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蓝田县2019~2020学年度第二学期期末质量检测高一数学试题
一、选择题
1.
某县为了传承中华优秀传统文化，组织了一次全县600名学生参加的“中华经典诵读”大赛为了解本次大赛的选手成绩，随机抽取了其中50名选手的成绩进行统计分析在这个问题中，数字50是（
）
A.
样本
B.
总体
C.
样本容量
D.
个体
【答案】C
【解析】
【分析】
根据样本、总体、样本容量、个体的概念，即可知数字50的含义
【详解】总体：研究对象的全部
样本：从总体中抽取一部分个体的集合
样本容量：样本中个体的数量
个体：研究对象
∴结合题意，数字50表示样本容量
故选：C
【点睛】本题考查了统计的相关概念，需要理解总体、样本、样本容量、个体的含义，属于简单题
2.
在下列各图中，相关关系最强的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据散点图的形状，结合相关关系的定义逐一判断即可.
【详解】对于，图中各点成带状分布，这组变量具有较强的线性相关关系；
对于，图中所示的散点图中，样本点成片状分布，
两个变量的线性相关关系相对较弱，或不具有相关关系，故选A．
【点睛】本题主要考查散点图的应用，以及相关关系的判断，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
3.
下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是(
)
A.
频率就是概率
B.
频率是随机的，与试验次数无关
C.
概率是稳定的，与试验次数无关
D.
概率是随机的，与试验次数有关
【答案】C
【解析】
【分析】
根据频率、概率的概念，可得结果.
【详解】频率指的是：在相同条件下重复试验下，
事件A出现的次数除以总数，是变化的
概率指的是：
在大量重复进行同一个实验时，
事件A发生的频率总接近于某个常数，
这个常数就是事件A的概率，是不变的
故选：C
【点睛】本题考查频率与概率的区别，属基础题.
4.
已知，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦的倍角公式，代入即可求解.
【详解】根据余弦的倍角公式，可得.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了余弦的倍角公式的应用，其中解答中熟记余弦的倍角公式是解答的关键，属于基础题.
5.
下列事件中，随机事件的个数为（
）
①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上；②13个人中至少有两个人生肖相同；③某人买彩票中奖；④在标准大气压下，水加热到90℃会沸腾.
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据随机事件概念进行判断得解
【详解】抛掷一枚骰子，每一面出现都是随机的，所以①是随机事件；
一年只有12生肖，所以13个人中至少有两个人生肖相同是必然事件，所以②是必然事件；
购买彩票号码是随机的，某人买彩票中奖也是随机的，所以③是随机事件；
在标准大气压下，水加热到100℃才会沸腾.故④是不可能事件
故选：B
【点睛】本题考查随机事件概念，属于基础题.
6.
某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
则至少有两人排队的概率为（
）
A.
0.16
B.
0.26
C.
0.56
D.
0.74
【答案】D
【解析】
【分析】
利用互斥事件概率计算公式直接求解．
【详解】由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：
至少有两人排队的概率为：
．
故选：D．
【点睛】本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题．
7.
如图，在中，点是边的中点，，则用向量表示为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据题意，得到，，再由向量的加减运算，即可得出结果.
【详解】因为点是边的中点，所以，
又，所以，
因此.
故选：A.
【点睛】本题主要考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.
8.
PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下，空气质量为一级，在35~75μug/m3，空气质量为二级，超过75μg/m3为超标如图是某地6月1日至10日的PM2.5（单位：μg/m）的日均值，则下列说法错误的是（
）
A.
这10天中PM2.5日均值最低的一天是6月1日
B.
从1日到6日PM2.5日均值逐渐升高
C.
这10天中有2天空气质量超标
D.
这10天中PM2.5日均值的中位数是43
【答案】B
【解析】
【分析】
由折线图逐一分析数据，找出数据进行判断，即可求得结果，得到答案.
【详解】由折线图中的数据，可得：
这10天中PM2.5日均值最低的一天是6月1日，其中PM2.5日均值30μg/m3，所以A正确；
从1日到6日PM2.5日均值先升高后降低，升高，所以B不正确；
这10天中有2天空气质量超标，分别是第6天和第7天，所以C正确；
这10天中PM2.5日均值从小到达排列为：，
其中的中位数是，所以D正确.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了频率分布折线图的应用问题，其中解答中结合折线图中的数据逐项判定是解答的关键，着重考查识图、用图能力，属于基础题.
9.
一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都加上得到一组新数据，则下列说法正确的是（
）
A.
这组新数据的平均不变
B.
这组新数据的平均数为am
C.
这组新数据的方差为
D.
