北师大版数学九年级下册 3.5 确定圆的条件 课件（32张ppt)

第三章 圆
第5节 确定圆的条件
1
课堂讲解
确定圆的条件
三角形的外接圆与外心
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
1、过一点可以作几条直线？
2、过几点可确定一条直线？
过几点可以确定一个圆呢？
1
知识点
确定圆的条件
知1－导
经过一个已知点A能确定一个圆吗?
A
经过一个已知点能作无数个圆.
你怎样画这个圆?
知1－导
经过两个已知点A、B能确
定一个圆吗?
A
B


它们的圆心都在线段AB的中垂线上.
经过两个已知点A、B
所作的圆的圆心在怎
样的一条直线上?
经过两个已知点A、B能作无数个圆
知1－导
A
B
C
过如下三点能不能做圆? 为什么?
不在同一直线上的三点确定一个圆
知1－讲
如图所示，点A，B，C 在同一条直线上，点D 在直线AB 外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
例1
导引：
（1）四个点中取三个点的组数；
（2）去掉三点共线的组数.
C
知1－讲
解：
过不在同一条直线上的三点确定一个圆，在点A，
B，C，D 四个点中取三个点的方法有：点A，B，C；点A，B，D；点B，C，D；点A，C，D，共四组. 又因A，B，C 三点在同一条直线上，故过这四
个点中的任意三个点能画圆的个数为3.
总 结
知1－讲
确定一个圆要具备两个关键点：
已知三个点，若已知两个点或一个点，都无法确定圆；
三个点不在同一条直 线上.
知1－练
如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，
B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(　　)
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M
1
B
知1－练
下列说法中正确的是(　　)
A．两个点确定一个圆
B．三个点确定一个圆
C．四个点确定一个圆
D．不共线的三个点确定一个圆
2
C
2
知识点
三角形的外接圆与外心
知2－讲
已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆.
A
B
C
O
知2－讲
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.
知2－讲
如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.
外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.
C
A
B
O
知2－讲
三角形外接圆的作法：
(1)作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；
(2)以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一
点的距离为半径作圆即可．
知2－讲
如图所示，△ ABC 内接于⊙ O，∠ C=45 °，AB=4，求⊙ O 的半径.
例2
知2－讲
导引：
连接OA，OB，设⊙ O 的半径为r.
∵∠ C=45°，∴∠ AOB=2 ∠ C=90°.
∴ OA2+OB2=AB2，即r2+r2=42.
解得r1=2 2 ，r2=-2 （不符合题意，舍去）.
∴⊙ O 的半径为2 .
总 结
知2－讲
求三角形的外接圆半径的方法：
求三角形的外接圆半径时, 最常用的方法是作出圆心与三角形顶点的连线( 即半径)，或延长使这条半径变为直径, 将求半径转化为直角三角形中求边的长.
知2－讲
如图1，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，求⊙O的半径．
例3
图1
知2－讲
导引：
要求⊙O的半径，已知弦AB的长，需以AB为边与
⊙O的半径(或直径)构成等腰直角三角形，因此有
两个切入点．方法一：如图2，连接OA，OB，利
用圆周角定理可得∠AOB＝2∠C＝90°，再利用
勾股定理求出半径；方法二：
如图2，作直径AD，连接BD，
利用同弧所对的圆周角相等，得
∠D＝∠C＝45°，再利用勾股
定理可求出半径．
图2
知2－讲
解：
方法一：如图1，连接OA，OB，设⊙O的半径为r，
∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°.
∴OA2＋OB2＝AB2，即r2＋r2＝42.
解得r1＝2 ，r2＝－2 (不符合题意，舍去)．
∴⊙O的半径为2 .
图1
知2－讲
方法二：如图2，作直径AD，连接BD，设⊙O的半径
为r.
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°.
又∵∠D＝∠C＝45°，∴∠DAB＝45°.
∴BD＝AB＝4.
在Rt△ABD中，AB2＋BD2＝AD2，即42＋42＝(2r)2
解得r1＝2 ，r2＝－2 (不符合题意，舍去)．
∴⊙O的半径为2 .
图2
总 结
知2－讲
求三角形的外接圆半径时，最常用的办法是作出
圆心与三角形顶点的连线(即半径)，延长使这条半径
变为直径，将求半径转化为直角三角形中求边的长．
知2－练
已知下面的三个三角形，分别作出它们的外接圆. 它们外心的位置有怎样的特点？
1
解：作图略．经观察发现：锐角三角形的外心在三
角形的内部；直角三角形的外心在斜边的中点
处；钝角三角形的外心在三角形的外部．　
知2－练
下列说法中，真命题的个数是(　　)
①任何三角形有且只有一个外接圆；② 任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三
角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆．
A．1 B．2 C．3 D．4
2
B
知2－练
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(2，1)，点C的坐标为(2，－3)，
则经画图操作可知△ABC的外心坐标应是(　　)
A．(0，0)
B．(1，0)
C．(－2，－1)
D．(2，0)
3
C
知2－练
【中考·贵阳】小颖同学在手工制作中，把一个边
长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为(　　)
A．2 cm B．4 cm
C．6 cm D．8 cm
4
B
(1)只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小
才唯一确定.
(2)经过一个已知点能作无数个圆.
(3)经过两个已知点A、B能作无数个圆！这些圆的圆
心在线段AB的垂直平分线上.
(4)不在同一直线上的三个点确定一个圆.
(5)外接圆，外心的概念.
1
知识小结
【中考?龙东】若点O是等腰三角形ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC的面积为(　　)
A．2＋ B.
C．2＋ 或2－ D．4＋2 或2－
易错点：忽视三角形的外心与三角形的位置关系，出现漏解
2
易错小结
C
由题意可得，存在两种情况，当△ABC为钝角三角形时，如图中的△A1BC，
当△ABC为锐角三角形时，
如图中的△A2BC.
连接A1A2，交BC于D.
∵A1B＝A1C，A2B＝A2C，
∴A1A2垂直平分BC.∴A1A2为⊙O的直径，BD＝CD＝1.∵∠BOC＝60°，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形．∴OB＝OC＝BC＝2.
∴OD＝
∴S△ BC＝
S△ BC＝
∴△ABC的面积为2－ 或2＋
故选C.
谢谢！