(共36张PPT)
第三章
圆
3.4
圆周角和圆心角的关系
第1课时
圆周角和圆心角、
弧的关系
1
课堂讲解
圆周角的定义
圆周角和圆心角的关系
圆周角和弧的关系
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
回顾旧知
什么是圆心角？它具有哪些性质？
1
知识点
圆周角的定义
知1－导
图中∠ACB
的顶点和边有哪些特点？
A
O
B
C
顶点在圆上，并且两
边都和圆相交的角叫
圆周角．如：∠ACB．
圆周角的特征：
①角的顶点在圆上；
②角的两边都与圆相交，这两个特征是判定圆周角
不可缺少的条件．
知1－讲
知1－讲
连接OC，如图所示.
∵
BC=BD，∴∠
BOC=
∠
BOD=50°
.
∴∠
A=
∠
BOC=
×50°
=25°
.
导引：
例1如图所示，AB
是⊙
O
的直径，
弦BC=BD，
若
∠
BOD=50°，求∠
A
的度数.
C
总
结
知1－讲
圆周角定理是将圆心角与圆周角进行转化，因此求一个圆周角的度数时，我们可以求同弧所对圆心角的度数.
(中考·柳州)下列四个图中，∠x为圆周角的是( )
知1－练
1
C
2
知识点
圆周角和圆心角的关系
知2－导
如图,
∠
AOB
=
80°.
(1)请你画出几个
所对的圆周角，这几
个圆周角有什么关系？与同伴进行交流.
(2
)这些圆周角与圆心角∠
AOB的大小有什
么关系？你是
怎样发现的？与同伴进行交流.
在图中，改变∠
AOB的度数，你得到的结论还成立吗？
做一做
归
纳
知2－导
圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
知2－讲
1.
圆周角定理的证明：
已知：如图,
∠
C是
所对的圆
周角，
∠
AOB是
所对的圆心角.
求证：
∠
C=
∠
AOB
分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三
种情况讨论：
知2－讲
(1)圆心O在∠
C的一条边上，如图
(1);
(2)圆心O在∠
C的内部，如图
(2);
(3)圆心O在∠
C的外部，如图
(3).
在三种位置关系中，我们选择(1)给出证明，其他情况可以
转化为(1)的情况进行证明.
(1)圆心O在∠
C的一条边上，如图
(1).
∵
∠
AOB是△AOC的外角，∴
∠
AOB
=
∠
A
+
∠
C.
∵
OA
=
OC，∴
∠
A
=
∠
C.
∴
∠
AOB
=
2
∠
C,
即
∠
C
=
∠
AOB.
请你完成图
(2)和图
(3)两种情况的证明.
证明：
知2－讲
如图，A，B，C，D是同一圆上的点，∠1＝68°，∠A＝40°，则∠D＝________．
例2
由圆周角定理的推论1可知
∠C＝∠A＝40°，由三角
形的外角性质得
∠D＝∠1－∠C＝68°－40°
＝28°.
导引：
28°
总
结
知2－讲
本题应用转化思想，利用“同弧所对的圆周角相等”
将已知角转化为与要求的角在同一个三角形中的角，然
后利用三角形的外角性质求解．
知2－讲
如图，在⊙O中，∠AOC＝150°，求∠ABC，∠ADC的度数，并判断∠ABC和∠ADC，∠EBC和∠ADC之间的度数关系．
例3
解题的关键是分清同弧所对的圆
心角和圆周角，如
所对的圆
心角是∠AOC，所对的圆周角是∠ABC，
所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周
角是∠ADC.
导引：
知2－讲
∵∠AOC＝150°，∴∠ABC＝
∠AOC＝75°.
∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°，
∴∠ADC＝
∠α＝105°.
∵∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°，
∴∠EBC＝∠ADC，即∠EBC与∠ADC相等．
又∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，
∴∠ABC和∠ADC互补．
解：
如图，在⊙O中，∠O
=
50°，求∠A的度数.
知2－练
1
解：∵∠BAC与∠BOC
所对的弧都是
，
∴∠BAC＝
∠BOC＝
×50°
＝25°.
(中考·张家界)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A，B的读数分别为100°，150°，则∠ACB＝________．
知2－练
2
25°
知2－练
【中考·衡阳】如图，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB＝64°，那么∠ACB的度数是( )
A．26°
B．30°
C．32°
D．64°
3
C
知2－练
【中考·广州】如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是( )
A．AD＝2OB
B．CE＝EO
C．∠OCE＝40°
D．∠BOC＝2∠BAD
4
D
知2－练
【中考·黔南州】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为5
cm，则圆心O到弦CD的距离为( )
A.
cm
B．3
cm
C．3
cm
D．6
cm
5
A
知2－练
【中考·云南】如图，B，C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E，F两点，与线段AC交于点D.
