2.如果α是锐角,且sinα=,那么cos(90°-α)的值为( )
A. B. C. D.
3.在△ABC中，∠C＝90°，AC=，AB=，则cosB的值为( )
A. B. C. D.
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=,BC=15,则AC=______________.
5.如图28-1-1-2,△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，求sinB的值.
图28-1-1-2
三、课后巩固(30分钟训练)
1.如图28-1-1-3,已知菱形ABCD，对角线AC=10 cm,BD=6 cm,，那么tan等于( )
A. B. C. D.
图28-1-1-3 图28-1-1-4
2.如果sin2α+cos230°=1,那么锐角α的度数是( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
3.如图28-1-1-4,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________.
4.在Rt△ABC中，斜边AB=,且tanA+tanB=，则Rt△ABC的面积是___________.
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且a=3,c=5,求∠A、∠B的三角函数值.
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且b=6,tanA=1,求c.
7.如图28-1-1-5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6 cm，求AB、AD的长.
图28-1-1-5
8.如图28-1-1-6，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D点，BE⊥AC于E点,AD=BC,BE=4.
求:（1）tanC的值；（2）AD的长.
图28-1-1-6
9.如图28-1-1-7,某人从山脚下的点A沿着斜坡走了1 000米到达山顶B点，已知山顶到山脚的垂直距离为500米，求山坡的坡度.
图28-1-1-7
参考答案
一、课前预习 (5分钟训练)
1.如图28-1-1-1所示，某斜坡AB上有一点B′，B′C′、BC是边AC上的高，则图中相似的三角形是______________，则B′C′∶AB′=______________,B′C′∶AC′=______________.
( http: / / )
图28-1-1-1
解析：由相似三角形的判定得△AB′C′∽△ABC，由性质得B′C′∶AB′=BC∶AB，B′C′∶AC′=BC∶AC.
答案：△AB′C′∽△ABC BC∶AB BC∶AC
2.在Rt△ABC中，如果边长都扩大5倍，则锐角A的正弦值、余弦值和正切值 ( )
A.没有变化 B.都扩大5倍 C.都缩小5倍 D.不能确定
解析：三角函数值的大小只与角的大小有关，当角度一定时，其三角函数值不变.
答案：A
3.在△ABC中，∠C＝90°，sinA=，则sinB等于( )
A. B. C. D.
解析：sinA=,设a=3k,c=5k,∴b=4k.
∴sinB=.
答案：C
二、课中强化(10分钟训练)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知tanB=，则cosA等于( )
A. B. C. D.
解析：tanB=,设b=k,a=2k.∴c=3k.
∴cosA=.
答案：B
2.如果α是锐角,且sinα=,那么cos(90°-α)的值为( )
A. B. C. D.
解析：cos(90°-α)=sinα=.
答案：A
3.在△ABC中，∠C＝90°，AC=，AB=，则cosB的值为( )
A. B. C. D.
解析：由勾股定理,得BC=，
∴cosB=.
答案：C
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=,BC=15,则AC=______________.
解析：∵sinA=,BC=15,∴AB=39.由勾股定理,得AC=36.
答案：36
5.如图28-1-1-2,△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，求sinB的值.
( http: / / )
图28-1-1-2
分析：因为三角函数值是在直角三角形中求得，所以构造直角三角形就比较重要,对于等腰三角形首先作底边的垂线.
( http: / / )
解：过A作AD⊥BC于D,
∵AB=AC,
∴BD=2.在Rt△ADB中，由勾股定理,知AD=，
∴sinB=.
三、课后巩固(30分钟训练)
1.如图28-1-1-3,已知菱形ABCD，对角线AC=10 cm,BD=6 cm,，那么tan等于( )
( http: / / )
图28-1-1-3
A. B. C. D.
解析：菱形的对角线互相垂直且平分，由三角函数定义,得tan=tan∠DAC=.
答案：A
2.如果sin2α+cos230°=1,那么锐角α的度数是( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
解析：由sin2α+cos2α=1,∴α=30°.
答案：B
3.如图28-1-1-4,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________.
( http: / / )
图28-1-1-4
解析：坡度=,所以BC=5，由割补法知地毯长=AC+BC＝7（米）.
答案：７米
4.在Rt△ABC中，斜边AB=,且tanA+tanB=，则Rt△ABC的面积是___________.
解析：∵tanA=,tanB=,且AB2=BC2+AC2,由tanA+tanB=,得+=,即AC·BC=.∴S△ABC=.
答案：
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且a=3,c=5,求∠A、∠B的三角函数值.
解：根据勾股定理得b=4,sinA=,cosA=，tanA=;sinB=,cosB=，tanB=.
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,且b=6,tanA=1,求c.
解：由三角函数定义知a=btanA，所以a=6，根据勾股定理得c=.
7.如图28-1-1-5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6 cm，求AB、AD的长.
( http: / / )
图28-1-1-5
解：如题图，在Rt△BCD中，∠BDC＝45°,
∴BC＝DC＝6.在Rt△ABC中，sinA=,
∴=.
∴AB=10.
∴AC==8.
∴AD=AC-CD=8-6=2.
8.如图28-1-1-6，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D点，BE⊥AC于E点,AD=BC,BE=4.
求:（1）tanC的值；（2）AD的长.
( http: / / )
图28-1-1-6
解：（1）∵AB=AC,AD⊥BC,
∴AD＝BC＝2DC.
∴tanC=2.
（2）∵tanC=2，BE⊥AC,BE=4,∴EC=2.
∵BC2=BE2+EC2,
∴BC=.∴AD=.
9.如图28-1-1-7,某人从山脚下的点A沿着斜坡走了1 000米到达山顶B点，已知山顶到山脚的垂直距离为500米，求山坡的坡度.
( http: / / )
图28-1-1-7
解：∵AC2=AB2-BC2,∴AC=.
∴tanA=,即山坡的坡度为.
图28-1-1-1
－ 1 －28.1 锐角三角函数 达标训练
一、基础·巩固达标
1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值( )
A.都没有变化 B.都扩大2倍 C.都缩小2倍 D.不能确定
2.已知α是锐角，且cosα=，则sinα=( )
A. B. C. D.
3.Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=1∶，则cosA=_______，tanA=_________.
4.设α、β为锐角，若sinα=，则α=________；若tanβ=，则β=_________.
5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′－tan46°10′的值是_________.
6.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB=，求AD、AC、BC.
二、综合 应用达标
7.已知α是锐角，且sinα=，则cos(90°－α)=( )
A. B. C. D.
8.若α为锐角，tana=3，求的值.
9.已知方程x2－5x·sinα+1=0的一个根为，且α为锐角，求tanα.
10.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图28.1－13是某公园(六·一)前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2 m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4 m.
(1)求滑梯AB的长(精确到0.1 m)；
(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求？
图28.1－13
11.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？
图28.1－14
三、回顾 展望达标
12.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是( )
A. B. C. D.
图28.1－15 图28.1－17 图28.1－16
13.如图28.1－17，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径，AC=2，则cosB的值是( )
A. B. C. D.
14.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC=( )
A.45 B.5 C. D.
15.如图28.3－16，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=( )
A. B. C. D.
16.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1－18，在锐角α的终边OB上，任意取两点P和P1，分别过点P和P1做始边OA的垂线PM和P1M1，M和M1为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.
图28.1－18 图28.1－19
17.计算：2－1－tan60°+(－1)0+；
18.已知：如图28.1－19，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=，∠CAD=30°.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的长.
参考答案
一、基础·巩固达标
1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值( )
A.都没有变化 B.都扩大2倍 C.都缩小2倍 D.不能确定
思路解析：当Rt△ABC的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角A大小不变.
答案：A
2.已知α是锐角，且cosα=，则sinα=( )
A. B. C. D.
思路解析：由cosα=，可以设α的邻边为4k，斜边为5k，根据勾股定理，α的对边为3k，则sinα=.
答案：C
3.Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=1∶，则cosA=_______，tanA=_________.
思路解析：画出图形，设AC=x，则BC=，由勾股定理求出AB=2x，再根据三角函数的定义计算.
答案：，
4.设α、β为锐角，若sinα=，则α=________；若tanβ=，则β=_________.
思路解析：要熟记特殊角的三角函数值.
答案：60°,30°
5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′－tan46°10′的值是_________.
思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤.
答案：0.386 0
6.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB=，求AD、AC、BC.
思路解析：由条件可知△ABC、△ABD、△ADC是相似的直角三角形，∠B=∠CAD，于是有tan∠CAD=tanB=，所以可以在△ABD、△ADC中反复地运用三角函数的定义和勾股定理来求解.
( http: / / )
解：根据题意，设AD=4k，BD=3k，则AB=5k.
在Rt△ABC中，∵tanB=，∴AC=AB=k.∵BD=9,∴k=3.
所以AD=4×3=12，AC=×3=20.
根据勾股定理.
二、综合 应用达标
7.已知α是锐角，且sinα=，则cos(90°－α)=( )
A. B. C. D.
思路解析：方法1.运用三角函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之比为4∶3∶5，(90°－α)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为4∶5，cos(90°－α)=.
方法2.利用三角函数中互余角关系“sinα=cos(90°－α)”.
答案：A
8.若α为锐角，tana=3，求的值.
思路解析：方法1.运用正切函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比为3∶1∶，sinα=，cosα=，分别代入所求式子中.
方法2.利用tanα=计算，因为cosα≠0，分子、分母同除以cosα，化简计算.
答案：原式= HYPERLINK "http://" .
9.已知方程x2－5x·sinα+1=0的一个根为，且α为锐角，求tanα.
思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是，进而可求出sinα=，然后利用前面介绍过的方法求tanα.
解：设方程的另一个根为x2，则()x2=1
∴x2=
∴5sinα=()+()，解得sinα=.
设锐角α所在的直角三角形的对边为4k，则斜边为5k，邻边为3k，
∴tanα=.
10.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图28.1－13是某公园(六·一)前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2 m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4 m.
( http: / / )
图28.1－13
(1)求滑梯AB的长(精确到0.1 m)；
(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求？
思路解析：用勾股定理可以计算出AB的长，其倾斜角∠ABC可以用三角函数定义求出，看是否在45°范围内.
解：(1)在Rt△ABC中，≈4.5.
答：滑梯的长约为4.5 m.
(2)∵tanB=,∴∠ABC≈27°,
∠ABC≈27°＜45°.
所以这架滑梯的倾斜角符合要求.
11.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？
( http: / / )
图28.1－14
思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道h=，再在高所在的直角三角形中由三角函数求出α的度数.
解：设原矩形边长分别为a，b，则面积为ab，
由题意得，平行四边形的面积S=ab.
又因为S=ah=a(bsinα)，所以ab=absinα，即sinα=.所以α=30°.
三、回顾 展望达标
12.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是( )
( http: / / )
图28.1－15
A. B. C. D.
思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义.
答案：C
13.如图28.1－17，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径，AC=2，则cosB的值是( )
( http: / / )
图28.1－17
A. B. C. D.
思路解析：利用∠BCD=∠A计算.
答案：D
14.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC=( )
A.45 B.5 C. D.
思路解析：根据定义sinA=，BC=AB·sinA.
答案：B
15.如图28.3－16，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=( )
( http: / / )
图28.1－16
A. B. C. D.
思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把∠B转移到Rt△ADC中，由“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”，得到∠ADC=∠B.
答案：B
16.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1－18，在锐角α的终边OB上，任意取两点P和P1，分别过点P和P1做始边OA的垂线PM和P1M1，M和M1为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.
( http: / / )
图28.1－18
思路解析：正弦、余弦函数的定义.
答案：，锐角α
17.计算：2－1－tan60°+(－1)0+；
思路解析：特殊角的三角函数，零指数次幂的意义，负指数次幂的意义.
解：2－1－tan60°+(－1)0+||=－+1+=.
18.已知：如图28.1－19，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=，∠CAD=30°.
( http: / / )
图28.1－19
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的长.
思路解析：圆的切线问题跟过切点的半径有关，连接OA，证∠OAD=90°.
由sinB=可以得到∠B=30°，由此得到圆心角∠AOD=60°，从而得到△ACO是等边三角形，由此∠OAD=90°.
AD是Rt△OAD的边，有三角函数可以求出其长度.
(1)证明：如图，连接OA.
( http: / / )
∵sinB=，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°.
∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形.
∴∠OAD=60°.
∴∠OAD=90°.∴AD是⊙O的切线.
(2)解：∵OD⊥AB ∴ OC垂直平分AB.
∴ AC=BC=5.∴OA=5.
在Rt△OAD中，由正切定义，有tan∠AOD=.
∴ AD=.
－ 1 －第28章：锐角三角函数
一、基础知识
1.定义：如图在△ABC中，∠C为直角，
我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA；sinA=
把锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；
把锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA 。
把锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cosA。
2、三角函数值
（1）特殊角的三角函数值
角度三角函数 0° 30° 45° 60° 90°
sinA 0 1
cosA 1 0
tanA 0 1 不存在
（2）锐角三角函数值的性质。
锐角三角函数的大小比较：
在时，随着的增大，正弦值越来越大，而余弦值越来越小.
即：是增函数，减函数。
锐角三角函数值都是正数。
当角度在090间变化时:正弦、正切值随着角度的增大而增大；余弦、余切随着角度的增大而减小。
3、 同角、互余角的三角函数关系：
1、同角三角函数关系：.；；
2、互余锐角的三角函数关系：，。
解直角三角形:由直角三角形中除直角以外的两个已知元素（其中至少有一条边），求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型
已知条件 解法
一条边和一个锐角 斜边c和锐角A B=90°-A，a=csinA，b=ccosA，s=c2sinAcosA
直角边a和锐角A B=90°-A，b=acotA，，
两条边 两条直角边a和b ，由，求角A，B=90°-A，S=ab
直角边a和斜边c ，由，求 角A，B=90°-A，S=a
知识梳理：
二、精典例题
第一部分：锐角三角函数的运算
一、直角三角形中锐角的正弦、余弦的概念与表达式：
例1：如图所示，则。
[考点透视]本例主要是考查锐角三角函数的概念
[参考答案]sinD=，cosD=，sinE=，cosE=。
例2：在中，如果各边长度都扩大4倍，则锐角的正弦值和余弦值（）
（A）都没有变化 （B）都扩大4倍
（C）都缩小4倍 （D）不能确定
[考点透视]本例主要是考查锐角三角函数的定义和性质，通过计算可以知道正弦值和余弦值，只与直角三角形中锐角的大小有关。
[参考答案].故应选A.
例3：已知：为锐角，并且，则的值为 .
[考点透视]本例主要是考查锐角三角函数的定义。
[参考答案]
例4：（08年密云一模）6．正方形网格中，如图放置，则tan∠AOB的值为
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
[考点透视]本例主要是考查锐角三角函数的定义
[参考答案] D
例5：.某地有一居民楼,窗户朝南,窗户的高度为hm,此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为a,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为 (如图1-15-23.小明想为自己家的窗户设计一个直角三角形遮阳篷BCD.要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光, 又能最大限制地使冬天温暖的阳光射入室内.小明查阅了有关资料,获得了所在地区∠α和∠β 的相应数据:∠α=24 °36′,∠β=73°30′,小明又得窗户的高AB=1.65m.若同时满足下面两个条件,(1) 当太阳光与地面的夹角为α时,要想使太阳光刚好全部射入室内;(2) 当太阳光与地面的夹角为β时,要想使太阳光刚好不射入室内,请你借助下面的图形(如图), 帮助小明算一算,遮阳篷BCD中,BC和CD的长各是多少 (精确到0.01m)
以下数据供计算中选用
sin24°36′=0.416 cos24°36′=0.909 tan24°36′=0.458 cot24°36′=2.184
sin73°30′=0.959 cos73°30′=0.284 tan73°30′=3.376 cot73°30′=0.296
[考点透视]本例主要是考查数形结合，构建直角三角形，再应用转化思想，使已知角得到转化，即可求得BC、CD的长
[参考答案] .解:在Rt△BCD中,tan∠CDB=,∠CDB=∠α, ∴BC=CD·tan∠CDB=CD·tanα.
在Rt△ACD中,tan∠CDA=,∠CDA=∠β, ∴AC=CD·tan∠CDA=CD·tanβ
∵AB=AC-BC=CD·tanβ-CD·tanα=CD(tanβ-tanα).
∴CD=≈0.57(m).
∴BC=CD·tan∠CDB≈0.57×0.458≈0.26(m).
答:BC的长约为0.26m,CD的长约为0.57m.
[说明]求解时应特别注意发挥数形结合的作用.
例6：已知2+是方程的一个根，求的值（为锐角）.
[考点透视]这是一道一元二次方程与三角函数相结合的综合题，应注意运用分析法、综合法，寻求解题途径．
[参考答案] 。
二、特殊角的正弦余弦值：
例7：求下列各式的值：
（1）； （2）.
[考点透视]本例主要是考查特殊角的三角函数值，注意sin90°=1。
[参考答案]（1），（2）-2
例8：（08年顺义一模）19．已知：如图，正方形中，点为边的中点，连结． 求和的值．
[考点透视]本例主要是考查角的三角函数值的定义及在四边形中应用。
解：过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴平分，
．
∴，．
∵是中点，
∴．…………………………1分
设，则，，．
在Rt△AEF中，，．……2分
∴．………………………………3分
∴，…………………………………………4分
．…………………………………………5分
三、解直角三角形
例9（08年平谷二模）19．如图，在某区某建筑物AC上，挂着“抗震救灾，众志成城”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为.再往条幅方向前行20米到达点E处，看条幅顶端B，测得仰角为，求宣传条幅BC的长.(小明的身高不计，结果精确到1米;可能用到的数据）
[考点透视]主要考察解直角三角形中仰角俯角的应用
解：19． 解：依题意∠F=30°，∠BEC=60°.∴∠FBE=∠BEC-∠F=60°-30°=30°.∴EF=EB=20.
在Rt△BEC中∵∠BCE=90°,∴sin∠BEC=.∴=sin60°×20=10.
答：宣传条幅BC的长约为17米.
例10一艘船向正东方先航行，上午10点在灯塔的西南方向k海里处，到下午2点时航行到灯塔的东偏南60°的方向，画出船的航行方位图，并求出船的航行速度．
[考点透视]主要考察解直角三角形中方向角的应用
解：如图，依题意，灯塔位于P点，船丛A 点向东航行，12点到达C点，
且有 PB⊥AC，A＝45°，∠BPC＝30°；
于是，在△ABP中，有
AB＝PB＝AP cos45°
　　　　 ＝k .
在△PBC中，又有
　　BC＝PB tan30°
＝k，
所以
AC＝.
可知船的航行速度为 ．
第二部分：锐角三角函数的应用
一、锐角三角函数的应用　　
例1　1．如图所示，设A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，正以每小时200km的速度沿北偏东60°的BF方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风的影响有多长时间？
(08年门头沟二模)18．如图，小明想测量塔BC的高度．他在楼底A处测得塔顶B的
仰角为；爬到楼顶D处测得大楼AD的高度为18米，同时测得
塔顶B的仰角为，求塔BC的高度．
[考点透视]主要考察解直角三角形中仰角俯角的应用
解: 设BE=x米．在Rt△BDE中，∵ ， ∴．∴ DE=．
∵ 四边形ACED是矩形，∴ AC=DE=，CE=AD=18．在Rt△ABC中，
∵ ， ∴∴ x=9．∴ BC=BE+CE=9+18=27(米)．
　　
例2　（08年平谷一模）17．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.29米，他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数值：，，）
[考点透视]主要考察解直角三角形中仰角俯角的应用
解：作交于,
则．……………………………………………………………………1分
在中，CD＝AC·tan∠CAB 2分
＝4×0.51＝2．04（米） 3分
所以小敏不会有碰头危险，姚明则会有碰头危险． 4分
　　
二、综合问题
　　例3　（08年顺义二模）20．一座建于若干年前的水库大坝的横断面为梯形ABCD，如图所示，其中背水面为AB，现准备对大坝背水面进行整修，将坡角由45°改为30°，若测量得AB=20米，求整修后需占用地面的宽度BE的长．（精确到0.1米，参考数据：）
[考点透视]主要考察解直角三角形中坡度、坡脚、坡距的应用
解：过点A作AF⊥BC，垂足为F．在Rt△ABF中，∵∠ABF=45°，AB=20，∴．∴
．在Rt△AEF中，∠EAF=90°-∠E=90°-30°=60°．∴．∴（米）．
答：整修后需占用地面的宽度BE的长约为米．
　
　　例4　18. 已知：如图5，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=120°，AD=5，CD=6，tanB=3，
求：梯形ABCD的面积。
[考点透视]：解直角三角形在四边形中的应用，解此类问题通常是构建直角三角形，然后利用解直角三角形解答。
　　解：过D做DM⊥BC于M，过A做AN⊥BC于N则∠DMC=∠ANB=90°∴四边形ANMD为矩形
∴ AD=MN=5 ∵等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD， ∠ADC=120°∴∠DCB=60° AN=DM， 在Rt△CDM, ∠CDM=30°,CD=6∴ CM=3 , DM=3 在Rt△ABN, tanB=3=设AN=3k , BN=k∵DM=AN=3
∴k= ∴S梯形ABCD=
注：关于解直角三角形的实际应用，体现在生活中的方方面面，在此我们不再一一列举，关键是同学们掌握这种处理实际问题的思路，达到举一反三的效果，不管题目背景如何变化，但它万变不离其宗，只要我们有了这种方法，任何问题都可以迎刃而解．
三．适时训练
（一）精心选一选
1．（08年通州一模）7. 如图, AB是⊙O的直径, CD是弦, 且CD⊥AB, 若BC=8,
AC=6, 则sin∠ABD的值为
A. B. C. D.
2．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）
A．sinB= B．cosB= C．tanB= D．tanB=
3．点（-sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（，） B．（-，） C．（-，-） D．（-，-）
4．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（ ）
A．6.9米 B．8.5米 C．10.3米 D．12.0米
5．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80°，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内（如 图6所示），那么挡光板AC的宽度应为（ ）
A．1.8tan80°m B．1.8cos80°m C．m D．1.8cot80°m
6．如图,测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°, 沿着倾角为30°的山坡前进1 000m到达D处,在D处测得山顶B的仰角为60°, 则山的高BC大约是(精确到0.01)( ).
A.1 366.00m; B.1 482.12m; C.1 295.93m; D.1 508.21m
7．如图5所示，在300m高的峭壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30°和60°，则塔高CD为（ ）
A．200m B．180m C．150m D．100m
8、（08年西城二模）. 在中,,sinA=,则cosB=（ ）.
A. B. C. D.
9、（07年昌平一模）5.三角形在正方形网格中的位置如图所示，则cosa的值是（ ）
A. B. C. D.
10、（07年昌平二模）7．已知在中，、都是锐角，，则的度数是
Ａ．30° Ｂ．45° Ｃ．60° Ｄ．90°
11、（07年朝阳一模）7．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为
A． B． C． D．
12、.如图,测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度,选M点作为观测点,从M点测量山顶P的仰角(视线在水平线上方,与水平线所夹的角)为30°, 在比例尺为1:50 000的该地区等高线地形图上,量得这两点的图上距离为6cm, 则山顶P的海拔高度为( )
A.1 732m; B.1 982m; C.3 000m; D.3 250m
13（07年海淀二模）6.某资料中曾记载了一种计算地球与月球之间的距离的方法：
如图2，假设赤道上一点D在AB上，∠ACB为直角，可以测量
∠A的度数，则AB等于（ ）
A. B. C. D.
14（07年怀柔一模）7、根据右图中的信息，经过估算，下列数值与tanα值最接近的是
A、0.43 B、0.26 C、0.90 D、223
15（07年怀柔二模）7、一架飞机在800米的高度观察到底面上一导航灯的俯角为，则此时飞机与该导航灯的距离是
A、米 B、米 C、米 D、米
（二）细心填一填
16．(08年宣武一模)10、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10㎝，sinA=，则BC的长为 ㎝。答案：（8）
17．计算2sin30°-2cos60°+tan45°=________．答案：1
18．在△ABC中，若BC=，AB=，AC=3，则cosA=________．答案：
19．如图2所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（保留两个有效数字，≈1.41，≈1.73）答案： 17米
20．李小同叔叔下岗后想自主创业搞大棚蔬菜种植，需要修一个如图3所示的育苗棚，棚宽a=3m，棚顶与地面所成的角约为30°，长b=9m，则覆盖在顶上的塑料薄膜至少需________m2．答案：米
21（07年延庆二模）3. 在ΔABC中，∠A和∠B都是锐角，且，，则ΔABC三个角的大小关系是 。答案： ∠C>∠B>∠A
三、认真答一答
22．如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cos∠DAC.
(1)求证:AC=BD;
(2)若sinC=,BC=12,求AD的长.
答案.(1)证明:在Rt△ABD和Rt△ADC中, ∵tanB=,cos∠DAC=, 又tanB=cos∠DAC,
∴ =,∴AC=BD.
(2)解:在Rt△ADC中,由sinC=,可设AD=12k,则AC=13k,由勾股定理,得CD=5k,又由(1)知BD=AC=13k, ∴13k+5k=12,解得k=, ∴AD=8.
23．.已知,如图,A、B、C 三个村庄在一条东南走向的公路沿线上,AB=2km.在B村的正北方向有一个D村,测得∠DAB=45°,∠DCB=28°, 今将△ACD区域进行规划,除其中面积为0.5km2的水塘外,准备把剩余的一半作为绿化用地,试求绿化用地的面积.(结果精确到0.1km2,sin28°=0.469 5,cos28°=0.882 9, tan28°=0.531 7,cos28°=1.880 7)
答案:在Rt△ABD中,∵∠ABD=90°,∠DAB=45°, ∴∠ADB=45°,∴BD=AB=2km. 在Rt△BCD中, ∵cot∠BCD=,∠DCB=28°, ∴BC=BD.cot∠BCD=2cot28°≈3.75(km).
∴S△ACD=AC·BD≈5.76(km2). ∴S绿地≈2.6km2.答:绿化用地的面积约为2.6km2.
24．我市某区为提高某段海堤的防海潮能力,计划将长96m 的一堤段(原海堤的横断面如图中的梯形ABCD)的堤面加宽1.6m, 背水坡度由原来的1:1改成1:2,已知原背水坡长AD=8.0m,求完成这一工程所需的土方, 要求保留两个有效数字.(注:坡度=坡面与水平面夹角的正切值;提供数据:)
答案:如图,作EG⊥FB于G,DH⊥FB于H,记堤高为h,则EG=DH=h.
由tan∠DAH=1:1=1, 得∠DAH=45°.
∴h=DH=ADsin∠DAH=8sin45°=8×, ∴AH=DH=,
由tan∠F=EG:FG=1:2, 得FG=2EG=2h=,
∴FA=FH-AH=(FG+GH)-AH=(+ED)-=+1.6,
∴海堤断面增加的面积S梯形FADE=(ED+FA)·h≈6.4×1.41+16≈25.0(m2)
∴工程所需土方=96×S梯形FADE≈96×25.0=2 400=2.4×103(m3).
答:完成这工程约需土方2.4×103m3.
25（08年延庆一模）18．如图7，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠ACB=45°，翻折梯形ABCD，使点C重合于点A，折痕分别交边CD、BC于点F、E，若AD=3，BC=12，
求：（1）CE的长；（2）∠BAE的正切值．
答案：∵翻折梯形ABCD
∴∠ACE=∠EAC=45°，AE=EC
∴∠AEB=∠AEC=90° ……………1分
过D做DM⊥BC交BC于M，则∠DMB=90°
∴四边形AEMD为矩形
∴ AD=ME=3
∵等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD
∴∠ABC=∠DCB AE=DM， …………2分
在△ABE和△DMC ∠AEB=∠DMC =90°
AB=CD
AE=DM
∴ △ABE≌△DMC
∴BE=CM
∴BE=CM =(12-3)÷2=4.5 ……………………3分
∴CE=7.5 ……………………4分
在△BAE中，tan∠BAE=…………………5分
26（08年通州二模）22. （本小题满分4分） 一筑路工程需要测量某河段的宽度.如图①，一测量员在河边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得. （1）求所测之处的河宽（）；
（2）除(1)的测量方案外，请你再设计一种测量河宽的方案，并在图②中画出图形.
22．（1）在中，，∴（米）
答案：所测之处的河宽约为248米（2）表述无误，从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识来解决问题的，只要正确即得满分.
27（09年海淀一模）19、如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.
答案（1）证明: 如图, 连接AO并延长交⊙O于点E, 连接BE, 则∠ABE=90°.
∴ ∠EAB+∠E=90°. ……………………1分
∵ ∠E =∠C, ∠C=∠BAD，
∴ ∠EAB+∠BAD =90°.
∴ AD是⊙O的切线. ……………………2分
（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.
∵ AE=2AO=6, AB=4,
∴ HYPERLINK "http://www./" . …………………………………………………3分
∵ ∠E=∠C=∠BAD, BD⊥AB,
∴ …………………………………………………4分
∴
∴ . …………………………………………………5分
28（08年昌平区二模）18．北京的6月绿树成荫花成海，周末小明约了几个同到户外活动．当他们来到一座小亭子时，一位同学提议测量一下小亭子的高度，大家很高兴．于是设计出了这样一个测量方案：小明在小亭子和一棵小树的正中间点A的位置，观测小亭子顶端B的仰角∠BAC＝60°，观测小树尖D的仰角∠DAE＝45°．已知小树高DE=2米．请你也参与到这个活动中来，帮他们求出小亭子高BC的长．(结果精确到0.1．，)
答案．解：根据题意得：∠C=∠E=90°.
在Rt△ADE中，∠DAE=45°，∠E=90°,
∴ ∠D=∠DAE=45°.
∵ DE=2,
∴ AE=DE=2. ………………………………………… 1分
∵ A为CE的中点,
∴ AC=AE=2.　　　　……………………………………………… 2分
在Rt△ACB中，∠BAC=60°，∠C=90°,
∴.　　 　………………………………… 3分
∴BC=.　　 ………………………………………………… 4分
∴BC≈2×1.73≈3.5 .
答：小亭子高约为3.5米. ……………………………………… 5分
29．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是的中点，,垂足为点P.
（1）求证：PD是⊙O的切线.
得分
（2）若AC=6, cosA=，求PD的长.
答案.（1）证明：如图：连接 OD，AD.
∵D为弧BC的中点，
∴弧CD = 弧BD.
∴.
∵，
∴.
∴PA∥DO . ………………………………………………………1分
∵DP⊥AP，
∴∠P=90°.
∴∠ODP=∠P=90°.
即 OD⊥PD.
∵点D在⊙O上，
∴PD是⊙O的切线.　　　………………………………………………………2分
（2）连结CB交OD于点E.
∵AB为⊙O直径 ，
∴∠ACB =∠ECP=90°.
∵∠ODP=∠P=90°，
∴四边形PCED为矩形.
∴PD = CE，∠CED = 90°.…………………………………………………3分
∴OD⊥CB.
∴EB = CE. 　　　……………………………………………………………4分
在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，
∴cosA = .
∵AC = 6 , cosA = ，
∴AB = 10 .
∴BC = 8 .
∴CE=PD= BC = 4. …………………………………………………………5分
得分
30．已知：如图，AB为⊙O的直径，AC、BC为弦，点P为 上 一点，AB=10，AC∶BC=3∶4．
（1）当点P与点C关于直线AB对称时（如图①），求PC长； （2）当点P为 的中点时（如图②），求PC长．
　　　　　　　　　　　　　
答案：(1)在⊙O中，如图①∵AB是直径， ∴∠ACB＝90゜．∵点P与点C关于AB对称, ∴PC⊥AB，且CD＝DP．∴由三角形面积得： ∵AB＝10，，∴由勾股定理求得AC＝6，BC＝8．∴CD＝ ．∴PC＝2CD＝．(2) 过点B作BE⊥PC于点E，连结PB由(1)得AC＝6，BC＝8．∵点P为　　　的中点，∴∠ACP＝∠BCP＝45°在Rt△BEC中，可求得CE＝BE＝　∵∠A＝∠P，∠ACB＝∠BEC＝90°，tan∠P=an∠A．∴
．∴．∴PC＝CE＋EP＝．
31（08年大兴区一模）如图，某人在处测得电视塔尖点的仰角为，沿山坡向上走到处，测得点的仰角为，已知米，山坡坡度为（即）且点O、A、B在同一条直线上．求电视塔的高度以及此人所在位置点到OB的距离．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）.
答案．解：由题意知，，
过P作PE⊥OB于点E，
PF⊥CO于点F，………………………1分
∴∠FOE=∠OEP=∠PFO=90°
∴PFOE为矩形.
∴PF=OE，FO=PE.
在Rt△AOC中，AO=100，
∠CAO=60°，
∴CO=AO·tan60°=100（米）………………………………………………………………2分
∵tan∠PAB=
∴设PE=x,AE=2x. ………………………………………………………………………………3分
∴PF=OE=OA+AE=100+2x
PE=OF= x
∴FC=OC－OF=
在Rt△PCF中，由题意知∠CPF=45°，
∴FC=PF. …………………………………………………………………………………………4分
∴，
解得（米）.
答：电视塔OC高为米，点P到OB距离为米．……………………………………5分
32. 如图，⊙O的直径AB交弦CD于点M，且M是CD的中点.过点B作BE∥ CD，交AC的延长线于点E.连接BC．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）如果CD=6，tan∠BCD=，求⊙O的直径的长．
答案（1）证明：∵AB是⊙O的直径，M是CD的中点，
∴CD⊥AB. ……………………………………… 1分
∴∠AMC＝90°.
∵BE∥CD，
∴∠AMC＝∠ABE.
∴∠ABE＝90°，
即AB⊥BE.
又∵B是⊙O上的点，
∴BE是⊙O的切线. ………………………………………… 2分
（2）∵M是CD的中点，CD=6，
∴CM=CD=3.
在Rt△BCM中，
∵tan∠BCD==,
∴=,
∴BM=. …………………………………… 3分
又∵AB是⊙O的直径，
∠ACB＝90°.
∵CM⊥AB于M，
∴Rt△AMC∽Rt△CMB.
∴,
∴.
∴.
∴AM=6. …………………………………………… 4分
∴AB=AM+BM=6+=. ……………………………………… 5分
即：⊙O的直径的长为.
33（08年大兴区二模）17.如图,电线杆直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面和地面上，若与地面成角，，，，则电线杆的长为多少米？
答案 解：延长AD交地面于E，作DF⊥BE于F， ∵∠DCF=45°，又CD=4，∴CF=DF=， 由题意知AB⊥BC， ∴∠EDF=∠A=60°，∴∠DEF=30°∴EF=，BE=BC+CF+FE=.在Rt△ABE中，∠E=30°，所以AB=BEtan30°=（m）.∴电线杆AB的长为6米.
34（本题满分5分）如图， 是半⊙O的直径，弦与成30°的角，.
（1）求证：是半⊙O的切线；
（2）若，求AC的长.
答案．（1）连结OC ∵OA=OC，∠A=30°∴∠A=∠ACO=30°∴∠COD=60° 又∵AC=CD，∴∠A=∠D=30°.∴∠OCD=180°－60°－30°=90° ∴CD是半⊙O的切线（2）连结BC∵AB是直径，∴∠ACB=90° 在Rt△ABC中，∵cosA= AC=ABcosA=4×∴AC=
35（08年东城区二模）20. 如图，两镇相距60km，镇在镇的北偏东方向，在镇的北偏西方向． 镇周围20km的圆形区域内为文物保护区，有关部门规定，该区域内禁止修路．现计划修筑连接两镇的一条笔直的公路，试分析这条公路是否会经过该区域？
答案：作于，由题意知： ．在中，． 在中， =答：这条公路不经过该区域．
36. 如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、点E。过点D作DF⊥AC，垂足为点F.（1）判断DF与圆O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H。若等边△ABC的边长为4，求FH的长（结果保留根号）。
答案：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，tanB=，∠ACB=45，
AD=2，求DC的长.
过点A作AE⊥BC于E，AF∥DC,交BC于F. 在Rt△AEB中，∠AEB=90°, tanB= tanB=∴=设AE=4x, 则BE=3x∴ ∴x=1∴AE=4,BE=3
在Rt△AEC中, ∠AEC=90°,∠ACE=45°∴∠CAE=45°∴AE=EC=4AF∥DC ,AD∥BC
∴四边形ADCF为平行四边形∴AF=CD,CF=ADAD=2∴CF=2∴EF=CE-CF=4-2=2在Rt△AEF中, ∠AEF=90°,由勾股定理得AF=∴DC=.
37（08年房山区一模）在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条河的宽．如图所示，一学生在点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在北偏东的方向上，沿河岸向东前行20米到达B处，测得C在北偏东的方向上，
请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：）
答案：过点C作CD⊥AB于D．---------1分
设CD=x，
在Rt△BCD中,∠CBD=,
∴BD=CD=x.--------------------------2分
在Rt△ACD中,∠DAC=,
AD=AB+BD=20+x，CD=x
∵
∴-------------------------------------------------------------------------4分
∴
答：这条河的宽度约为30米．-------------------------------------------------5分
38（08年房山区一模）19．（本小题满分5分）
如图，△DEC内接于⊙O，AC经过圆心交于点B，且AC⊥DE，垂足为，连结AD、BE，若，∠BED=30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）是否是等边三角形？请说明理由；
（3）若的半径，试求的长．
答案：（1）连接．---------------------------------------------------------1分
∵，
，
∵
∴∠A=
∴∠A+∠AOD=
∴∠ADO=
∴ AD是⊙O的切线．--------------------------------------------------------------2分
（2）是等边三角形．理由如下：
为的直径且．
．
．-----------------------------------------------------------------------------3分
是的直径，
，
，
，
是等边三角形．-------------------------------------------------------------4分
（3）的半径．
直径
∵△DCE是等边三角形，
∴∠EDC=
∴∠EBC=
在中，
，
---------------------------------------------------5分
39（08年丰台区一模）如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点处有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边（岸边看成是直线）向前跑50米到C点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑200米到离B点最近的D点，再跳入海中．若三名救生员同时从点出发，他们在岸边跑的速度都是5米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，∠BAD=45°，请你通过计算说明谁先到达营救地点．
