第十一章 三
角
函
数
核心速记·必考点夯基
一、
1.逆时针 顺时针
2.(1)①坐标原点 ②x轴非负半轴
(2)第几象限角
4.l=α·R S=lR=αR2
二、
1.
2.sin2α+cos2α=1 =tan
α
三、
sin
α cos
α tan
α
-sin
α -cos
α tan
α
-sin
α cos
α -tan
α
sin
α -cos
α -tan
α
cos
α sin
α cos
α -sin
α
四、
[-1,1] [-1,1] 2π 2π
奇函数 偶函数
2kπ-,2kπ+
2kπ+,2kπ+
[2kπ-π,2kπ] [2kπ,2kπ+π]
+2kπ -+2kπ
2kπ 2kπ+π (kπ,0)(k∈Z)
x=kπ+(k∈Z)
kπ+,0(k∈Z) x=kπ(k∈Z)
五、
4.-+kπ,+kπ(k∈Z)
六、
1.(2)①向左 向右 A
② 向左 向右 A
2.A ωx+φ φ
典题突破·热考点精练
【例1】(1)A (2)A
【例2】(1)C (2)
【例3】(1)D (2)-3
【例4】(1)C
(2)因为sin(α-3π)=2cos(α-4π),
所以-sin(3π-α)=2cos(4π-α),
所以sin
α=-2cos
α,且cos
α≠0.
所以原式=
=
==-.
【例5】【解析】(1)> (2)2
【例6】(1)A
(2)①因为y=f(x)=sin
x在[-π,π]上为奇函数.
所以图象关于(0,0)点对称,补全图象如图所示:
②由图象可知:函数f(x)的单调递增区间为.
【例7】【解析】(1)由表中的数据可知,周期T=12,所以ω==,
由t=0,y=1.5得,A+b=1.5,
由t=3,y=1.0得b=1.
所以振幅A=,y=cost+1.
(2)由y>1得,cost+1>1,
即cost>0,所以2kπ-即12k-3所以,在规定的早晨8时到晚上20时之间,有6个小时可供开放,上午9时到下午15时.
达标训练·合格考通关
1.A 2.A 3.B 4.A 5.A 6.D
7.C 8.B 9.D 10.C 11.2
12.(答案不唯一) 13.1
14. 15.,k∈Z
16.【解析】
u=x+
0
π
2π
x
-
y=cos
u
1
0
-1
0
1
17.【解析】(1)f(α)=
=cos
α·tan
α=sin
α.
(2)因为sin=cos
α=-,
又因为α是第二象限角,
所以f(α)=sin
α=.
18.【解析】(1)f=3cos=.
(2)当2x∈[π+2kπ,2π+2kπ],k∈Z时,f(x)单调递增,
即f(x)的递增区间为,k∈Z.
19.【解析】(1)由T=得T=4π,
由x-=kπ得x=2kπ+,k∈Z.
所以对称中心为,
k∈Z.
(2)由+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z
得+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z,
所以函数的单调递减区间为,k∈Z.
20.【解析】(1)由图象知,A=2,T=-=π,所以ω=2,
又过点,0<φ<,
所以-×2+φ=0,得φ=,
所以f(x)=2sin.
(2)由(1)知f(x)=2sin.
由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z)可得
kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
因为x∈[0,π],所以令k=0可得,≤x≤,故函数在[0,π]上的单调递减区间为.
21.【解析】(1)因为f=1,
所以sin=1,
于是ω·+=+2kπ(k∈Z),即ω=1+12k(k∈Z),故当k=0时,ω取得最小正值1,
此时f(x)=sin.
(2)先将y=sin的图象向右平移个单位,得y=sin
x的图象;
再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
得y=sinx的图象;
最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的倍(横坐标不变),得y=sinx的图象.
PAGE第十一章 三
角
函
数
考试内容
考纲要求
考点1 任意角
识记
考点2 弧度制
理解
考点3 任意角的三角函数
理解
考点4 同角三角函数的基本关系
掌握
考点5 三角函数的诱导公式
理解
考点6 正弦函数、余弦函数的图象(包括“五点法”作图)
掌握
考点7 正弦函数、余弦函数的性质
掌握
考点8 正切函数的性质与图象
理解
考点9 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
掌握
考点10 三角函数模型的简单应用
应用
一、任意角和弧度制
1.任意角的概念:
任意角
2.象限角:
(1)前提:①角的顶点:__________;②角的始边:______________.?
(2)结论:角的终边在第几象限,就说这个角是____________.?
3.终边相同角的表示:
所有与角α终边相同的角,连同α在内,都可表示为:
{β|β=α+k·360°,k∈Z}.
4.弧长扇形面积公式:在弧度制下,扇形的弧长公式为__________,扇形的面积公式为__________________,其中α(0<α<2π)为弧所对圆心角的弧度数.?
5.常用角之间的换算:
度
0°
30°
45°
60°
90°
弧度
0
度
120°
135°
150°
180°
270°
弧度
π
π
π
π
π
二、任意角的三角函数
1.任意角的三角函数的定义:设P(x,y)是角α的终边上任意一点(与原点不重合),记r=|OP|=,则sin
α=________,cos
α=__________,tan
α=________(x≠0).?
2.同角三角函数的基本关系式:
三、三角函数的诱导公式
公式一:sin(α+k·2π)=________,k∈Z,?
cos(α+k·2π)=________,k∈Z,tan(α+k·2π)=________,k∈Z.?
公式二:sin(π+α)=______,cos(π+α)=________,?
tan(π+α)=__________.?
公式三:sin(-α)=______,cos(-α)=______,tan(-α)=________.?
