新人教A版选修(2-2)2.2.2《反证法》课件（23张ppt）

路边苦李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?请说明你的理由。
　　显然这与故事中的李树长满果子相矛盾。说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？
假如李子不是苦的，也就是说李子是甜的，那么按照惯例长在大路边的李子应该经常会被过路人吃掉，那么，树上的李子还会有这么多吗？
所以，李子是苦的
2.2.2 反证法
学习目标
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．
2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
一、问题情境
小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”
你能对小华的判断说出理由吗？
　　假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
小华的理由：
我们可以把这种说理方法总结一下：
1．反证法
假设原命题______(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了__________，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法常见矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与________、____、____、____等矛盾．
知新益能
不成立
假设错误
原命题成立
已知条件
公理
定义
定理
用反证法证明否定性命题
结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类命题的反面比较具体，适于应用反证法．
【例1】已知：如图△ABC中，D、E两点分别在AB和AC上
求证：CD、BE不能互相平分
（平行四边形对边平行）
证明：假设CD、BE互相平分
连结DE，故四边形BCED是平行四边形
∴BD∥CE
这与BD、CE交于点A矛盾
假设错误， ∴CD、BE不能互相平分
变式训练1　已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca不大于零．
证明：假设ab＋bc＋ca>0，
因为a2＋b2＋c2≥0.
则(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)>0.
所以(a＋b＋c)2>0，即a＋b＋c≠0，这与a＋b＋c＝0矛盾，所以假设不成立，故ab＋bc＋ca≤0.
当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、等指示性词语时，宜用反证法．注意“至少有一个”、“至多有一个”、“都是”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两个”、“不都是”．
用反证法证明“至多”，“至少”问题
【例2】已知a≥－1，求证三个方程：
x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．
结论以“有且只有一个”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性简单明了．
【方法引导】　证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．
用反证法证明唯一性问题
【例3】求证方程2x＝3有且仅有一个实根．
【变式训练3】已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根.
假设结论的反面正确
推理论证
得出结论
回顾与归纳
反设
归谬
结论
得出矛盾（已知、
公理、定理等）
假设不成立，原
命题成立.
课堂练习
1.写出下列各结论的反面：
（1）a//b；

（2）a≥0；
（3）b是正数；
（4）a⊥b
a<0
b是0或负数
a不垂直于b
a∥b
2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。
求证：PB≠PC
A
B
C
P
证明：假设PB=PC。
在△ABP与△ACP中
AB=AC(已知）
AP=AP（公共边）
PB=PC（已知）
∴△ABP≌△ACP（S.S.S)
∴∠APB=∠APC(全等三角形对应边相等）
这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾，假设不成立.
∴PB≠PC
全课总结
1、知识小结：
反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论
2、难点提示:
利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出命题结论的反面。
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
??
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。
作业：
练习：学案中巩固提高
　　 习题91页：A组
独立
作业
谢谢大家