新课标人教A版高中数学选修（2-2）2.3 数学归纳法课件（17张ppt）

2.3 数学归纳法
新课标人教A版高中数学选修2-2
第二章第3节第一课时
学习目标：
1.了解数学归纳法的原理，知道数学归纳法是一种证明与正整数有关命题的方法。
2.通过几个例子使学生学会用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
学习重难点：
理解数学归纳法的证明步骤，用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
一、情境引入
1、史料情境[费马
费马(1601--1665)法国数学家。
形如
(1)猜想起因：
(2)合情推理：不完全归纳法.
(3)推翻猜想：半个世纪后，欧拉发现了
欧拉(1707～1783)，瑞士数学家及自然科学家。
(4)思考方法：不完全归纳法得出的结论未必可靠，需另寻方法.
不是质数.
猜想]:
的数都是质数.
一、情境引入
2、游戏情境：(多米诺骨牌游戏)
(1)动画演示：多米诺骨牌动画演示
(2)现象分析：
每一排骨牌发生了什么情况？
(3)提出问题：骨牌全倒下应满足什么条件？
?第一块骨牌倒下；
?任意相邻的两块，前一块倒下一定导致后一块倒下.

条件?蕴含数学中的什么思想？
(4)提炼数学问题：利用相似性，类比数学问题.
已知数列
前4项归纳，得出
通过对
猜想出:
一、情境引入
3、数学情境：
思路分析：
先求出 ，进而考虑一般性.
思考1：
多米诺骨牌与此数学问题有相似性吗？若有，体现哪些方面？
（1）第几块骨牌，数列第几项都是与正整数有关的问题；
（2）共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个的情况.
求通项
（1）已知第一张牌要倒下（第一个条件）
要证明当
（2）要保证任意前一块倒下，后一块也倒下（第二个条件）
即要证明若当
思考2：具体分几步实施推理证明？
其实质是递推关系：若 ，
即由
由此，当
....直至无穷，
总结提升：化无限为有限，提升归纳的方法，形成系统的原理.
时猜想成立，由条件知，当
时猜想成立.
时命题成立，则当
时命题也成立.
则
成立必能推出
成立.
从1到2，从2到3，从3到4…
,从
到
均成立，故猜想成立.
一般地证明一个与正整数

1.（归纳奠基)证明当
2.（归纳递推）假设当
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从
这种证明方法叫做　　　　　
数学归纳法.
二、知识建构
这是一种简单、有效、科学的证明方法，实现了完全归纳的目的.
有关的命题，可按下列步骤进行：
取第一个值 ,
时命题成立；
时命题成立，
时命题也成立.
开始的所有正整数
都成立.
证明当
例1、用数学归纳法证明：
三、学以致用
1. 试问等式
解:假设当
则当


所以等式对任何
事实上，当
四、深化理解
归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？
成立吗？某同学用数学
时等式成立，即
时
即当
时等式也成立.
都成立.
时，左边＝2，右边＝3,左边≠右边，等式不
成立.缺少归纳奠基，不属于数学归纳法，是不正确的.
四、深化理解
2. 判断证明下面等式是否使用了数学归纳法：
证明：①当
右边=
，等式成立.
②假设当
那么当
即当
根据 ①和②，可知等式对一切正整数
左边
右边
没有用上“归纳假设”，缺少归纳递推，故此法不是数学归
纳法.如何修改？由
时,左边=
时等式成立，即
时,
时,等式也成立.
都成立.
到
递推，请学生们自主完成.
知识再提升
五、合作探究
已知数列
项和，计算S1, S2 ,S3 ,S4,根据计算结果，


下面用数学归纳法证明猜想：
解析：
时，显然成立；(2)假设
那么
由（1）和（2）可知
设
为数列前
猜想
,可以猜想
证明：（1）当
时猜想成立，
对任何的
都成立.
的表达式，并用数学归纳法进行证明.
即
六、当堂达标
2.
1．用数学归纳法证明：
用数学归纳法证明：
1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要 方法.
（1）证明当
（2）假设
（3）由（1）和（2）得出结论，缺一不可，注意完整性.
七、归纳小结
2.数学归纳法的证明过程主要有两个步骤一个结论:
3.数学归纳法作为一种完全归纳的证明方法，其基本思想是递推思想，所涉及到的主要数学思想方法有：类比、归纳、有限到无限的转化、辩证唯物主义等思想.
取第一个值
（即命题允许的最小正整数如
=1或2等）时结论正确，是推理的起点、源泉；
时，结论成立，当
时，
利用假设证明结论也成立，是递推的关键、核心.
八、作业布置
必做题：巩固提高
选做题：
在各项均为正数的数列 中，数列的前 项和为 ，满足 ．
(1)求 的值；
(2)由(1)猜想出数列 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
多米诺骨牌动画演示
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