答案：在△ABD中，，, ．
∴．………………………………分
．
在中，
∴．……………分
∴1号救生员到达B点所用的时间为
（秒）…………………………………分
2号救生员到达B点所用的时间为
（秒），
3号救生员到达B点所用的时间为
（秒）．……………………分
，
∴2号救生员先到达营救地点． …………………………分
40（07年昌平二模）18．某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量一棵银杏树AB的高，他们来到与银杏树在同一平地且相距18米的建筑物CD上的C处观察，测得银杏树顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°.
求银杏树AB的高（精确到1米）.（可供选用的数据：）.
答案：
BD=18，……………………1分
∴∠DCB=∠DBC=45o
∴CD =BD =18
∴四边形CDBM是正方形
∴CD=BM=CM=18……………………2分
在中
∴……………………3分
∴……………………4分
（米）……………………5分
答：银杏树高约28米.
41（07年昌平二模）24．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F .
（1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论；
（2）如图2，若连接EF，请探索线段BE、EF、FC之间的关系；
（3）如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：“∠B=30°，AD⊥BC于点D”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值.
答案： （1）结论：AF=BE，………………… 1分
连接AD
∵AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点
∴AD=BD=DC=BC ， ∠ADB=∠ADC=90°
∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°
∴∠3+∠5==90°
∵∠3+∠4==90°
∴∠5=∠4
∵ BD=AD
∴∠B=∠2
∴
∴BE=AF……………………3分
（2）由（1）BE=AF
又∵AB=AC
∴AE=CF
在中，
∴……………………6分
（3）（1）中的结论BE=AF不成立…………………………… 7分
∵∠B=30°，AD⊥BC于点D，∠BAC=90°
∴∠3+∠5==90°， ∠B+∠1==90°
∵∠3+∠4==90°，∠1+∠2==90°
∴∠B=∠2 ， ∠5=∠4
∴∽
∴……………………9分
42（09大兴二模）23．如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P为x轴上的—个动点，但是点P不与点0、点A重合．连结CP， D点是线段AB上一点，连PD.
(1)求点B的坐标； (2)当点P运动到什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；
(3)当∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P的坐标.
答案：（1）作BQ⊥x轴于Q.∵四边形OABC是等腰梯形，∴∠BAQ=∠COA=60°在Rt△BQA中，BA=4，
∴BQ=AB·sin∠BAO=4×sin60°= AQ=AB·cos∠BAO=4×cos60°=2， ∴OQ=OA－AQ=7－2=5点B在第一象限内，∴点B的坐标为（5，）
（2）若△OCP为等腰三角形，∵∠COP=60°， ∴△OCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形 若△OCP为等边三角形，OP=OC=PC=4，且点P在x轴的正半轴上， ∴点P的坐标为（4，0） 若△OCP是顶角为120°的等腰三角形，则点P在x轴的负半轴上，且OP=OC=4∴点P的坐标为（－4，0）∴点P的坐标为（4，0）或（－4，0）
（3）∵∠CPA=∠OCP+∠COP 即∠CPD+∠DPA=∠COP+∠OCP 而∠CPD=∠OAB=∠COP=60°
∴∠OCP=∠DPA ∵∠COP=∠BAP∴△OCP∽△APD ∴ ∴OP·AP=OC·AD∵ ∴BD=AB=，AD=AB－BD=4－= ∵AP=OA－OP=7－OP ∴OP（7－OP）=4×
解得OP=1或6∴点P坐标为（1，0）或（6，0）
图24-1 图24-2 图24-3
43（09昌平二模）18．如图，点在半的直径的延长线上，，切半于点，连结.
（1）求的正弦值；
（2）若半的半径为，求的长度.
答案：（1）证明：如图，连接．
∵切半于点，
．…………………1分
∵，
．
在中，． 2分
（2）过点作于点，则． 3分
，
，
．
∵，
．
在中，，
． 4分
．
44、(8分)如图，已知MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区。取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°.已知MB=400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？
答案：不会穿过居民区。
过A作AH⊥MN于H，则∠ABH=45°，AH=BH
设AH=x，则BH=x，MH=x=x+400，∴x=200+200=546.1＞500∴不会穿过居民区。
45、(10分)如图，点A(tanα，0)，B(tanβ，0)在x轴的正半轴上，点A在点B的左边，α、β是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角；
(1)若二次函数y=－x2－kx+(2+2k－k2)的图象经过A、B两点，求它的解析式。
(2)点C在(1)中求出的二次函数的图象上吗 请说明理由。
A
B
O
N
P
A
B
C
二楼
一楼
4m
A
4m
4m
B
27°
C
图7
A
B
C
D
E
北
北
20
D
A
F
E
B
O
H
C
(第21题图)
A
B
C
D
E
O
F
图1
图2
图328.2 解直角三角形 达标训练
一、基础·巩固达标
1.如图28.2－21，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为45°，若点D到电线杆底部点B的距离为a，则电线杆AB的长可表示为( )
A.a B.2a C. D.
图28.2－21 图28.2－22 (第3题)
2.如图28.2－22，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1∶3，坝高BC为2米，则斜坡AB的长是( )
A.米 B.米 C.米 D.6米
3.AE、CF是锐角△ABC的两条高，如果AE∶CF=3∶2，则sinA∶sinC等于( )
A.3∶2 B.2∶3 C.9∶4 D.4∶9
4.如图28.2－23，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=________.
图28.2－23 图28.2－24
5.如图28.2－24是一口直径AB为4米，深BC为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=_______度(不考虑青蛙的身高).
6.如图28.2－25，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C处，观察到树顶端A正好与C处在同一水平线上，小勇测得树底B的俯角为60°，并发现B点距墙脚D之间恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖，因此测算出B点到墙脚之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB约多少米？(结果保留1位小数)
图28.2－25
二、综合 应用达标
7.如图28.2－26，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°.已知AB=20 米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留一位小数).
图28.2－26
8.初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图28.2－27所示，A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60°方向，C点在B点北偏东45°方向，C点在D点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD的长. (结果精确到0.01米)
图28.2－27
9.如图28.2－28，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i=2∶1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上 请说明理由(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域).
图28.2－28
三、回顾 展望达标
10.如图28.2－29，某飞机于空中A处探测倒地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1 200米，则飞机到目标B的距离AB为( )
A.1 200米 B.2 400米 C.米 D.米
图28.2－29 图28.2－30 图28.2－31
11.一人乘雪橇沿坡比1∶的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s=10t＋2t2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为( )
A.72 m B.36 m C.36 m D. m
12.如图28.2－31，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选M点作为观测点，从M点测量山顶P的仰角为30°，在比例尺为1∶50 000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P的海拔高度为( )
A.1 732米 B.1 982米 C.3 000米 D.3 250米
13. 某商场门前的台阶截面积如图28.2－32所示.已知每级台阶的席度(如CD)均为0.3 m，高度(如BE)均为0.2 m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A为9°，计算从斜坡的起点A到台阶前点B的距离(精确到0.1 m)(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16).
图28.2－32
14.如图28.2－33，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时 的速度由西向东航行,行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向,继续行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险
图28.2－33
15.如图28.2－34，由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为30°的山坡前进1 500米到B，再次测得山顶D的仰角为60°，求山高CD.
图28.2－34
16.如图28.2－35所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：
方案一：E→D→A→B;
方案二：E→C→B→A.
经测量得AB=千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°.
已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米.
(1)求出河宽AD(结果保留根号)；
(2)求出公路CD的长；
(3)哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.
图28.2－35
17.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图28.2－36，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响.
(1)该城市是否会受到这次台风的影响 请说明理由.
(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长
(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级
图28.2－36
参考答案
一、基础·巩固达标
1.如图28.2－21，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为45°，若点D到电线杆底部点B的距离为a，则电线杆AB的长可表示为( )
图28.2－21
A.a B.2a C. D.
思路解析：直接用等腰直角三角形的性质.
答案：B
2.如图28.2－22，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1∶3，坝高BC为2米，则斜坡AB的长是( )
图28.2－22
A.米 B.米 C.米 D.6米
思路解析：坡度的定义，所以BC∶AC∶AB=1∶3∶.
答案：B
3.AE、CF是锐角△ABC的两条高，如果AE∶CF=3∶2，则sinA∶sinC等于( )
A.3∶2 B.2∶3 C.9∶4 D.4∶9
思路解析：画出图形，在Rt△AFC中，sinA=；在Rt△AEC中，sinC=.
所以sinA∶sinC==CF∶AE=2∶3.
答案：B
4.如图28.2－23，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=________.
图28.2－23
思路解析：等腰三角形顶角平分线垂直平分底边，Rt△ADC中，AC=10，∠DAC=60°.
答案：5
5.如图28.2－24是一口直径AB为4米，深BC为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=_______度(不考虑青蛙的身高).
图28.2－24
思路解析：在Rt△OBC中，OB=OC，可以得到∠BOC=45°，所以∠COD=2∠BOC=90°.
答案：90°
6.如图28.2－25，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C处，观察到树顶端A正好与C处在同一水平线上，小勇测得树底B的俯角为60°，并发现B点距墙脚D之间恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖，因此测算出B点到墙脚之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB约多少米？(结果保留1位小数)
图28.2－25
思路解析：在Rt△ABC中，∠A=90°,∠BCA=60°，AC=3米，用正切函数关系求出AB的长.
解：如图，在Rt△ABC中，AC=BD=3米，tan∠BCA=，
所以AB=AC×tan∠BCA=3×tan60°=3×≈5.2 (米).
答：树的高度AB约为5.2米.
二、综合 应用达标
7.如图28.2－26，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°.已知AB=20 米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留一位小数).
( http: / / )
图28.2－26
思路解析：作出气球离地面的高度，构成了直角三角形，利用直角三角形求解.
解：作CD⊥AB,垂足为D.设气球离地面的高度是x米.
在Rt△ACD中，∠CAD=45°，所以AD=CD=x.
在Rt△CBD中，∠CBD=60°，所以tan60°=，BD=.
因为AB=AD－BD，所以20=x－.解得x≈47.3(米).
答：气球离地面的高度约是47.3米.
8.初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图28.2－27所示，A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60°方向，C点在B点北偏东45°方向，C点在D点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD的长. (结果精确到0.01米)
( http: / / )
图28.2－27
思路解析：作高构造直角三角形并寻找线段之间的关系.
( http: / / )
解：过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E、F.由题意，知AD⊥CD.
因为四边形BFDE为矩形，所以BF=ED.
在Rt△ABE中，AE=AB×cos∠EAB，
在Rt△BCF中，BF=BC×cos∠FBC，
所以AD=AE+BF=20×cos60°+40×cos45°=20×+40×=10+，
即AD≈10+20×1.414=38.28(米).
9.如图28.2－28，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i=2∶1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上 请说明理由(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域).
图28.2－28
思路解析：有没有必要将此人行道封上，就要看电线杆倒下时，能不能到达人行道上，若AB＞BE，则电线杆会倒到人行道上.只要计算出AB的长，利用30°仰角这个条件，可以在点Ｃ处作CH⊥AB，在Rt△AHC中解直角三角形.
解：在拆除电线杆AB时，不需要将此人行道封上.理由如下：
作CH⊥AB，垂足为H.
在Rt△CDF中，I=，所以DF= CF=×2=1(米).
所以HC=BF=BD+DF=14+1=15(米).
在Rt△AHC中，tan∠ACH=，
所以AH=HC×tan∠ACH=15×tan30°=15×≈8.7(米).
因此AB=AH+HB=AH+CF=8.7+2=10.7(米).
因为BE=BD－DE=14－2=12(米)，10.7<12,
所以电线杆不会倒到人行道上，不需要将此人行道封上.
三、回顾 展望达标
10.如图28.2－29，某飞机于空中A处探测倒地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1 200米，则飞机到目标B的距离AB为( )
( http: / / )
图28.2－29
A.1 200米 B.2 400米 C.米 D.米
思路解析：∠ABC=α，解直角三角形.
答案：B
11.一人乘雪橇沿坡比1∶的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s=10t＋2t2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为( )
( http: / / )
图28.2－30
A.72 m B.36 m C.36 m D. m
思路解析：根据公式，算出斜坡的坡长，构造斜边为s的直角三角形，用坡比的定义解答.
答案：C
12.如图28.2－31，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选M点作为观测点，从M点测量山顶P的仰角为30°，在比例尺为1∶50 000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P的海拔高度为( )
( http: / / )
图28.2－31
A.1 732米 B.1 982米 C.3 000米 D.3 250米
思路解析：等高线地图上，两点的图上距离是指两点的水平距离，山顶的海拔高度是指P点的竖直高度，画出视线、两点的水平距离、高度的示意图，它们可以构成直角三角形，通过解直角三角形求出.
( http: / / )
如图，在Rt△POM中，∠O=90°，∠M=30°，OM=6×500=3 000(米)，
因为tanM=，所以OP=OM×tan30°=3 000×≈1 732(米).
答案：A
13. 某商场门前的台阶截面积如图28.2－32所示.已知每级台阶的席度(如CD)均为0.3 m，高度(如BE)均为0.2 m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A为9°，计算从斜坡的起点A到台阶前点B的距离(精确到0.1 m)(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16).
( http: / / )
图28.2－32
思路解析：根据图形，构造直角三角形.
解：如图，过C作CF⊥AB交AB的延长线于F.
由条件，得CF=0.8 m，BF=0.9 m.
在Rt△CAF中，∵tanA=，∴AF≈=5(m).
∴AB=AF－BF=5－0.9=4.1(m).
答：从斜坡起点A到台阶前点B的距离约为4.1 m.
14.如图28.2－33，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时 的速度由西向东航行,行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向,继续行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险
图28.2－33
思路解析：构造直角三角形，用方程求解点P到AB的距离，若这个距离大于3海里，表明客轮在暗礁范围外，客轮不会触礁.
解：过P作PC⊥AB于C点，据题意知: AB=9×=3.
∵∠PCB=90°，∠PBC=90°－45°=45°,
∴PC=BC.
在Rt△PAC中，∠PAB=90°－60°=30°，
∴tan30°=,
即.∴.
∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险.
15.如图28.2－34，由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为30°的山坡前进1 500米到B，再次测得山顶D的仰角为60°，求山高CD.
( http: / / )
图28.2－34
思路解析：题目中知道AB的长，需要把AB转化到直角三角形中，考虑∠DBE=60°，过点B分别向AC、DC作垂线，构成直角三角形.
解：过点B作CD、AC的垂线，垂足分别为E、F.
∵∠BAC=30°，AB=1 500米,
∴BF=EC=750米，AF=米.
设FC=x米,
∵∠DBE=60°,∴DE=米.
又∵∠DAC=45°,∴AC=CD,
即+x=750+米.得x=750.
∴CD=(750+)米.
答：山高CD为(750+)米.
16.如图28.2－35所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：
( http: / / )
图28.2－35
方案一：E→D→A→B;
方案二：E→C→B→A.
经测量得AB=千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°.
已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米.
(1)求出河宽AD(结果保留根号)；
(2)求出公路CD的长；
(3)哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.
思路解析：这是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A作AD⊥BC于D，设E，F分别表示A市受台风影响的最初、最后时台风中心的位置，则AE=AF=160千米；当台风中心位于D处时，A市受台风影响的风力最大.
( http: / / )
解：(1)如图，经过点A作AD⊥BC，垂足为D.
在Rt△ABD中，AB=220，∠B=30°.
所以AD=110(千米).
由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响.故该城市会受到这次台风的影响.
(2)由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响，由对称性可以知道AE=AF=160千米.当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响.
在Rt△ADE中，由勾股定理，得
.
所以EF= (千米).
因为该台风中心以15千米／时的速度移动.
所以这次台风影响该城市的持续时间为 (小时).
(3)当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为(级).
17.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图28.2－36，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响.
( http: / / )
图28.2－36
(1)该城市是否会受到这次台风的影响 请说明理由.
(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长
(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级
思路解析：本题的实质是解两个非直角三角形，一般是适当作高，运用特殊角解直角三角形.在△ABD中，过点B作AD边的高，得到一个等腰直角三角形(大三角形)和一个含30°的特殊直角三角形.同理，CD的长也可以在△BCD中作高计算得到.
比较两个方案，就是计算两种方案的铺设费用大小，A→D需铺设水下电缆.
( http: / / )
解：(1)过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于F(如图)，
在Rt△ABF中，AB=,∠BAF=60°，所以
BF=AB×sin60°==6(千米)，
AF=AB×cos60°=(千米).
在Rt△BDF中，DF=BF=6(千米)，所以
BD=(千米).
因此，河宽AD=DF－AF=6－(千米).
(2)作BH⊥CD于点H.
在Rt△BDH中，BH=HD=6千米，
在Rt△CBH中， (千米).
因此，公路CD=CH+HD=14(千米).
(3)选择方案二铺设电缆的费用低.理由如下：
方案一需要的费用：8×2+(6－)×4+×2=40(万元)；
方案二需要的费用：6×2＋10×2＋×2=22＋≈35.9(万元).
－ 17 －(共14张PPT)
解直角三角形 (3)
例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，
求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
1.20
22.7
仰角和俯角
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，
求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
1.20
22.7
α＝22°
E
例2:热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高 （结果保留小数点后一位）
α=30°
β=60°
120
A
B
C
D
如图,有两建筑物,在甲建筑物上从A到E点挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为45°,条幅底端E点的俯角为30°.求甲、乙两建筑物之间的水平距离BC
A
E
D
C
B
建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为50°,观察底部B的仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
B
A
C
D
40
(课本89页)
利用解直角三角形的知识解决实际问题的
一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题;
(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;
3.得到数学问题的答案;
4.得到实际问题的答案.
例3. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
65°
34°
P
B
C
A
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角.
如图：点A在O的北偏东30°
点B在点O的南偏西45°（西南方向）
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
方位角
例3. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
65°
34°
P
B
C
A
80
1.在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念(仰角,俯角;方位角等)
2.实际问题向数学模型的转化
(解直角三角形)
作业
1、P92习题28.2第6、7题；
2、《同步练习》P58-60（五）（六）(共14张PPT)
28.1锐角三角函数（4）
D
A
B
E
1.6m
20m
42°
C
引例 升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼。当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42°（如图所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？
这里的tan42°是多少呢？
前面我们学习了特殊角30°45°60°的三角函数值，一些非特殊角(如17°56°89°等)的三角函数值又怎么求呢？
这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务.
1、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：
（1）我们要用到科学计算器中的键：
sin
cos
tan
（2）按键顺序
◆如果锐角恰是整数度数时，以“求sin18°”为例，按键顺序如下：
按键顺序 显示结果
sin18°
sin
18
sin18
0.309 016 994
∴ sin18°= 0.309 016 994≈0.31
1、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：
◆如果锐角的度数是度、分形式时，以“求tan30°36′”为例，按键顺序如下：
方法一：
按键顺序 显示结果
tan30°36′
tan
30
36
tan30°36′
0.591 398 351
∴ tan30°36′ = 0.591 398 351≈0.59
方法二：
先转化， 30°36′ =30.6°,后仿照 sin18°的求法。
◆如果锐角的度数是度、分、秒形式时，依照上面的方法一求解。
（3）完成引例中的求解：
tan
20
42
+1.6
19.608 080 89
∴ AB = 19.608 080 89≈19.61m
即旗杆的高度是19.61m.
练习:
使用计算器求下列锐角的三角函数值.（精确到0.01）
（1）sin20°，cos70°；
sin35°，cos55°；
sin15°32′，cos74°28′；
（2）tan3°8′，tan80°25′43″；
（3）sin15°+cos61°tan76°.
按键的顺序 显示结果
SHIFT
2
0
9
17.30150783
4
sin
·
7
=
已知三角函数值求角度，要用到sin，Cos，tan的第二功能键“sin－１ Cos－１，tan－１”键例如：已知sinα＝0.2974,求锐角α．按健顺序为：
如果再按“度分秒健”就换算成度分秒，
°′″
即∠ α＝17o18’5.43”
2、已知锐角的三角函数值，求锐角的度数：
例 根据下面的条件，求锐角β的大小（精确到1″）
（1）sinβ=0.4511；（2）cosβ=0.7857；
（3） tanβ=1.4036.
按键盘顺序如下:
按键的顺序 显示结果
26048’51”
0
.
sin
1
1
5
=
4
SHIFT
°′″
即∠ β ＝26048’51”
驶向胜利的彼岸
练习:
1、已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
（1）sinA=0.627 5，sinB=0.054 7；
（2）cosA=0.625 2，cosB=0.165 9；
（3）tanA=4.842 5，tanB=0.881 6.
驶向胜利的彼岸
2、已知tanA=3.1748，利用计算器求锐角A的度数。(精确到1′)
答案:∠A≈72°52′
练习:
3、已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a（精确到1′）
（1）sin a=0.2476；（2）cos a=0.4；（3）tan a=0.1890.
答案: (1)α≈14°20′;
(3)α≈10°42′.
(2)α≈65°20′;
4、一段公路弯道呈弧形，测得弯道
AB两端的距离为200米，AB 的半径为1000米，求弯道的长（精确到0.1米)
⌒
⌒
A
B
O
R
谈谈今天的收获
作业
课本P82 第4，5，7，8题；
《同步练习》P53-54（六）。(共16张PPT)
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.1 锐角三角函数
A
B
C
BC=5.2m
AB=54.5m
．
α
问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB
A
B
C
分析：
情
境
探
究
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
A
B
C
50m
30m
B '
C '
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？
A
B
C
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值.
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．你能解释一下吗？
探究
A
B
C
A'
B'
C'
=
a
c
sinA=
在Rt△ABC中
=
b
c
cosA=
=
a
b
tanA=
练一练
1.判断对错:
A
10m
6m
B
C
1) 如图 (1) sinA= （ ）
(2)COSB= （ ）
(3)sinA=0.6m （ ）
(4)tanB=0.8 （ ）
√
×
√
×
2)如图，sinA= （ ）
×
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍，sinA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小
C.不变 D.不能确定
C
练一练
3.如图
A
C
B
3
7
300
则 sinA=______ .
1
2
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求∠A, ∠B的三角函数值．
A
B
C
3
4
例2、已知∠A为锐角，sinA＝ ，求cosA、tanA的值。
求一个角的三角函数值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的三角函数值。
　　如图, ∠C=90°CD⊥AB.
sinB可以由哪两条线段之比
想一想
若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.
┌
A
C
B
D
解: ∵∠B=∠ACD（易证）
∴sinB=sin∠ACD
在Rt△ACD中，AD=
sin ∠ACD=
∴sinB=
=4
A
B
C
D
E
3.已知在RT△ABC中,∠C=900,D是BC中点,DE⊥AB,垂足为E,sin∠BDE=
AE=7,求DE的长.
=
a
c
sinA=
小结 回顾
在Rt△ABC中
及时总结经验，要养成积累方法和经验的良好习惯！
=
b
c
cosA=
=
a
b
tanA=
定义中应该注意的几个问题:
1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2、sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）。
3、sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。(共20张PPT)
小结与复习(1)
知识构架
锐角三角函数
直角三角形中的边角关系
解直角三角形
实际问题
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2，
范例
A
B
C
sinA= ，求cosA和tanA的值。
锐角三角函数的定义
重点知识
锐角三角函数的定义：
巩固
1、已知sinA= ，且∠A为锐角，则
∠A的度数为( )
A. 30° B.45° C.60° D. 75°
特殊角的三角函数值
重点知识
特殊角的三角函数值：
30o 45o 60o 增减性
sinα 递增
cosα 递减
tanα 递增
锐角α
三角函数
巩固
2、计算：
特殊角的三角函数值可以
“熟记”或“推导”。
巩固
3、锐角A满足2sin(A-15)o= ，求∠A
的度数。
特殊角与三角函数值的互相转化
巩固
4、若关于x的一元二次方程：
有两个相等的实数根，求θ的值。
范例
例2、在△ABC中，sinB=cos(90o-C)
= ，那么△ABC是( )
等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
三角函数关系
重点知识
三角函数关系：
(1)互余两角三角函数关系：
(2)同角三角函数关系：
若∠A + ∠B=90o ，那么
巩固
5、 Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA
= ，则cosB的值为( )
B.
C. D.
巩固
6、 如果sin2α+sin230o =1，那么锐角
α的值是( )
15o B. 30o
C. 45o D. 60o
范例
例3、如图，为测楼房BC的高，在距楼
房30米的A处测得楼顶的仰角为α ，则
楼高BC为( )米
C
B
A
α
A. B.
C. D.
解直角三角形
重点知识
解直角三角形：
(1)已知“一边和一角”
(2)已知“两边”
巩固
7、在△ABC中，∠C=90°，AB=15，
sinA= ，则BC等于( )
A. B.
C. D.
巩固
8、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，
A. B.
C. D.
BC= ，则∠B等于( )
范例
例4、如图，在等腰直角△ABC中，
∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，
如果tan∠DBA= ，求AD的长。
C
A
B
D
巩固
9、如图，将圆形铁环放在水平桌面上，
用一个锐角为30°的三角板和一刻度尺
按如图的方法，得到PA=5cm，求铁环
的半径。
P
A
小结
锐角三角函数
直角三角形中的边角关系
解直角三角形
实际问题第28章 锐角三角函数单元测试
一、填空题：（30分）
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cosA＝　　　，sinB＝　　　，tanB＝　　　。
2、直角三角形ABC的面积为24cm2，直角边AB为6cm，∠A是锐角，则sinA＝　　　。
3、已知tan＝，是锐角，则sin＝　　　。
4、cos2(50°＋)＋cos2(40°－)－tan(30°－)tan(60°＋)＝　　　　；
5、如图1，机器人从A点，沿着西南方向，行了个4单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为 .（结果保留根号）．
（1） （2） （3）
6、等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为　　　　　.
7、某人沿着坡度i=1:的山坡走了50米，则他离地面 米高。
8、如图2，在坡度为1：2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。
9、在△ABC中，∠ACB＝90°，cosA=，AB＝8cm ，则△ABC的面积为______ 。
10、如图3，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时，梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角45°，则这间房子的宽AB是 _米。
二、选择题：（30分）
11、sin2＋sin2(90°－) (0°＜＜90°）等于（　　）
A.0 B.1 C.2 D.2sin2
12、在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值 （　　）
A.也扩大3倍 B.缩小为原来的 C. 都不变 D.有的扩大，有的缩小
13、以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆。若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标为（ ）
A.(cosα,1) B.(1,sinα) C.(sinα,cosα) D.(cosα,sinα)
14、如图4，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连结BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（ ）
A、4cm B、6cm C、8cm D、10cm
(4) (5) (6)
15、已知a为锐角，sina=cos500则a等于（ ）
A.200 B.300 C.400 D.500
16、若tan(a+10°)=，则锐角a的度数是 ( )
A、20° B、30° C、35° D、50°
17、如果α、β都是锐角，下面式子中正确的是 （ ）
A、sin(α+β)=sinα+sinβ B、cos(α+β)=时，α+β=600
C、若α≥β时，则cosα≥cosβ D、若cosα>sinβ,则α+β>900
18、如图5,小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30 角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为 ( )
A．9米 B．28米 C．米 D.米
19、如图6,两建筑物的水平距离为am,从A点测得D点的俯角为a,测得C点的俯角为β,则较低建筑物CD的高为 ( )
A.a m B.(a·tanα)m
C. m D.a(tanα－tanβ)m
20、如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则鱼竿转过的角度是( )
A．60° B．45° C．15° D．90°
三、解答题：（60分）
21、计算(8分)：(1)tan30°sin60°＋cos230°－sin245°tan45°
(2)．
22、(8分)△ABC中，∠C＝90°.
(1)已知：c＝ 8，∠A＝60°，求∠B、a、b．
(2) 已知：a＝3， ∠A＝30°，求∠B、b、c.
23、(5分)如图山脚下有一棵树AB，小强从点B沿山坡向上走50m到达点D，用高为1.5m的测角仪CD测得树顶的仰角为10°,已知山坡的坡角为15°,求树AB的高.(精确到0.1m,已知sin10°≈0.17,cos10°≈0.98,tan10°≈0.18,sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27)
24、 (8分) 已知Rt△ABC的斜边AB的长为10cm , sinA、sinB是方程m(x2－2x)+5(x2+x)+12=0的两根。（1）求m的值；（2）求Rt△ABC的内切圆的面积。
25、(6分)如图,△ABC是等腰三角形,∠ACB=90°,过BC的中点D作DE⊥AB,垂足为E,连结CE,求sin∠ACE的值.
26、(7分)（05苏州）为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图。按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入。（其中AB=9，BC=）为标明限高，请你根据该图计算CE。（精确到0.1m）（sin18°≈0.3090,cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249)
27、(8分)如图，已知MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区。取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°.已知MB=400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？
28、(10分)如图，点A(tanα，0)，B(tanβ，0)在x轴的正半轴上，点A在点B的左边，α、β是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角；
(1)若二次函数y=－x2－kx+(2+2k－k2)的图象经过A、B两点，求它的解析式。
(2)点C在(1)中求出的二次函数的图象上吗 请说明理由。
参考答案:
1、，， 2、 3、 4、0 5、(0,4+)
6、 7、25 8、3 9、 10、a
11、B 12、C 13、D 14、A 15、C
16、D 17、B 18、D 19、D 20、C
21（1） （2）2
22、（1）∠B=30°，a=12，b=4（2）∠B=30°，b=9，c=6
23、BF=48.5=CE，DE=13，CF=BE=14.5，AE=8.73，AB=23.2m
24、（1）m=20（m=－2舍）（2）4π
25、
26、BD=2.924，DC=2.424，CE=2.3
27、不会穿过居民区。
过A作AH⊥MN于H，则∠ABH=45°，AH=BH
设AH=x，则BH=x，MH=x=x+400，
∴x=200+200=546.1＞500
∴不会穿过居民区。
28、(1)tanα·tanβ=k2―2k―2=1 ∴k1=3（舍），k2=－1
∴解析式为y=―x2+x―1
（2）不在。
x
O
A
y
B
- 6 -(共13张PPT)
测量高度时,仰角与俯角有何区别
h
在解直角三角形中，经常接触的名称还有：
（返回）
我们经常用正切来描述山坡的坡度
例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m，那么山坡的坡度就是
一、基础演练
1、某人沿着坡角为45 °的斜坡走了310 米，则此人的垂直高度增加了____________米。
2、 如图，一束光线照在坡度为 的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束与坡面的夹角 是 度．
第1题图
第2题图
3、如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i =1：3是指坡面的铅直高度DE与水平房宽度CE的比），根据图中的数据求
（1）坡角 和
（2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）
4.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
B
A
D
F
60°
12
30°
5、 如图，海上有一灯塔P，在它周围6海里内有暗礁.一艘海轮以18海里/时的速度由西向东方向航行，行至A点处测得灯塔P在它的北偏东 方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东 方向上，如果海轮不改变方向继续前进，有没有触礁的危险？
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
h
h
α
α
l
l
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1.
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
h
α
l
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
作业
1、P93习题28.2第8、9题；
2、《同步练习》P60-61（七）（八）(共22张PPT)
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
惕安中学 郑金洲
§28.1 锐角三角函数（2）
——正切
1、sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2、sinA、 cosA是一个比值（数值）。
3、sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
sin 30°=
sin 45°=
sin 60°=
cos 30°=
cos 45°=
cos 60°=
特殊角的正弦、余弦函数值
正弦
余弦
当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是惟一确定的吗？
想一想
比一比
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值。
B’C’
BC
A’C’
AC
＝
所以
AC
BC
A’C’
B’C’
＝
即
AC
BC
A’C’
B’C’
＝
问：
有什么关系？
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切，记作 tanA。
一个角的正切表示定值、比值、正值。
tan30°=