这组新数据的方差不变
【答案】D
【解析】
【分析】
考查平均数和方差的性质，基础题．
【详解】设这一组数据为，由，，
故选：D．
【点睛】本题主要考查方差的性质，考查了运算能力，属于容易题.
10.
将编号为001，002，003，…，300的300个产品，按编号从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用每小组选取的号码间隔一样的系统抽样方法抽取.一个样本，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（
）
A.
283
B.
288
C.
295
D.
298
【答案】B
【解析】
【分析】
根据系统抽样的方法，确定样本间隔，求出样本数，最后一个样本的编号即为样本中最大的编号.
【详解】根据分层抽样的特点，由第一组抽取的编号是003，
第二组抽取的编号是018，
则样本间隔为18-3=15，
共抽取样本数为，
则最大的编号为，
故选：B.
【点睛】本题考查了系统抽样方法，考查了样本间隔以及样本数的确定，属于简单题.
11.
某农业科学研究所分别抽取了试验田中海水稻以及对照田中的普通水稻各10株，测量了它们的根系深度（单位：cm），得到了如图所示的茎叶图，其中两竖线之间表示根系深度的十位数，两边分别是海水稻和普通水稻根系深度的个位数，则下列结论中不正确的是（
）
A.
海水稻根系深度的中位数是45.5
B.
普通水稻根系深度的众数是32
C.
海水稻根系深度的平均数大于普通水稻根系深度的平均数
D.
普通水稻根系深度的方差小于海水稻根系深度的方差
【答案】D
【解析】
【分析】
选项A求出海水稻根系深度中位数是，判断选项A正确；选项B写出普通水稻根系深度的众数是32，判断选项B正确；选项C先求出海水稻根系深度的平均数，再求出普通水稻根系深度的平均数，判断选项C正确；选项D先求出普通水稻根系深度的方差，再求出海水稻根系深度的方差，判断选项D错误.
【详解】解：选项A：海水稻根系深度的中位数是，故选项A正确；
选项B：普通水稻根系深度的众数是32，故选项B正确；
选项C：海水稻根系深度的平均数，普通水稻根系深度的平均数，故选项C正确；
选项D：普通水稻根系深度的方差，
海水稻根系深度的方差，故选项D错误
故选：D.
【点睛】本题考查根据茎叶图求中位数、众数、平均数、方差，是基础题.
12.
函数的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是（
）
A.
函数的图像可由的图像向左平移个单位得到
B.
函数的图像关于直线对称
C.
函数区间上单调递增
D.
函数图像的对称中心为
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图象可得，由函数图象的平移关系有是的图像向左平移单位得到，再利用正弦函数的图象与性质：单调区间、对称轴、对称中心即可判断各选项的正误
【详解】由图象知：且，而，有
∴
1、函数的图像可由的图像向左平移个单位得到，故A错误
2、由正弦函数对称轴，知：，即为对称轴方程，故B错误
3、因为在定义域内单调增，结合复合函数单调性有在上递增，即，，则为的一个单调增区间，故C错误
4、由正弦函数对称中心，知：，，即，为对称中心，故D正确
故选：D
【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质，首先根据图象求三角函数的解析式，再由函数图象确定与其它函数的平移关系，最后利用正弦函数的性质判断单调区间、对称轴及对称中心是否正确
二、填空题
13.
已知扇形的圆心，弧长为，则该扇形的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】
用弧长公式求出扇形半径，再用扇形面积公式得解.
【详解】因为扇形的圆心，弧长为
，，
故答案为：
【点睛】本题考查弧长公式和扇形面积公式，属于基础题.
14.
利用计算机产生0~1之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
本题先化简得到，再求事件发生的概率即可.
【详解】解：事件“”，即事件“”，
而是之间的随机数，故事件发生的概率为：，
故答案为：
【点睛】本题考查随机事件的概率，是基础题.
15.
已知，，，则，，的大小关系为______.
【答案】
【解析】
【分析】
同角三角函数关系知，又由的区间单调性知，根据的区间单调性知，即可知，，的大小关系
【详解】，而
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了比较三角函数值的大小，根据正弦函数、正切函数的区间单调性及正弦函数的值域范围，比较函数值的大小
16.
蟋蟀鸣叫声可以说是大自然的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率（每分钟鸣叫的次数）与气温（单位：℃）有着很大的关系.某观测人员根据下表中的观测数据计算出关于的线性回归方程，则下表中的值为______.
（℃）
38
41
42
39
（次数/分钟）
29
44
36
【答案】51
【解析】
【分析】
本题先计算，，再代入回归方程计算得到答案.
【详解】计算，，
代入与的线性回归方程中，得，解得.