若∠BFC＝20°，则∠DBC＝( )
A．30°
B．29°
C．28°
D．20°
6
A
知2－练
【中考·泰安】如图，A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O
于点F，则∠BAF等于( )
A．12.5°
B．15°
C．20°
D．22.5°
7
B
知3－导
3
知识点
圆周角和弧的关系
想一想
在如图的射门游戏中，当球员在B
，
D，E处射门
时，所
形成的三个张角∠
ABC，
∠
ADC，
∠
AEC的
大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
归
纳
知3－导
推论
同弧或等弧所对的圆周角相等.
知3－讲
例4
如图所示，A，P，B，C
是圆上的四个点，
∠
APC=∠
CPB=60°．求证：△
ABC
是等边三角形.
导引：紧扣“同弧所对的圆周角相等”解决.
知3－讲
解：
∵
A，P，B，C
是圆上的四个点，
∴∠
ABC=
∠
APC，∠
CPB=
∠
BAC.
又∵∠
APC=
∠
CPB=60°，
∴∠
ABC=
∠
BAC=60°.
∴
AC=BC.
又∠
BAC=60°，∴△
ABC
是等边三角形.
总
结
知3－讲
等边三角形判定方法：
1.
有一个角为60°的等腰三角形；
2.
三边都相等的三角形；
3.
三个角都相等的三角形.
如图，哪个角与∠BAC相等？你还能找到哪些相等的角？
知3－练
1
解：∠BDC＝∠BAC，如图，
相等的角还有∠ADB＝∠ACB，
∠ACD＝∠ABD，
∠CAD＝∠CBD，
∠1＝∠2，∠3＝∠4.
知3－练
【中考·河池】如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB＝36°，则∠BCD的大小是( )
A．18°
B．36°
C．54°
D．72°
2
B
知3－练
【中考·兰州】如图，在⊙O中，AB＝BC，点D在⊙O上，∠CDB＝25°，则∠AOB＝( )
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
3
︵
︵
B
知3－练
【中考·黄冈】如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝70°，则∠ADC的度数为( )
A．30°
B．35°
C．45°
D．70°
4
B
(1)一个概念（圆周角）；
(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的
圆心角的一半；
(3)一个推论：同圆内，同弧或等弧所对的圆周角相
等.
相等的圆周角所对的弧相等；
1
知识小结
【中考?安顺】如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为( )
A．2
B．4
C．4
D．8
易错点：忽视勾股定理的应用而致错
2
易错小结
C
因为直径AB垂直于弦CD，所以CE＝DE.因为∠A＝22.5°，所以∠COE＝45°.因为OC＝4，由勾股定理得CE＝2
，所以CD＝4
，故选C.本题容易忽视勾股定理的应用而致错．
谢谢！(共32张PPT)
第三章
圆
3.4
圆周角和圆心角的关系
第3课时
圆内接四边形
1
课堂讲解
圆内接四边形及其对角的性质
圆内接四边形外角的性质
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
前边我学习了圆的内接三角形，圆的内接三角形有哪些性质呢？今天我们探究的圆的内接四边形的性质，我们根据圆内接三角形的定义，想一想如何给圆内接四边形下定义呢？
1
知识点
圆内接四边形及其对角的性质
知1－讲
圆内接多边形：在圆内相异n个点，按顺（或逆）时针
的方向连接相邻的各点，可形成一个n边形，此n边形叫
作此圆的圆内接多边形，此圆为多边形的外接圆.
圆心为此n边形的外心.
外心到圆内接多边形各顶点的距离皆等长(即外接圆的
半径)
知1－导
下面，我们探究四边形与圆的关系.
四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
知1－讲
四个顶点都在同一个圆上的四边形叫
做圆内接四边形，这个圆叫做四边形
的外接圆．
定义
如果圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形ABCD一定是(
)
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
知1－讲
例1
分析：由圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆
的圆心，根据直径所对的圆周角是直角，可求得
四边形ABCD的四个内角都是直角，即可判定四
边形ABCD一定是矩形.
解：∵圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的
圆心，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD一定是矩形.
故选B.