A
B
C
┌
思考：锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？
可以大于1吗？
对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数。
tan 45°=
tan 60°=


特殊角的三角函数值
1、 你能得出互为余角的两个锐角A、B正切值的关系吗
2、你能得出一个锐角A的正弦值、余弦值和正切值的关系吗
应用举例
1、在Rt △ABC中，∠C＝90°，求∠A的三角函数值。
① a=9 b=12
② a=9 b=12
2、在△ABC中，AB=AC＝4，BC=6，求∠B的三角函数值。
3、已知∠A为锐角，sinA＝ ，求cosA、tanA的值。
八仙过海,尽显才能
随堂练习
下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D。指出∠A和∠B的对边、邻边。
试一试：
A
B
C
D
(1) tanA =
=
AC
( )
CD
( )
(2) tanB=
=
BC
( )
CD
( )
BC
AD
BD
AC
如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定
A
B
C
┌
C
试一试：
=
a
c
sinA=
小结 回顾
在Rt△ABC中
及时总结经验，要养成积累方法和经验的良好习惯！
=
b
c
cosA=
=
a
b
tanA=
定义中应该注意的几个问题:
回味 无穷
1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2、sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）。
3、sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
课时作业本
P76—P83
课后作业
独立完成作业的良好习惯，是成长过程中的良师益友。28.1锐角三角函数（二）
一、课前预习 (5分钟训练)
1.在△ABC中，∠C=90°，AC=1，AB=，则∠B的度数是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.∠B是Rt△ABC的一个内角，且sinB=，则cosB等于( )
A. B. C. D.
3.计算－2sin60°cos45°+3tan30°sin45°=_______________.
4.计算cos60°sin30°－tan60°tan45°+(cos30°)2=___________________.
二、课中强化(10分钟训练)
1.在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，则∠B的度数是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.已知α为锐角,tanα=,则cosα等于( )
A. B. C. D.
3.若|－2sinα|+(tanβ－1)2=0，则锐角α=____________，β=______________.
4.如图28－1－2－1,已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，a=15，根据定义求∠A,∠B的三角函数值.
图28－1－2－1
5.如图28－1－2－2，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2 m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为多少米？（精确到0.1 m，可能用到的数据≈1.41，≈1.73）
图28－1－2－2
三、课后巩固(30分钟训练)
1.等腰梯形的上底为2 cm,下底为4 cm，面积为 cm2,则较小的底角的余弦值为( )
A. B. C D.
2.反比例函数y=的图象经过点（tan45°,cos60°）,则k的值是_____.
3.已知△ABC中，∠C=90°，a=，∠B=30°,则c=_____________.
4.已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°,a－b=2，则c=________________.
5.如图28－1－2－3，在高为2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需_______米.（精确到0.1米）
图28－1－2－3
6.如图28－1－2－4,在△ABC中，∠B=30°,sinC=,AC=10，求AB的长.
图28－1－2－4
7.如图28－1－2－5,已知在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,D在AC上且∠BDC=60°，AD＝20，求BC.
图28－1－2－5
8.如图28－1－2－6，要测池塘A、B两端的距离，可以在平地上与AB垂直的直线BF上取一点C，使∠FCA=120°，并量得BC=20 m，求A,B两端的距离.（不取近似值）
图28－1－2－6
9.如图28－1－2－7,在旧城改造中，要拆除一建筑物AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区.现在从离点B 24 m远的建筑物CD的顶端C测得点A的仰角为45°，点B的俯角为30°，问离点B 35 m处的一保护文物是否在危险区内？
图28－1－2－7
10.如图28－1－2－8,在高出海平面200 m的灯塔顶端，测得正西和正东的两艘船的俯角分别是45°和30°，求两船的距离.
图28－1－2－8
参考答案
一、课前预习 (5分钟训练)
1.在△ABC中，∠C=90°，AC=1，AB=，则∠B的度数是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
解：∵sinB=,∴∠B=45°.
答案：B
2.∠B是Rt△ABC的一个内角，且sinB=，则cosB等于( )
A. B. C. D.
解：由sinB=得∠B=60°，
∴cosB=.
答案：C
3.计算－2sin60°cos45°+3tan30°sin45°=_______________.
解：－2sin60°cos45°+3tan30°sin45°
=
答案：
4.计算cos60°sin30°－tan60°tan45°+(cos30°)2=___________________.
解：cos60°sin30°－tan60°tan45°+(cos30°)2
=×－×1+()2=1－.
答案：1－
二、课中强化(10分钟训练)
1.在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，则∠B的度数是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
解：tanB=,∴∠B=30°.
答案：A
2.已知α为锐角,tanα=,则cosα等于( )
A. B. C. D.
解析：由tanα=求得α=60°,故cosα=.
答案：A
3.若|－2sinα|+(tanβ－1)2=0，则锐角α=____________，β=______________.
解析：由题意得sinα=,tanβ=1，
∴α=60°，β=45°.
答案：60° 45°
4.如图28－1－2－1,已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，a=15，根据定义求∠A,∠B的三角函数值.
( http: / / )
图28－1－2－1
解：在Rt△ABC中，∠B=90°－∠A=90°－60°=30°.
b=c,c2=a2+b2=152+c2.
∴c2=300,即c=.
∴b=.
∴sinA=,cosA==,
tanA=,sinB==,
cosB=,,tanB=
5.如图28－1－2－2，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2 m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为多少米？（精确到0.1 m，可能用到的数据≈1.41，≈1.73）
( http: / / )
图28－1－2－2
解：∵∠BCA=90°，∴cos∠BAC=.
∵∠BAC=30°，AC=2,
∴AB=≈2.3.
答:相邻两棵树的斜坡距离AB约为2.3 m.
三、课后巩固(30分钟训练)
1.等腰梯形的上底为2 cm,下底为4 cm，面积为 cm2,则较小的底角的余弦值为( )
A. B. C D.
解析：如图，根据题意,可知AE=2×，Rt△ABE中，AE=,BE=1，
( http: / / )
∴tanB=.∴B=60°.∴cosB=.
答案：D
2.反比例函数y=的图象经过点（tan45°,cos60°）,则k的值是_____.
解析：点（tan45°,cos60°）的坐标即为(1，)，y=经过此点，所以满足=.∴k=.
答案：
3.已知△ABC中，∠C=90°，a=，∠B=30°,则c=_____________.
解析：由cosB=,得c==10.
答案：10
4.已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°,a－b=2，则c=________________.
解析：tanA,又a－b=2，
∴a=+3,c==2+.
答案：2+
5.如图28－1－2－3，在高为2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需_______米.（精确到0.1米）
( http: / / )
图28－1－2－3
解析：地毯的长度是两条直角边的和，另一条直角边为=,∴地毯的长度至少为2+≈5.5（米）.
答案：5.5
6.如图28－1－2－4,在△ABC中，∠B=30°,sinC=,AC=10，求AB的长.
图28－1－2－4
解：作AD⊥BC,垂足为点D，在Rt△ADC中，AD=AC·sinC=8,
在Rt△ADB中,AB==16.
( http: / / )
7.如图28－1－2－5,已知在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,D在AC上且∠BDC=60°，AD＝20，求BC.
图28－1－2－5
解：设DC=x,
∵∠C=90°,∠BDC=60°,
又∵=tan∠BDC,
∴BC=DCtan60°=x.
∵∠C=90°,∠A=30°,tanA=,
∴AC=3x.
∵AD=AC－DC,AD=20,
∴3x－x=20,x=10.
∴BC=x=10.
8.如图28－1－2－6，要测池塘A、B两端的距离，可以在平地上与AB垂直的直线BF上取一点C，使∠FCA=120°，并量得BC=20 m，求A,B两端的距离.（不取近似值）
( http: / / )
图28－1－2－6
解：根据题意，有∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，∠ACB=180°－∠FCA=180°－120°=60°，
∵tan∠ACB=，
∴AB=BC·tan∠ACB=20·tan60°= (m).
答：A、B两端之间的距离为 m.
9.如图28－1－2－7,在旧城改造中，要拆除一建筑物AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区.现在从离点B 24 m远的建筑物CD的顶端C测得点A的仰角为45°，点B的俯角为30°，问离点B 35 m处的一保护文物是否在危险区内？
图28－1－2－7
解：在Rt△BEC中，CE=BD=24,∠BCE=30°,
∴BE=CE·tan30°=.
在Rt△AEC中,∠ACE=45°,CE=24,
∴AE=24.∴AB=24+≈37.9（米）.
∵35<37.9,
∴离点B 35 m处的一保护文物在危险区内.
答：略.
10.如图28－1－2－8,在高出海平面200 m的灯塔顶端，测得正西和正东的两艘船的俯角分别是45°和30°，求两船的距离.
( http: / / )
图28－1－2－8
.解：如题图，A表示灯塔的顶端，B表示正东方向的船，C表示正西方向的船，过A作AD⊥BC于D，则AD=200 (m)，∠B=30°,∠C=45°.
从而在Rt△ADC中，
得CD=AD=200，在Rt△ADB中，
∵tanB=，∴BD=.
∴BC=CD+BD=200+≈546.4(m).
答：两船距离约为546.4 m.
－ 1 －(共11张PPT)
28.1锐角三角函数（2）
——正弦 正切
复习与探究：
1.锐角正弦的定义
在 中，
∠A的正弦：
2、当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为什么？
新知探索:
1、你能将“其他边之比”用比例的式子表示出来吗？这样的比有多少？
2、当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边的比， ∠A的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并说出理由。
方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；
方法二：根据相似三角形的性质来说明。
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
A
B
C
斜边c
对边a
邻边b
★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
余弦（cosine），记作cosA， 即
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的
正切（tangent），记作tanA， 即
注意
cosA，tanA是一个完整的符号，它表示∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；
cosA，tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比；
cosA不表示“cos”乘以“A”， tanA不表示“tan”乘以“A”
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数。
同样地， cosA，tanA也是A的函数。
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
A
B
C
6
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=6， ，求cosA和tanB的值．
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．
A
B
C
2
3
延伸：由上面的计算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值有什么规律吗？
结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦。
练习
课本P78 练习1，2，3.
补充练习
1、在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.
A
B
C
D
补充练习
2、如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=12，AB=13，∠BCM=∠BAC，求sin∠BAC和点B到直线MC的距离．
3、如图所示，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，
求证：
小结与作业
课本P82 第1、6、10.
《同步练习》P48-50（二）（三）k第2页
2011全国各地中考数学100套真题分类汇编
第30章解直角三角形
一、选择题
1. （2011湖北武汉市，10，3分）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距离O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为
A．12秒． B．16秒． C．20秒． D．24秒．

