第十章 概 率
核心速记·必考点夯基
一、
1.近似 接近
2.(1)必然 随机 不可能
(2)一定发生 B?A A?B
不可能事件 A∩B=?
不可能事件 必然事件
事件A发生或事件B发生
A∪B A+B
事件A发生且事件B发生
A∩B AB
3.(1)[0,1] (2)必然事件 不可能事件
(3)P(A)+P(B) 1-P(B) 1 0
二、
1.①只有有限个 ②可能性相等
2.(1)大小、形状 (2)充分搅拌
(3)一个
三、
构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例
(1)无限多个
(2)相等
典题突破·热考点精练
【例1】③⑤ ④ ①②
【例2】【解析】本题考查互斥事件的概率加法公式.
(1)对任一人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A′,B′,C′,D′,它们是互斥的.由已知,有P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35.因为B,O型血可以输给B型血的人,故“可以输给小明血的人”为事件B′∪D′.根据互斥事件的加法公式,有P(B′∪D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.
(2)由于A,AB型血不能输给B型血的人,故“不能输给小明血的人”为事件(A′∪C′),所以P(A′∪C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.
【例3】(1)A
(2)①所有可能的取出结果共有10个:
A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2.
②取出的2个球都是红球的基本事件共有3个:
A1A2,A1A3,A2A3.
所以,取出的2个球都是红球的概率为.
【例4】(1)B (2)
【例5】【解析】(1)由茎叶图可知该运动员共参加了10场比赛.
分数依次为3,5,7,8,10,10,10,11,12,14;
因此得分中位数为10与10的平均数=10.
得分的平均数为
=9.
(2)该运动员10场比赛共有3次超过了10分,因此每场比赛超过10分的概率为.
达标训练·合格考通关
1.B 2.B 3.D 4.C 5.B 6.A 7.C
8.B 9.C 10.B 11.A 12.3或4
13.0.22 14.白球 15.0.55
16.【解析】(1)由中位数与众数的概念得甲组同学成绩的中位数为85,乙组同学成绩的众数为82.
(2)由茎叶图得成绩在90分以上的学生中,甲组有
2人,乙组有3人,总计5人,故抽到的这名学生来自甲组的概率为.
17.【解析】从1,2,3,4这4个数中任取2个数的基本事件是(1,2),(1,3),(1,4),
(2,3),(2,4),(3,4)共6种.
(1)记“2个数均为奇数”为事件A,则A包含(1,3)这1个基本事件,因此,P(A)=,
所以,取出的2个数均为奇数的概率是.
(2)记“取出的2个数同为奇数或偶数”为事件B,则B包含(1,3),(2,4)这2个基本事件,因此,P(B)=.
所以,取出的2个数同为奇数或偶数的概率为.
18.【解析】(1)由频率分布表,得0.05+0.35+m+0.35+0.10=1,即m=0.15.
(2)由(1)得等级为三的零件有3个,记作x1,x2,x3;等级为五的零件有2个,记作y1,y2,从x1,x2,x3,y1,y2中任意抽取2个零件,所有可能的结果为(x1,x2),(x1,x3),
(x1,y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),(y1,y2),共计10种.
记事件A为“从零件x1,x2,x3,y1,y2中任取2件,其等级相等”,则A包含的基本事件为(x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(y1,y2)共4个,故所求概率为P(A)==0.4.
19.【解析】记事件“射击一次,命中k环”为Ak(k∈N,k≤10),则事件Ak之间彼此互斥.
(1)设“射击一次,命中9环或10环”为事件A,那么当A9,A10之一发生时,事件A发生,由互斥事件概率的加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.6.
(2)设“射击一次,至少命中8环”为事件B,那么当A8,A9,A10之一发生时,事件B发生,由互斥事件概率的加法公式得P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32
=0.78.
(3)设“射击一次命中不足8环”为事件C,由于事件C与事件B互为对立事件,故P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.
PAGE第十章 概 率
考试内容
考纲要求
考点1 随机事件的概率
识记
考点2 概率的意义
理解
考点3 概率的基本性质
理解
考点4 古典概型
掌握
考点5 (整数值)随机数的产生
理解
考点6 几何概型
掌握
考点7 均匀随机数的产生
理解
一、随机事件的概率
1.频率与概率:
频率是概率的______值,随着试验次数的增加,频率会越来越______概率.在实际问题中,通常事件发生的概率是未知的,常用频率估计概率.?
2.(1)事件的分类及三种事件:
(2)事件的关系与运算:
3.概率的几个基本性质:
(1)范围:____________.?
(2)________的概率为1,?
________的概率为0.?
(3)概率加法公式:如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=________________________.?
特例:若事件A与事件B互为对立事件,则P(A)=____________.P(A∪B)=______,P(A∩B)=______.?
二、古典概型
1.古典概型的概念及概率公式:
概念
①试验中所有可能出现的基本事件________;?②每个基本事件出现的________________.?
公式
对于任何事件A,P(A)=______________________________.?
2.随机数的产生:
(1)标号:把n个____________相同的小球分别标上1,2,3,…,n.?
(2)搅拌:放入一个袋中,把它们__________.?
(3)摸取:从中摸出______.?
这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数,简称随机数.
三、几何概型
定义
如果每个事件发生的概率只与__________________________________________,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型?
