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2019-2020学年西安市蓝田县高二第二学期期末
数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题）
1.
复数（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可.
【详解】因为复数
.
故选：B
【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，属于基础题.
2.
设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则=(
)
A.
2
B.
1
C.
D.
6
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数概念直接求解．
【详解】解：∵函数f（x）在x＝1处存在导数，
∴f′（1）=．
故选C．
【点睛】本题考查导数的概念，是基础题，解题时要认真审题，注意导数定义的合理运用．
3.
在一组样本数据（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（
）
A.
B.
1
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据样本数据的所有样本点都在一条直线上，得出这组样本数据完全相关，再根据直线的斜率得出是正相关还是负相关即可.
【详解】解：这组样本数据的所有样本点都在直线上，
这组样本数据完全相关，
即说明这组数据的样本完全正相关，其相关系数是1.
故选：B.
【点睛】本题考查变量的正负相减，一般在散点图中，所有点都在一条斜率为正的直线，则这两个变量正相关，如果所有点在一条斜率为负的直线附近，则这两个变量呈负相关．
4.
袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是(
)
A
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出第一次摸到黑球的概率，再求出第二次摸到白球的概率，利用条件概率的求法公式即可求解.
【详解】设第一次摸到黑球为事件，则，
第二次摸到白球为事件，则，
设第一次摸到黑球的条件下，
第二次摸到球的概率为.
故选：C.
【点睛】本题考查了条件概率的求法，属于基础题.
5.
下列求导运算正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由导数公式，导数的运算法则以及复合函数求导的法则，进行判断即可.
【详解】
函数可看作函数和的复合函数，根据复合函数的求导法则有
故选：B
【点睛】本题主要考查了导数公式，导数的运算法则以及复合函数求导的法则的应用，属于基础题.
6.
若，则n等于（
）
A.
11
B.
12
C.
13
D.
14
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合组合数的性质，可得，再结合组合数的性质，从而得到关于n的方程，解方程即可.
【详解】解：根据题意，变形可得，；
由组合性质可得，，即，
则可得到.
故选：B.
【点睛】本题考查组合数的性质，掌握组合数性质是解题关键．组合数的两个性质：（1）；（2）．
7.
曲线在点处切线方程为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的斜截式得答案.
【详解】由，得，
，
曲线在点处的切线方程为.
即.
故选：D.
【点睛】本题考查利用导数求曲线上在某点切线方程的斜率，考查直线的斜率、导数的几何意义等基础知识，属于基础题．
8.
将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方案有（
）
A.
12种
B.
9种
C.
8种
D.
6种
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分步计数原理求得不同的分配方案总数.
【详解】每名防控新冠疫情志愿者都有两种不同的分配方法，根据分步计数原理可知，不同的分配方案总数为种.
故选：C
【点睛】本小题主要考查分步计数原理，属于基础题.
9.
已知在最小二乘法原理下，具有相关关系的变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的相关数据如表所示，则下列说法正确的是（
）
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
A.
变量x，y之间呈现正相关关系
B.
可以预测，当时，
C.
可求得表中
D.
由表格数据知，该回归直线必过点
【答案】D
【解析】
【分析】由x与y的线性回归方程中x系数的正负可判断选项A；把代入回归直线方程算出的值可判断选项B；先根据表格中的数据求出样本中心点，再将其代入线性回归方程，解之即可得m的值，从而判断C，D．
【详解】解：由x与y的线性回归方程可知，，
变量x，y之间呈现负相关关系，即A错误；
当时，，即B错误；
由表中数据可知，，，
根据样本中心点必在线性回归方程上，
有，解得，即C错误；
，，
样本中心点为，即D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查结尾回归直线方程，线性回归直线必定数据的中心点，用回归直线方程可对结论进行预测，要注意预测值不是确定的结果．
10.
函数是上的单调函数，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先对函数求导，得到，根据函数特征，以及题中条件，得到在上恒成立，再由判别式，即可得出结果.
【详解】因为，所以，
由于二次函数开口向上，所以二次函数在上不可能恒小于等于零，
所以函数不可能单调递减，所以函数是上的单调递增函数，
即在上恒成立，
所以，.
故选：A
【点睛】本题主要考查由函数单调求参数的问题，灵活运用导数的方法求解即可，属于常考题型.
11.
李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次．已知月日李明分别去了这四家超市配送，那么整个月他不用去配送的天数是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意将剩余天数编号，转化条件得李明每逢编号为3、4、6、7的倍数时要去配送，利用分类加法即可得解.
【详解】将月剩余的30天依次编号为1，2，330，
因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次，且月日李明分别去了这四家超市配送，
所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，
则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；
李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共5天；
李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；
李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共2天；
所以李明需要配送的天数为，
所以整个月李明不用去配送的天数是.