【答案】B
2. （2011湖南衡阳，9，3分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（ ）
A．10m B．10m C．15m D．5m
【答案】A
3. （2011山东东营，8，3分）河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ ）
A．5米 B．10米 C．15米 D．10米
【答案】A
4. （2010湖北孝感，10，3分）如图，某航天飞船在地球表面P点的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，若∠QAP=α，地球半径为R，则航天飞船距离地球表面的最近距离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
5. （2011宁波市，9，3分）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长l为
A． B． C． D． h·sina
【答案】A
6. （2011台湾台北，34）图(十六)表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分。如图(十七)，若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为多少公分
A．　　B．　　C．18　　　D．19
【答案】D
7. （2011山东潍坊，10，3分）身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（ ）
同学 甲 乙 丙 丁
放出风筝线长 140m 100m 95m 90m
线与地面夹角 30° 45° 45° 60°
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】D
8. （2011四川绵阳10，3）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处测得她看塔顶的仰角β为30°.她们又测出A、B两点的距离为30米。假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则 可计算出塔高约为(结果精确到0.01，参考数据：=1.414，=1.73)
A.36.21 米 B.37. 71 米
C.40. 98 米 D.42.48 米
【答案】D
二、填空题
1. （2011山东济宁，15，3分）如图，是一张宽的矩形台球桌，一球从点（点在长边上）出发沿虚线射向边，然后反弹到边上的点. 如果，.那么点与点的距离为 .
【答案】
2. （2011浙江衢州，13,4分）在一次夏令营活动中，小明同学从营地出发，要到地的北偏东60°方向的处，他先沿正东方向走了200m到达地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地(如图)，那么，由此可知，两地相距 m.
【答案】200
3. （2011甘肃兰州，17，4分）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1∶，坝外斜坡的坡度i=1∶1，则两个坡角的和为 。
【答案】75
4. （2011广东株洲，11，3分）如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B处），AB=80米，则孔明从A到B上升的高度BC是 米．
【答案】40
5. （2011浙江义乌，15，4分）右图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其
中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 ▲ m．
【答案】5
6. (2011广东茂名，13，3分）如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的水平距离BC＝ 米．
【答案】100
7. （2011湖北襄阳，14，3分）在207国道襄阳段改造工程中，需沿AC方向开山修路（如图3所示），为了加快施工速度，需要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝1000m，∠D＝50°.为了使开挖点E在直线AC上，那么DE＝ m.（供选用的三角函数值：sin50°＝0.7660，cos50°＝0.6428，tan50°＝1.192）
【答案】642.8
8. （2011内蒙古乌兰察布，16，4分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为和，大灯A与地面离地面的距离为1m则该车大灯照亮地面的宽度BC是 m .（不考虑其它因素）
【答案】1.4
9. （2011重庆市潼南,16,4分）如图，某小岛受到了污染，污染范围可
以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形
区域的直径,在对应⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD= 30°，∠ACD= 60°，则直径AD= 米.（结果精确到1米）
（参考数据： ）
【答案】260
三、解答题
1. （2011浙江金华，19，6分）生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°（α为梯子与地面所成的角），能够使人安全攀爬，现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC.（结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
【解】由题意知，当α越大，梯子的顶端达到的最大高度越大.因为当50°≤α≤70°时，能够使人安全攀爬，所以当α=70°时AC最大.
在Rt△ABC中，AB=6米，α=70°，
sin70°=，即0.94≈，解得AC ≈5.6.
答：梯子的顶端能达到的最大高度AC≈5.6米.
2. （2011安徽，19，10分）如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB的长．
（参考数据：=1.73）
【答案】∵OA， OB=OC=1500，
∴AB=（m）.
答：隧道AB的长约为635m．
3. （2011广东东莞，17，7分）如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路。现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD=30°,∠ABD=45°,BC=50m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m；参考数据：）
【解】设小明家到公路的距离AD的长度为xm.
在Rt△ABD中，
∵∠ABD=，∴BD=AD=x
在Rt△ABD中，
∵∠ACD=，∴，即
解得
小明家到公路的距离AD的长度约为68.2m. ……………………………………………8分
4. （2011江苏扬州，25,10分）如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76厘米，∠CED=60°.
(1)求垂直支架CD的长度。（结果保留根号）
（2）求水箱半径OD的长度。（结果保留三个有效数字，参考数据：，）
【答案】解：（1）在Rt△DCE中，∠CED=60°，DE=76，
∵sin∠CED= ∴DC=DE×sin∠CED = 38 (厘米)
答：垂直支架CD的长度为38厘米。
（2）设水箱半径OD=x厘米，则OC=(38+x)厘米，AO=(150+x)厘米，
∵Rt△OAC中，∠BAC=30°
∴AO=2×OC 即：150+x=2(38+x)
解得：x=150－76≈18.52≈18.5(厘米)
答：水箱半径OD的长度为18.5厘米。
5. （2011山东德州20,10分）某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为．测得A，B之间的距离为4米，，，试求建筑物CD的高度．
【答案】解：设建筑物CD与EF的延长线交于点G，DG=x米． …………1分
在△中,，即． …………2分
在△中，，即． …………3分
∴，．
∴ ． ………5分
∴． ………6分
解方程得：=19.2． ………8分
∴ ．
答：建筑物高为20.4米． ………10分
6. （2011山东威海，23，10分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长．
【答案】 解：过点B作BM⊥FD于点M．
在△ACB中，∠ACB=90°, ∠A=60°,AC=10,
∴∠ABC=30°, BC=AC tan60°=10,
∵AB∥CF，∴∠BCM=30°．
∴
在△EFD中，∠F=90°, ∠E=45°,
∴∠EDF=45°,
∴．
∴．
7. （2011山东烟台，21,8分）综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）.
（参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan72°≈3.08）
【答案】解：过点F作FG∥EM交CD于G.
则MG＝EF＝20米.
∠FGN＝∠α＝36°.
∴∠GFN＝∠β－∠FGN＝72°－36°＝36°.
∴∠FGN＝∠GFN，
∴FN＝GN＝50－20＝30（米）.
在Rt△FNR中，
FR＝FN×sinβ＝30×sin72°＝30×0.95≈29（米）.
8. (2011浙江绍兴，20，8分)为倡导“地摊生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图，车架档与的长分别为45cm，60cm，且它们相互垂直，座杆的长为20cm，点在同一条直线上，且，如图2.
（1）求车架档的长
（2）求车座点到车架档的距离.
（记过精确到1cm，参考数据：）
【答案】解（1）
=75 cm
车档架的长为75 cm
（2）过点作，垂足为点，
距离
车座点到车档架的距离是63cm
9. （2011浙江省，21，10分）图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D的距离为5m，每层楼高3.5m，AE、BF、CH都垂直于地面．
(1)求16层楼房DE的高度；
(2)若EF=16m，求塔吊的高CH 的长（精确到0.1m）.
【答案】据题意得：DE=3.5×16=56，AB=EF=16
∵∠ACB=∠CBG－∠CAB=15°，
∴∠ACB ＝∠CAB
∴CB=AB=16. ∴CG=BC×sin30°= 8
CH=CG+HG=CG+DE+AD=8+56+5=69.
∴塔吊的高CH的长为69m.
10．（2011浙江台州，21,10分）丁丁要制作一个形如图1的风筝，想在一个矩形材料中裁剪出如图2 阴影所示的梯形翅膀，请你根据图2中的数据帮助丁丁计算出BE，CD的长度（精确到个位，）
【答案】解：在Rt△BEC中，∠BCE=30 ,EC=51，∴BE=≈30，AE=64
在Rt△AFD中，∠FAD=45 ,FD=FA=51，∴CD=64—51≈13
∴CD=13cm，BE=30cm.
11. （2011浙江丽水，19，6分）生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°(α为梯子与地面所成的角)，能够使人安全攀爬，现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC.(结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64)
【解】当α=70°时，梯子顶端达到的最大高度，
∵sinα=，
∴AC = sin70°×6≈0.94×6=5.64≈5.6(米)
答：人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约5.6米.
12. （2011江西，22，9分）图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形。当点O到BC（或DE）的距离大于或等于⊙O的半径时（⊙O是桶口所在圆，半径为OA），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格，现在用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A-B-C-D-E-F，C-D是弧CD，其余是线段），O是AF的中点，桶口直径AF=34cm，AB=FE=5cm,∠ABC=∠FED=149°。请通过计算判断这个水桶提手是否合格。
（参考数据：≈17.72，tan73.6°≈3.40，sin75.4°≈0.97。）
【答案】解：连结OB，过点O作OG⊥BC于点G.在Rt△ABO中，
AB=5，AO=17，∴tan∠ABO=,
∴∠ABO=73.6°,
∴∠GBO=∠ABC-∠ABO=149°-73.6°=75.4°
又∵OB=≈17.72，
∴在Rt△OBG中，OG=OB×sin∠GBO=17.72×0.97≈17.19＞17.
∴水桶提手合格.
13. （2011湖南常德，24，8分）青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃.（如图7所示）一天，灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°，然后下到城堡的C处，测得B处的俯角为30°.已知AC=40米，若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出发，几秒钟后能抓到懒羊羊？（结果精确到个位）
【答案】解：在Rt△BCD中，
∵∠BCD=90°－30°=60°
∴,则
在Rt△ABD中，
∵∠ABD=60°
∴
即
∴
故约7秒钟后灰太狼能抓到懒羊羊.
14. （2011湖南邵阳，20，8分）崀山成功列入世界自然遗产名录后，景区管理部门决定在八角寨假设旅游索道设计人员为了计算索道AB（索道起点为山脚B处，终点为山顶A处）的长度，采取了如图（八）所示的测量方法。在B处测得山顶A的仰角为16°，查阅相关资料得山高AC=325米，求索道AB的长度。（结果精确到1米，参考数据sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）
【答案】解：AB=AC÷sin 16°= 325÷0.28≈1161米。
15. （2011湖南益阳，18，8分）如图8,AE是位于公路边的电线杆，为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD，用于撑起拉线．已知公路的宽AB为8米，电线杆AE的高为12米，水泥撑杆BD高
为6米，拉线CD与水平线AC的夹角为67.4°．求拉线CDE
的总长L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大
小忽略不计）．
(参考数据：，，)
【答案】解：⑴在Rt中，，
（m）.
，
，，，
（m）.
（m）
16. （2011江苏连云港，24，10分）如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水答道.为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离.一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5 方向，前行1200m,到达点Q处，测得A位于北偏西49 方向，B位于南偏西41 方向.
（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；
（2）求A，B间的距离.
（参考数据：cos41 ≈0.75）
【答案】(1)∵B位于P点南偏东24.5 方向,∴∠BPQ=65.5 ,又∵B位于Q点南偏西41 方向, ∴∠PQB=49 , ∴∠PBQ=65.5 , ∴PQ=BQ(等角对等边),(2)∵点P处测得A在正北方向,在Rt△APQ中,,∴AQ=1600,由(1)得PQ=BQ=1200，∵在点Q处，测得A位于北偏西49 方向，B位于南偏西41 方向，∴∠AQB=90 ，在Rt△ABQ中，AB=（m）.
17.
18. （2011江苏苏州，25,8分）如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）得窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处得俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上.点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC.
（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于________度；
（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）.
【答案】解：（1）30.
（2）由题意得：∠PBH=60°，∠APB=45°.
∵∠ABC=30°，∴∠APB=90°.
在Rt△PHB中，PB==20，
在Rt△PBA中，AB=PB=20≈34.6.
答：A、B两点间的距离约34.6米.
19. （2011江苏宿迁,23,10分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取＝1.732，结果精确到1m）
【答案】
解：设CE＝xm，则由题意可知BE＝xm，AE＝(x＋100)m．
在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝
∴，3x＝(x＋100)
解得x＝50＋50＝136.6
∴CD＝CE＋ED＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m)
答：该建筑物的高度约为138m．
20．（2011江苏泰州，23，10分）一幢房屋的侧面外壁的形状如图所示，它由等腰三角形OCD和矩形ABCD组成，∠OCD=25°．外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹，其中一块的形状是四边形EFGH，测得FG ∥EH，GH=2.6cm , ∠FGB=65°．
（1）求证：GF⊥OC；
（2）求EF的长（结果精确到0.1m）．
(参考数据：sin25°=cos65°≈0.42，cos25°=sin65°≈0.91)
【答案】解：（1）设CD与FG交于点M，由CD∥AB，∠FGB=65°，可得∠FGC=65°，又∠OCD=25°，于是在△FGC中，可得∠CFM=90°，即GF⊥OC．
（2）过点G作GN⊥HE，则GN=EF，在Rt△GHN中，
sin ∠EHG=,即GN=GH sin ∠EHG=2.6 sin 65°=2.6×0.91=2.366≈2.4cm.
21. （2011广东汕头，17，7分）如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路。现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD=30°,∠ABD=45°,BC=50m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m；参考数据：）
【解】设小明家到公路的距离AD的长度为xm.
在Rt△ABD中，
∵∠ABD=，∴BD=AD=x
在Rt△ABD中，
∵∠ACD=，∴，即
解得
小明家到公路的距离AD的长度约为68.2m.
22. （2011山东聊城，21，8分）被誉为东昌三宝之首的铁塔，始建于北宋时期，是我市现存的最古老的建筑，铁塔由塔身和塔座两部分组成（如图①）．为了测得铁塔的高度，小莹利用自制的测角仪，在C点测得塔顶E的仰角为45°，在D点测得塔顶E的仰角为60°，已知测角仪AC的高为1．6米，CD的长为6米，CD所在的水平线CG⊥EF于点G（如图②），求铁塔EF的高（结果精确到0．1米）．
【答案】设EG＝x米，在Rt△CEG中，∵∠ECG＝45°，∴∠CEG＝45°，∴∠ECG＝∠CEG，∴CG＝EG，＝x米，在Rt△DEG中，∠EDG＝60°，tan∠EDB＝，∴DG＝，∵CG－DG＝CD＝6， ∴＝6，解得x＝9＋，∴EF＝EG＋FG＝9＋＋16≈158，所以铁塔高约为158米
23. （2011山东潍坊，19，9分）今年“五一”假期，某数学活动小组组织一次登山活动.他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示.斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°,.已知A点海拔121米，C点海拔721米.
（1）求B点的海拔；
（2）求斜坡AB的坡度.
【解】（1）如图所示，过点C作CF⊥AM，F为垂足，过点B作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足.
∵在C点测得B点的俯角为30°，
∴∠CBD=30°，又∵BC=400米，
∴CD=400×sin30°=400×=200（米）.
∴B点的海拔为721－200=521（米）.
（2）∵BE=521－121=400（米），AB=1040米，
∴（米）.
∴AB的坡度，所以斜坡AB的坡度为1：2.4.
24. （2011广东汕头，19，7分）如图，直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C=30°．折叠纸片使BC经过点D．点C落在点E处，BF是折痕，且BF= CF =8．
（l）求∠BDF的度数；
（2）求AB的长．
【解】（1）∵BF=CF，∠C=，
∴∠FBC=，∠BFC=
又由折叠可知∠DBF=
∴∠BDF=
（2）在Rt△BDF中，
∵∠DBF=，BF=8
∴BD=
∵AD∥BC，∠A=
∴∠ABC=
又∵∠FBC=∠DBF=
∴∠ABD=
在Rt△BDA中，
∵∠AVD=，BD=
∴AB=6．
25. （2011四川广安，26，9分）某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图7所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8. 8m．在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD= 3.2m．已知斜坡CD的坡比i=1：，求树高AB。（结果保留整数，参考数据：1.7）
【答案】解：如图，延长BD与AC的延长线交于点E，过点D作DHAE于H
∵CD=3.2 ∴DH=1.6 CH=
∵ ∴HE=1.28
∵ ∴AB=16
26. （2011四川内江，20，9分）放风筝是大家喜爱的一种运动。星期天的上午小明在大洲广场上放风筝。如图他在A处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝线AD与水平线的夹角为30°。为了便于观察，小明迅速向前边移动边收线到达了离A处7米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°。已知点A、B、C在同一条直线上，∠ACD=90°。请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？（本题中风筝线均视为线段，，，最后结果精确到1米）
【答案】设BC=CD=x米，得
，解得
∴AD－BD=2x－=(米)
27. （2011四川宜宾,22,7分）如图，飞机沿水平方向（A，B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个求距离MN的方案，要求：
（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；
（2）用测出的数据写出求距离MN的步骤．
【答案】解：此题为开放题，答案不惟一，只要方案设计合理，可参照给分
⑴如图，测出飞机在A处对山顶的俯角为，测出飞机在B处对山顶的俯角为，测出AB的距离为d，连接AM，BM．
⑵第一步，在中， ∴
第二步，在中， ∴
其中，解得．
28. (2011重庆綦江，20，6分)如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD, 点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E,测得BE＝21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD. （结果保留根号）
【答案】：解：∵∠CBE＝45° CE⊥AE
∴CE＝BE＝21
AE＝21＋6＝27
在Rt△ADE中，∠DAE＝30°
∴DE＝AE×tan30°＝27×＝9
∴CD＝CE－DE＝21－9
∴该屏幕上端与下端之间的距离CD＝21－9 (米).
29. （2011江西南昌，22，9分）图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形。当点O到BC（或DE）的距离大于或等于⊙O的半径时（⊙O是桶口所在圆，半径为OA），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格，现在用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A-B-C-D-E-F，C-D是弧CD，其余是线段），O是AF的中点，桶口直径AF=34cm，AB=FE=5cm,∠ABC=∠FED=149°。请通过计算判断这个水桶提手是否合格。
（参考数据：≈17.72，tan73.6°≈3.40，sin75.4°≈0.97。）
图甲 图乙 图丙
【答案】解：连结OB，过点O作OG⊥BC于点G.在Rt△ABO中，
AB=5，AO=17，∴tan∠ABO=,
∴∠ABO=73.6°,
∴∠GBO=∠ABC-∠ABO=149°-73.6°=75.4°[]
又∵OB=≈17.72，
∴在Rt△OBG中，OG=OB×sin∠GBO=17.72×0.97≈17.19＞17.
∴水桶提手合格.
30. （2011安徽芜湖，18，8分）如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点的仰角为，再沿着的方向后退20m至处，测得古塔顶端点的仰角为.求该古塔BD的高度(,结果保留一位小数).
【答案】
解：根据题意可知:
在中,由得. …………………………2分
在中,由.得………………………4分
又∵,∴.∴(m).………………7分
答：该古塔的高度约为27.3m.
31. （2011山东济宁，18， 5分）日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场检测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋的影响及时开展分析评估．如图上午9时,海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观测到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈）
【答案】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里．
　　　　在Rt△APC中，∵tan∠A=，∴AC=．…………2分
　　　　在Rt△PCB中，∵tan∠B=，∴BC=．…………4分
∵AC＋BC=AB=21×5，∴，解得．
　　　　∵，∴（海里）．
　　　　∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里．………………6分
32. （2011四川成都，16,6分）如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶至达C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向.求该军舰行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值)
【答案】解：由题意可知，在Rt△ABC中，AB=500，∠ACB=90°－60°=30°，
∵∠ACB=,
∴BC=（），
∴该军舰行驶的路程为米.
33. （2011广东省，17，7分）如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路。现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD=30°,∠ABD=45°,BC=50m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m；参考数据：）
【解】设小明家到公路的距离AD的长度为xm.
在Rt△ABD中，
∵∠ABD=，∴BD=AD=x
在Rt△ABD中，
∵∠ACD=，∴，即
解得
小明家到公路的距离AD的长度约为68.2m.
34. （2011广东省，19，7分）如图，直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C=30°．折叠纸片使BC经过点D．点C落在点E处，BF是折痕，且BF= CF =8．
（l）求∠BDF的度数；
（2）求AB的长．
【解】（1）∵BF=CF，∠C=，
∴∠FBC=，∠BFC=
又由折叠可知∠DBF=
∴∠BDF=
（2）在Rt△BDF中，
∵∠DBF=，BF=8
∴BD=
∵AD∥BC，∠A=
∴∠ABC=
又∵∠FBC=∠DBF=
∴∠ABD=
在Rt△BDA中，
∵∠AVD=，BD=
∴AB=6．
35. （2011江苏淮安，23，10分）题23-1图为平地上一幢建筑物与铁塔图，题23-2图为其示意图.建筑物AB与铁塔CD都垂直于底面，BD=30m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为60°.求铁塔CD的高度.
题23-1图 题23-2图
【答案】解：如图，设过点A的水平线与CD交于点E，由题意得
∠AEC=∠AED=90°，∠CAE=60°，∠DAE=45°，AE=BD=30m，
∴CD=CE+DE=AE·tan60°+AE·tan45°=30+30(m).
答：铁塔CD的高度为(30+30)m.
36. ．(2011江苏南京，25，7分)如图，某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度，他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量，在点C处塔顶B的仰角为45°，在点E处测得B的仰角为37°（B、D、E三点在一条直线上）．求电视塔的高度h．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】解：在中，＝．
∴EC＝≈（）．
在中，∠BCA＝45°，∴
在中，＝．∴．∴（）．
答：电视塔高度约为120．
37. （2011四川凉山州，23，8分）在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，∥，坝高10m，迎水坡面的坡度，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面的坡度进行修改，修改后的迎水坡面的坡度。
求原方案中此大坝迎水坡的长（结果保留根号）
如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿方向拓宽2.7m，求坝顶将会沿方向加宽多少米？
【答案】
解：⑴过点作于。
在中，∵，且。
∴，
⑵过点作于。
在中，∵，且。
∴，
如图，延长至点，至点，
连接，
∵方案修改前后，修建大坝所需土石方
总体积不变。
。即 。
。
答：坝底将会沿方向加宽。
38. （2011江苏无锡，24，9分）(本题满分9分)如图，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C、D。飞机在A处时，测得山头C、D在飞机前方，俯角分别为60°和30°。飞机飞行了6千米到B处时，往后测得山头C的俯角为30°，而山头D恰好在飞机的正下方。求山头C、D之间的距离。
【答案】
解：在Rt△ABD中，∵∠BAD = 30°，∴BD = AB·tan30° = 6 × = 2．………………(2分)
∵∠BAC = 60°，∠ABC = 30°，∴∠ACB = 90°，∴BC = AB·cos30° = 6 × = 3．
…………(4分)
过点C作CE⊥BD于点E，则∠CBE = 60°，CE = BC·sin60° = ．…………(6分)
∴BE = BC·cos60° = ，………………………………(7分)
DE = BD BE = 2 = ．
∴在Rt△CDE中，CD = = = (km)．
答：山头C、D之间的距离为(km)．…………………………………………………(9分)
39. （2011湖北黄冈，21，8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比（指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且AB=20 m．身高为1.7 m的小明站在大堤A点，测得高压电线杆端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30 m，求高压电线杆CD的高度（结果保留三个有效数字，1.732）.
【答案】 ≈36.0
40. （2011湖北黄石，22，8分）东方山是鄂东南地区的佛教胜地，月亮山是黄荆山脉第二高峰，山顶上有黄石电视塔，据黄石地理资料记载：东方山海拔453.20米，月亮山海拔442.00米。一飞机从东方山到月亮山方向水平飞行，在东方山山顶D的正上方A处测得月亮山山顶C的俯角为α，在月亮山山顶C的正上方B处测得东方山山顶D处的俯角为β，如图（7），已知tanα=0.15987，tanβ=0.15847，若飞机的飞行速度为180米/秒，则该飞机从A到B处需多少时间？（精确到0.1秒）
【答案】解：设AB＝x米，根据题意得，
AD＝x·tanβ=0.15847x
BC=x·tanα=0.15987x
0.15847x+453.20=0.15987x+442.00
解之得，0.0014x=11.2
x=8000
t=
t=44.4
答：该飞机从A到B处需44.4秒
41. （2011贵州贵阳，20，10分）
某过街天桥的设计图是梯形ABCD（如图所示），桥面DC与地面AB平行，DC=62米，AB=88米．左斜面AD与地面AB的夹角为23°，右斜面BC与地面AB的夹角为30°，立柱DE⊥AB于E，立柱CF⊥AB于F，求桥面DC与地面AB之间的距离．（精确到0.1米）
（第20题图）
【答案】解：在Rt△ADE中，∠A=23°，
∴AE=．
在Rt△BCF中，∠B=30°，
∴BF=．
∵DE⊥AB，CF⊥AB，AB∥CD，
∴CD=EF，DE=CF，
∴++62=88．
解得，DE≈6.4．
即桥面DC与地面AB之间的距离约为6.4米．
42. （2011江苏盐城，24，10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？
（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）
【答案】过点B作BF⊥CD于F，作BG⊥AD于G.
在Rt△BCF中，∠CBF=30°，∴CF=BC·sin30°= 30× =15.
在Rt△ABG中，∠BAG=60°，∴BG=AB·sin60°= 40× eq \f(,2) = 20.
∴CE=CF+FD+DE=15+20+2=17+20≈51.64≈51.6（cm）cm.
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是51.6cm.
43. （2011广东中山，17,7分）如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路。现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD=30°,∠ABD=45°,BC=50m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m；参考数据：）
【解】设小明家到公路的距离AD的长度为xm.
在Rt△ABD中，
∵∠ABD=，∴BD=AD=x
在Rt△ABD中，∵∠ACD=，∴，即
解得
小明家到公路的距离AD的长度约为68.3m.
44. （2011湖北鄂州，21，8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比（指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且AB=20 m．身高为1.7 m的小明站在大堤A点，测得高压电线杆端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30 m，求高压电线杆CD的高度（结果保留三个有效数字，1.732）.
【答案】 ≈36.0
45. （2011广东湛江24,10分）五一期间，小红到美丽的世界地质公园光岩参加社会实践活动，在景点P处测得景点B位于南偏东方向，然后沿北偏东方向走100米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与景点B之间的距离．（结果精确到0.1米）
【答案】过P作，垂足为D，则,所以，且米，
所以AD=50米，
又，,所以DB=DP，而,
所以米。
46. （2011贵州安顺，21，8分）一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈）
【答案】过点C作CDAB于D ，
由题意，，设CD = BD = x米，则AD =AB+BD =（40+x）米，
在Rt中，tan=，则，解得x = 60（米）．
47. （2011湖南湘潭市，19，6分）（本题满分6分）
莲城中学九年级数学兴趣小组为测量校内旗杆高度，如图，在C点测得旗杆
顶端A的仰角为30°，向前走了6米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角
为60°(测角器的高度不计).
⑴ AD＝_______米;
⑵ 求旗杆AB的高度（）.
【答案】解：（1）6
（2）在Rt△ABD中，(米)所以旗杆AB的高度为5.19米．
48. （2011湖北荆州，21，8分）（本题满分8分）某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝，其半圆形桥洞的横截面如图所示.已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i＝1：3.7，桥下水深OP＝5米，水面宽度CD＝24米.设半圆的圆心为O，直径AB在直角顶点M、N的连线上，求从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长.（参考数据：，，）
【答案】 解：连结OD、OE、OF，由垂径定理知：PD＝ 1 2 CD＝12（m）
在Rt△OPD中，（m），
∴OE＝OD＝13m
∵tan∠EMO=i= 1： 3.7 ， ≈ 1：3.7
∴∠EMO＝15°
由切线性质知∠OEM＝90°
∴∠EOM=75°
同理得∠NOF＝75°
∴∠EOF＝180°-75°×2＝30°
在Rt△OEM中，tan15°＝
∴EM＝3.7×13＝48.1（m）
又EF的弧长＝30π×13÷180 ＝6.5（m）
∴48.1×2+6.5＝102.7（m）
即从M点上坡、过桥、再下坡到N点的最短路径长为102.7米.
49.
50.
·
·
(第15题)
（第13题）
135°
A
B
C
D
h
图3
第16题图
A
C
D
B
E
F
G
A
C
D
B
E
F
G
A
B
C
D
E
F
M
N
R
α
β
第20题图2
图7
E
A
D
B
C
图8
（第23题）
_
D
_
C
_
B
_
A
i=1：
图7
_
D
_
C
_
B
_
A
i=1：
_
H
_
E
（22题图）
（第25题解答图）
第18题
A
B
E
C
D
h
37°
45°
(第25题)
A
B
C
E
D
23题图
A
B
C
M
D
G
F
E
N
A
B
C
D
C
D
N
M
A
B
第21题图
C
D
N
M
A
B
第21题图
第21题图
第21题图
D
30°
60°
A
6米
D
C
B(共14张PPT)
小结与复习(3)
知识构架
锐角三角函数
直角三角形中的边角关系
解直角三角形
实际问题
例1、如图，△ABC是等腰直角三角形。
∠ABC=90°，AB=10，D为△ABC外
一点，连结AD、BD，过D作DH⊥AB
于H，交AC于E。
(1)若△ABD是等边三角形，
求DE的长；
范例
(2)若BD=AB，且
C
A
B
D
H
E
tan∠HDB= ，求
DE的长。
巩固
1、如图，△ABC中，∠C=90°，AC
=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，
连接BD，若sin∠DBC= ，求BC的长。
C
A
B
D
M
N
巩固
2、如图，AD⊥CD， AB=10，BC=20，
∠A=C=30°，求AD、CD的长。
B
A
C
D
巩固
3、某片绿地的形状如图所示，其中
∠A=60°，AB⊥BC， CD⊥AD，AB
=200m，CD=100m，求AD、BC的长
(精确到1m)。
B
A
C
D
范例
例2、如图，AB是⊙O的切线，A为切
点，AC是⊙O的弦，过O作OH ⊥ AC
于H，OH=2，AB=12，BO=13，求：
(1) ⊙O的半径；
(2)sin∠OAC的值；
(3)弦AC的长(结果保
留两个有效数字)。
A
B
O
C
H
巩固
4、如图，某海域直径为30海里的暗礁区中
心有一哨所A，值班人员发现一轮船从哨所
正西方向90海里的B处向哨所驶来，哨所及
时向轮船发出了危险信号，但轮船没有收
到信号，又继续前进了15海里到达C处，此
时哨所发出第二次紧急信号。(1)若轮船收
到第一次信号后，为避免触礁，
航向改变角度至少为东偏北
α度，求
sinα的值。
A
B
C
巩固
4、如图，某海域直径为30海里的暗礁区中
心有一哨所A，值班人员发现一轮船从哨所
正西方向90海里的B处向哨所驶来，哨所及
时向轮船发出了危险信号，但轮船没有收
到信号，又继续前进了15海里到达C处，此
时哨所发出第二次紧急信号。(2)当轮船收
到第二次信号后，为避免触礁，
航向改变的角度至少为多少度
(结果保留小
数点后两位)。
A
B
C
范例
例3、某学校拟建两幢平行的教学楼，
现设计两楼相距30m。从A点看C点，
仰角为5°；从A点看D点，俯角为
30°。
(1)两幢楼分别高多
少米(精确到1m)？
30°
A
C
B
D
5°
30°
1
号
楼
2
号
楼
范例
(2)若冬日上午9∶00太阳光的入射角最
低为30°(光线与水平线的夹角)，问1
号楼是否会有影响？请说明理由。若
有，则两楼间距离应至少相距多少米
时才会消除这种影响？
30°
A
C
B
D
5°
30°
1
号
楼
2
号
楼
巩固
5、如图，某货船以20海里/h的速度将一批
重要物资由A处运往正西方向的B处，经过
16h的航行到达，到达后必须立即卸货。此
时，接到气象部门通知，一台风中心正以
40海里/h的速度由A处北偏西60°方向移动，
距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)
均会受到影响。
A
B
C
北
西
60°
(1)B处是否会受到台
风的影响？请说明理
由。
巩固
5、如图，某货船以20海里/h的速度将一批
重要物资由A处运往正西方向的B处，经过
16h的航行到达，到达后必须立即卸货。此
时，接到气象部门通知，一台风中心正以
40海里/h的速度由A处北偏西60°方向移动，
距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)
均会受到影响。
A
B
C
北
西
60°
(2)为避免受到台风
的影响，该船应在多
少小时内卸完货物？
小结
锐角三角函数
直角三角形中的边角关系
解直角三角形
实际问题第二十八章 锐角三角函数全章测试
一、选择题
1．Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝4，则AC的长为( )
A．6 B． C． D．
2．⊙O的半径为R，若∠AOB＝ ，则弦AB的长为( )
A． B．2Rsin C． D．Rsin
3．△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，则△ABC的面积为( )
A． B．12 C． D．
4．若某人沿倾斜角为 的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是( )
A． B．100sin m C． D．100cos m
5．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m，路基高为4m，则路基的下底宽应为( )
A．15m B．12m C．9m D．7m
6．P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B点，若∠APB＝2 ，⊙O的半径为R，则AB的长为( )
A． B． C． D．
7．在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，若CB＝a，∠B＝ ，则AD等于( )
A．asin2 B．acos2 C．asin cos D．asin tan
8．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦AD、BC相交于P点，那么的值为( )
A．sin∠APC B．cos∠APC C．tan∠APC D．
9．如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离(CE的长度)为8m，测得旗杆的仰角∠ECA为30°，旗杆底部的俯角∠ECB为45°，那么，旗杆AB的高度是( )
第9题图
A． B．
C． D．
10．如图所示，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l1＝5.2m、l2＝6.2m、l3＝7.8m、l4＝10m，四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用( )
第10题图
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
二、填空题
11．在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，若D是AC边中点，则tan∠DBC的值为______．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝10，若△ABC的面积为，则∠A＝______度．
13．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若则cos∠ADC＝______．
第13题图
14．如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度，拱形的半径R＝30m，则拱形的弧长为______．
第14题图
15．如图所示，半径为r的圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动，当⊙O的移动到与AC边相切时，OA的长为______．
第15题图
三、解答题
16．已知：如图，AB＝52m，∠DAB＝43°，∠CAB＝40°，求大楼上的避雷针CD的长．(精确到0.01m)
17．已知：如图，在距旗杆25m的A处，用测角仪测得旗杆顶点C的仰角为30°，已知测角仪AB的高为1.5m，求旗杆CD的高(精确到0.1m)．
18．已知：如图，△ABC中，AC＝10，求AB．
19．已知：如图，在⊙O中，∠A＝∠C，求证：AB＝CD(利用三角函数证明)．
20．已知：如图，P是矩形ABCD的CD边上一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，AC＝15，BC＝8，求PE＋PF．
21．已知：如图，一艘渔船正在港口A的正东方向40海里的B处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C岛运送一批物资到A港，已知C岛在A港的北偏东60°方向，且在B的北偏西45°方向．问该船从B处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A港(精确到1小时)(该船在C岛停留半个小时)
22．已知：如图，直线y＝－x＋12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．
(1)求AE的长及sin∠BEC的值；
(2)求△CDE的面积．
23．已知：如图，斜坡PQ的坡度i＝1∶，在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，顶端A处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30°，以O点为原点，OA所在直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴建立直角坐标系．设水喷到斜坡上的最低点为B，最高点为C．
(1)写出A点的坐标及直线PQ的解析式；
(2)求此抛物线AMC的解析式；
(3)求｜xC－xB｜；
(4)求B点与C点间的距离．
答案与提示
第二十八章 锐角三角函数全章测试
1．B． 2．A． 3．A． 4．B． 5．A．
6．C． 7．C． 8．B． 9．D． 10．B．
11． 12．60． 13． 14．20 m． 15．
16．约4.86 m．
17．约15.9m．
18．AB＝24．提示：作AD⊥BC于D点．
19．提示：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F．设⊙O半径为R，∠A＝∠C＝ ．
则AB＝2Rcos ，CD＝2Rcos ，∴AB＝CD．
20．提示：设∠BDC＝∠DCA＝ ．PE＋PF＝PCsin ＋PDsin ＝CDsin ．
21．约3小时，提示：作CD⊥AB于D点．设CD＝x海里．
22．(1)提示：作CF⊥BE于F点，设AE＝CE＝x，则EF 由CE2＝CF2＋EF2得
(2)提示：
设AD＝y，则CD＝y，OD＝12－y，由OC2＋OD2＝CD2可得
23．(1)A(0，1)，
(2)
(3)．
(4)第1页
2011全国各地中考数学100套真题分类汇编
第29章锐角三角函数与特殊角
一、选择题
1. （2011甘肃兰州，4，4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为
A． B． C． D．
【答案】B
2. （2011江苏苏州，9,3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于
A. B. C. D.
【答案】B
3. （2011四川内江，11，3分）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=，则△ABC的面积为
A． B．15 C． D．
【答案】C
4. （2011山东临沂，13，3分）如图，△ABC中，cosB＝，sinC＝，则△ABC的面积是（ ）
A． B．12 C．14 D．21
【答案】A
5. （2011安徽芜湖，8，4分）如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为( ).
A． B． C． D．
【答案】C
6. （2011山东日照，10，4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（ ）[]
（A）tanA·cotA=1 （B）sinA=tanA·cosA
（C）cosA=cotA·sinA （D）tan2A+cot2A=1
【答案】D
7. （2011山东烟台，9,4分）如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（ ）
A. △ABC是直角三角形 B. △ABC是等腰三角形
C. △ABC是等腰直角三角形 D. △ABC是锐角三角形
【答案】C
8. (2011 浙江湖州，4，3)如图，已知在Rt△ABC中，∠ C＝90°，BC＝1，AC=2，则tanA的值为
A．2 B． C． D．
【答案】B
9. （2011浙江温州，5，4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB＝13，BC＝5，则sinA的值是( )
A． B． C． D．
【答案】A
10．（2011四川乐山2，3分）如图，在4×4的正方形网格中，tanα=
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
11. （2011安徽芜湖，8,4分）如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为( ).
A． B． C． D．
【答案】B
12. （2011湖北黄冈，9，3分）cos30°=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
13. （2011广东茂名，8，3分）如图，已知：，则下列各式成立的是
A．sinA＝cosA B．sinA>cosA C．sinA>tanA D．sinA【答案】B
14. (20011江苏镇江,6,2分)如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.若AC=,BC=2,则sin∠ACD的值为( )
A. B. C. D.
答案【 A】
15. （2011湖北鄂州，9，3分）cos30°=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
16. （2011湖北荆州，8，3分）在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则的值是
A．　　　B．　　　C．　　　D．　　
【答案】D
17. （2011湖北宜昌，11，3分）如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=,则边BC 的长为( ).
A. 30cm B. 20cm C.10cm D. 5cm
（第11题图）
【答案】C
18.
二、填空题
1. （2011江苏扬州，13,3分）如图，C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB=
【答案】105°
2. （2011山东滨州，16，4分）在等腰△ABC中，∠C=90°则tanA=________.
【答案】1
3. （2011江苏连云港，14，3分）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.
【答案】
4. （ 2011重庆江津， 15，4分）在Rt△ABC中,∠C=90 ,BC=5,AB=12,sinA=_________.
【答案】·
5. （2011江苏淮安，18，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB1C1，B1C1交AC于点D，如果AD=，则△ABC的周长等于 .
【答案】
6. (2011江苏南京，11，2分)如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于_________．
【答案】
7. （2011江苏南通，17，3分）如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，又CD＝60m，则河宽AB为 ▲ m（结果保留根号）.
【答案】30.
8. （2011湖北武汉市，13，3分）sin30°的值为_____．
【答案】
9. (20011江苏镇江,11,2分)∠α的补角是120°,则∠α=______,sinα=______.
答案:60°，
10．（2011贵州安顺，14，4分）如图，点E(0，4)，O(0，0)，C(5，0)在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦，则tan∠OBE= ．
【答案】
11.
12.
三、解答题
1. （2011安徽芜湖，17（1），6分）计算：.
【答案】
解：解: 原式 ……………………………………………4分
…………………………………6分
2. （2011四川南充市，19，8分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，⊿BCE沿BE折叠为⊿BFE,点F落在AD上.
(1)求证：⊿ABE∽⊿DFE;(2)若sin∠DFE=,求tan∠EBC的值.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠D=∠C=90°
∵⊿BCE沿BE折叠为⊿BFE
∴∠BFE=∠C=90°
∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90°
又∠AFB+∠ABF=90°
∴∠ABF=∠DFE
∴⊿ABE∽⊿DFE
(2)解：在Rt⊿DEF中，sin∠DFE==
∴设DE=a,EF=3a,DF==2a
∵⊿BCE沿BE折叠为⊿BFE
∴CE=EF=3a,CD=DE+CE=4a,AB=4a, ∠EBC=∠EBF
又由（1）⊿ABE∽⊿DFE，∴===
∴tan∠EBF==
tan ∠EBC=tan∠EBF=
3. （2011甘肃兰州，21，7分）已知α是锐角，且sin(α+15°)=。
计算的值。
【答案】由sin(α+15°)=得α=45°
原式=
4. （2011甘肃兰州，26，9分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的。根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°= 。
（2）对于0°（3）如图②，已知sinA，其中∠A为锐角，试求sadA的值。
【答案】（1）1
（2）0（3）
设AB=5a，BC=3a，则AC=4a
如图，在AB上取AD=AC=4a，作DE⊥AC于点E。
则DE=AD·sinA=4a·=，AE= AD·cosA=4a·=
CE=4a－=
∴sadA
5. （2011广东东莞，19，7分）如图，直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C=30°．折叠纸片使BC经过点D．点C落在点E处，BF是折痕，且BF= CF =8．
（l）求∠BDF的度数；
（2）求AB的长．
【解】（1）∵BF=CF，∠C=，
∴∠FBC=，∠BFC=
又由折叠可知∠DBF=
∴∠BDF=
（2）在Rt△BDF中，
∵∠DBF=，BF=8
∴BD=
∵AD∥BC，∠A=
∴∠ABC=
又∵∠FBC=∠DBF=
∴∠ABD=
在Rt△BDA中，
∵∠AVD=，BD=
∴AB=6．
6. （2011湖北襄阳，19，6分）
先化简再求值：，其中.
【答案】
原式 2分
当时， 3分
原式. 6分
A
B
C
C’
B’
B
A
C
D
E
(第11题)
B
A
M
O
第14题图
A
A
B
C
C
B
图①
图②
A
C
B
D
E(共10张PPT)
解直角三角形 (2)
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
1.解直角三角形
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
2.解直角三角形的依据
(2)两锐角之间的关系:
∠ A＋ ∠ B＝ 90 ；
(3)边角之间的关系:
Ａ
Ｃ
Ｂ
a
b
c
tanA＝
a
b
sinA＝
a
c
cosA＝
b
c
(必有一边)
问题 一
星期天，小华去图书超市购书，因他所买书类在二楼，故他乘电梯上楼，已知电梯AB段的长度8 m，倾斜角为300，则二楼的高度（相对于底楼）是__________m
A
B
C
300
4
问题二：
我校准备在学校东面建①②两幢学生公寓，已知每幢公寓的高为15米，太阳光线AC的入射角∠ACD=550，为使②公寓的第一层起照到阳光，现请你设计一下，两幢公寓间距BC至少是( ) 米。
A、15sin550 B、15cos550 C、15tan550 D、15sin350
C
问题三：
一次大风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面AC的夹角为450，则这棵大树高是 米.
（4 +4）
2
问题四：
如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长为10m,请你求出大树的高AB的长.
A
B
C
30°
地面
太阳光线
60°
10
D
问题五：
2003年10月15日“神舟”5号载人飞船发射成功，当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行，如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km， 取3.142，结果保留整数）？
问题六： 2005年“麦莎” 台风中心从我市的正东方向300km处向北偏西60度方向以25km/h移动，距台风中心250km的范围内均受台风的影响。请问此时，我市会受到台风影响吗？若受影响，则影响的时间有多长？
分析: 若AD≤250km，则受台风影响；
若AD＞250km，则不会受台风影响。
E
F
解：会受到影响。
以A为圆心，250km长为半径画圆交直线BC于E、F，
则DF=DE=200km，
∴ （小时）
答：影响时间为16小时。
250
连结AF，AE，
D
C
则∠ADB=900，AB=300km，∠ABD=300，
∴AD=150km，
作AD⊥BC于D，
∵150<250，∴会受到台风影响
　　　这节课你有何收获，
能与大家分享、交流你的感受吗？
作业
1、P92习题28.2第3、4、5题；
2、《同步练习》P56-58（三）（四）第二十八章 锐角三角函数
测试1 锐角三角函数定义
学习要求
理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值．
课堂学习检测
一、填空题
1．如图所示，B、B′是∠MAN的AN边上的任意两点，BC⊥AM于C点，B′C′⊥AM于C′点，则△B'AC′∽______，从而，又可得
①______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比是一个______值；
②______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比也是一个______；
③______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比还是一个______．
第1题图
2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
第2题图
①＝______， ＝______；
②＝______， ＝______；
③＝______， ＝______．
3．因为对于锐角 的每一个确定的值，sin 、cos 、tan 分别都有____________与它______，所以sin 、cos 、tan 都是____________．又称为 的____________．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝1，b＝3，则c＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．
6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，若a＝16，c＝30，则b＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinC＝______，cosC＝______，tanC＝______．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则∠B＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．
二、解答题
8．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．
求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．
9．已知Rt△ABC中，求AC、AB和cosB．
综合、运用、诊断
10．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．
DE∶AE＝1∶2．
求：sinB、cosB、tanB．
11．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，
求：AB及OC的长．
12．已知：⊙O中，OC⊥AB于C点，AB＝16cm，
(1)求⊙O的半径OA的长及弦心距OC；
(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．
13．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，
(1)求AB边上的高CD；
(2)求△ABC的面积S；
(3)求tanB．
14．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．
拓展、探究、思考
15．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，按要求填空：
(1)
∴______；
(2)
∴b＝______，c＝______；
(3)
∴a＝______，b＝______；
(4)∴______，______；
(5) ∴______，______；
(6)∵3，∴______，______．
16．已知：如图，在直角坐标系xOy中，射线OM为第一象限中的一条射线，A点的坐标为(1，0)，以原点O为圆心，OA长为半径画弧，交y轴于B点，交OM于P点，作CA⊥x轴交OM于C点．设∠XOM＝ ．
求：P点和C点的坐标．(用 的三角函数表示)
17．已知：如图，△ABC中，∠B＝30°，P为AB边上一点，PD⊥BC于D．
(1)当BP∶PA＝2∶1时，求sin∠1、cos∠1、tan∠1；
(2)当BP∶PA＝1∶2时，求sin∠1、cos∠1、tan∠1．
测试2 锐角三角函数
学习要求
1．掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角．
2．初步了解锐角三角函数的一些性质．
课堂学习检测
一、填空题
1．填表．
锐角 30° 45° 60°
sin
cos
tan
二、解答题
2．求下列各式的值．
(1)
(2)tan30°－sin60°·sin30°
(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°
(4)
3．求适合下列条件的锐角 ．
(1) (2)
(3) (4)
4．用计算器求三角函数值(精确到0.001)．
(1)sin23°＝______； (2)tan54°53′40″＝______．
5．用计算器求锐角 (精确到1″)．
(1)若cos ＝0.6536，则 ＝______；
(2)若tan(2 ＋10°31′7″)＝1.7515，则 ＝______．
综合、运用、诊断
6．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，
求此菱形的周长．
7．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．
求：sin∠ACB的值．
8．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至D点，使AD＝AB．求：
(1)∠D及∠DBC；
(2)tanD及tan∠DBC；
(3)请用类似的方法，求tan22.5°．
9．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，求：
(1)∠BAD；
(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．
10．已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，，求：sin∠CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．
拓展、探究、思考
11．已知：如图，∠AOB＝90°，AO＝OB，C、D是上的两点，∠AOD＞∠AOC，求证：
(1)0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；
(2)1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；
(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______；
(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．
12．已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF＞∠AOE．
(1)求证：tan∠AOF＞tan∠AOE；
(2)锐角的正切函数值随角度的增大而______．
13．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，求证：
(1)sin2A＋cos2A＝1；
(2)
14．化简：(其中0°＜ ＜90°)
15．(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①sin30°______2sin15°cos15°； ②sin36°______2sin18°cos18°；
③sin45°______2sin22.5°cos22.5°； ④sin60°______2sin30°cos30°；
⑤sin80°______2sin40°cos40°； ⑥sin90°______2sin45°cos45°．
猜想：若0°＜ ≤45°，则sin2 ______2sin cos ．
(2)已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2 ．请根据图中的提示，利用面积方法验证你的结论．
16．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于H点．在底边BC保持不变的情况下，当高AD变长或变短时，△ABC和△HBC的面积的积S△ABC·S△HBC的值是否随着变化 请说明你的理由．
测试3 解直角三角形(一)
学习要求
理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型．
课堂学习检测
一、填空题
1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，
第1题图
①三边之间的等量关系：
__________________________________．
②两锐角之间的关系：
__________________________________．
③边与角之间的关系：
______； _______；
_____； ______．
④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．
第④小题图
在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．
CD2＝_________；AC2＝_________；
BC2＝_________；AC·BC＝_________．
⑤直角三角形的主要线段(如图所示)．
第⑤小题图
直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________，斜边的中点是_________．
若r是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆半径，则r＝_________＝_________．
⑥直角三角形的面积公式．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
S△ABC＝_________．(答案不唯一)
2．关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_________(其中至少_________)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_________或斜边和_________)及已知一边和一个锐角(_________和一个锐角或_________和一个锐角)
3．填写下表：
已知条件 解法
一条边和 斜边c和锐角∠A ∠B＝______，a＝______，b＝______
一个锐角 直角边a和锐角∠A ∠B＝______，b＝______，c＝______
两条边 两条直角边a和b c＝______，由______求∠A，∠B＝______
直角边a和斜边c b＝______，由______求∠A，∠B＝______
二、解答题
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°．
(1)已知：a＝35，，求∠A、∠B，b；
(2)已知：，，求∠A、∠B，c；
(3)已知：，，求a、b；
(4)已知：求a、c；
(5)已知：∠A＝60°，△ABC的面积求a、b、c及∠B．
综合、运用、诊断
5．已知：如图，在半径为R的⊙O中，∠AOB＝2 ，OC⊥AB于C点．
(1)求弦AB的长及弦心距；
(2)求⊙O的内接正n边形的边长an及边心距rn．
6．如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB、BC两段)，其中CC′＝
BB′＝3.2m．结合图中所给的信息，求两段楼梯AB与BC的长度之和(结果保留到0.1m)．(参考数据：sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82)
7．如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，台阶面的宽为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡的起点为C，求AC的长度(精确到1cm)．
拓展、探究、思考
8．如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m，冬天太阳光与水平面的夹角为30°．
(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米 (保留根号)
(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD＝21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层
9．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地多少距离
10．已知：如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米 (保留整数)
测试4 解直角三角形(二)
学习要求
能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形．
课堂学习检测
1．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．
求AB及BC的长．
2．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．
3．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．
求AB及BC的长．
4．已知：如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6cm．求AD的长．
综合、运用、诊断
5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．
6．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少 (精确到0.1海里，)
7．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离，求点B到地面的垂直距离BC．
8．已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC＝20m，斜坡坡面上的影长CD＝8m，太阳光线AD与水平地面成26°角，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB的高度(精确到1m)．
9．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走400m，到达一个景点B，再由B地沿山坡BC行走320米到达山顶C，如果在山顶C处观测到景点B的俯角为60°．求山高CD(精确到0.01米)．
10．已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m长的竹竿，测得竹竿影长为1m，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m．问路灯高度为多少米
11．已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m，到达目的地C点．求
(1)A、C两地之间的距离；
(2)确定目的地C在营地A的什么方向
12．已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m的河堤．大堤高5m，坝顶宽4m，迎水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m，背水坡坡度改为1∶1.5．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石
拓展、探究、思考
13．已知：如图，在△ABC中，AB＝c，AC＝b，锐角∠A＝ ．
(1)BC的长；
(2)△ABC的面积．
14．已知：如图，在△ABC中，AC＝b，BC＝a，锐角∠A＝ ，∠B＝ ．
(1)求AB的长；
(2)求证：
15．已知：如图，在Rt△ADC中，∠D＝90°，∠A＝ ，∠CBD＝ ，AB＝a．用含a及 、 的三角函数的式子表示CD的长．
16．已知：△ABC中，∠A＝30°，AC＝10，，求AB的长．
17．已知：四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于E点，AC＝a，BD＝b，∠BEC＝ (0°＜ ＜90°)，求此四边形的面积．
测试5 综合测试
1．计算．
(1) (2)
2．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AB＝32，BC＝12．
求：sin∠ACD及AD的长．
3．已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，AB＝2m，BD＝m－1，
(1)用含m的代数式表示BC；
(2)求m的值；
4．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，BE＝2EC，DM⊥AE于M点．求DM的长．
5．已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝90°，∠ABD＝75°，∠DBC＝
30°，AB＝2a．求BC的长．
6．已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，．AB＝3，求BC的长．
7．已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC＝m，锐角∠A＝ ，
(1)求⊙O的半径R；
(2)求△ABC的面积的最大值．
8．已知：如图，矩形纸片ABCD中，BC＝m，将矩形的一角沿过点B的直线折叠，使A点落在DC边上，落点记为A′，折痕交AD于E，若∠A′BE＝ ．
求证：
答案与提示
第二十八章 锐角三角函数
测试1
1．△BAC，AB，AC′．
①，对边，斜边，固定；
②，邻边，斜边，固定值；
③，对边，邻边，固定值．
2．①∠A的对边，∠B的对边，
②∠A的邻边，∠B的邻边，
③∠A的对边，∠B的邻边，
3．唯一确定的值，对应， 的函数，锐角三角函数．
4．
5．
6．
7．
8．
9．
10．
11．AB＝2AC＝2AO·sin∠AOC＝24cm，
12．
13．(1)CD＝AC·sinA＝4cm；(2)
(3)
14．
15．(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
16．P(cos ，sin )，C(1，tan )．提示：作PD⊥x轴于D点．
17．(1)
(2)
提示：作AE⊥BC于E，设AP＝2．
测试2
1．
锐角 30° 45° 60°
sin
cos
tan 1
2．(1)0； (2) (3) (4)
3．(1) ＝60°；(2) ＝30°；(3)22.5°；(4)46°．
4．(1)0.391；(2)1.423．
5．(1)49°11＇11″；(2)24°52＇44″．
6．104cm．提示：设DE＝12xcm，则得AD＝13xcm，AE＝5xcm．利用BE＝16cm．
列方程8x＝16．解得x＝2．
7．提示：作BD⊥CA延长线于D点．
8．(1)∠D＝15°，∠DBC＝75°；
(2) (3)
9．(1)15°；
(2)
10．提示：作DE∥BA，交AC于E点，或延长AD至F，使DF＝
AD，连结CF．
11．提示：作CE⊥OA于E，作DF⊥OA于F． (3)增大， (4)减小．
12．(2)增大．
13．提示：利用锐角三角函数定义证．
14．原式
15．(1)①～⑥略．sin2 ＝2sin cos ．
(2)
∴sin2 ＝2sin cos ．
16．不发生改变，设∠BAC＝2 ，BC＝2m，则
测试3
1．①a2＋b2＝c2； ②∠A＋∠B＝90°； ③
④AD·BD，AD·AB，BD·BA，AB·CD：
⑤一半，它的外心，(或)
⑥或(h为斜边上的高)或或或
(r为内切圆半径)
2．两个元素，有一个是边，直角边，一条直角边，斜边，一条直角边．
3．90°－∠A，sinA，cosA；
4．(1)∠A＝45°，∠B＝45°，b＝35；
(2)∠A＝60°，∠B＝30°，c＝4；
(3)
(4)
(5)
5．(1)AB＝2R·sin ，OC＝R·cos ；
(2)
6．AB≈6.40米，BC≈5.61米，AB＋BC≈12.0米．
7．约为222cm．
8．(1)米．
(2)4层，提示：设甲楼应建x层则
9．
10．6米．
测试4
1．
2．cm．
3．提示：作CD⊥AB延长线于D点．
4．cm．
5．山高
6．约为27.3海里．
7．．
8．约为17m，提示：分别延长AD、BC，设交点为E，作DF⊥CE于F点．
9．约477.13m．
10．10m．
11．(1)AC＝1 000m； (2)C点在A点的北偏东30°方向上．
12．面积增加24m2，需用240 000m2土石．
13．(1)提示：作CD⊥AB于D点，则CD＝b·sin ，
AD＝b·cos ．再利用BC2＝CD2＋DB2的关系，求出BC．
(2)
14．(1)AB＝b·cos ＋a·cos . 提示：作CD⊥AB于D点．
(2)提示：由bsin ＝CD＝asin 可得bsin ＝asin ，从而．
15．提示：AB＝AD－BD＝CD tan(90°－ )－CD tan(90°－ )
＝CD〔tan(90°－ )－tan(90°－ )〕，
或
16．或提示：AB边上的高CD的垂足D点可能在AB边上(这时AB＝
，也可能在AB边的延长线上(这时)．
17．
测试5
1．(1) (2)
2．
3．(1)或 (2)
4．
5．．提示：作BE⊥AD于E点．
6．BC＝6．提示：分别延长AB、DC，设它们交于E点．
7．(1)提示：作⊙O的直径BA＇，连结A＇C．
(2)提示：当A点在优弧BC上且AO⊥BC时，△ABC有面积的最大值．
8．提示：
第二十八章 锐角三角函数全章测试
一、选择题
1．Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝4，则AC的长为( )
A．6 B． C． D．
2．⊙O的半径为R，若∠AOB＝ ，则弦AB的长为( )
A． B．2Rsin C． D．Rsin
3．△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，则△ABC的面积为( )
A． B．12 C． D．
4．若某人沿倾斜角为 的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是( )
A． B．100sin m C． D．100cos m
5．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m，路基高为4m，则路基的下底宽应为( )
A．15m B．12m C．9m D．7m
6．P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B点，若∠APB＝2 ，⊙O的半径为R，则AB的长为( )
A． B． C． D．
7．在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，若CB＝a，∠B＝ ，则AD等于( )
A．asin2 B．acos2 C．asin cos D．asin tan
8．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦AD、BC相交于P点，那么的值为( )
A．sin∠APC B．cos∠APC C．tan∠APC D．
9．如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离(CE的长度)为8m，测得旗杆的仰角∠ECA为30°，旗杆底部的俯角∠ECB为45°，那么，旗杆AB的高度是( )
第9题图
A． B．
C． D．
10．如图所示，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l1＝5.2m、l2＝6.2m、l3＝7.8m、l4＝10m，四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用( )
第10题图
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
二、填空题
11．在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，若D是AC边中点，则tan∠DBC的值为______．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝10，若△ABC的面积为，则∠A＝______度．
13．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若则cos∠ADC＝______．
第13题图
14．如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度，拱形的半径R＝30m，则拱形的弧长为______．
第14题图
15．如图所示，半径为r的圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动，当⊙O的移动到与AC边相切时，OA的长为______．
第15题图
三、解答题
16．已知：如图，AB＝52m，∠DAB＝43°，∠CAB＝40°，求大楼上的避雷针CD的长．(精确到0.01m)
17．已知：如图，在距旗杆25m的A处，用测角仪测得旗杆顶点C的仰角为30°，已知测角仪AB的高为1.5m，求旗杆CD的高(精确到0.1m)．
18．已知：如图，△ABC中，AC＝10，求AB．
19．已知：如图，在⊙O中，∠A＝∠C，求证：AB＝CD(利用三角函数证明)．
20．已知：如图，P是矩形ABCD的CD边上一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，AC＝15，BC＝8，求PE＋PF．
21．已知：如图，一艘渔船正在港口A的正东方向40海里的B处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C岛运送一批物资到A港，已知C岛在A港的北偏东60°方向，且在B的北偏西45°方向．问该船从B处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A港(精确到1小时)(该船在C岛停留半个小时)
22．已知：如图，直线y＝－x＋12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．
(1)求AE的长及sin∠BEC的值；
(2)求△CDE的面积．
23．已知：如图，斜坡PQ的坡度i＝1∶，在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，顶端A处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30°，以O点为原点，OA所在直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴建立直角坐标系．设水喷到斜坡上的最低点为B，最高点为C．
(1)写出A点的坐标及直线PQ的解析式；
(2)求此抛物线AMC的解析式；
(3)求｜xC－xB｜；
(4)求B点与C点间的距离．
答案与提示
第二十八章 锐角三角函数全章测试
1．B． 2．A． 3．A． 4．B． 5．A．
6．C． 7．C． 8．B． 9．D． 10．B．
11． 12．60． 13． 14．20 m． 15．
16．约4.86 m．
17．约15.9m．
18．AB＝24．提示：作AD⊥BC于D点．
19．提示：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F．设⊙O半径为R，∠A＝∠C＝ ．
则AB＝2Rcos ，CD＝2Rcos ，∴AB＝CD．
20．提示：设∠BDC＝∠DCA＝ ．PE＋PF＝PCsin ＋PDsin ＝CDsin ．
21．约3小时，提示：作CD⊥AB于D点．设CD＝x海里．
22．(1)提示：作CF⊥BE于F点，设AE＝CE＝x，则EF 由CE2＝CF2＋EF2得
(2)提示：
设AD＝y，则CD＝y，OD＝12－y，由OC2＋OD2＝CD2可得
23．(1)A(0，1)，
(2)
(3)．
(4)第28章 《锐角三角函数》
一、选择题
1.
2．在Rt△ABC中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（ ）
A．sinA = sinB B．cosA=sinB C．sinA=cosB D．∠A+∠B=90°
3．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ）
A．10 B．2 C．10或2 D．无法确定
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，当已知∠A和a时，求c，应选择的关系式是（ ）
A．c = B．c = C．c = a·tanA D．c =
5、的值等于（ ）
A. B. C. D. 1
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=3，AC等于10，则S△ABC等于( )
A. 3 B. 300 C. D. 15
7．当锐角α>30°时，则cosα的值是（ ）
A．大于 B．小于 C．大于 D．小于
8．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ）
A．1米 B．米 C．2 D．
9．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（ ）
（A）4 （B）5 （C） （D）
10．已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AC等于（ ）
A．6 B． C．10 D．12
二、填空题
11．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______．
12．若sin28°=cosα，则α=________．
13．已知△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______．
14．某坡面的坡度为1：，则坡角是_______度．
15．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，sinA＝，则BC的长为_______cm.
16.如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进60米到点，又测得仰角为，则该高楼的高度大约为
A.82米 B.163米 C.52米 D.70米
17．如图，小鸣将测倾器安放在与旗杆AB底部相距6m的C处，量出测倾器的高度CD＝1m，测得旗杆顶端B的仰角＝60°，则旗杆AB的高度为　　　　　　　．（计算结果保留根号）
（16题） (17题)
三、解答题
18．由下列条件解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C=90°：
（1）已知a=4，b=8， （2）已知b=10，∠B=60°．
（3）已知c=20，∠A=60°. (4) （2）已知a=5，∠B=35°
19．计算下列各题．
（1）sin230°+cos245°+sin60°·tan45°； （2）+ sin45°
四、解下列各题
20．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？
21．如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C处架桥．经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）
22. 如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。
答案：
1．D 2．A 3．C [点拨]长为8的边即可能为直角边，也可能为斜边．4．A [点拨]sinA=，所以c=．
5．A 6．D 7．D [点拨]余弦值随着角度的增大而减小，α>30°，cos30°=，所以cosa<．
8．A 9．B 10．A [点拨]tanA=，AC==6．
11． 4+ [点拨]原式=2×+2×+3×1=4+． 12． 62°
13． [点拨]BC===12，tanA==．
14． 30° [点拨]坡角α的正切tanα=，所以α=30°．
15． 8 16. 82米 17. （6＋1）m
18．解：（1）c= =4；
（2）==，c= ,
∠A=90°-∠B=90°-60°=30°
（3）a = c×sinA=20×=10，b=c×cos60°=10×=5．∠B=90°-∠A=90°-60°=30°
19．解：（1）原式=（）2+（）2+××1=++=+
（2）原式=+=1+
20．第一次观察到的影子长为5×cot45°=5（米）；第二次观察到的影子长为5×cot30°=5（米）．
两次观察到的影子长的差是5-5米．
21．过点C作CD⊥AB于点D．
CD就是连接两岸最短的桥．设CD=x米．
在直角三角形BCD中，∠BCD=45°，所以BD=CD=x．
在直角三角形ACD中，∠ACD=30°，所以AD=CD×tan∠ACD=x·tan30°=x．
因为AD+DB=AB，所以x+x=3，x=≈1.9（米）
22． 解：
（第7题）(共28张PPT)
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.1 锐角三角函数（1）
——正弦、余弦
A
B
C
┌
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
角：∠A+ ∠B ＝90°
边：AC2 + BC2 = AB2
勾股定理
在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？
实践与探索
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35，求AB。
根据：“在直角三角形中， 30°角所对的边等于斜边的一半”
即：
可得AB＝2BC＝70米
也就是说需要准备70米长的水管
综上可知：在一个Rt △ABC中，∠C＝90°，
一般地，当∠ A取其它一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？
当∠A＝30°， ∠A 的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；
当∠ A＝45°，∠A 的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；
这也就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是一个固定值。
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的 正弦，记作 sinA。
例如：当∠A＝30°， sinA＝ sin 30°=
当∠A＝45°， sinA＝ sin 45°=
一个角的正弦表示定值、比值、正值。
判断：Rt △ABC中，∠C＝90°，sinA= ，则 b = 4，c = 5 。（ ）
×
sin 30°=
sin 45°=
sin 60°=

