(共30张PPT)
第三章
圆
3.6
直线和圆的位置关系
第2课时
切线的判定
1
课堂讲解
圆的切线的判定
三角形的内切圆
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
1.直线和圆有哪些位置关系？
相交、相切、相离
2.切线的性质是什么？
性质:圆的切线垂直于过切点的半径.
几何语言：如图所示，
∵直线l切☉O于T，∴OT⊥l.
回顾旧知
1
知识点
圆的切线的判定
知1－导
如图，在⊙O中，经过半径
OA
的外端点
A
作直线
l⊥OA，则圆心
O
到直线
l
的距离是多少？直线
l
和⊙O
有什么位置关系？
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
l
O
A
例1
如图，已知AB
是⊙
O
的直径，AB=4，
点C
在
线段AB
的延长线上，
点D
在⊙
O
上，
连接CD，
且CD=OA，OC=2
，求证：CD
是⊙
O
的切线.
知1－讲
导引：利用“有切点，连半径，证垂直”判定圆的切线.
知1－讲
证明：连接OD.
由题意可知CD=OD=OA=
AB=2.
∵
OC=2
，∴
OD2+CD2=OC2.
∴∠
ODC=90°，即OD
⊥
CD.
又点D
在⊙
O
上，∴
CD
是⊙
O
的切线.
知1－讲
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理．即
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的
切线.
下列四个命题：
①与圆有公共点的直线是圆的切线；
②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；
③到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
④过直径端点，且垂直于此直径的直线是圆的切线．
其中是真命题的是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
知1－练
1
C
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是( )
A．∠EAB＝∠C
B．∠EAB＝∠BAC
C．EF⊥AC
D．AC是⊙O的直径
知1－练
2
A
如图所示，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CA上一点，若∠P＝26°，则∠ABC的度数为( )
A．26°
B．64°
C．32°
D．90°
知1－练
3
C
如图，点P在⊙O的直径BA延长线上，PC与⊙O相切，切点为C，点D在⊙O上，连接PD、BD，已知PC＝PD＝BC.下列结论：
①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；
③PO＝AB；④∠PDB＝120°.
其中，正确的有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
知1－练
4
A
如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论中正确的个数是( )
①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；
③OA＝
AC；④DE是⊙O的切线．
A．1
B．2
C．3
D．4
知1－练
5
D
2
知识点
三角形的内切圆
知2－导
已知：△ABC(如图).
求作：
⊙
I，使它与△
ABC的三边都相切.
作法：
1.作∠B
，
∠C的平分线BE和CF,交点为I，如图.
2.过I作BC的垂线，垂足为D.
3.以I为圆心，以ID为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆.
知1－导
归
纳
知1－导
由以上的作图过程可知，BE和CF只有一个
交
点I，并且I到
△ABC三边的距离相等.
定义：和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切
圆．内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，
叫做三角形的内心．
知1－讲
知1－讲
图形
⊙O的名称
△ABC的名称
圆心O的确定
“心”的性质
“心”的位置
△ABC的内切圆
⊙O的外切三角形
三角形三条角平分线的交点
到三角形的三条边的距离相等
一定在三角形内部
下列关于三角形的内心和外心的说法中，正确的说
法为（
）
①三角形的内心是三角形内切圆的圆心；
②三角形的内心是三个角平分线的交点；
③三角形的外心到三边的距离相等；
④三角形的外心是三边中垂线的交点．
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
知1－讲
例1
C
总
结
知1－讲
此题考查了三角形内心与外心的知识．此题难度
不大，熟练掌握定义与性质是关键．
如图，已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切圆.三
角形的内心是否都在三角形内部？
知1－练
1
解：图略．三角形的内心都在三角形的内部．
下列说法错误的是( )
A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切
B．一个三角形一定有唯一一个内切圆
C．一个圆一定有唯一一个外切三角形
D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
知1－练
2
C
【中考·广州】如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
知1－练
3
B
【中考·河北】如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( )
A．△ACD的外心
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心
知1－练
4
B
下列说法：①三角形的内心不一定在三角形的内部；②若点I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC；③三角形有唯一的内切圆，圆有唯一的外切三角形．其中正确的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
知1－练
5
B
【中考·眉山】如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC的大小为( )
A．114°
B．122°
C．123°
D．132°
知1－练
6
C
1
知识小结
切线的三种判定方法：
(1)定义；
(2)数量关系；
(3)位置关系(切线的判定定理)：经过半径外端并且
垂直于这条半径的直线是圆的切线．
在切线的三种判定方法中，常用的是后两种判定
方法，在判定圆的切线时，往往需要添加辅助线．
如图，点O为∠MPN的平分线上一点，以点O为圆心的⊙O与PN相切于点A.
求证：PM为⊙O的切线．
2
易错小结
易错点：判定直线与圆相切时理由不充分.
如图，连接OA，过点O作OB⊥PM于点B.
∵PN与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PN.
∵点O在∠MPN的平分线上，
OB⊥PM，
∴OB＝OA.