故选：B.
【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了逻辑推理能力、转化化归思想与分类讨论思想，关键是对于题目条件的转化与合理分类，属于中档题.
12.
已知函数（a为常数）有两个不同极值点，则实数a的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由导数与极值的关系知可转化为方程在R上有两个不等根，结合函数的性质可求.
【详解】函数有两个不同极值点，
有2个不等的实数根,
即有2个不等的实数根，
令，则在R上单调递增且，
当时单调递减，当时，单调递增，
所以函数有极小值也是最小值，
又当时，，，，
所以即可，
故选：C
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，转化思想，属于中档题.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.
某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有_______________种
【答案】9
【解析】
【分析】
根据题意，由分类加法原理完成选书这件事.即可得．
【详解】解：根据题意，选取的杂志可分三类：科普，文摘，娱乐新闻．
共种不同选法．
故答案为：9.
【点睛】本题考查计数原理，解题关键是确定完成事件的方法，本题可用分类加法原理．
14.
已知随机变量，若，则__________．
【答案】
【解析】
分析：根据随机变量服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x=1，且依据正态分布对称性，即可求得答案.
详解：随机变量服从正态分布
曲线关于x=1对称，
故答案为0.8.
点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，要熟练应用正态分布曲线的轴对称性解决问题.
15.
2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲，乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法共有_______________种.
【答案】90
【解析】
【分析】
根据题意，分2步进行分析：①将6人平均分成3组，②将分好的三组对应甲乙丙三个贫困县由分步计算原理计算可得答案.
详解】解：根据题意，分2步进行分析：
①将6人平均分成3组，有种分组方法，
②将分好的三组对应甲乙丙三个贫困县，有种情况，
则有种派出方法，
故答案为：90.
【点睛】本题考查排列组合的应用，考查分步计数原理和分组分配问题，解题关键是确定完成事件的方法．
16.
已知函数是定义在R上连续的奇函数，为的导函数，且当时，成立，则函数的零点个数是_______________.
【答案】1
【解析】
【分析】
分析可得g（x）为R上连续的奇函数，且在R上为增函数，说明函数只有1个零点，可得选项.
【详解】，函数是定义在R上连续的奇函数，
则函数，其定义域为R，
则，
则为R上连续的奇函数，，
则，
又由当时，，
则有，即函数为上的增函数，
又由为R上连续的奇函数，且，
则为R上的增函数，
故函数只有1个零点，
故答案为：1.
【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性、以及函数的零点个数的判断，属于中档题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.
已知函数，且.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的单调区间.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）单调递增区间为，，单调递减区间为.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求导代入求解；（Ⅱ）根据导函数的正负与函数单调性的关系求解.
【详解】解：（Ⅰ）由已知，
所以
，
所以
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
解，得或，
解，得.
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
【点睛】本题主要考察导函数与原函数单调性的关系，考查函数单调性的判断，属于基础题.
18.
已知，复数.
（Ⅰ）若z在复平面内对应的点在第一象限，求m的取值范围；
（Ⅱ）若z的共轭复数与复数相等，求m的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由实部与虚部均大于0联立不等式组求解；
（Ⅱ）写出，再由复数相等的条件列方程组求解.
【详解】解：（Ⅰ）由题意，，
解得；
（Ⅱ）由，
得，
又与复数相等，
，解得.
【点睛】本题考查复数的概念，复数的相等与共轭复数的定义，属于基础题．
19.
在的展开式中，求：
（Ⅰ）的系数；
（Ⅱ）如果第项和第项的二项式系数相等，求r的值.
【答案】（Ⅰ）180；（Ⅱ）2.
【解析】
【分析】先求出展开式的通项.
（Ⅰ）令通项中x的指数为8，求出k的值即可；
（Ⅱ）写出该两项的二项式系数，令其相等，求出r的值.
【详解】解：（Ⅰ）二项式展开式的通项如下：
，由已知令，
所以.所以含项的系数为.
（Ⅱ）第项与第项的二项式系数相等，
则，即或.
解得，（舍）.
故r的值为2.
【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式通项公式．
20.
在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患有某种传染病的患者的相关信息，得到如表：
潜伏期（单位：天）
人数
85
205
310
250
130
15
5
该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.
潜伏期不超过6天
潜伏期超过6天
总计
50岁以上（含50岁）
100
50岁以下
55
总计
200
（Ⅰ）请将列联表补充完整；
（Ⅱ）根据列联表判断是否有95%把握认为潜伏期与患者年龄有关？
附：，其中.