公式四:sin(π-α)=________,cos(π-α)=________,tan(π-α)=________.?
公式五:sin=______,cos=______.?
公式六:sin=______,cos=________.?
四、正弦、余弦函数的图象与性质
解析式
y=sin
x
y=cos
x
图象
定义域
R
R
值域
______
______
最小正周期
______
______
奇偶性
______
______
单调性
在________________(k∈Z)上递增,在________(k∈Z)上递减
在______________(k∈Z)上递增,在__________(k∈Z)上递减
最值
x=__________(k∈Z)时,ymax=1;?x=______________(k∈Z)时,ymin=-1.?
x=____________(k∈Z)时,ymax=1;x=______________(k∈Z)时,ymin=-1.?
对称性
对称中心:______________?对称轴:________________________________________?
对称中心:______________________________________对称轴:______________________________________
五、正切函数的图象与性质
1.图象:
2.周期性:T=π.
3.奇偶性:奇函数.
4.单调性:在开区间______________________________上都是增函数,在整个定义域内不单调.?
六、函数y=Asin(ωx+φ)的图象
1.作函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象主要有以下两种方法:
(1)用“五点法”作图:通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点的纵坐标,描点、连线后得出图象.
(2)用“图象变换法”作图.
①先平移后伸缩:
②先伸缩后平移:
2.函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中各参数的物理意义:
七、三角函数模型的建立程序
热点一 扇形的弧长与面积
【例1】(1)扇形的中心角为120°,半径为,则此扇形的面积为( )
A.π
B.
C.
D.π
(2)在半径为10的圆中,240°的圆心角所对弧长为( )
A.π
B.π
C.π
D.π
热点二 三角函数的定义
【例2】(1)已知角α的终边过点P(-4m,3m)(m<0),则2sin
α+cos
α的值是( )
A.1
B.
C.-
D.-1
(2)(2020·湖南学业水平考试真题)已知角α的终边经过点(3,4),则cos
α=________.?
热点三 同角三角函数的基本关系
【例3】(1)已知sin
α=,则sin4α-cos4α=( )
A.
B.-
C.
D.-
(2)(2020·湖南学业水平考试真题)已知sin
α=-3cos
α,则tan
α=________.?
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦,即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.
(2)对于含有根号的,常把根号下化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
热点四 三角函数的诱导公式
【例4】(1)sin
120°的值为( )
A.
B.-1
C.
D.-
(2)已知sin(α-3π)=2cos(α-4π);
求的值.
热点五 三角函数的图象与性质
【例5】(1)(2018·湖南学业水平考试真题)比较大小:
sin
25°______sin
23°(填“>”或“<”).?
(2)已知函数f(x)=cos
ωx,x∈R(其中ω>0)的最小正周期为π,则ω=________.?
热点六 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
【例6】(1)(2020·湖南学业水平考试真题)要得到函数y=1+sin
x的图象,只需将函数y=sin
x的图象( )
A.向上平移1个单位长度
B.向下平移1个单位长度
C.向右平移1个单位长度
D.向左平移1个单位长度
(2)已知定义在区间[-π,π]上的函数f(x)=sin
x的部分图象如图所示.
①将函数f(x)的图象补充完整;
②写出函数f(x)的单调递增区间.
热点七 三角函数模型的简单应用
【例7】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:
t/小时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观察,y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Acos
ωt+b.
(1)根据以上数据,求出函数y=Acos
ωt+b的最小正周期T,振幅A及函数解析式;
(2)依据规定,当海浪高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的早晨8时到晚上20时之间,有多长时间可供冲浪者进行活动.
一、选择题
1.若α是第四象限角,则-α一定在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.-630°化为弧度为( )
A.-
B.
C.-
D.-
3.若sin
θ>0,cos
θ<0,则θ角的终边在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.sin
300°的值为( )
A.-
B.
C.
D.-
5.函数y=2cos
x-1,x∈R的最小值是( )
A.-3
B.-1
C.1
D.3
6.若α为锐角,sin
α=,则cos
α=( )
A.-
B.
C.-
D.
7.(2019·湖南学业水平考试真题)函数y=sin
2x的最小正周期是( )
A.4π
B.2π
C.π
D.
8.角α的终边经过点P(-b,4),且cos
α=-,则b的值为( )
A.-3
B.3
C.±3
D.5
9.要得到函数y=sin的图象,只需将y=cos图象上的所有
点( )
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度
D.向右平行移动个单位长度
10.函数y=sin
ax(a≠0)的最小正周期为π,则a的值为( )
A.2
B.-2
C.±2
D.
二、填空题
11.已知函数y=1+sin
x,x∈[0,2π],则该函数图象与直线y=交点的个数是______.?
12.函数y=tan,x∈R且x≠π+kπ,k∈Z的一个对称中心是__________.?
13.化简:=______.?
14.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则f=________.?
15.函数y=的定义域为______.?
三、解答题
16.作出函数y=cos,x∈的图象.
17.已知α是第二象限角,
f(α)=,
(1)化简f(α);
(2)若sin=-,求f(α)
的值.
18.已知函数f(x)=3cos
2x,x∈R.
(1)求f的值;
(2)求函数y=f(x)的递增区间.
19.已知f(x)=2sin-3,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期及对称中心;
(2)求函数的单调递减区间.
20.函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<的部分图象如图.
(1)求其解析式;
(2)写出函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间.
21.已知函数f(x)=sin且f=1,
(1)求ω的最小正值及此时函数y=f(x)的表达式;
(2)将(1)中所得函数y=f(x)的图象经过怎样的变换可得y=sinx的图象.
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