B
下列说法正确的是( )
A．在圆内部的多边形叫做圆内接多边形
B．过四边形的四个顶点的圆叫做这个四边形
的外接圆
C．任意一个四边形都有外接圆
D．一个圆只有唯一一个内接四边形
知1－练
1
B
下列多边形中一定有外接圆的是( )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
知1－练
2
A
下列命题中，不正确的是( )
A．矩形有一个外接圆
B．弦的垂直平分线一定平分弦所对的弧
C．菱形有一个外接圆
D．任何一个三角形都有一个外接圆
知1－练
3
C
知1－导
(1)如图1，A，B，C，D是⊙O上的四点，
AC为⊙O的直径，
∠
BAD与∠
BCD
之间有什么关系？为什么？
(2)如图2，点C的位置发生了变化，
∠
BAD与∠
BCD之间的关系
还成立
吗？为什么？
图1
图2
归
纳
知1－导
推论
圆内接四边形的对角互补.
知1－导
下面我们对它进行证明.
已知：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.
求证：∠BCD+∠BAD=
180°，
∠ABC+∠ADC=
180°.
知1－导
证明：如图，连接OB，OD.
∵
与
所对的圆心角之和为360°，
∠BCD和∠BAD分别为
和
所对的
圆周角，
∴∠BCD+∠BAD=
180°.
同理可证，∠ABC+∠ADC=180°.
知1－讲
如图，两圆相交于A，B两点，小圆
经过大圆的圆心O，点C，D分别在
两圆上，若∠ADB＝100°，则
∠ACB的度数为( )
A．35° B．40°
C．50°
D．80°
例2
要求∠ACB的度数，即需要求出∠AOB的度数(一条弧所对的
圆周角等于它所对的圆心角的一半)，这样就产生辅助线AO，
BO，如图，连接AO，BO.在小圆中，∠AOB是圆内接四边形
AOBD中∠ADB的对角，因此∠AOB＝180°－∠ADB＝
180°－100°＝80°，所以∠ACB＝
∠AOB＝40°.
导引：
B
在圆内接四边形ABCD中，对角∠A与∠C的度数之比是4：5，求∠C的度数.
知1－练
1
设∠A＝4x°，则∠C＝5x°.
∵∠A＋∠C＝180°，
∴4x°＋5x°＝180°.
∴x＝20.
∴∠C＝5×20°＝100°
解：
(中考·杭州)在圆内接四边形ABCD中，若∠A＝70°，则∠C等于( )
A．20°
B．30°
C．70°
D．110°
下列命题：①圆内接平行四边形是矩形；②圆内接矩形是正方形；③圆内接菱形是正方形；④任意四边形一定有外接圆．其中真命题有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知1－练
2
3
D
B
知1－练
(中考·兰州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边
形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )
A．45°
B．50°
C．60°
D．75°
4
C
知1－练
如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB＝100°，则∠ACB的度数为( )
A．35°
B．40°
C．50°
D．80°
5
B
知1－练
【中考·龙东】如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦,点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是( )
A．60°
B．120°
C．60°或120°
D．30°或150°
6
C
知2－导
2
知识点
圆内接四边形外角的性质
想一想
如图，
∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个
外角，
∠A与∠DCE的大小有什么关系？
知2－讲
推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
如图所示，四边形ABCD
为⊙
O
的内接四边形，
已知∠
BOD=100°，则∠
BCD
的度数为（
）
知2－讲
例3
知2－讲
如图所示，连接AD.
∵
AB
是⊙
O
的直径，
∴∠
ADB=90°，即AD
⊥
BC.
又∵
AC=AB，∴
BD=CD.
导引：
总
结
知2－讲
题中条件有直径，因此可作辅助线.
构造直径所对的圆周角（直角）是常用的作辅助线的方法，而题中有条件AB=AC，因此可根据等腰三角形“三线合一”的性质证明BD=CD.
知2－练
如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE＝________．
1
105°
知2－练
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于( )
A．20°
B．40°
C．80°
D．100°
2
C
知2－练
【中考·潍坊】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为( )
A．50°
B．60°
C．80°
D．85°
3
C
圆内接四边形的角的“两种关系”：
(1)对角互补，若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
(2)任一外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内
接四边形的外角等于其内对角．
1
知识小结
已知△ABC内接于⊙O，OD⊥AC于点D，如果∠COD＝32°，那么∠B的度数为( )
A．16°
B．32°
C．16°或164°
D．32°或148°
易错点：画图时考虑不全而漏解
2
易错小结
D
点B可能在弦AC所对的优弧上，也可能在弦AC所对的劣弧上．本题没有给出图形，其易错之处在于画图时考虑不全而漏解．
谢谢！(共22张PPT)
第三章
圆
3.4
圆周角和圆心角的关系
第2课时
圆周角和直径的关系
1
课堂讲解
直径所对的圆周角是直角
90°的圆周角所对的弦是直径
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
复习回顾
1.什么叫做圆周角？
2.圆周角定理是什么？
3.圆周角定理的推论1的内容是什么？
1
知识点
直径所对的圆周角是直角
知1－导
直径所对的圆周角是多少度？请说明理由.
