《3.1.1数系的扩充和复数的概念》教学设计
1、
问题导入
在实数集，像x2＝－1这样的方程还是无解的
2、
知识回顾
在研究实际问题和代数方程的过程中，推动了数系的扩充：
1.自然数是“数”出来的，产生了自然数集N
；
2.为了使类似x＋5＝3的方程有解，引入了负整数；N
Z
3.为了使类似5x＝3的方程有解，引入了分数；Z
Q
4.为了使类似x2＝3的方程有解，引入了无理数；Q
R
思考：数系的每次扩充有什么共同特点？提问学生
1
用图形展示以上数集间的关系：新数集真包含原有数集
②引入新数③原有数集的加法乘法运算律仍然成立。
3、
新知构建
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，方程x2＝－1能得到圆满解决呢？
引入新数i满足两点：(1)它的平方等于－1，即i2＝－1??.???
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.?2.i与－1的关系:??就是－1的一个平方根，即方程x2＝－1的一个根。?
1.i叫做虚数单位?。
例举a＋i,0＋bi,a＋0i,0＋1i,归纳得复数的概念
2.复数的概念：形如a＋bi(a、b∈R)?的数叫复数，?a叫复数的实部，?b叫复数的虚部，?全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。??
3.?复数的代数形式:?复数通常用字母z表示，即把复数表示成a＋bi的形式，叫做复数的代数形式。??
4.?复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数?，当且仅当b＝0时，复数a＋bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z＝a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫做纯虚数；当且仅当a＝b＝0时，z就是实数0.
四、知识拓展
介绍复数的发展史，对复数产生有杰出贡献的数学家：卡当，笛卡尔，欧拉，高斯。
五、深化理解
请同学们小组讨论：（1）总结复数的分类（2）所有数集间的关系（3）方程的x2＝－1的所有根
六、复数相等
在复数集C＝中，任取两个数我们规定：相等的充要条件是a＝c且b＝d，记作，特殊的
a＝b＝0
.
【例1】说出下列复数的实部和虚部，并说明哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩.
实数：
①③④⑩虚数：
②⑤⑥⑦⑧⑨
纯虚数：
②⑦⑨
【例2】实数取什么值时，复数是
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。
解：(1)当m－1＝0，即m＝1时，复数z是实数；
(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；?
(3)当m＋1＝0，且m－1≠0时，即m＝－1时，复数z?是纯虚数.?例2：已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y.
【例3】已知，其中，求.
解：根据复数相等的定义，得方程组
解得
七、课堂小结
1.数系的扩充过程；2.复数的概念；3.复数的有关概念；4.复数的分类；5.数学思想方法：类比，复数问题实数化。
八、课后作业山东省聊城第三中学高二数学理科选修2-2导学案总第30个
编写人：夏涛
审核人：付春雪
班级：
小组：
姓名：
学号：
使用时间：2018.4
3.1.1数系的扩充和复数的概念
【学习目标】
1.了解把实数系扩充到复数系的过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；
2.理解复数的基本概念，以及复数相等的充要条件.
【学习重点、难点】
重点：对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念；
难点：由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难；由于理解复数是一对有序实数不习惯，对于复数概念的理解也有一定的困难.
【知识链接】
写出以下集合符号并思考它们是怎样扩充的？
正整数集
自然数集
有理数集
实数集
写出它们的关系
【自主探究】
问题1.类比“为了解决方程在中无解的问题,
引入了无理数”，怎样解决在实数集中无解的问题?
问题2.把实数和新引进的数像实数那样进行加法,乘法运算,并希望运算时有关的运算律仍成立,你得到了什么样的数?
根据你的预习，填写如下内容;
1.复数的代数形式：形如的数叫复数，其中i叫做
，全体复数所组成的集合C叫做复数集.
2.复数通常用字母z表示，即
，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中
和
分别叫做复数z的实部与虚部.
3.复数的分类
（1）复数，当
时，叫实数（2）复数，当
时，叫虚数（3）复数，当
时，叫纯虚数
4．复数相等的充要条件：
（1）在复数集C＝中，任取两个数我们规定：相等的充要条件是
，记作，特殊的
.
（2）一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.也就是说，当两个复数都是实数时，则可以比较大小；否则，不能比较大小.
5、你能用图来表示复数集、实数集、虚数集与纯虚数集之间的关系吗？
【典型例题】
【例1】说出下列复数的实部和虚部，并说明哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩.
实数：
虚数：
纯虚数：
【例2】实数取什么值时，复数是
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。
【例3】已知，其中，求.
【当堂达标】
1.，，则实数的值为
(
)
或
1或
2.以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是(
)
3.,,,,,那么的补集是（
）
A．S
B.C
C.R
D.Q
4.设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（
）
A.充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
5．求适合下列方程的和（的值；
（1）；
（2）
【巩固提高】
1.若是纯虚数，则实数的值为(
)
2.“复数为纯虚数”是“”的什么条件(
)
充分但不必要条件
必要但不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
3.方程的一个根是（
）
A．
B.