∴点O到直线PM的距离等于⊙O的半径．
∴PM为⊙O的切线．
证明：
易错总结：
利用切线的判定定理需满足两个条件：
(1)经过半径外端，
(2)与这条半径垂直，这两个条件缺一不可．证明一
条直线是圆的切线时，当直线和圆未明确是否有
公共点时，应“作垂线，证半径”，而本题易错
解为“连半径，证垂直”．
谢谢！(共23张PPT)
第三章
圆
3.6
直线和圆的位置关系
第1课时
直线和圆的位置
关系及切线的性质
1
课堂讲解
直线和圆的位置关系的判定
切线的性质
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
点和圆的位置关系有哪几种？
（1）d（2）d=r
（3）d>r
A
B
C
d
点A在圆内
点B在圆上
点C
在圆外
三种位置关系
O
点到圆心距离为d
⊙O半径为r
回顾：
知1－导
1
知识点
直线与圆的位置关系的判定
思考：
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，在直线和圆的不同位置关系中，你能根据d与r的大小关系确定直线和圆的位置关系吗？
知1－导
如图，圆心O到直线的距离d与⊙O的半径r的大小有什么关系?
●O
●O
相交
●O
相切
相离
r
r
r
┐d
d
┐
d
┐
1)直线和圆相交
d______r;
2)
直线和圆相切
3)
直线和圆相离
＜
d______r;
＝
d______r;
＞
已知
Rt△ABC的斜边
AB=
8
cm,
AC=
4
cm.
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，
AB与⊙O相
切？
(2)以点C为圆心，分别以2
cm和4
cm的长为半径作两
个圆，这两个
圆与AB分别有怎样的位置关系？
知1－讲
例2
知1－讲
(1)如图,过点C作AB的垂线，垂足为D.
∵AC
=
4cm,AB
=
8
cm,
∴cosA=
∴
∠
A
=
60°.
∴
CD
=
ACsinA
=
4
sin
60°
=
(cm).
因此，当半径长为
cm时，AB与⊙
C相切.
(2)由(1)可知，圆心C到AB的距离
d
=
cm,所以
当r
=
2cm时，d>r,
⊙
C与AB相离；
当r
=
4cm时，d⊙
C与AB相交.
解：
【中考·湘西州】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3
cm，AC＝4
cm，以点C为圆心，以2.5
cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
知1－练
1
A
已知⊙O的半径为3，M为直线AB上一点，若MO＝3，则直线AB与⊙O的位置关系为( )
A．相切
B．相交
C．相切或相离
D．相切或相交
知1－练
2
D
如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D，E分别是AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
知1－练
3
A
如图，在直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝－x＋
与⊙O的位置关系是( )
A．相离
B．相交
C．相切
D．以上三种情形都有可能
知1－练
4
C
2
知识点
切线的性质
前面我们已学过的切线的性质有哪些？
答：①切线和圆有且只有一个公共点；
②切线和圆心的距离等于半径.
切线还有什么性质？
知2－导
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
例1
如图所示，AB
为⊙
O
的直径，PD
切⊙
O
于点C，交AB
的延长线于点D，且
∠
D=2
∠
CAD.
（1）求∠
D
的度数.
（2）若CD=2，求BD
的长.
知2－讲
（1）连接OC.
∵
AO=CO，
∴∠
OAC=
∠
ACO.
∴∠
COD=2
∠
CAD.
又∵∠
D=2
∠
CAD，∴∠
D=
∠
COD.
∵
PD
与⊙
O
相切于点C，∴
OC
⊥
PD，
即∠
OCD=90°
.∴∠
D=45°
.
（2）由（1）可知△
OCD
是等腰直角三角形.
∴
OC=CD=2.
由勾股定理，得OD=
=
=2
，
∴
BD=OD-OB=2
-2.
知2－讲
导引:
总
结
知2－讲
已知圆的切线时，常连接圆心和切点，得到的半径垂直于切线，通过构造直角三角形来解决问题，即“见切线，连半径，得垂线”；而等半径可得等腰三角形，继而可得两底角相等.在同圆中有关切线的问题常通过等腰三角形和直角三角形的性质来解决.
下列说法正确的是( )
A．圆的切线垂直于半径
B．垂直于切线的直线经过圆心
C．经过圆心且垂直于切线的直线经过切点
D．经过切点的直线经过圆心
知2－练
1
C
【中考·吉林】如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C.若AB＝12，OA＝5，则BC的长为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
知2－练
2
D
【中考·无锡】如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )
A．70°
B．35°
C．20°
D．40°
知2－练
3
D
【中考·湖州】如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是( )
A．25°
B．40°
C．50°
D．65°
知2－练
4
B
【中考·邵阳】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是( )
A．15°
B．30°
C．60°
D．75°
知2－练
5
B
1.直线和圆的位置关系：相交、相切、相离.
（1）从公共点数来判断；
（2）从d与r间的数量关系来判断.
2.直线和圆的位置关系的性质与判定：
（1）直线和圆相离
d＞r；
（2）直线和圆相切
d=r；
（3）直线和圆相交
d＜r.
1
知识小结
如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC，B(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心P的坐标为______________________________．
易错点：判断圆和各边相切时考虑不全而漏解.
(1，1)或(3，1)或(2，0)或(2，2)
2
易错小结
谢谢！