A
B
C
┌
思考：锐角A的正弦值可以等于1吗？为什么？
可以大于1吗？
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一的确定的值与它对应，所以sinA是A的函数。
不同大小的两个锐角的正弦值可能相等吗？
已知sinA＝
，那么锐角A等于_______。
60°
锐角A满足2sin（A－15 °）＝1，那么∠A＝____.
45°
当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其邻边与斜边的比值也是惟一确定的吗？
想一想
比一比
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的 余弦，记作 cosA。
sin 30°=
sin 45°=
sin 60°=
cos 30°=
cos 45°=
cos 60°=
特殊角的正弦、余弦函数值
sinA =
AB
BC
A
B
C
┌
cosB =
AB
BC
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
∠A+ ∠B ＝90°
sinA = cos(90 °－A）= cosB =
AB
BC
(1)
(2) 0＜sinA＜1， 0＜cosB＜1
sin2A + cosA2 = 1
cos2A=( )2
AB
AC
(3) sin2A=( )2
AB
BC
判断：① sinA＋ sinB = sin(A+B) ( )
② cosA＋cosB = cos(A+B) ( )
×
×
1.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.
指出∠A和∠B的对边、邻边.
试一试：
A
B
C
D
(1) sinA =
=
AC
( )
BC
( )
(3) sinB=
=
AB
( )
CD
( )
CD
AB
BC
AC
(2) cosA =
=
AC
( )
AC
( )
(4) cosB=
=
AB
( )
BD
( )
AD
AB
BC
CD
2.根据下面图中所给出的条件，求锐角A 、B的正弦、余弦值。
A
B
C
1
3
①
C
B
A
3
4
②
试一试：
3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定
A
B
C
┌
C
试一试：
=
a
c
sinA=
小结 回顾
在Rt△ABC中
及时总结经验，要养成积累方法和经验的良好习惯！
=
b
c
cosA=
定义中应该注意的几个问题:
回味 无穷
1、sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2、sinA、 cosA是一个比值（数值）。
3、sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
课时作业本
第1、2课时
P71—P73
课后作业
独立完成作业的良好习惯，是成长过程中的良师益友。(共16张PPT)
回顾与思考
1.在Rt△ABE中，∠C=90°，BC= a,AC=b,AB=c,则 SinA＝ ，sinB= ，cosA= ， cosB= ， tanA= ， tanB= 。
2.三角形由哪些元素组成 你能说出它们具有的性质吗
B
C
A
a
c
b
问题： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长．
问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
A
B
α
C
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数
A
B
C
α
在图中的Rt△ABC中，
（1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
探究
A
B
C
α
6
=75°
在图中的Rt△ABC中，
（2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
探究
A
B
C
α
6
2.4
A
B
a
b
c
C
解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程．
（2）两锐角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
（1）三边之间的关系
（勾股定理）
A
B
a
b
c
C
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
解这个直角三角形
A
B
C
例2 如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形（精确到0.1）
A
B
C
a
b
c
20
35°
你还有其他方法求出c吗？
根据以上条件可以求出塔身中心线与垂直中心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？
如图设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m
A
B
C
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）a = 30 , b = 20 ;
练习
A
B
C
b=20
a=30
c
(2) ∠B＝72°，c = 14.
名言： 聪明在于学习，天才在于积累。……所谓天才，实际上是依靠学习。
_____华罗庚课题 锐角三角函数——正弦
一、教学目标
1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算
3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
二、教学重点、难点
重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．
难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
三、教学过程
（一）复习引入
操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片）
小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。
你想知道小明怎样算出的吗？
师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度；
实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度。
这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法。
下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦
（二）实践探索
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
分析：
问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求AB
根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即
可得AB=2BC=70m.即需要准备70m长的水管
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90o，∠A=45o，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？
分析：在Rt△ABC 中，∠C=90o，由于∠A=45o，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得 ，故
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于.
一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C` =90o，∠A=∠A`=α，那么与有什么关系
分析：由于∠C=∠C` =90o，∠A=∠A`=α，所以Rt△ABC∽Rt△A`B`C`，
，即
结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值。
认识正弦
如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c。
师：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。记作sinA。
板书：sinA＝ （举例说明：若a=1,c=3,则sinA=）
注意：1、sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体；
2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF
3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。
提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？
（三）教学互动
例1如图,在中, ,求sin和sin的值.
解答按课本
（四）巩固再现
1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是﹙ ﹚
A． B． C． D．
2．如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（ ）
A． 　　B． 　　　C． 　　D．
3．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是( )
A． B．3 C． D．
四、布置作业
课题 锐角三角函数——余弦和正切
一、教学目标
1、使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．
2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．
二、教学重点、难点
重点：理解余弦、正切的概念
难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算
三、教学过程
（一）复习引入
1、口述正弦的定义
2、（1）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．
（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（ ）
A． B． C． D．
（二）实践探索
一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C` =90o，∠B=∠B`=α，那么有什么关系？
分析：由于∠C=∠C` =90o，∠B=∠B`=α，所以Rt△ABC∽Rt△，
，即 结论：在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，把锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦，记作cosB即，把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA,即，锐角A的正弦,余弦,正切都叫做∠A的锐角三角函数.
（三）教学互动
例2:如图,在中, ,BC=6,求cos和tan的值.
解:∵,∴又
例3:(1)如图(1), 在中，,,,求的度数.
(2)如图(2),已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍,求.
（四）巩固再现
1.?在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（?）
A．?B．?C．?D．
本题主要考查锐解三角函数的定义，同学们只要依据
2. 在中，∠C＝90°，如果那么的值为（?）
A．?B．?C．?D．
分析 本题主要考查锐解三角函数及三角变换知识。其思路是：依据条件
3、如图：P是∠的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4）， 则cos＝_____________.
4、P81 练习1、2、3
四、布置作业
P85 1
课题 锐角三角函数间的关系
一、教学目标
1、使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系．
2、使学生了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系
3、使学生了解正切与正弦、余弦的关系
4、使学生了解三角函数值随锐角的变化而变化的情况
二、教学重点、难点
重点：三个锐角三角函数间几个简单关系
难点：能独立根据三角函数的定义推导出三个锐角三角函数间几个简单关系
三、教学过程
（一）复习引入
叫学生结合直角三角形说出正弦、余弦、正切的定义
（二）实践探索
1、从定义可以看出与有什么关系？与呢？满足这种关系的与又是什么关系呢？
2、利用定义及勾股定理你还能发现与的关系吗？
3、再试试看与和存在特殊关系吗？经过教师引导学生探索之后总结出如下几种关系：
（1）若 那么=或=
（2）（3）
4、在正弦中它的值随锐角的增大而增大还是随锐角的增大而减少？为什么？余弦呢？正切呢？
通过一番讨论后得出：
（1）锐角的正弦值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)；
（2）锐角的余弦值随角度的增加(或减小)而减小(或增加)；
（3）锐角的正切值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)。
（三）教学互动 (1)判断题：
i 对于任意锐角α，都有0＜sinα＜1和0＜cosα＜1 （ ）
ii 对于任意锐角α1，α2，如果α1＜α2，那么cosα1＜cosα2 （ ）
iii 如果sinα1＜sinα2，那么锐角α1＜锐角α2I （ ）
iv 如果cosα1＜cosα2，那么锐角α1＞锐角α2 （ ）
（2）在Rt△ABC中，下列式子中不一定成立的是______
A．sinA＝sinB B．cosA＝sinB C．sinA＝cosB D．sin(A+B)＝sinC
（3）在
A．0°＜∠A≤30° B．30°＜∠A≤45°
C．45＜∠A≤60° D．60°＜∠A＜90°
四、布置作业
课题 30°、45°、60°角的三角函数值
一、教学目标
1、能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
2、能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
二、教学重点、难点
重点：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
难点：30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程
三、教学过程
（一）复习引入
还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即，你还能推导出的值及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？
（二）实践探索
1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30° cos45° tan60°
归纳结果
30° 45° 60°
siaA
cosA
tanA
（三）教学互动
例 求下列各式的值：
（1） （2）
解 （1）原式=
（2）原式=
说明：本题主要考查特殊角的正弦余弦值，解题关键是熟悉并牢记特殊角的正弦余弦值。易错点因没有记准特殊角的正弦余弦值，造成计算错
例3:(1)如图(1), 在中，,,,求的度数.
(2)如图(2),已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍,求.
解: (1)在图(1)中, (2)在图(2)中.
（四）巩固再现
1、P82 例3
2、P83 练习
3、随机抽查学生对82页的表的记忆情况
四、布置作业
P85 3
课题 用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求锐角
一、教学目标
1、让学生熟识计算器一些功能键的使用
2、会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角
二、教学重点、难点
重点：运用计算器处理三角函数中的值或角的问题
难点：知道值求角的处理
三、教学过程
（一）复习引入
通过上课的学习我们知道，当锐角A是等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？
我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。
（二）实践探索
1、用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值
利用求下列三角函数值（这个教师可完全放手学生去完成，教师只需巡回指导）
sin37°24′ sin37°23′ cos21°28′ cos38°12′tan52°； tan36°20′； tan75°17′；
2.熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角.例如：sinA=0.9816.∠A＝?????? .
cosA＝0.8607，∠A＝???? ；tanA＝0.1890，∠A=???? ；tanA＝56.78，∠A＝???? .
3、强化
完成P84页的练习
四、布置作业
P85 4、5
课题 解直角三角形（一）

