人教版数学八年级上册12.3角的平分线的性质课件（17张）

(共17张PPT)
角的平分线的性质
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．　　
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用
对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
新知引入
问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD，BC=DC.将点A放
在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射
线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
A
B
C
(E)
D
依据SSS判定△ABC≌△ADC，
两全等三角形的对应角相等.
新知引入
作法：
(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，
交OA于点M，交OB于点N.
(2)分别以点MN为圆心，大于
MN的长为
半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
(3)画射线OC.
射线OC即为所求.
A
B
M
N
C
O
已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
仔细观察步骤
作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!
尺规作角平分线
新知讲解
∵△CMO≌△CNO(SSS)，
∴∠COM=∠CON.
已知：平角∠AOB.
求作：平角∠AOB的角平分线.
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点
作这条直线的垂线的方法.
A
B
O
C
新知讲解
尺规作角平分线
1.
操作：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE
⊥OB，点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
2.
观察测量，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结果：__________.
PD
PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
P
D
E
探究：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点.
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
新知讲解
角的平分线的性质
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
垂足分别为D，E.
求证：PD=PE.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴
∠PDO=∠PEO=90
°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=∠PEO，
∠AOC=∠BOC，
OP=OP，
∴
△PDO≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
新知讲解
验证：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
新知讲解
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
(1)角的平分线；
(2)点在该平分线上；
(3)垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
∵OP
是∠AOB的平分线，
∴PD
=
PE.
PD⊥OA，PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
新知讲解
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
(1)∵
如右图，AD平分∠BAC(已知)，
∴
=
，
(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
BD
CD
×
B
A
D
C
(2)∵
如右图，
DB⊥AB，DC⊥AC
(已知).
∴
=
,
(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
BD
CD
×
B
A
D
C
新知讲解
判断
没有DB⊥AB，DC⊥AC的条件
没有AD平分∠BAC的条件
例1
已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，
且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明：
∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴
DE=DF，∠DEB=∠DFC=90
°.
在Rt△BDE
和
Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴
Rt△BDE
≌
Rt△CDF(HL).
∴
EB=FC.
新知应用
A
B
C
P
例2
如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AP平分
∠BAC交BC于点P，若PC=4，
AB=14.
(1)则点P到AB的距离为_______.
D
4
提示：已知角平分线，且存在一条垂线段.
新知应用
构造另一条垂线段.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
PD=PC=4
作PD⊥AB，垂足为D
例2
如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AP平分
∠BAC交BC于点P，若PC=4，
AB=14.
(2)求△APB的面积.
新知应用
(3)求△PDB的周长.
·AB·PD=28.
解：由(1)得，PD=PC=4，
C△PDB=PD+PB+DB
=PC+PB+DB
=BC+DB=AC+DB
=AD+DB=AB=14.
在Rt△APC
和
Rt△APD中，
PD=PC，
AP=AP，
∴
Rt△APC
≌
Rt△APD(HL).
∴
AC=AD.
A
B
C
P
D
例3
如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，
S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是(　　)
A．6
B．5
C．4
D．3
D
解析：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF=DE=2，
F
方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，
再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．
新知应用
解得，AC=3.
例4
如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵
AD∥BC，
∴
MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.
∵
AP平分∠BAD，PM⊥AD
，PE⊥AB，
∴
PM=
PE.
同理，PN=PE.
∴
PM=PN=PE=3.
∴
MN=6.
即AD与BC之间的距离为6.
新知应用
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积
周长
条件
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
课堂总结
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
两距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等.
辅助线添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
课堂总结