C．
D．
4.若复数和相等，则的值为（
）
或
5.若，其中，是虚数单位，则(
)
D
6.
若,若是虚数,则(
).
A.
B.
C.
D.
7.M＝｛1,｝，N＝｛1，3｝，M∩N＝｛1,3｝，则实数m的值为（
）
A.
4
B.－1
C.4或－1
D.1或6
8.下列四个命题：
①两个复数不能比较大小；②若，则的充要条件是；
③若实数与对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集.
其中为真命题的是
9.计算:1＋2i＋3＋…＋1000
10.设,求的值.
★11.实数取什么值时，复数是
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数
【学习反思】
第三章数系的扩充和复数的引入
第1节
数系的扩充和复数的概念
第2页
数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠(共21张PPT)
第三章
数系的扩充与复数的引入
3.1.1
数系的扩充和复数的概念
新课标人教A版高中数学选修2-2
第三章第1节第一课时
单元结构
1.了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充中的作用.
2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件（重点）
3.了解复数的代数表示法.（难点）
学习目标
3.1.1
数系的扩充和复数的概念
问题导入
我们知道：在实数集内，像
这样的方程没有根
知识回顾
在研究实际问题和代数方程的过程中，推动了数系的扩充：
1.自然数是“数”出来的，产生了自然数集N
；
2.为了使类似x＋5＝3的方程有解，引入了
N
Z
3.为了使类似5x＝3的方程有解，引入了
4.为了使类似x2＝3的方程有解，引入了
Q
R
负整数
分数
无理数
思考：数系的每次扩充有什么共同特点？
Z
Q
数系的扩充
自然数
整数
有理数
实数
N
Z
Q
R
2.用图形表示包含关系：
3.原有的加法、乘法的运算律仍然成立
引入新数
1.
新知探究
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
思考
引入一个新数：
满足
一元二次方程
没有实数根．
新数i满足：（1）i2＝－1；
（2）实数可以与
i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立．
一、虚数单位
i
满足：（1）它的平方等于
-1，即
（2）实数可以与它进行加法和乘法运算，且原有的交换律、结合律、分配律仍然成立．
知识建构
二、复数概念
形如a+bi(a,b∈R)的数
叫做复数，其中i是虚数单位.
全体复数所成的集合叫做复数集,用C表示
C＝{a＋bi|a，b∈R}
实部
三、复数的代数形式：
虚部
思考：复数集C和实数集R之间有什么关系？
四、复数的相关概念
当
a
=
0
且
时，z
=bi
叫做纯虚数．
当
时z
叫做虚数；
知识建构
当且仅当
时，z
是实数a
16世纪意大利米兰学者卡当，第一
个把负数的平方根写到公式中，在
讨论是否可能把10分成两部分，使
它们的乘积等于40时，他把答案写
成了
卡当（1501—1576）
意大利数学家、医生
知识拓展
给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(1596—1650)，他在《几何学》(1637年发表)中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来.
笛卡尔
(R.Descartes,1596—1650)
知识拓展
1777年
欧拉首次提出用i表示平方等于-1的新数
（1707-1783）
欧
拉
1801年
高斯系统使用了i这个符号使之通行于世．
（1777—1855）
高
斯
知识拓展
由复数所创造的复变函数理论，成为解决电磁理论，航空理论，原子能及核物理等尖端科学的数学工具.
知识拓展
请同学们小组讨论：（1）总结复数的分类
（2）所有数集间的关系（3）方程
x2＝－1的根
复数
N
Z
Q
R
C
深化理解
（1）
（2）
（3）
方程
x2＝－1的根是
知识运用
①③④⑩
②⑤⑥⑦⑧⑨
②⑦⑨
例2、实数m取什么值时，复数
是（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
解：（1）当
，即
时，复数z
是实数．
（2）当
，即
时，复数z
是虚数．
（3）当
，且
，即
时，复
数
z
是纯虚数．
知识运用
五、相等复数
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即如果
，那么
说明：两个复数只能说相等或不相等
知识建构
思考：“任何两个复数都不能比较大小”，这种说法对吗？
不对.如果两个复数是实数，就可以比较大小.
知识运用
解得
解：因为
所以根据复数相等的定义，得方程组
5、求适合下列方程的x和y(x,y∈R)的值：
当堂达标
1.
虚数单位i的引入，数系的扩充；
2.
复数有关概念：
复数的代数形式:
复数的实部、虚部
3.复数相等：
复数的分类
课堂小结
4.思想方法：类比，复数问题实数化
课后作业
1、完成学案30；
2、预习下一课时3.1.2