一、教育目标
1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
二、教学重点、难点
1．重点：直角三角形的解法．
2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
三、教学步骤
(一)复习引入
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系
如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.
(2)三边之间关系
a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
（二）教学过程
1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．
2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．
3．例题
例 1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=，a=，解这个三角形．
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
解 ∵tanA===∴ ∴ ∴C=2b=
例2在Rt△ABC中， ∠B =35，b=20，解这个三角形．
引导学生思考分析完成后，让学生独立完成
在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书．

完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底
注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理或其它三角函数来计算，但计算出的值可能有些少差异，这都是正常的。
4．巩固练习 P91
说明：解直角三角形计算上比较繁锁，条件好的学校允许用计算器．但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程．要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯．
(四)总结与扩展
1．请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．
2．出示图表，请学生完成
a b c A B
1 √ √
2 √ √
3 √ b=a cotA √
4 √ b=a tanB √
5 √ √
6 a=b tanA √ √
7 a=b cotB √ √
8 a=c sinA b=c cosA √ √
9 a=c cosB b=c sinB √ √
10 不可求 不可求 不可求 √ √
注：上表中“√”表示已知。
四、布置作业
课题 解直角三角形（二）
一、教学目标
1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识
二、教学重点、难点
重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
难点：实际问题转化成数学模型
三、教学过程
（一）复习引入
1．直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答．
2、在中Rt△ABC中已知a=12 ,c=13 求角B应该用哪个关系？请计算出来。
（二）实践探索
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子
引导学生先把实际问题转化成数学模型然后分析提出的问题是数学模型中的什么量
在这个数学模型中可用学到的什么知识来求未知量？
几分钟后，让一个完成较好的同学示范。
（三）教学互动
例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置 这样的最远点与P点的距离是多少 (地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)
分析:从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点.如图,⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点. 弧PQ的长就是地面上P, Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出(即)解:在上图中，FQ是⊙O的切线，是直角三角形，
弧PQ的长为
由此可知，当飞船在p点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离
P点约2 009. 6 km.
（四）巩固再现P93 1,P96 1
四、布置作业P96 2,3
课题 解直角三角形（三）
一、教学目标
1、使学生了解什么是仰角和俯角
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题．
二、教学重点、难点
重点：用三角函数有关知识解决观测问题
难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
三、教学过程
（一）复习引入
平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？（三种，重叠、向上和向下）结合示意图给出仰角和俯角的概念
（二）教学互动
例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)
分析：在中，，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.
解:如图, ，,
答:这栋楼高约为277.1m.
（三）巩固再现
1、为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)．
2、在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．
3、上午10时，我军驻某海岛上的观察所A发现海上有一艘敌军舰艇正从C处向海岛驶来，当时的俯角，经过5分钟后，舰艇到达D处，测得俯角。已知观察所A距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。
解：在直角三角形ABC和直角三角形ABD中，我们可以分别求出：
（米）（米）
（米）
舰艇的速度为（米/分）。设我军火力射程为米，现在需算出舰艇从D到E的时间（分钟）
我军在12.5分钟之后开始还击，也就是10时17分30秒。
4、小结：谈谈本节课你的收获是什么？
四、布置作业P101 7、8
课题 解直角三角形（四）
一、教学目标
1、使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
二、教学重点、难点
重点：用三角函数有关知识解决方位角问题
难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
三、教学过程
（一）复习引入
1、叫同学们在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。
2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线
（二）教学互动
例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，解:如图, 在中,
在中, .,
因此.当海轮到达位于灯塔P的南偏东340方向时，它距离灯塔P大约130.23海里.海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)
（三）巩固再现
1、P95 1
2、上午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．
3、如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
四、布置作业
P97 7、9
课题 解直角三角形（五）
一、教学目标
1、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
3、培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．
二、教学重点、难点
重点：解决有关坡度的实际问题．
难点：理解坡度的有关术语．
三、教学过程
（一）复习引入
1．讲评作业：将作业中学生普遍出现问题之处作一讲评．
2．创设情境，导入新课．
例 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．
同学们因为你称他们为工程师而骄傲，满腔热情，但一见问题又手足失措，因为连题中的术语坡度、坡角等他们都不清楚．这时，教师应根据学生想学的心情，及时点拨．
（二）教学互动
通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义．
坡度与坡角
结合图6-34，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角． 引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？ 答：i＝＝tan 这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固．
练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______； ______，坡角______度．
为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问： (1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明． (2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明． 答：(1)
如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小，坡度减小，因为 tan＝，AB不变，tan随BC增大而减小（2）与(1)相反，水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而增大，tanα 也随之增大，因为tan=不变时，tan随AB的增大而增大2．
讲授新课
引导学生回头分析引题，图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD．
以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．
坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力．
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，

∴AE=3BE=3×23=69(m)．
FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．
因为斜坡AB的坡度i＝tan＝≈0.3333，
α≈18°26′ 答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．
其实这是旧人教版的一个例题，由于新版里这样的内容和题目并不少，但是对于题目里用的术语新版少提，基于学生的接受情况应插讲这一内容。
（三）巩固再现
1、P95 2
2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．

四、布置作业
P97 8
课题 数学活动
一、教学目标
巩固所学的三角函数，学会制作和应用测倾器，能正确测量底部可以到达的物体高度．
培养学生动手实践能力，在实际操作中培养学生分析问题、解决问题的能力．
渗透数学来源于实践，又反过来作用于实际的辩证唯物主义观点，培养学生用数学的意义；培养学生独立思考、大胆创新的精神．
二、教学重点、难点
重点：培养学生解决实际问题的能力和用数学知识的意识．
难点：能根据实际需要进行测量．
三、教学过程
(一)复习引入
1．检查预习效果
(1)这节课我们将制作什么工具？
(2)测角仪有哪几个结构？并对照实物，请学生加以解释。
(3)测角仪测倾斜角的原理是什么？
通过对以上三个问题的解答，全体学生基本掌握测角仪测量倾斜角的原理，了解测角仪的结构；这样教师可把学生分组，制作测角仪．
2．在组长的带领下，全体学生积极配合，共同制作测角仪．
(1)用木板做一个半圆刻度盘，用量角器在上面画刻度，注意半圆盘上的刻度与量角器不同，它是90°～0°～90°．
(2)用手钻在圆心处打孔，并按上图用螺钉、螺母把它和一根长为130cm的木杆联在一起，这时，半圆盘就能绕着固定螺钉旋转(螺母不能固定得太紧或太松)．
(3)在圆心螺钉处悬挂一铅垂线，以标出铅直向下．
(4)在半圆盘的直径的两端钉两个标针，当木杆与地面垂直时，通过两标针及中心的视线是水平的，因为它与铅垂线互相垂直．
让学生把自制的测角仪与教师制好的测角仪对照，以帮学生加以改进．
(二)教学互动
1．测角仪的使用方法
学生亲自动手制作测角仪之后，有了成功的喜悦，很想亲自使用它进行测量．这时教师不妨请每组派代表在同一地点测出倾斜角．边测量边讲解：
(1)把测角仪插在远离被测目标处，使测角仪的木杆的中心线与铅垂线垂合，这时标针连线在水平位置．
注意：一定要注意铅垂线与木杆重合，否则说明
木杆不竖直，不能测量．
(2)转动半圆盘，使视线通过两标针，并且刚好落在目标物顶部B处．
注：“使目标物顶部B点落在视线上”指眼睛、两个标针与目标物顶点B点位于同一直线上，即四点共线．
(3)由图6-36知，∠BOE+∠AOE=90°，∠AOC+∠AOE=90°，由同角的余角相等知，倾角∠EOB等于铅垂线与零度线间的夹角∠AOC，刻度盘上读出∠AOC的度数，就是倾角∠EOB的度数．
在各组同学的重复测量后，比较结果会发现，结果可能差别较大，启发学生：
①哪组数据正确？
②怎样使结果更精确？
解释时强调，不同的数值都不一定与真实值相同，有的偏大，有的偏小，为了准确度高，可以采用求平均值法，降低误差．由于学生在做物理实验时常采用平均值法，因此对这一点不难理解．
2．测量底部可以到达的物体的高度
如图6-37，以测量旗杆AB的高度为例．请学生用自己制作的测角仪演示测旗杆高度的过程，并叙述方法：


①在测点D处安装测倾器，测出旗杆顶的倾角∠ACE=α．
注意，测点D与旗杆底B在同一水平面，否则，加大测量难度．
②量出仪器的高CD=EB=b．
③量出测点D到旗杆底B的水平距离BD=EC=a．
④由AE=a·tanα，得AB=AE+b=a·tanα+b．
测量时，不同同学的结果也各不相同，为了准确测量，需多次测量，求平均值．本实验共测三个元素——DC、α、BD，每测一次，应把数据填入表中．
实习报告如下，要求学生认真填写．

实习报告 ______年______月______日
题目 测量底部可以到达的旗杆高
测量目标 见上图6-37
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
BD的长
测角仪的高
倾斜角
解：
1米
10米

