《离散型随机变量》测评练习
1.已知随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
4
5
P
0.1
0.2
0.3
0.2
0.1
0.1
求EX
2.若对于某个数学问题,甲乙两人都在研究,甲解出该题的概率为,乙解出该题的概率为,设解出该题的人数为.
3.设随机变量具有分布列为1,2,3,4,5,6),求
答案：1.2.3
2.
3.，10
备选题：
1.设则等于
A.45
B.40
C.30
D.15
2.已知随机变量X的分布列是
X
4
A
9
10
P
0.3
0.1
B
0.2
EX=7.5,则A等于
A.5
B.6
C.7
D.8
3.下列正确的是
A.
随机变量的均值是常数,而样本的平均值是随机变量
B.
数学期望反映了离散型随机变量取值的总体水平
C.
离散型随机变量的期望一定是它在试验中出现的概率的最大值
D.
简单随机样本的容量不会影响对总体均值的估计
4.
口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（
）
A．4； B．5； C．4.5； D．4.75离散型随机变量的均值教学设计
一、教学准备
1．教学目标
（1）通过实例帮助学生体会取有限值的离散型随机变量的均值含义；
（2）通过比较使学生认识随机变量的均值与样本的平均值的区别与联系，并明确随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近随机变量的均值；
（3）在对具体实例的分析中，体会离散型随机变量分布列是全面的刻画了它的取值规律，而随机变量的均值则是从一个侧面刻画随机变量取值的特点；
2．教材解析
（1）内容解析：本课是一节概念新授课，数学期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数．学习数学期望将为今后学习概率统计知识做铺垫．同时，它在市场预测、经济风险与决策等领域有着广泛的应用，对今后学习及相关学科产生深远的影响．根据以上分析，本节课的教学重点确定为：离散型随机变量的均值或期望的概念．
（2）学情诊断：本节是在《必修》中学习了样本的平均数和方差的基础上，学习离散型随机变量的均值．离散型随机变量可以看成是刻画某一总体的量，它的均值也就是总体的均值，一般它们是未知的，但都是确定的的常数；样本的平均值是随机变量．对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均数越来越接近于总体的平均值．本节重点是用均值解决实际问题，在解决实际问题的过程中使学生理解均值的含义．问题1从平均的角度引入随机变量均值的概念，直观上通过分析1kg混合糖果的组成，学生容易得到合理的价格，即价格是三种糖果价格的加权平均，至此问题已解决．问题2考虑1kg的糖果如何从混合糖果中取出，通过对问题的探讨，就把混合糖的合理价格理解为随机变量的值的加权平均，这个权就是相应的概率，把这个想法抽象出来，就可以得到随机变量均值的概念．问题3有助于理解随机变量均值的含义，它可以看成是这个随机变量的均值，即随着观察这个随机变量次数的增加，所得观测数据的平均值越来越接近于这个随机变量的均值．
根据以上分析，本节课的教学难点确定为：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．
（3）教学对策：利用思考栏目中的问题直接提出问题，引导学生理解混合糖果合理价格表达式中权的含义，由此引入取有限的离散型随机变量的均值的定义．这里的平均水平的含义是：反复对这个随机变量进行独立观测，随着观测次数的增加，得到的各个观测值的平均值越来越接近于这个随机变量的均值．
二、教学过程
课程设计
教学过程
设计意图
问题引入一、问题1：如果你期中考试各门成绩为：90、80、77、68、85、91；那你的平均成绩是多少？学生答：（90+80+77+68+85+91）÷6=81.8教师：得数是各门学科的平均数，各门学科的成绩在平均数中所占的比重均等，所以也可以看成：
从平均数的概念出发，结合生活中的实际问题，提出问题，紧扣学生的最近发展区。
问题引入二、问题2：在一次数学测试中,某班60人中,选择题50分,45分,40分,35分的人数分别12个,30个,15个和3个,那么该班选择题平均得分是多少?教师：44.25这个得数也是一种平均数，只是在计算平均数时，我们根据每个数据所占的比重不同在它的前面所乘的系数也不同，这样得到的平均数我们叫做加权平均数。即：教师：权：称棰，权衡轻重的数值；加权平均：计算若干数量的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数。
由样本平均数→样本加权平均，层层深入逐步让学生领悟均值就是：取值与其相应概率乘积之和。
问题引入三、问题3.某商场要将单价为18元/kg,24元/kg,36元/kg的3种糖果按3:2:1的比例混合销售,如何对混合糖果定价才合理?
你能解释该问题中每个权数所代表的实际含义吗？讨论：表示各种糖果在混和时所占的比例；教师：如果我们把混合糖果搅拌充分均匀，那么我们从中任取1kg的糖果，其中各种糖果所占的比例应该约为各个权数；如果我们任取一个糖果，这时各个权数对于这个样本糖果而言含义是什么？学生答：它是各个价位糖果的可能性。教师：也就是说这个糖果是18元/kg的概率为，为24元/kg的概率为，为36元/kg的概率为，那我们这时就可以换个角度：设混合糖果中各糖果的单价为随机变量X，那么Ｘ的取值可能是：18、24、36；取到各个值的概率分别为：、、；相当于知道了该离散型随机变量X的分布列：X182436P
那么我们所得到的合理价格应该就是X取值的一个加权平均数。即：合理价格=18×+24×+36×=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)
以学生熟悉的实际生活问题为背景，从求学生熟悉的样本平均数为出发点，以问题串为主线，以师生互动为基本活动方式，采用小碎步层层递进，逐步深入的方法，最终得出“离散型随机变量X
取值的平均值就是离散型随机变量X
的所有取值与其相应概率乘积之和”的结论.这样，既可使学生感受数学与生活的联系，又可激发学生的学习兴趣和热情.同时更是考虑到“离散型随机变量的均值”这一知识的最近发展区就是样本平均值与概率，有利于学生进行知识的正向迁移，也为下一步学生通过概括、抽象得出科学定义做好了铺垫.