总结
直径所对的圆周角是直角.
如图所示，已知经过原点的⊙
P
与x
轴、y
轴分别交于A，B
两点，点C
是弧AB
上一点，则∠
ACB
的度数是（
）
A.
80°
B.
90°
C.
100°
D.
无法确定
知1－讲
利用“直角所对的弦是直径”，结合“直
径所对的圆周角是直角”求解.
导引：
例1
连接AB，如图所示.
∵∠
AOB=90°，
∴
AB
是⊙
P
的直径.
∴∠
ACB=90°.
解：
B
总
结
知1－讲
常见的作辅助线的方法：
1.
有直径，通常作直径所对的圆周角，从而得出两直
线互相垂直，简记为“见直径作直角
”.
2.
有90°的圆周角，通常作直径，简记为“有直角作直径”.
如图，
⊙O的直径AB
=
10cm，C为⊙O上的一点，∠B
=
30°，求AC的长.
知1－练
1
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ACB中，
sin
∠ABC＝
，
∴AC＝AB
sin
∠ABC＝10×sin
30°
＝10×
＝5(cm)．
∴AC的长为5
cm.
解：
(中考·张家界)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的
弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( )
A．75°
B．60°
C.
45°
D．30°
知1－练
2
D
【中考·毕节】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD为( )
A．30°
B．50°
C．60°
D．70°
知1－练
3
C
【中考·安顺】如图，⊙O的直径AB＝4，BC切
⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的
长为( )
A.
B.
C.
D.
知1－练
4
B
(中考·连云港)如图，点P在以AB为直径的半圆内，连接AP，BP，并延长分别交半圆于点C，D，连接AD，BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法一定正确的是( )
①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF.
A．①③
B．①④
C．②④
D．③④
知1－练
5
D
2
知识点
直角所对的弦是直径
知2－导
在如图中，圆周角∠A＝90°，弦BC是直径吗？为什么？
问
题
归
纳
知2－导
90°的圆周角所对的弦是直径.
知2－讲
(中考·兰州)如图，已知经过原点的⊙P
与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C
是劣弧OB上一点，则∠ACB等于( )
A．80°
B．90° C．100° D．无法确定
例2
由∠AOB与∠ACB
是优弧AB所对的圆周角，根据圆周
角定理，即可求得∠ACB
=∠AOB=
90°.
导引：
∵∠AOB与∠ACB
是优弧AB所对的圆周角，
∴∠AOB
=∠ACB，
∵
∠AOB
=
90°，∴
∠ACB
=
90°.
解：
B
总
结
知2－讲
此题考查了圆周角定理，此题比较简单，解题的
关键是观察图形，得到∠AOB与∠ACB
是优弧AB所对
的圆周角.
小明想用直角尺检査某些工件是否恰好为半圆形.
下面所示的四种圆弧形，你能
判断哪个是半圆形？为什么?
知2－练
1
题图(2)是半圆形．
∵90°的圆周角所对的弦是直径．
解：
知2－练
【中考·兰州】如图，已知经过原点的⊙P与x轴，y轴分别交于点A，B，C是劣弧OB上一点，
则∠ACB等于( )
A．80°
B．90°
C．100°
D．无法确定
2
B
1.已知直径时，常添加辅助线构造直角三角形，即“见直径想
直角”．题目中遇到直径时要考虑直径所对的圆周角为90°，
遇到90°的圆周角时要考虑直角所对的弦为直径，这是圆中
作辅助线的常用方法．
2.在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推论进行
两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之
间的转化，二是将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等
的问题.
1
知识小结
已知在半径为4的⊙O中，弦AB＝4
，点P在圆上，则∠APB＝___________．
易错点：求圆周角的度数时容易考虑不周全
2
易错小结
60°或120°
如图，当点P(P1)在弦AB所对的优弧上时，过点O作OC⊥AB于点C，连接OA，OB.由垂径定理可得AC＝2
，∠AOC＝∠BOC.在Rt△OAC中，OC＝
＝2＝
OA，所以∠OAC＝30°.所以∠AOB＝120°，所以∠AP1B＝60°.同理当点P(P2)在弦AB所对的劣弧上时，∠AP2B＝120°.
对于“图形不明确型”问题，在解答时一般要进行分类讨论．一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情况：顶点在优弧上的圆周角和顶点在劣弧上的圆周角，解题时要分情况求解，否则容易漏解．例如本题应分两种情况：点P在弦AB所对的优弧上和点P在弦AB所对的劣弧上．
易错总结：
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