E
O
A
B
C
D
·
第 2 页 共 20 页【锐角三角函数全章教案】
锐角三角函数（第一课时）
教学三维目标：
一.知识目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
二.能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。
三.情感目标：提高学生对几何图形美的认识。
教材分析：
1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念
2．教学难点:用含有几个字母的符号组siaA、cosA、tanA表示正弦，余弦，正切
教学程序：
一．探究活动
1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。
2．归纳三角函数定义。
siaA=,cosA=,tanA=
3例1.求如图所示的Rt⊿ABC中的siaA,cosA,tanA的值。
4.学生练习P21练习1，2，3
二．探究活动二
1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60°
归纳结果
30° 45° 60°
siaA
cosA
tanA
2. 求下列各式的值
（1）sia 30°+cos30°（2）sia 45°-cos30°(3)+ta60°-tan30°
三．拓展提高P82例4.（略）
如图在⊿ABC中,∠A=30°,tanB=,AC=2,求AB
四．小结
五．作业课本p85－86 2,3,6,7,8,10
解直角三角形应用（一）
一．教学三维目标
(一)知识目标
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
(二)能力训练点
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：直角三角形的解法．
2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．
三、教学过程
(一)知识回顾
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系 sinA= cosA= tanA=
(2)三边之间关系
a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
（二） 探究活动
1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．
2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．
3．例题评析
例 1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= a=，解这个三角形．
例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 20 =35，解这个三角形（精确到0.1）．
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．
例 3在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
(三) 巩固练习
在△ABC中，∠C为直角，AC=6，的平分线AD=4，解此直角三角形。
解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力．
(四)总结与扩展
请学生小结：1在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素． 2解决问题要结合图形。
四、布置作业
．p96 第1，2题

解直三角形应用（二）
一．教学三维目标
(一)、知识目标
使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
(二)、能力目标
逐步培养分析问题、解决问题的能力．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
三、教学过程
（一）回忆知识
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？
(1)勾股定理：a2+b2=c2
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系： tanA=
（二）新授概念
1．仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．
2．例1
如图(6-16)，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B距离(精确到1米)
解：在Rt△ABC中sinB= AB===4221(米)
答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．
例2.2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）
分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。将问题放到直角三角形FOQ中解决。
．
解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角形知识来解决，在此之前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重请学生画几何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么)，会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角α得出Rt△ABC中的∠ABC，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．
例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式 sinA=
来解决的两个实际问题即已知和斜边，
求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．
（三）．巩固练习
1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m）
2．如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)
教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：
（1）．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．
（2）．请学生结合图形独立完成。
3 如图6-19，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．
此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD．
设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．
练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度为1.72米，求树高(精确到0.01米)．
要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它．
(四)总结与扩展
请学生总结：本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题．
四、布置作业
1．课本p96 第 3，.4，.6题

解直三角形应用（三）
（一）教学三维目标
(一)知识目标
使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．
二、教学重点、难点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
三、教学过程
1．导入新课
上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决．
2．例题分析
例1．如图6-21，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A-26°，
求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米)．
分析：上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？
由题意知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=26°，AC=5米，可利用解Rt△ABC的方法求出BC和AB．
学生在把实际问题转化为数学问题后，大部分学生可自行完成
例题小结：求出中柱BC的长为2.44米后，我们也可以利用正弦计算上弦AB的长。
如果在引导学生讨论后小结，效果会更好，不仅使学生掌握选何关系式，更重要的是知道为什么选这个关系式，以培养学生分析问题、解决问题的能力及计算能力，形成良好的学习习惯．
另外，本题是把解等腰三角形的问题转化为直角三角形的问题，渗透了转化的数学思想．
例2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南东34方向上的B处。这时，海轮所在的B
处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)？
引导学生根据示意图，说明本题已知什么，求什么，利用哪个三角形来求解，用正弦、余弦、正切、余切中的哪一种解较为简便？
3巩固练习
为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，
已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)．
首先请学生结合题意画几何图形，并把实际问题转化为数学问题．
Rt△ACD中，∠D=Rt∠，∠ACD=52°，CD=BE=15米，CE=DB=1.72米，求AB？
(三)总结与扩展
请学生总结：通过学习两个例题，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题，利用正切或余切解直角三角形，从而把问题解决．
本课涉及到一种重要教学思想：转化思想．
四、布置作业
1．某一时刻，太阳光线与地平面的夹角为78°，此时测得烟囱的影长为5米，求烟囱的高(精确到0.1米)．
2．如图6-24，在高出地平面50米的小山上有一塔AB，在地面D测得塔顶A和塔基B的仰面分别为50°和45°，求塔高．
3．在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．
解直三角形应用（四）
一．教学三维目标
(一)知识目标致
使学生懂得什么是横断面图，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
培养学生用数学的意识；渗透转化思想；渗透数学来源于实践又作用于实践的观点．
二、教学重点、难点
1．重点：把等腰梯形转化为解直角三角形问题；
2．难点：如何添作适当的辅助线．
三、教学过程
1．出示已准备的泥燕尾槽，让学生有感视印象，将其横向垂直于燕尾槽的平面切割，得横截面，请学生通过观察，认识到这是一个等腰梯形，并结合图形，向学生介绍一些专用术语，使学生知道，图中燕尾角对应哪一个角，外口、内口和深度对应哪一条线段．这一介绍，使学生对本节课内容很感兴趣，激发了学生的学习热情．
2．例题
例 燕尾槽的横断面是等腰梯形，图6-26是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是55°，外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC(精确到1mm)．
分析：(1)引导学生将上述问题转化为数学问题；等腰梯形ABCD中，上底AD=180mm，高AE=70mm，∠B=55°，求下底BC．
(2)让学生展开讨论，因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割为直角三角形，从而利用解直角三角形的知识来求解．学生对这一转化有所了解．因此，学生经互相讨论，完全可以解决这一问题．
例题小结：遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题．
3．巩固练习
如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米)．

分析：(1)请学生审题：因为电线杆与地面应是垂直的，那么图6-27中△ACD是直角三角形．其中CD=5m，∠CAD=60°，求AD、AC的长．
(2)学生运用已有知识独立解决此题．教师巡视之后讲评．
(三)小结
请学生作小结，教师补充．
本节课教学内容仍是解直角三角形，但问题已是处理一些实际应用题，在这些问题中，有较多的专业术语，关键是要分清每一术语是指哪个元素，再看是否放在同一直角三角形中，这时要灵活，必要时还要作辅助线，再把问题放在直角三角形中解决．在用三角函数时，要正确判断边角关系．
四、布置作业
1．如图6-28，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB， DE⊥AB于E，
AB=8, DE=4, cosA=, 求CD的长.2．教材课本习题P96第6，7，8题
解直三角形应用（五）
一．教学三维目标
(一)知识目标明
巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度角和有关角度的问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．
(三)德育目标
培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：能熟练运用有关三角函数知识．
2．难点：解决实际问题．
3．疑点：株距指相邻两树间的水平距离，学生往往理解为相邻两树间的距离而造成错误．
三、教学过程
1．探究活动一
教师出示投影片，出示例题．
例1 如图6-29，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．
分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．
2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图6-29(2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．
3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．
教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．
2．探究活动二
例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？

这是实际施工中经常遇到的问题．应首先引导学生将实际问题转化为数学问题．
由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E在一条直线上。
学生观察图形，不难发现，∠E=90°，这样此题就转化为解直角三角形的问题了，全班学生应该能独立准确地完成．
解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角．
∴∠BED=∠ABD-∠D=90°．
∴DE=BD·cosD
=520×0.6428=334.256≈334.3(m)．
答：开挖点E离D334.3米，正好能使A、C、E成一直线，
提到角度问题，初一教材曾提到过方向角，但应用较少．因此本节课很有必要补充一道涉及方向角的实际应用问题，出示投影片．
练习P95 练习1，2。
补充题：正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．
学生虽然在初一接触过方向角，但应用很少，所以学生在解决这个问题时，可能出现不会画图，无法将实际问题转化为几何问题的情况．因此教师在学生独自尝试之后应加以引导：
(1)确定小岛O点；(2)画出10时船的位置A；(3)小船在A点向南偏东60°航行，到达O的正东方向位置在哪？设为B；(4)结合图形引导学生加以分析，可以解决这一问题．
此题的解答过程非常简单，对于程度较好的班级可以口答，以节省时间补充一道有关方向角的应用问题，达到熟练程度．对于程度一般的班级可以不必再补充，只需理解前三例即可．
补充题：如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
如果时间允许，教师可组织学生探讨此题，以加深对方向角的运用．同时，学生对这种问题也非常感兴趣，教师可通过此题创设良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣．
若时间不够，此题可作为思考题请学生课后思考．
(三)小结与扩展
教师请学生总结：在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案。
四、布置作业
课本习题P97 9，10
解直三角形应用
一、
(一)知识教学点
巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
(三)德育目标
培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：解决有关坡度的实际问题．
2．难点：理解坡度的有关术语．
3．疑点：对于坡度i表示成1∶m的形式学生易疏忽，教学中应着重强调，引起学生的重视．
三、教学过程
1．创设情境，导入新课．
例 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．
同学们因为你称他们为工程师而骄傲，满腔热情，但一见问题又手足失措，因为连题中的术语坡度、坡角等他们都不清楚．这时，教师应根据学生想学的心情，及时点拨．
通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义．
介绍概念
坡度与坡角
结合图6-34，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h和水
平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即ｉ＝，
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？
答：i＝＝tan
这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固．
练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______； ______，坡角______度．
为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问：
(1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明．
(2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明．
答：(1)
如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小，坡度减小，
因为 tan＝，AB不变，tan随BC增大而减小
(2)

与(1)相反，水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而增大，tanα
也随之增大，因为tan=不变时，tan随AB的增大而增大
2．讲授新课
引导学生分析例题，图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD．
以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．
坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力．
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，
∴AE=3BE=3×23=69(m)．
FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．
因为斜坡AB的坡度i＝tan＝≈0.3333，查表得
α≈18°26′

答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．

3．巩固练习
(1)教材P124. 2
由于坡度问题计算较为复杂，因此要求全体学生要熟练掌握，可能基础较好的学生会很快做完，教师可再给布置一题．
(2)利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
分析：1．引导学生将实际问题转化为数学问题．
2．要求S等腰梯形ABCD，首先要求出AD，如何利用条件求AD？
3．土方数=S·l
∴AE=1.5×0.6=0.9(米)．
∵等腰梯形ABCD，
∴FD=AE=0.9(米)．
∴AD=2×0.9+0.5=2.3(米)．
总土方数=截面积×渠长 =0.8×100=80(米3)．
答：横断面ABCD面积为0.8平方米，修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为80立方米．
(四)总结与扩展
引导学生回忆前述例题，进行总结，以培养学生的概括能力．
1．弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题．
2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题．
3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错．
4．按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位．
四、布置作业
1．看教材，培养看书习惯，作本章小结．
2．课本习题P96第5，8题

A
B
C
F
O
P
Q
P
A
B
65
34
PAGE
1828.2 解直角三角形（三）
一、课前预习 (5分钟训练)
1.在下列情况下，可解的直角三角形是( )
A.已知b=3，∠C=90° B.已知∠C=90°,∠B=46°
C.已知a=3,b=6,∠C=90° D.已知∠B=15°,∠A=65°
2.如图28-2-3-1，用测倾仪测得校园内旗杆顶点A的仰角α＝45°，仪器高CD＝1.2 m，测倾仪底部中心位置D到旗杆根部B的距离DB=9.8 m，这时旗杆AB的高为________ m.
3.有一大坝其横截面为一等腰梯形，它的上底为6 m，下底为10 m，高为 m,则坡角为_______.
二、课中强化(10分钟训练)
1.有一棵树被风折断，折断部分与地面夹角为30°，树尖着地处与树根的距离是米，则原树高是_______________ m.
2.一等腰三角形顶角为100°,底边长为12，则它的面积是_________________.
3.如图28-2-3-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,CD=，BD=,求AB及∠B.
图28-2-3-2
4.如图28-2-3-3，已知线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼的高，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°，测得乙楼底部D的俯角β=60°，已知甲楼高AB=24 m，求乙楼CD的高.
图28-2-3-3
三、课后巩固(30分钟训练)
1.菱形ABCD的对角线AC长为10 cm,∠BAC=30°,那么AD为( )
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是斜边AB上的中线，BC=4，CD=3，则∠A≈_________.
3.如图28-2-3-4所示，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A，在河南岸选相距200米的B、C两点，分别测得∠ABC=60°，∠ACB=45°.求这段河的宽度.（精确到0.1米）
图28-2-3-4
4.如图28-2-3-5，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器.
（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案，具体要求如下：
a.测量数据尽可能少.
b.在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上.（如果测A、D间距离，用m表示，若测D、C间的距离，用n表示，若测角用α、β、γ表示）
（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG.（用字母表示，测倾器高度忽略不计）
图28-2-3-5
5.如图28-2-3-6，高速公路路基的横断面为梯形，高为4 m，上底宽为16 m，路基两边斜坡的坡度分别为i=1∶1，i′=1∶2,求路基下底宽.
图28-2-3-6
6.为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图（图28-2-3-7）.按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE.（精确到0.1 m）
图28-2-3-7
7.如图28-2-3-8，某校九年级3班的学习小组进行测量小山高度的实验活动.部分同学在山脚下点A测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60°，请你帮助他们计算出小山的高度BC.（计算过程和结果不取近似值）
图28-2-3-8
8.测量学校花园水池中一旗杆的高度.要求：设计活动的步骤，记录测量的数据，画出测量的示意图，计算旗杆的高度，最后与同伴进行交流总结.
略
参考答案
一、课前预习 (5分钟训练)
1.在下列情况下，可解的直角三角形是( )
A.已知b=3，∠C=90° B.已知∠C=90°,∠B=46°
C.已知a=3,b=6,∠C=90° D.已知∠B=15°,∠A=65°
解析：一般地，已知两边、已知一个锐角一边、已知一个锐角和两个边的关系或已知三边的关系的直角三角形可解.∴C正确.
答案：C
2.如图28-2-3-1，用测倾仪测得校园内旗杆顶点A的仰角α＝45°，仪器高CD＝1.2 m，测倾仪底部中心位置D到旗杆根部B的距离DB=9.8 m，这时旗杆AB的高为________ m.
( http: / / )
图28-2-3-1
解：过C点作ＡＢ的垂线，垂足为Ｅ点，在Rt△ACE中,∠ACE=α=45°,BD=9.8,∴AE=9.8.
∴AB=AE+CD=11(m).
答案：11
3.有一大坝其横截面为一等腰梯形，它的上底为6 m，下底为10 m，高为 m,则坡角为_______.
解：设坡角为α,则坡度=tanα=，∴坡角为60°.
答案：60°
二、课中强化(10分钟训练)
1.有一棵树被风折断，折断部分与地面夹角为30°，树尖着地处与树根的距离是米，则原树高是_______________ m.
解析：如图，在Rt△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AC=,
( http: / / )
∴AB==10,BC=AC·tanA=5.∴原树高为15米.
答案：15
2.一等腰三角形顶角为100°,底边长为12，则它的面积是_________________.
解析：如图所示，作CD⊥AB,在Rt△ADC中,得AD=6,∠ACD=50°，
∴CD≈5.03，∴面积为30.18.
答案：30.18
3.如图28-2-3-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,CD=，BD=,求AB及∠B.
( http: / / )
图28-2-3-2
解：过D点作DE⊥AB于E点，设AC=x，则AE=x.
在Rt△BED中，得到BE=3,又由AB2=AC2+BC2，得（3+x）2=x2+27,解得x=3,AB=6,
sinB=,∴∠B=30°.
4.如图28-2-3-3，已知线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼的高，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°，测得乙楼底部D的俯角β=60°，已知甲楼高AB=24 m，求乙楼CD的高.
( http: / / )
图28-2-3-3
解：过点A作AE⊥CD，在Rt△ABD中，∠ADB=β，AB=24,∴BD=.在Rt△AEC中,∠CAE=α,BD=,∴CE=8.∴CD=CE+AB=32(米).
三、课后巩固(30分钟训练)
1.菱形ABCD的对角线AC长为10 cm,∠BAC=30°,那么AD为( )
A. B. C. D.
解析:如图，∵AC⊥BD,
∴AD=.
答案：A
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是斜边AB上的中线，BC=4，CD=3，则∠A≈_________.
解析:由CD=3,得AB=6,∴sinA≈0.666 7.∴∠A≈41.8°.
答案：41.8°
3.如图28-2-3-4所示，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A，在河南岸选相距200米的B、C两点，分别测得∠ABC=60°，∠ACB=45°.求这段河的宽度.（精确到0.1米）
解：过A作BC的垂线，垂足为D.
在Rt△ADB中，∠B=60°，
∴∠BAD=30°.
∴BD=AD·tan30°=AD.
在Rt△ADC中，∠C=45°，
∴CD=AD.
又∵BC=200，
∴BD+CD=AD+AD=200.
∴AD=≈126.8(米).
答：这段河宽约为126.8米.
4.如图28-2-3-5，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器.
（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案，具体要求如下：
a.测量数据尽可能少.
b.在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上.（如果测A、D间距离，用m表示，若测D、C间的距离，用n表示，若测角用α、β、γ表示）
( http: / / )
图28-2-3-5
（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG.（用字母表示，测倾器高度忽略不计）
解：（1）方案如图，只需测三个数据.
(2)设HG=x,在Rt△CHG中,CG=,
在Rt△DHM中，DM=，∴=.
∴x=.
5.如图28-2-3-6，高速公路路基的横断面为梯形，高为4 m，上底宽为16 m，路基两边斜坡的坡度分别为i=1∶1，i′=1∶2,求路基下底宽.
图28-2-3-6
解：作高AE、DF，则BE=4,CF=8.
∴CB=28（米）.
6.为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图（图28-2-3-7）.按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE.（精确到0.1 m）
( http: / / )
图28-2-3-7
解：在Rt△ABD中,AB=9,∠BAD=18°，
∴BD≈2.9.
∴CD=2.4.在Rt△CDE中,∠DCE=18°,
∴CE≈2.3(米).
答：略.
7.如图28-2-3-8，某校九年级3班的学习小组进行测量小山高度的实验活动.部分同学在山脚下点A测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60°，请你帮助他们计算出小山的高度BC.（计算过程和结果不取近似值）
图28-2-3-8
解：如图，作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,设山高为x米，在Rt△ADE中，DE=90，AE=,
∴DF=x-,BF=x-90.在Rt△BFD中，DF∶BF=tan30°,
∴x=90+（米）.
8.测量学校花园水池中一旗杆的高度.要求：设计活动的步骤，记录测量的数据，画出测量的示意图，计算旗杆的高度，最后与同伴进行交流总结.
略
图28-2-3-1
图28-2-3-4
－ 9 －(共12张PPT)
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.1 锐角三角函数（4）
如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？
我们可以借助计算器求锐角的三角函数值．
例如求sin18°．
第一步：按计算器 键，
sin
第二步：输入角度值18，
屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994
（也有的计算器是先输入角度在按函数名称键）
点此图打开计算器
tan
第一步：按计算器 键，
求 tan30°36'
第二步：输入角度值30，分值36 （可以使用 键），
°＇ ″
屏幕显示答案：0.591 398 351
第一种方法：
第二种方法：
tan
第一步：按计算器 键，
第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°）
屏幕显示答案：0.591 398 351
点此图打开计算器
如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．
例如，已知sinA=0.501 8；用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：
还以以利用 键，进一步得到∠A＝30°07'08.97 "
第一步：按计算器 键，
2nd F
sin
第二步：然后输入函数值0. 501 8
屏幕显示答案： 30.119 158 67° （按实际需要进行精确）
第一种方法：
第一步：按计算器 键，
°＇″
2nd F
第二种方法：
第二步：输入0. 501 8
屏幕显示答案： 30°07'0897 " （这说明锐角A精确到1'的结果为30°7'，精确到1 "的结果为30°7' 9 " ）
°＇″
2nd F
1．用计算器求下列锐角三角函数值；
（1） sin20°= ， cos70°= ；
点此图打开计算器
（2）tan3°8 ' = ，tan80°25'43″=
sin35°= ，cos55°= ；
sin15°32 ' = ，cos74°28 ' =
分析第1（1）题的结果，你能得出什么猜想，你能说明你的猜想吗？
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
练习
2. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
（1）sinA=0.627 5，sinB＝0.054 7；
（2）cosA＝0.625 2，cosB＝0.165 9；
（3）tanA＝4.842 5，tanB＝0.881 6.
点此图打开计算器
计算器可用来：
（1）由锐角求三角函数值
（2）由三角函数值求锐角
小结第一课时 正弦
一.选择题
1．（2010湖南常德）在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A的值是( )
A． B．2 C． D．
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，现把这个三角形的三边都扩大为原来的3倍，则∠A的正弦值（ ）
A.扩大为原来的3倍 B.缩小为原来的3倍 C.不变 D.不能确定
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则sinB的值为
3题图 4题图
A. B. C. D.
二.填空题
4.如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．
5.如图，M是在正方形ABCD中边AD的中点，BE＝3AE，则sin∠ECM=_______.
5题图 6题图
6.如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，设计人员在AC上取一点B，使∠ABD＝145°，BD＝500m,∠D＝55°，要使A、C、E三点成一直线，那么开挖点E离点D的距离应为（结果精确到0.1m）_________.
三.解答题
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinＢ＝，D是BC上的一点，DE⊥AB于E，CD＝DE,AC＋CD＝9，求BC的长.
8.如图 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝45°，且AE＋AF＝2，求 ABCD的周长.
第2课时 余弦与正切
一.选择题
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、C，则下列关系中错误的是（ ）
A.a=btan B B.a=ccos B C.b=csin B D.a=btan A
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果cos A＝,那么tan B的值是（ ）
A. B. C. D.
3. ∠A为锐角时，下列各式中不正确的是（ ）
A.tanA·cosA＝sinA B. sin2A＋cos2A＝1
C.sinA＋sinA＝sin2A D.sinA÷cosA＝tanA
二.填空题
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，且BC＝，则tanB的值为________.
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＋b＝4，且tanB＝1,则c＝_______.
6.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3，则cosB＝_______.
三.解答题
7.如图，在△ABC中，D是AB的中点，DC⊥AC，且sin∠BCD＝，求sinA、cosA、tanA的值.
8.如图，根据提供的数据回答下列问题：
（1）在图甲中，sinA＝________, cosA＝________.
sin2A＋cos2A＝_________；
在图乙中，sinA1＝_______, cosA1＝________
sin2A1＋cos2A1＝________；
在图丙中，sinA2＝_______, cosA2＝________
sin2A2＋cos2A2＝_______.
通过以上三个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来;
（2）在图甲中，tanA＝________， _________；
在图乙中，tanA1＝________， ________；
在图丙中，tanA2＝________， ________；
通过以上三个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来.
第3课时 特殊的锐角三角形函数值
1．（2010广东茂名）已知∠A是锐角，sinA=，则5cosA=
A． B． C． D．
2．（2010广东肇庆）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9．sin∠B=,则AB=（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
3．（2010黑龙江绥化）直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，AD=DC=2，则BC的长为（ ）
A. B. C. D.
4．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙风筝，他们放出的线长分别为300米、250米、200米，线与地面所成的角为30°、45°、60°（风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（ ）
A．甲的最高 B．乙的最低 C．丙的最低 D．乙的最高
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA＝，则∠A＝ ．
6．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3，则BC＝__________．
7．（2010 浙江义乌）课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是 米．（结果保留3个有效数字，≈1.732）
8．（2010江西）计算：sin30 ·cos30 －tan30 ＝ （结果保留根号）
【答案】
9．（2010江苏常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanB= ，sinA= 。
【答案】
10．计算：
（1）
（2）tan230°＋cos230°－sin245°tan45°
（3）＋60°
11.计算：（1）．
（2）
12．若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是60°，船的速度为5米/秒，求船从A到B处约需时间几分．（参考数据：）
13.已知，如图，的直径AB与弦CD相交于，，的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．
（1）求证：；
（2）连结BC，若的半径为4，，求线段AD．CD的长．
解直角三角形综合练习(一)
1．（2010辽宁丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树
的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m
（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）
A．（）m B．（）m
C． m D．4m
2．（2010山东日照）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（）
（A） 2 （B） （C） （D）1
3．（2010四川凉山）已知在中，，设，当是最小的内角时，的取值范围是
A．　　　　 B．　　　　
C．　　　　　D．
4．（2010四川眉山）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为
A．90° B．60° C．45° D．30°
5．已知：如图，在半径为R的⊙O中，∠AOB＝2 ，OC⊥AB于C点．
(1)求弦AB的长及弦心距；
(2)求⊙O的内接正n边形的边长an及边心距rn．
6．如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB、BC两段)，其中CC′＝
BB′＝3.2m．结合图中所给的信息，求两段楼梯AB与BC的长度之和(结果保留到0.1m)．(参考数据：sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82)
7．如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，台阶面的宽为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡的起点为C，求AC的长度(精确到1cm)．
8．如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m，冬天太阳光与水平面的夹角为30°．
(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米 (保留根号)
(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD＝21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层
9．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地多少距离
10．已知：如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米 (保留整数)
解直角三角形综合练习(二)
1如图AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求AD、CD的长．
2、如图，甲、乙两船同时从港口O出发,甲船以16.1海里/时的速度向东偏西32°方向航行,乙船向西偏南58°方向航行,航行了两小时,甲船到达A处并观测到B 处的乙船恰好在其正西方向,求乙船的速度(精确到0.1海里/时).
3、河堤横断面如图16所示,堤高BC=5米,迎水坡AB的长为8米,求斜坡AB与水平面所夹的锐角度数.
4、在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图 ，某学生在点A处观测到河对岸水边处有一点C，并测得∠CAD＝450，在距离A点30米的B处测得∠CBD＝300，求河宽CD（结果可带根号）。
5、（09广西）如图 ，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为300的方向飞行，半小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方向有一处着火点B，5分钟后，在D处测得着火点B的府角是150，求热气球升空点A与着火点B的距离。（结果保留根号，参考数据：，，，）
9、一艘轮船从西向东航行，上午10时航行到点A处，此时测得在船北偏东30°上有一灯塔B，到11时测得灯塔B正好在船的正北方向，此时轮船所处位置为C点 (如图21)，若该船的航行速度为每小时20海里，那么船在C点时距离灯塔B多远？(取1.73)
10、如图22，河岸护堤AD、BC互相平行，要测量河两岸相对两树A、B的距离，小赵从B点沿垂直AB的BC方向前进，他手中有足够长的米尺和含有30°角的一块三角板.
(1)请你帮小赵设计一下测量AB长的具体方案;
(2)给出具体的数值，求出AB的长.
11、如图23，在一座高为10 m的大楼顶C测得旗杆底部B的俯角α为60°，旗杆顶端A的仰角β为20°（取1.73，tan20°≈0.3646)）
(1)求建筑物与旗杆的水平距离BD;
(2)计算旗杆高.(精确到0.1 m)
解直角三角形综合练习(三)
1．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)
．
2．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少 (精确到0.1海里，)
3．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离，求点B到地面的垂直距离BC．
4．已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC＝20m，斜坡坡面上的影长CD＝8m，太阳光线AD与水平地面成26°角，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB的高度(精确到1m)．
5．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走400m，到达一个景点B，再由B地沿山坡BC行走320米到达山顶C，如果在山顶C处观测到景点B的俯角为60°．求山高CD(精确到0.01米)．
6．已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m长的竹竿，测得竹竿影长为1m，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m．问路灯高度为多少米
7．已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m，到达目的地C点．求
(1)A、C两地之间的距离；
(2)确定目的地C在营地A的什么方向
8．已知：如图，特大洪水时期，要加固全长为10000m的河堤．大堤高5m，坝顶宽4m，迎水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m，背水坡坡度改为1∶1.5．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石
解直角三角形综合练习（4）
1．（2010 浙江台州市）施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB=4米，斜面距离BC=4.25米，斜坡总长DE=85米．
（1）求坡角∠D的度数（结果精确到1°）；
（2）若这段斜坡用厚度为17cm的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶
2．（2010山东聊城）建于明洪武七年（1374年），高度33米的光岳楼是目前我国现存的最高大、最古老的楼阁之一（如图①）．喜爱数学实践活动的小伟，在30米高的光岳楼顶P处，利用自制测角仪测得正南方向一商店A点的俯角为60 ，又测得其正前方的海源阁宾馆B点的俯角为30 （如图②）．求商店与海源阁宾馆之间的距离．（结果保留根号）
3．（2010湖南长沙）为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是和．求路况显示牌BC的高度．
4．（2010浙江金华）在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线（线段AC）长20m，风筝B的引线（线段BC）长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°.
（1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？
（2）求风筝A与风筝B的水平距离.
(精确到0.01 m；参考数据：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707,
tan45°=1,sin60°≈0.866,cos60°=0.5,tan60°≈1.732）
5．（2010 山东济南）我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=600，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC削进到E 处，问BE至少是多少米(结果保留根号)？
6．（2010江苏泰州）庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）
7．（2010江苏无锡）在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处．
（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．
8. （2010江苏扬州）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1:，AB＝10米，AE＝15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）
9 .（2010云南红河哈尼族彝族自治州）如图5，一架飞机在空中P处探测到某高山山顶D处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D的正上方C处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米）
10．（2010 四川泸州）如图5，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：.
（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
A
B
C
30°
（第6题图）
（第9题图）
B
A
E
D
C
30°
图20
图21
图22
图23
17cm
A
B
C
D
E
F
参考数据
cos20°0.94，
sin20°0.34，
sin18°0.31，
cos18°0.95
A
B
45°
60°
C
E
D
(第17题图)
D
A
B
C
E
A
B
C
D
E
45°
60°
A
B
12千米
P
C
D
G
60°
图5(共21张PPT)
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.1 锐角三角函数（3）
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
∠A的对边
∠A的邻边
tanA
cosA
∠A的邻边
∠A的对边
斜边
sinA
斜边
斜边
两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a
另一条直角边长＝
30°
60°
45°
45°
30°
活 动 1
设两条直角边长为a，则斜边长＝
60°
45°
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角函数 30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
仔细观察,说说你发现这张表有哪些规律
例1求下列各式的值：
（1）cos260°＋sin260°
（2）
解： （1） cos260°＋sin260°
＝1
（2）
＝0
(3)tan450.sin450-4sin300.cos450+cos2300
例2：操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为30度，并已知目高为1.65米．然后他很快就算出旗杆的高度了。
1.65米
10米

