北师大版数学九年级下册 3.8 圆内接正多边形 课件（31张ppt)

第三章 圆
第8节 圆内接正多边形
1
课堂讲解
圆内接正多边形
圆内接正多边形的有关概念
正多边形的作图
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
1.观察下面的三幅图片，说说图片中各包含哪些多边形.
2.日常生活中我们经常看到哪些多边形形状的物体?
1
知识点
圆内接正多边形
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.
这个圆叫做该正多边 形的外接圆.
知1－导
知1－讲
正n边形的各角相等，且每个内角为：
每个外角为：
知1－讲
如图,在圆内接正六边形ABCDEF中，半 径OC = 4,
OG丄BC，垂足为G，求这个正六边形的中 心角、
边长和边心距.
例1
知1－讲
解：
连接OD.∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴ ∠ COD = = 60°
∴ △COD为等边三角形.
∴ CD = OC = 4.
在 Rt △ COG中，OC = 4，CG= BC= ×4=2,
∴ OG =
∴正六边形的中心角为60°，边长为4,边心距为
知1－讲
如图所示，三角形AOB 是正三角形，以点O 为圆心，
OA 为半径作⊙ O，直径FC ∥ AB，AO，BO 的延长线分别交⊙ O于点D，E，求证：六边形ABCDEF 为圆内接正六边形.
例2
导引：
紧扣正多边形的定义，结合同圆中弧、圆心角的
关系证明.
知1－讲
解：
∵三角形AOB 是正三角形，
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°，OB=OA.
∴点B 在⊙ O 上.
∵ FC ∥ AB，∴∠ FOA= ∠ OAB=60°，∠ COB=
∠ OBA=60°.
∴∠ AOB= ∠ BOC= ∠ COD= ∠ DOE= ∠ EOF=
∠ FOA=60° .
∴六边形ABCDEF 为圆内接正六边形.
知1－讲
下列说法不正确的是(　　)
A．等边三角形是正多边形
B．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形
C．菱形不一定是正多边形
D．各角相等的多边形是正多边形
例3
导引：
等边三角形是正三角形；各边相等，各角也相等的多边形是正多边形；当菱形的四个角相等时才是正多边形(正方形)，所以菱形不一定是正多边形；D说法不正确. 答案：D
D
总 结
知1－讲
正多边形的识别要从两个角度去看，
一是边都相等；
二是内角都相等．
知1－练
分别求出半径为6 cm的圆内接正三角形的边长和边心距.
1
解：
设正六边形DFHKGE的中心为O，连接OH，OK，则△OHK为等边三角形．
由题意可得OH＝HK＝ BC＝2，∠OHK＝60°，∴S△OHK＝ HK·OHsin 60°
＝ ×2×2× ＝ .
又∵S正六边形＝6S△OHK，∴S正六边形＝6× ＝6 .
知1－练
【中考·株洲】下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(　　)
A．正三角形 B．正方形
C．正五边形 D．正六边形
正多边形的一边所对的中心角与该多边形的一个内角的关系为(　　)
A．两角互余 B．两角互补
C．两角互余或互补 D．不能确定
2
3
A
B
知1－练
一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的比是(　　)
A．1∶ B．1∶2
C．2∶3 D．2∶π
4
B
知1－练
【中考·青岛】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB等
于(　　)
A．30°
B．45°
C．150°
D．30°或150°
5
A
知1－练
(中考·泸州)以半径为1的圆的内接正三角形、正方
形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三
角形的面积是(　　)
A. B. C. D.
6
D
知1－练
(中考·泸州)以半径为1的圆的内接正三角形、正方
形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三
角形的面积是(　　)
A. B. C. D.
6
D
知1－练
(中考·随州)如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是(　　)
A．R2－r2＝a2
B．a＝2Rsin 36°
C．a＝2rtan 36°
D．r＝Rcos 36°
7
A
3
知识点
正多边形的作图
知3－导
利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.
由于正六边形的中心角为60°,因此它的边长就是其外接圆
的半径R.所 以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，
就可以六等分圆，进而作出 圆内接正六边形.
知3－讲
作一个正三角形，使其半径为0.9 cm.
例4
导引：
用量角器画，先求出其中心角；用尺规画，则先考虑等分圆周.
知3－讲
解：
作法一：
(1)作半径为0.9 cm的⊙O；
(2)用量角器画∠AOB ＝∠BOC ＝120°；
(3)连接 AB，BC，CA.则△ABC为所求作的正三角
形，如图所示．
知3－讲
作法二：
(1)作半径为0.9 cm的⊙O；
(2)作⊙O的任一直径AB；
(3)分别以A，B为圆心，以0.9 cm为半径作弧，交
⊙O于点C，F和D，E；(4)连接AD，DE，EA.
则△ADE为所求作的正三角形，如图所示．
总 结
知3－讲
1. 画圆的内接正n 边形，实质是找圆的n 等分点.
2. 用量角器等分圆是一种简单常用的方法，但边数很大时，容易产生较大误差.
3. 尺规作图是一种比较准确的等分圆的方法，但只限于作一些特殊的正多边形.
知3－讲
用尺规作圆的内接正方形.
已知：如图，⊙O.
求作：正方形ABCD内接于⊙O.
例5
知3－讲
作法：
(1)如图，作两条互相垂直的直径AC，BD.
(2)顺次连接 AB，BC，CD，DA.
由作图过程可知，四个中心角都是90°，
所以AB=BC= CD=DA.
因为AC，BD都是直径，
所以∠ABC = ∠BCD= ∠CDA= ∠DAB=90°.
即四边形ABCD为⊙O的内接正方形.
知3－练
如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：(1)以D为圆心，OD长为半径画圆弧，交⊙O于B，C两
点；
(2)连接AB，BC，AC.△ABC即为所求作的三角形．
乙：(1)作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点；
(2)连接AB，AC.△ABC即为所求作的三角形．
对于甲、乙两人的作法，可判断(　　)
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都对 D．两人都不对
1
C
知3－练
在如图所示的圆中，画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形(画图工具不限，但要保留画图痕迹)．
2
解：
如图所示．
(答案不唯一)
正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做
正多边形.
把一个圆n(n≥3)等分，顺次连接各等分点，就得
到一个正n边形. 我们把这个正n边形叫做圆的内
接正n边形.
1
知识小结
一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是(　　)
A．2 B. C．1 D.
2
易错小结
A
易错点：误认为正多边形的边心距是正多边形的半径.
错解：B
诊断：设正多边形的边数为n. 因为正多边形的内角
和为(n－2)·180°，正多边形的外角和为360°，根
据题意得(n－2)·180°＝360°×2，解得n＝6，故正
多边形为正六边形．边长为2的正六边形可以分成六
个边长为2的正三角形，所以正多边形的半径等于2.
产生错误的原因是认为正多边形的边心距是正多边
形的半径，计算得出错误的结果 ，最后导致错
选B.
谢谢！