0.05
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
【答案】（Ⅰ）列联表见解析；（Ⅱ）没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）1000名患者中潜伏期不超过6天的人数为600人，于是200名患者中潜伏期不超过6天的人数为120人，进而得50岁以上（含50岁）且潜伏期不超过6天的人数为65人，再补充完整列联表即可；
（Ⅱ）根据的参考公式计算出其观测值，并与附录中的数据进行对比即可得解.
【详解】解：（Ⅰ）1000名患者中潜伏期不超过6天的人数为人，
200名患者中潜伏期不超过6天的人数为人，
50岁以上（含50岁）且潜伏期不超过6天的人数为人.
补充完整的列联表如下：
潜伏期不超过6天
潜伏期超过6天
总计
50岁以上（含50岁）
65
35
100
50岁以下
55
45
100
总计
120
80
200
（Ⅱ），
故没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.
【点睛】本题考查列联表，考查独立性检验，解题关键是计算出．
21.
设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击互相独立.
（1）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；
（2）若甲连续射击3次，设命中目标次数为，求命中目标次数的分布列及数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见详解；
【解析】
【分析】
（1）方法一：设“至少有一人命中目标”为事件，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解；方法二：设“两人都没命中目标”为事件，利用概率乘法公式求出都不命中的概率，然后再利用间接法即可求解.
（2）的取值情况可能为0，1，2，3，利用独立重复试验的概率求法公式求出分布列，进而求出期望.
【详解】（1）方法一：设“至少有一人命中目标”为事件，
.
方法二：（或设“两人都没命中目标”为事件，.
“至少有一人命中目标”为事件，.
（2）的取值情况可能为0，1，2，3，
.
的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
以.
【点睛】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式、独立重复试验的分布列、期望，属于基础题.
22.
已知函数，，.
（1）求函数的极值点；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）对实数分情况讨论，求导得到导函数的正负，进而得到函数的单调性和极值；
（2）由条件可得恒成立，则当时，恒成立，令，对此函数求导得到函数的单调性和最值即可得到结果.
【详解】（1）函数的定义域为，.
当时，，所以在上单调递增，无极值点；
当时，解得；解得.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以函数有极大值点是，无极小值点；
（2）由条件可得恒成立，则当时，恒成立，
令，则，令，
则当时，，所以在上为减函数.
又，所以，当时，；当上，.
所以在上为增函数，在上为减函数.
所以，所以.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】对于函数不等式恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.____________________________________________________________________________________________
2019-2020学年西安市蓝田县高二第二学期期末
数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题）
1.
复数（
）
A.
B.
C.
D.
2.
设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则=(
)
A.
2
B.
1
C.
D.
6
3.
在一组样本数据（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（
）
A.
B.
1
C.
D.
4.
袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是(
)
A.
B.
C.
D.
5.
下列求导运算正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
6.
若，则n等于（
）
A.
11
B.
12
C.
13
D.
14
7.
曲线在点处的切线方程为（
）
A.
B.
C.
D.
8.
将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同社区服务，不同的分配方案有（
）
A.
12种
B.
9种
C.
8种
D.
6种
9.
已知在最小二乘法原理下，具有相关关系变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的相关数据如表所示，则下列说法正确的是（
）
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
A.
变量x，y之间呈现正相关关系
B.
可以预测，当时，
C.
可求得表中
D.
由表格数据知，该回归直线必过点
10.
函数是上的单调函数，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
11.
李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次．已知月日李明分别去了这四家超市配送，那么整个月他不用去配送的天数是（
）
A.
B.
C.
D.
12.
已知函数（a为常数）有两个不同极值点，则实数a的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.
某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有_______________种
14.
已知随机变量，若，则__________．
15.
2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲，乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法共有_______________种.
16.
已知函数是定义在R上连续的奇函数，为的导函数，且当时，成立，则函数的零点个数是_______________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.
已知函数，且.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的单调区间.
18.
已知，复数.
（Ⅰ）若z在复平面内对应点在第一象限，求m的取值范围；
（Ⅱ）若z的共轭复数与复数相等，求m的值.
19.
在的展开式中，求：
（Ⅰ）的系数；
（Ⅱ）如果第项和第项的二项式系数相等，求r的值.
20.
在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患有某种传染病的患者的相关信息，得到如表：
潜伏期（单位：天）
人数
85
205
310
250
130
15
5
该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.
潜伏期不超过6天
潜伏期超过6天
总计
50岁以上（含50岁）
100
50岁以下
55
总计
200
（Ⅰ）请将列联表补充完整；
（Ⅱ）根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关？
附：，其中
0.05
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
21.
设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击互相独立.
（1）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；
（2）若甲连续射击3次，设命中目标次数为，求命中目标次数分布列及数学期望.
22.
已知函数，，.
（1）求函数的极值点；
（2）若恒成立，求的取值范围.