特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有________?(2)每个基本事件出现的可能性______?
概率公式
P(A)=______________________________?
热点一 事件类型的判断
【例1】下列给出五个事件:
①某地2月3日下雪;②函数y=logax(a>0,且a≠1)在定义域上是增函数;③实数的绝对值不小于0;④在标准大气压下,水在1
℃结冰;⑤a,b∈R,则ab=ba.
其中必然事件是______;不可能事件是______;随机事件是______.?
热点二 互斥、对立事件的概率
【例2】黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例/%
28
29
8
35
已知同种血的人可以输血,O型血可以输给任何一种血型的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若小明因病需要输血,问:
(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?
(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?
热点三 古典概型概率的求法
【例3】(1)(2020·湖南学业水平考试真题)盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球,从中随机取出1个球,取到白球的概率是( )
A.
B.
C.
D.1
(2)从一个装有3个红球A1,A2,A3和2个白球B1,B2的盒子中,随机取出2个球.
①用球的标号列出所有可能的取出结果;
②求取出的2个球都是红球的概率.
古典概型概率的计算步骤
(1)算出所有基本事件的总数n.
(2)求事件A包含的基本事件的个数m.
(3)代入公式P(A)=,求出P(A).
热点四 几何概型概率的求法
【例4】(1)如图所示,正方形的面积为1.在正方形内随机撒1
000粒豆子,恰好有600粒豆子落在阴影部分内,则用随机模拟方法计算得阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
(2)取一根长度为3
m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长度都不小于1
m的概率为________.?
几何概型的计算步骤
热点五 概率的综合问题
【例5】学校举行班级篮球赛,某名运动员每场比赛得分记录的茎叶图如下.
0
3 5 7 8
1
0 1 2 0 0 4
(1)求该运动员得分的中位数和平均数;
(2)估计该运动员每场得分超过10分的概率.
一、选择题
1.下列事件中,随机事件是( )
A.连续两年的国庆节都是星期日
B.国庆节恰为星期日
C.相邻两年的国庆节,星期几不相同
D.今天是31号,明天是32号
2.某学校有教职工400名,从中选举40名教职工组成教工代表大会,每位教职工当选的概率是,其中正确的是( )
A.10个教职工中,必有1人当选
B.每位教职工当选的可能性是
C.数学教研组共有50人,该组当选教工代表的人数一定是5
D.以上说法都不正确
3.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“都是红球”
C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
4.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,
P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )
A.0.7
B.0.65
C.0.35
D.0.3
5.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1
534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒米夹谷56粒,则这批米内夹谷约为( )
A.1
365石
B.338石
C.168石
D.134石
6.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为:
162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,
151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.
根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任抽一人,估计该生的身高在155.5～170.5
cm之间的概率约为( )
A.
B.
C.
D.
7.(2019·湖南学业水平考试真题)如图所示,将一个圆八等分,假设在该圆内随机撒一粒豆子,则豆子落在阴影部分的概率为( )
A.
B.
C.
D.
8.在两个口袋中,分别有写着1,2,3,4,5五个数字的五张卡片,现从每个口袋中各抽一张卡片,得两张卡片上数字之和为7的概率为( )
A.
B.
C.
D.
9.某袋中有9个大小相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为( )
A.
B.
C.
D.
10.从长度分别为1,2,3,4的四条线段中,任取三条不同的线段,以取出的三条线段为边,可组成三角形的概率为( )
A.0
B.
C.
D.
11.如图所示,边长为2的正方形内有一内切圆,在图形上随机撒一粒黄豆,则黄豆落到圆内的概率是( )
A.
B.
C.
D.π
二、填空题
12.在10个学生中,男生有x人.现从10个学生中任选6人去参加某项活动,有下列事件:
①至少有一个女生;②5个男生,1个女生;③3个男生,3个女生.若要使①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件,则x为______.?
13.口袋中有若干红球、黄球与蓝球,摸出红球的概率为0.45,摸出黄球的概率为0.33,则摸出蓝球的概率为______________.?
14.如果不透明袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同),从中任取一球,取了10次有9个白球,估计袋中数量多的是______.?
15.由经验得知,在某商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下:
排队人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.15
0.3
0.31
0.1
0.04
则至多2个人排队的概率为______.?
三、解答题
16.(2019·湖南学业水平考试真题)甲、乙两个学习小组各有7名同学,在某次数学测试中,测试成绩的茎叶图如图所示.
(1)求甲组同学成绩的中位数和乙组同学成绩的众数;
(2)从这次测试成绩在90分以上的学生中,随机抽取1名学生,求抽到的这名学生来自甲组的概率.
17.从1,2,3,4这4个自然数中任取2个数.
(1)求取出的2个数均为奇数的概率;
(2)求取出的2个数同为奇数或偶数的概率.
18.某种零件按质量标准分为五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个,对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下:
等级
一
二
三
四
五
频率
0.05
0.35
m
0.35
0.10
(1)求m;
(2)从等级为三和五的所有零件中,任意抽取2个,求抽取的2个零件等级恰好相同的概率.
19.国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩加紧备战,经过近期训练,某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示:
命中环数
10
9
8
7
≤6
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
0.1
求该射击队员在一次射击中:
(1)命中9环或10环的概率;
(2)至少命中8环的概率;
(3)命中不足8环的概率.
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