故答案为：51.
【点睛】本题考查了根据回归方程求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，是基础题.
三、解答题
17.
已知函数.
（Ⅰ）化简；
（Ⅱ）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据诱导公式化简分子、分母，即可得，进而可得最简形式；（2）根据两角和的正切公式有，结合已知求得，即可求函数值
【详解】（1），
∴
∴
（2）由，知：，即
又，所以
【点睛】本题考查了利用诱导公式化简函数式，并由已知函数值，结合两角和的正切公式求函数值，属于简单题
18.
某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织数学学科考试，随机抽取50名学生的成绩（满分150分，且抽取的学生成绩都在[95,145]内）并制成频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩.（同一组中的数据以该组区间的中点值作代表）
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）本小题先建立方程，再求即可；
（2）本小题直接通过频率分布直方图求50名同学的数学平均成绩即可.
【详解】解：（1）根据频率分布直方图有：，解得：；
（2）50名同学的数学平均成绩：，
【点睛】本题考查补全频率分布直方图，利用频率分布直方图求平均数，是基础题.
19.
设，为两个不共线的向量，若，.
（Ⅰ）若，求实数的值；
（Ⅱ）若，是夹角为的单位向量，且，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先求出，再建立方程求解即可；
（2）先求出，再建立方程求解即可.
【详解】解：（1）因为，，
所以，
因为，则，，则
所以，解得，
（2）因为，是夹角为单位向量，所以
，
解得：
【点睛】本题考查利用向量共线与向量垂直求参数，是基础题
20.
已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36，24，12.现采用分层抽样的方法从中抽取6人，进行睡眠质量的调查.
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？
（Ⅱ）现从6人中随机抽取2人做进一步的身体检查，求抽取的2人来自同一兴趣小组的概率.
【答案】（1）甲、乙、丙分别抽取3人、2人、1人；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据分层抽样的比例原则，由即可求抽取6人从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中各抽取的人数；（2）从6人中随机抽取2人且来自同一兴趣小组的事件{来自甲小组，来自乙小组}，根据无放回试验的概率，分别求出2人来自甲小组、来自乙小组的概率，它们的和即为所求
【详解】（1）由甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36，24，12，根据分层抽样原则
甲、乙、丙分别占总学生人数的比为、、
∴采用分层抽样的方法从中抽取6人中：甲中抽取人，乙中抽取人，丙中抽取人
（2）由（1）知：抽取的2人来自同一兴趣小组：{来自甲小组，来自乙小组}
∴2人为甲小组的概率：；2人为乙小组的概率：
故抽取的2人来自同一兴趣小组的概率：
【点睛】本题考查了概率，根据分层抽样的原则，按不同层次总体数量比例抽取固定数量个体，求各层次个体抽取的数量，利用无放回试验，结合概率加法公式求概率
21.
某产品在3-7月份销售量与利润的统计数据如下表：
月份
3
4
5
6
7
销售量（单位：万件）
3
6
4
7
8
利润（单位：万元）
19
34
26
41
46
（Ⅰ）已知销售量与利润大致满足线性相关关系，请根据前4个月的数据，求出关于的线性回归方程；
（Ⅱ）若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据误差不超过2万元，则认为得到的利润估计是理想的.请用表格中7月份的数据检验由（Ⅰ）中回归方程所得的该月的利润的估计数据是否理想？
参考公式：，.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）是理想的.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先求，，再利用参考公式代入求值即可；
（Ⅱ）当时，，，即可判定.
【详解】解：（Ⅰ）有题意：，，
，，
所以关于的线性回归方程：，
（Ⅱ）由题意得，当时，，，
所以用表格中7月份的数据检验由（Ⅰ）中回归方程所得的该月的利润的估计数据是理想的.
【点睛】本题考查线性回归方程，并利用线性回归方程检验模型是否理想，是基础题
22.
已知函数的最小正周期为.
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）当时，函数恰有两个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由二倍角公式及降幂公式化简函数，根据函数周期求出，写出函数单调减区间即可；
（2）根据，求出函数的值域，并结合图象，根据与图象有2个交点，即可求解.
【详解】（1）
又因为周期为，所以，，
所以，
令,
解得
故其单调递减区间为．
当时，．
当时，．
（2）因为时，所以．
令，
则，
由函数恰有两个不同的零点，
得函数的图像与直线恰有两个不同的交点，
如图：
结合图像可知，即，
综上，实数的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变形，正弦型函数的图象与性质，零点与函数图象交点的转化，是中档题.____________________________________________________________________________________________
蓝田县2019~2020学年度第二学期期末质量检测高一数学试题
一、选择题
1.