你想知道小明怎样算出的吗？
应用生活
30°
练习：P83-练习
　　例3、(1)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= ,BC= 。求∠A的度数。
(2)如图,已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的 倍,求α.
(1)
(2)
例4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB于D ，已知∠B=30度，计算 的值。
D
A
B
C
例5 如图，在△ABC中，∠A=30度，
求AB。
A
B
C
D
解：过点C作CD⊥AB于点D
∠A=30度，
求下列各式的值：
（1）1－2 sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
（3）
练习
解：
（1）1－2 sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，
求∠A、∠B的度数．
B
A
C
解： 由勾股定理
∴ A=30°
∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60°
3.在Rt△ABC中，∠C=90度，tanA+tanB=4, △ABC面积为8，求AB的长。
4.在Rt△ABC中，∠C=90度，化简
2、已知：α为锐角，且满足 ，求α的度数。
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，化简
小结
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角函数 30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（带正）
对于cosα，角度越大，函数值越小。28.2 解直角三角形（二）
一、课前预习 (5分钟训练)
1.在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.如图28－2－2－1，在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上，CD=3，AD=BC,且cos∠ADC=，则BD的长是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
图28－2－2－1 图28－2－2－２
3.如图28－2－2－２，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示）
二、课中强化(10分钟训练)
1.等腰三角形的两条边长分别是4 cm、9 cm，则等腰三角形的底角的余弦值是( )
A. B. C. D.
2.如果由点A测得点B在北偏东15°方向，那么点B测得点A的方向为___________.
3.如图28－2－2－3，已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC长及tanC.
图28－2－2－3
4.如图28－2－2－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角仪测得旗杆顶A点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D点又测得旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（的近似值取1.7，结果保留1位小数）
图28－2－2－４
5.如图28－2－2－５，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）
图28－2－2－５
三、课后巩固(30分钟训练)
1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( )
A.a B.atanα C.a(sinα－cosα) D.a(tanβ－tanα)
图28－2－2－6 图28－2－2－7
2.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图28－2－2－7），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米.
（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
3.某片绿地的形状如图28－2－2－8所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200 m，CD=100 m，求AD、BC的长.（精确到1 m，≈1.732）
图28－2－2－8
4.如图28－2－2－9，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC.
图28－2－2－9
5.如图28－2－2－10，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据=1.414 21，=1.732 05）
图28－2－2－10
6.如图28－2－2－11,某船向正东方向航行,在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险 请说明理由.(参考数据:≈1.732)
图28－2－2－11
7.如图28－2－2－12，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）.
（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）
（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）
图28－2－2－12
8.如图28－2－2－13,某海关缉私艇巡逻到达A处时接到情报，在A处北偏西60°方向的B处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C处截住可疑船只，求该艇的速度.
(结果保留整数,=2.449,=1.732,=1.414)
图28－2－2－13
参考答案
一、课前预习 (5分钟训练)
1.在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析：AC=BC·tanB=6.
答案：D
2.如图28－2－2－1，在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上，CD=3，AD=BC,且cos∠ADC=，则BD的长是( )
图28－2－2－1
A.4 B.3 C.2 D.1
解析：求BD需求BC,而BC=AD,在Rt△ADC中,已知一角一边,可求出AD.
在Rt△ADC中，CD=3，且cos∠ADC=，∴AD=5,∴BC=AD=5.∴BD=2.
答案：C
3.如图28－2－2－２，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示）
( http: / / )
图28－2－2－２
解析：在Rt△ABD中,∠A=60°，CD=5，∴AC=,AD=.
答案:
二、课中强化(10分钟训练)
1.等腰三角形的两条边长分别是4 cm、9 cm，则等腰三角形的底角的余弦值是( )
A. B. C. D.
解析：根据构成三角形的条件，该等腰三角形的三边长为9、9、4，∴其底角的余弦值为.
答案：C
2.如果由点A测得点B在北偏东15°方向，那么点B测得点A的方向为___________.
解析：搞清观察方向，可以借助示意图来解决.
答案:南偏西15°或西偏南75°
3.如图28－2－2－3，已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC长及tanC.
图28－2－2－3
分析：作BC边上的高AD，构造直角三角形.在Rt△ADB中已知一角一边，可求得AD、BD，在Rt△ADC中由勾股定理求出CD.
( http: / / )
解：过点A作AD⊥BC于D,
在Rt△ABD中，∠B＝45°，
∵sinB=,
∴AD=AB·sinB=4·sin45°=4×=,
∴BD=.
在Rt△ADC中，AC=6,
由勾股定理得DC=,
∴BC=BD+DC=,
tanC=.
4.如图28－2－2－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角仪测得旗杆顶A点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D点又测得旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（的近似值取1.7，结果保留1位小数）
( http: / / )
图28－2－2－４
解：设EF为x米，
在Rt△AEF中,∠AFE=60°，
∴AE=EF·tan60°=x，
在Rt△AGE中,∠AGE=45°，
∴AE=GE·tan45°=GE=8+x.
∴x=8+x.解之,得x=4+4.
∴AE=12+4≈18.8.
∴AB=20.4(米).
答:旗杆AB高20.4米.
5.如图28－2－2－５，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）
( http: / / )
图28－2－2－５
解Rt△AEB与Rt△AEB′,得AE与BE、EB′的关系，解关于x的方程可求得答案.
解：设树高BC=x(m)，过A作AE⊥BC于E，
在Rt△ABE中，BE=x－2,∠BAE=30°,cot∠BAE=,
∴AE=BE·cot∠BAE=(x－2)·= (x－2).
∵∠B′AE=45°,AE⊥BC.
∴B′E=AE=(x－2).
又∵B′E=B′C+EC=BC+AD=x+2,
∴(x－2)=x+2.∴x=(4+2)(m).
答：树高BC为(4+2) m.
三、课后巩固(30分钟训练)
1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( )
( http: / / )
图28－2－2－6
A.a B.atanα C.a(sinα－cosα) D.a(tanβ－tanα)
解析:过D点作AB的垂线交AB于E点，在
Rt△ADE中,∠ADE=α,DE=a,
∴AE=a·tanα.
在Rt△ABC中,∠ACB=β,BC=a,
∴AB=a·tanβ.
∴CD=AB－AE=a·tanβ－a·tanα.
答案:D
2.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图28－2－2－7），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米.
（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
( http: / / )
图28－2－2－7
解析:AB=BC·tanC=12(米).
答案:12
3.某片绿地的形状如图28－2－2－8所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200 m，CD=100 m，求AD、BC的长.（精确到1 m，≈1.732）
图28－2－2－8
解：延长AD，交BC的延长线于点E，
在Rt△ABE中，∠A=60°，AB=200 m，
∴BE=AB·tanA= (m).
AE==400(m).
在Rt△CDE中，∠CED=30°，CD=100 m，
∴DE=CD·cot∠CED=(m),
CE==200m.
∴AD=AE－DE=400－≈227(m),
BC=BE－CE=－200≈146(m).
4.如图28－2－2－9，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC.
图28－2－2－9
解：作三角形的高AD.
在Rt△ACD中,∠ACD=45°,AC=2,∴AD=CD=.在Rt△ABD中,∠B=30°,AD=，
∴BD=，AB=.
∴CB=BD+CD=+.
5.如图28－2－2－10，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据=1.414 21，=1.732 05）
( http: / / )
图28－2－2－10
解：在Rt△ABD中,BD=80米，∠BDA=60°，
∴AB=BD·tan60°=803≈138.56（米）.
Rt△AEC中,EC=BD=80,∠ACE=45°，
∴AE=CE=80(米).
∴CD=AB－AE≈58.56（米）.
答:塔高与楼高分别为138.56米、58.56米.
6.如图28－2－2－11,某船向正东方向航行,在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险 请说明理由.(参考数据:≈1.732)
图28－2－2－11
解:继续向东行驶,有触礁的危险.
过点C作CD垂直AB的延长线于D,
∵∠CAB=30°,∠CBD=60°,∴∠BCD=30°.
设CD的长为x,则tan∠CBD=,
∴BD=x.
∴tan∠CAB=tan30°=.
∴x=.
∴x≈5.2<6.
∴继续向东行驶,有触礁的危险.
7.如图28－2－2－12，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）.
（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）
（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）
( http: / / )
图28－2－2－12
解：（1）如图，在Rt△ABC中，
AC=AB·sin44°=5sin44°≈3.473.
在Rt△ACD中，AD=≈6.554.
∴AD－AB=6.554－5≈1.55.
即改善后的台阶会加长1.55米,
（2）如图，在Rt△ABC中，
BC=ABcos44°=5cos44°≈3.597.
在Rt△ACD中，CD=≈5.558，
∴BD=CD－BC=5.558－3.597≈1.96,
即改善后的台阶多占1.96米长的一段地面.
8.如图28－2－2－13,某海关缉私艇巡逻到达A处时接到情报，在A处北偏西60°方向的B处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C处截住可疑船只，求该艇的速度.
(结果保留整数,=2.449,=1.732,=1.414)
图28－2－2－13
解：设OA的长为x，由于点C在点A的北偏西45°的方向上，∴OC=OA=x.根据题意,得
tan30°=+12.
AC2=x2+x2AC=,∴AC≈46（海里）.
答：该艇的速度是46海里/时.
－ 11 －齐河县第四中学
先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 　 课 型：　新授课　　　 使用时间：2011.3
课题：28．1锐角三角函数（1） 执笔人：　靳立明　　 审 核 人：
目标导航：
【学习目标】
⑴: 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
⑵: 能根据正弦概念正确进行计算
【学习重点】
理解正弦（sinA）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．
【学习难点】
当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
【导学过程】
一、自学提纲：
1、如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m，求AB
2、如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m，求BC
二、合作交流：
问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
思考1：如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m，那么需要准备多长的水管？ ；
结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值
思考2：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边
的比值是一个定值吗？如果是，是多少？
结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值
三、教师点拨：
从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，
∠A=∠A′=a，那么有什么关系．你能解释一下吗？
结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比
正弦函数概念：
规定：在Rt△BC中，∠C=90，
∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c．
在Rt△BC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，
记作sinA，即sinA= =． sinA＝
例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°= ；
当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ．
四、学生展示：
例1 如图，在Rt△ABC中，
∠C=90°，求sinA和sinB的值．
随堂练习 （1）： 做课本第79页练习．
随堂练习 （2）：
1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是﹙ ﹚
A．
B．
C．
D．

2．如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（ ）
A． 　B． C． 　D．
3． 在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是( )
A． B．3 C． D．
4．如图，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（ ）
A． B． C．
五、课堂小结：
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是 ．
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的 ，记作 ，
六、作业设置：
课本 第85页 习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分）
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
齐河县第四中学
先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 　 课 型：　新授课　　　 使用时间：2011.3
课题：28．1锐角三角函数（2） 执笔人：　靳立明　　 审 核 人：
【学习目标】
⑴: 感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。
⑵:逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
重点：难点：
【学习重点】
理解余弦、正切的概念。
【学习难点】
熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。
【导学过程】
一、自学提纲：
1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。
已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（ ）
A． B． C． D．
3、如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，
且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，
∠A的对边与斜边的比是 ，
现在我们要问：
∠A的邻边与斜边的比呢？
∠A的对边与邻边的比呢？
为什么？
二、合作交流：
探究：
一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C` =90o，∠B=∠B`=α，
那么与有什么关系？
三、教师点拨：
类似于正弦的情况，
如图在Rt△BC中，∠C=90°，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的．我们
把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA==；
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA==．
例如，当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°= ；
当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= ．
（教师讲解并板书）：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数．
例2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，求cosA、tanB的值．
四、学生展示：
练习一：完成课本P81 练习1、2、3
练习二：
1.?在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（?）
A．?B．?C．?D．
本题主要考查锐解三角函数的定义，同学们只要依据
2. 在中，∠C＝90°，如果cos A=那么的值为（?）
A．?B．?C．?D．
分析 本题主要考查锐解三角函数及三角变换知识。其思路是：依据条件
3、如图：P是∠的边OA上一点，且P
点的坐标为（3，4），
则cosα＝_____________.
五、课堂小结：
在Rt△BC中，∠C=90°，我们把
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，
记作sinA，即sinA= =． sinA＝
把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，
记作 ，即
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，
记作 ，即
六、作业设置：
课本 第85页 习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与余弦、正切有关的部分）
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
齐河县第四中学
先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 　 课 型：　新授课　　　 使用时间：2011.3
课题：28．1锐角三角函数（3） 执笔人：　靳立明　　 审 核 人： 【学习目标】
⑴: 能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。
⑵: 能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
【学习重点】
熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
【学习难点】
30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程
【导学过程】
一、自学提纲：
一个直角三角形中，
一个锐角正弦是怎么定义的？
一个锐角余弦是怎么定义的？
一个锐角正切是怎么定义的？
二、合作交流：
思考：
两块三角尺中有几个不同的锐角？
是多少度？
你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．
三、教师点拨：
归纳结果
30° 45° 60°
siaA
cosA
tanA
例3：求下列各式的值．
（1）cos260°+sin260°． （2）-tan45°．
例4：（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB=，BC=，求∠A的度数．
（2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求a．
四、学生展示：
一、课本83页 第1 题
课本83页 第 2题
二、选择题．
1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AB=15，则AC的长是（ ）．
A．3 B．6 C．9 D．12
2．下列各式中不正确的是（ ）．
A．sin260°+cos260°=1 B．sin30°+cos30°=1
C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45°
3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）．
A．2 B． C． D．1
4．已知∠A为锐角，且cosA≤，那么（ ）
A．0°<∠A≤60°B．60°≤∠A<90° C．0°<∠A≤30°D．30°≤∠A<90°
5．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=，
cosB= eq \f(,2) ，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形 D．不能确定
6．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana的值为（ ）．
A． B． C． D．
7．当锐角a>60°时，cosa的值（ ）．
A．小于 B．大于 C．大于 eq \f(,2) D．大于1
8．在△ABC中，三边之比为a：b：c=1：：2，则sinA+tanA等于（ ）．
A．
9．已知梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC，若梯形的高是，则∠CAB等于（ ）
A．30° B．60° C．45° D．以上都不对
10．sin272°+sin218°的值是（ ）．
A．1 B．0 C． D． eq \f(,2)
11．若（tanA-3）2+│2cosB-│=0，则△ABC（ ）．
A．是直角三角形 B．是等边三角形
C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形
三、填空题．
12．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，则α+β=_______．
13．的值是_______．
14．已知，等腰△ABC的腰长为4，底为30°，则底边上的高为______，周长为______．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知tanB= eq \f(,2) ，则cosA=________．
五、课堂小结：要牢记下表：
30° 45° 60°
siaA
cosA
tanA
六、作业设置：
课本 第85页 习题28．1复习巩固第3题
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
齐河县第四中学
先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 　 课 型：　新授课　　　 使用时间：2011.3
课题：28．1锐角三角函数（4） 执笔人：　靳立明　　 审 核 人：
【学习目标】
让学生熟识计算器一些功能键的使用
【学习重点】
运用计算器处理三角函数中的值或角的问题
【学习难点】
知道值求角的处理
【导学过程】
求下列各式的值．
（1）sin30°·cos45°+cos60°; （2）2sin60°-2cos30°·sin45°
（3）; （4）-sin60°（1-sin30°）．
（5）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°+·tan30°
（6）+cos45°·cos30°
合作交流：
学生去完成课本83 84页
学生展示：
用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值
学生去完成课本83 86页的题目
自我反思：
本节课我的收获: 。
齐河县第四中学
先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 　 课 型：　新授课　　　 使用时间：2011.3
课题：28．2解直角三角形（1） 执笔人：　靳立明　　 审 核 人：
【学习目标】
⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形
⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
【学习重点】
直角三角形的解法．
【学习难点】
三角函数在解直角三角形中的灵活运用
【导学过程】
一、自学提纲：
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系
如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.
(2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
a2 +b2 =c2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据．
二、合作交流：
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m的梯子，问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子
三、教师点拨：
例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=，
a=，解这个三角形．
例2在Rt△ABC中， ∠B =35o，b=20，解这个三角形．
四、学生展示：
完成课本91页练习
补充题
1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________其它所有元素的过程，即解直角三角形．
2、在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
3、 在△ABC中，∠C为直角，AC=6，的平分线AD=4，解此直角三角形。
4、Rt△ABC中，若sinA=，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．
5、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
6、在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值是（ ）
A． B． C．
五、课堂小结：
小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
六、作业设置：
课本 第96页 习题28．2复习巩固第1题、第2题．
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
齐河县第四中学
先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 　 课 型：　新授课　　　 使用时间：2011.3
课题：28．2解直角三角形（2） 执笔人：　靳立明　　 审 核 人：
【学习目标】
⑴: 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
⑵: 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
⑶: 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识
【学习重点】
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
【学习难点】
实际问题转化成数学模型
【导学过程】
一、自学提纲：
1．解直角三角形指什么？

2．解直角三角形主要依据什么？

(1)勾股定理：
(2)锐角之间的关系：
(3)边角之间的关系：

tanA=
二、合作交流：
仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
三、教师点拨：
例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置 这样的最远点与P点的距离是多少 (地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)
例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)
四、学生展示：
一、课本93页 练习 第1 、2题
五、课堂小结：
六、作业设置：
课本 第96页 习题28．2复习巩固第3、4题
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
齐河县第四中学
先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 　 课 型：　新授课　　　 使用时间：2011.3
课题：28．2解直角三角形（3） 执笔人：　靳立明　　 审 核 人：
【学习目标】
⑴: 使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角
⑵: 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
⑶: 巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
【学习重点】
用三角函数有关知识解决方位角问题
【学习难点】
学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
【导学过程】
一、自学提纲：
坡度与坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），
一般用i表示。即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？
这一关系在实际问题中经常用到。
二、教师点拨：
例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？
例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)
四、学生展示：
完成课本91页练习
补充练习
(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；
______，
坡角______度．
2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．

五、课堂小结：
六、作业设置：
课本 第96页 习题28．2复习巩固第5、6、7题
七、自我反思：
本节课我的收获: 。
齐河县第四中学
先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 　 课 型：　新授课　　　 使用时间：2011.3
课题：锐角三角函数定义检测 执笔人：　靳立明　　 审 核 人：
学习要求
理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值．
课堂学习检测
一、填空题
1．如图所示，B、B′是∠MAN的AN边上的任意两点，BC⊥AM于C点，B′C′⊥AM于C′点，则△B'AC′∽______，从而，又可得
①______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比是一个______值；
②______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比也是一个______；
③______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比还是一个______．
第1题图
2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
第2题图
①＝______， ＝______；
②＝______， ＝______；
③＝______， ＝______．
3．因为对于锐角 的每一个确定的值，sin 、cos 、tan 分别都有____________与它______，所以sin 、cos 、tan 都是____________．又称为 的____________．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝1，b＝3，则c＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．
6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，若a＝16，c＝30，则b＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinC＝______，cosC＝______，tanC＝______．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则∠B＝______，
sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，
sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．
二、解答题
8．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．
求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．
9．已知Rt△ABC中，求AC、AB和cosB．
综合、运用、诊断
10．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．
DE∶AE＝1∶2．
求：sinB、cosB、tanB．
11．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，
求：AB及OC的长．
12．已知：⊙O中，OC⊥AB于C点，AB＝16cm，
(1)求⊙O的半径OA的长及弦心距OC；
(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．
13．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，
(1)求AB边上的高CD；
(2)求△ABC的面积S；
(3)求tanB．
14．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．
拓展、探究、思考
15．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，按要求填空：
(1)
∴______；
(2)
∴b＝______，c＝______；
(3)
∴a＝______，b＝______；
(4)∴______，______；
(5) ∴______，______；
(6)∵3，∴______，______．
齐河县第四中学
先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 　 课 型：　新授课　　　 使用时间：2011.3
课题：特殊锐角三角函数定义检测 执笔人：　靳立明　　 审 核 人：
学习要求
1．掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角．
2．初步了解锐角三角函数的一些性质．
课堂学习检测
一、填空题
1．填表．
锐角 30° 45° 60°
sin
cos
tan
二、解答题
2．求下列各式的值．
(1)
(2)tan30°－sin60°·sin30°
(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°
(4)
3．求适合下列条件的锐角 ．
(1) (2)
(3) (4)
4．用计算器求三角函数值(精确到0.001)．
(1)sin23°＝______； (2)tan54°53′40″＝______．
5．用计算器求锐角 (精确到1″)．
(1)若cos ＝0.6536，则 ＝______；
(2)若tan(2 ＋10°31′7″)＝1.7515，则 ＝______．
综合、运用、诊断
6．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，
求此菱形的周长．
7．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．
求：sin∠ACB的值．
8．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至D点，使AD＝AB．求：
(1)∠D及∠DBC；
(2)tanD及tan∠DBC；
(3)请用类似的方法，求tan22.5°．
9．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，求：
(1)∠BAD；
(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．
10．已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，，求：sin∠CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．
拓展、探究、思考
11．已知：如图，∠AOB＝90°，AO＝OB，C、D是上的两点，∠AOD＞∠AOC，求证：
(1)0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；
(2)1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；
(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______；
(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．
12．已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF＞∠AOE．
(1)求证：tan∠AOF＞tan∠AOE；
(2)锐角的21世纪教育网值随角度的增大而______．
13．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，求证：
(1)sin2A＋cos2A＝1；
(2)
齐河县第四中学
先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 　 课 型：　新授课　　　 使用时间：2011.3
课题：解直角三角形(一)检测 执笔人：　靳立明　　 审 核 人：
学习要求
理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型．
课堂学习检测
一、填空题
1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，
第1题图
①三边之间的等量关系：
__________________________________．
②两锐角之间的关系：
__________________________________．
③边与角之间的关系：
______； _______；
_____； ______．
④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．
第④小题图
在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．
CD2＝_________；AC2＝_________；
BC2＝_________；AC·BC＝_________．
⑤直角三角形的主要线段(如图所示)．
第⑤小题图
直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________，斜边的中点是_________．
若r是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆半径，则r＝_________＝_________．
⑥直角三角形的面积公式．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
S△ABC＝_________．(答案不唯一)
2．关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_________(其中至少_________)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_________或斜边和_________)及已知一边和一个锐角(_________和一个锐角或_________和一个锐角)
3．填写下表：
已知条件 解法
一条边和 斜边c和锐角∠A ∠B＝______，a＝______，b＝______
一个锐角 直角边a和锐角∠A ∠B＝______，b＝______，c＝______
两条边 两条直角边a和b c＝______，由______求∠A，∠B＝______
直角边a和斜边c b＝______，由______求∠A，∠B＝______
二、解答题
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°．
(1)已知：a＝35，，求∠A、∠B，b；
(2)已知：，，求∠A、∠B，c；
(3)已知：，，求a、b；
(4)已知：求a、c；
(5)已知：∠A＝60°，△ABC的面积求a、b、c及∠B．
综合、运用、诊断
5．已知：如图，在半径为R的⊙O中，∠AOB＝2 ，OC⊥AB于C点．
(1)求弦AB的长及弦心距；
(2)求⊙O的内接正n边形的边长an及边心距rn．
6．如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB、BC两段)，其中CC′＝
BB′＝3.2m．结合图中所给的信息，求两段楼梯AB与BC的长度之和(结果保留到0.1m)．(参考数据：sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82)
7．如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，台阶面的宽为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡的起点为C，求AC的长度(精确到1cm)．
拓展、探究、思考
8．如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m，冬天太阳光与水平面的夹角为30°．
(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米 (保留根号)
(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD＝21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层
9．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地多少距离
10．已知：如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米 (保留整数)
、
齐河县第四中学
先学后教、当堂达标数学导学案
年级：九年级 　 课 型：　新授课　　　 使用时间：2011.3
课题：解直角三角形(二)检测 执笔人：　靳立明　　 审 核 人：学习要求
能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形．
课堂学习检测
1．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．
求AB及BC的长．
2．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．
3．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．
求AB及BC的长．
4．已知：如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6cm．求AD的长．
综合、运用、诊断
5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．
6．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少 (精确到0.1海里，)
7．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离，求点B到地面的垂直距离BC．
8．已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC＝20m，斜坡坡面上的影长CD＝8m，太阳光线AD与水平地面成26°角，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB的高度(精确到1m)．
9．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走400m，到达一个景点B，再由B地沿山坡BC行走320米到达山顶C，如果在山顶C处观测到景点B的俯角为60°．求山高CD(精确到0.01米)．
10．已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m长的竹竿，测得竹竿影长为1m，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m．问路灯高度为多少米
11．已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m，到达目的地C点．求
(1)A、C两地之间的距离；
(2)确定目的地C在营地A的什么方向
12．已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m的河堤．大堤高5m，坝顶宽4m，迎水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m，背水坡坡度改为1∶1.5．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石
年级 班级 姓名_________________
装 订 线
年级 班级 姓名_________________
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E
O
A
B
C
D
·
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