概括抽象、构建概念：如果你知道了一个离散型随机变量的分布列：XX1X2x3PP1P2P3该随机变量的平均取值应该怎样计算？学生答：x1p1+x2p2+…+xn
pn教师：我们称上式计算所得的加权平均数叫做离散型随机变量X的均值或者数学期望，记为：EX=
x1p1+x2p2+…+xn
pn
它反映了Ｘ取值的平均水平。注意：该平均数与以往的平均数有哪里不同？它是加权平均。根据什么来确定权数？所取值的概率。
这样设计可以使学生经历离散型随机变量均值概念的形成过程，体验从具体问题中概括、抽象，形成定义的思想方法，体会概括、抽象是一种常用的数学逻辑方法，使学生学会科学定义的方法.
【学以致用】问题1：例1.
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.8，求他罚球一次得分的期望.问题2：若X服从两点分布,则EX=_______________.若X服从二项分布,即,则EX=___________________.请证明你的结论:思考:随机变量的均值与样本的平均值有何联系与区别例2.
一次单元测验由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分
学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
.例3.
根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.
01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60
000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3
种方案：方案1：运走设备，搬运费为3
800
元．
方案2：建保护围墙，建设费为2
000
元．但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不发生洪水．试比较哪一种方案好．
生活中蕴涵数学知识,数学知识又能解决生活中的问题。例题与生活密切联系,让学生感受数学在生活中的广泛应用。
设计亮点：以学生熟悉的实际生活问题为背景，从求学生熟悉的样本平均数为出发点，以问题串为主线，以师生互动为基本活动方式，采用小碎步层层递进，逐步深入，让学生经历了：样本平均数→加权平均数→概率意义下平均（随机变量的期望）概念的形成过程。
【课堂小结】
(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；
(2)样本平均值和随机变量均值的区别与联系；
(3)求离散型随机变量的期望的基本步骤：
①理解的意义，写出可能取的全部值；
②求取各个值的概率，写出分布列；
③根据分布列，由期望的定义求出．公式。
三、教学反思
本节课在情境创设，例题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值，在教学中注意观察学生是否置身于数学学习活动中，是否兴趣浓厚、探究积极，并愿意与老师、同伴交流自己的想法．通过学生回答问题，举例，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解和运用．教师根据反馈信息适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、充分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的亮点给予表扬，树立自信心，帮助他们积极向上．让学生学以致用，真正感受到数学无穷的魅力所在．
四、教学点评
通过创设情境激发学生学习数学的兴趣，引导学生分析问题、解决问题．通过概念的构建，培养学生归纳、概括等合情推理能力．再通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识．“授之以鱼，不如授之以渔”，注重发挥学生的主体性，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题．(共12张PPT)
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟
少年易学老难成，一寸光阴不可轻
不积跬步，无以至千里;
不积小流，无以成江海
敏而好学，不耻下问
业精于勤，荒于嬉;
行成于思，毁于随
成功是一个过程，并不是一个结果
细节决定成败，态度决定一切
普通高中课程标准数学2-3(选修)
2.3.1
离散型随机变量的数学期望
一、创设引入
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.
二、概念形成
概念：离散型随机变量的数学期望(均值)
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
则称
为随机变量X的平均值或数学期望(mathematical
expectation)。
···
···
···
···
几点说明：
(1)均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
(2)在有限取值离散型随机变量X的分布中，若p1=p2=p3=…=pn，此时
这说明数学期望与平均值具有相同的含义。
(3)样本平均值是个变量，随着样本的改变而变化；随机变量的均值是常数。
三、合作探究
离散型随机变量的数学期望(均值)的性质
性质1：若随机变量Y=aX+b，其中a，b为常数，则
E(Y)=aE(X)+b。
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分。已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？
解：因为X可取的值为0，1，所以X服从两点分布，
X
0
1
P
0.3
0.7
所以，E(X)=0×0.3+1×0.7=0.7
性质2：若随机变量X服从两点分布，则E(X)=p。
小结：
三、合作探究
性质3：若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，则E(X)=np
四、应用举例
例2.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
四、应用举例
例3.根据天气预报，某地区下个月有小洪水的概率是0.25，有大洪水的概率是0.01。设工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元；
方案2：建保护围墙，建设费为2000
元。但围墙只能防小洪水；
方案3：不采取措施，
希望不发生洪水。
试比较哪一种方案好。
五、当堂反馈
课堂总结
1.离散型随机变量X的数学期望的概念
2.数学期望的性质
(2)随机变量X服从两点分布、参数为n，p二项分布、参数为N，M，n的超几何分布的数学期望公式
一、知识小结
二、思想方法小结
1、由特殊到一般
2、类比转化
七、布置作业
必做题：学案当堂作业
选作题：提高题