某县为了传承中华优秀传统文化，组织了一次全县600名学生参加的“中华经典诵读”大赛为了解本次大赛的选手成绩，随机抽取了其中50名选手的成绩进行统计分析在这个问题中，数字50是（
）
A.
样本
B.
总体
C.
样本容量
D.
个体
2.
在下列各图中，相关关系最强的是（
）
A.
B.
C.
D.
3.
下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是(
)
A.
频率就是概率
B.
频率是随机的，与试验次数无关
C.
概率是稳定的，与试验次数无关
D.
概率是随机的，与试验次数有关
4.
已知，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
5.
下列事件中，随机事件的个数为（
）
①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上；②13个人中至少有两个人生肖相同；③某人买彩票中奖；④在标准大气压下，水加热到90℃会沸腾.
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
6.
某超市收银台排队等候付款人数及其相应概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
概率
0.1
0.16
0.3
03
0.1
0.04
则至少有两人排队的概率为（
）
A.
0.16
B.
0.26
C.
0.56
D.
0.74
7.
如图，在中，点是边的中点，，则用向量表示为（
）
A.
B.
C.
D.
8.
PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下，空气质量为一级，在35~75μug/m3，空气质量为二级，超过75μg/m3为超标如图是某地6月1日至10日的PM2.5（单位：μg/m）的日均值，则下列说法错误的是（
）
A.
这10天中PM2.5日均值最低的一天是6月1日
B.
从1日到6日PM2.5日均值逐渐升高
C.
这10天中有2天空气质量超标
D.
这10天中PM2.5日均值的中位数是43
9.
一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都加上得到一组新数据，则下列说法正确的是（
）
A.
这组新数据的平均不变
B.
这组新数据的平均数为am
C.
这组新数据的方差为
D.
这组新数据的方差不变
10.
将编号为001，002，003，…，300的300个产品，按编号从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用每小组选取的号码间隔一样的系统抽样方法抽取.一个样本，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（
）
A.
283
B.
288
C.
295
D.
298
11.
某农业科学研究所分别抽取了试验田中的海水稻以及对照田中的普通水稻各10株，测量了它们的根系深度（单位：cm），得到了如图所示的茎叶图，其中两竖线之间表示根系深度的十位数，两边分别是海水稻和普通水稻根系深度的个位数，则下列结论中不正确的是（
）
A.
海水稻根系深度的中位数是45.5
B.
普通水稻根系深度的众数是32
C.
海水稻根系深度的平均数大于普通水稻根系深度的平均数
D.
普通水稻根系深度的方差小于海水稻根系深度的方差
12.
函数的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是（
）
A.
函数的图像可由的图像向左平移个单位得到
B.
函数的图像关于直线对称
C.
函数在区间上单调递增
D.
函数图像的对称中心为
二、填空题
13.
已知扇形的圆心，弧长为，则该扇形的面积为______.
14.
利用计算机产生0~1之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为______.
15.
已知，，，则，，的大小关系为______.
16.
蟋蟀鸣叫声可以说是大自然的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率（每分钟鸣叫的次数）与气温（单位：℃）有着很大的关系.某观测人员根据下表中的观测数据计算出关于的线性回归方程，则下表中的值为______.
（℃）
38
41
42
39
（次数/分钟）
29
44
36
三、解答题
17.
已知函数
（Ⅰ）化简；
（Ⅱ）若，求的值.
18.
某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织数学学科考试，随机抽取50名学生的成绩（满分150分，且抽取的学生成绩都在[95,145]内）并制成频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩.（同一组中的数据以该组区间的中点值作代表）
19.
设，为两个不共线的向量，若，.
（Ⅰ）若，求实数的值；
（Ⅱ）若，是夹角为的单位向量，且，求实数的值.
20.
已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36，24，12.现采用分层抽样的方法从中抽取6人，进行睡眠质量的调查.
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？
（Ⅱ）现从6人中随机抽取2人做进一步的身体检查，求抽取的2人来自同一兴趣小组的概率.
21.
某产品在3-7月份销售量与利润的统计数据如下表：
月份
3
4
5
6
7
销售量（单位：万件）
3
6
4
7
8
利润（单位：万元）
19
34
26
41
46
（Ⅰ）已知销售量与利润大致满足线性相关关系，请根据前4个月数据，求出关于的线性回归方程；
（Ⅱ）若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据误差不超过2万元，则认为得到的利润估计是理想的.请用表格中7月份的数据检验由（Ⅰ）中回归方程所得的该月的利润的估计数据是否理想？
参考公式：，.
22.
已知函数最小正周期为.
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）当时，函数恰有两个不同的零点，求实数的取值范围.
