第五章 点、直线、平面之间的位置关系
考试内容
考纲要求
考点1 平面
识记
考点2 空间中直线与直线之间的位置关系(包括异面直线所成的角)
理解
考点3 空间中直线与平面之间的位置关系
理解
考点4 平面与平面之间的位置关系
理解
考点5 直线与平面平行的判定与性质
掌握
考点6 平面与平面平行的判定与性质
掌握
考点7 直线与平面垂直的判定与性质(包括直线与平面所成的角)
掌握
考点8 平面与平面垂直的判定与性质(包括二面角)
掌握
一、空间点、直线、平面之间的位置关系
1.平面的基本性质:
公理
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的______在一个平面内,那么这条直线在________?
A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?__________?
公理2
过________的三点,__________一个平面?
______?
A,B,C三点不共线?存在唯一的平面α使A,B,C∈α
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的________?
P∈α,且P∈β?________________________?
公理4
平行于同一条直线的两条直线______?
________a?________b?________c?
a∥b,b∥c,则a∥c
推论1:____________________,可确定一个平面.?
推论2:________________,可确定一个平面.?
推论3:________________,可确定一个平面.?
等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角____________.?
2.空间中直线与直线之间的位置关系:
3.空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系:
(1)直线与平面相交——有且只有______公共点.?
(2)直线在平面内——有________公共点.?
(3)直线与平面平行——________公共点.?
(4)空间中两平面的位置关系——________、________.?
二、直线、平面平行的判定及其性质
1.直线与平面平行的判定定理:________一条直线与此平面内的一条直线______,则该直线与此平面平行.?
2.直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线______.?
3.平面与平面平行的判定定理:一个平面内的________与另一个平面平行,则这两个平面平行.?
4.平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线______.?
三、直线、平面垂直的判定及其性质
1.直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的__________直线都垂直,则该直线与此平面垂直.?
2.直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线______.?
3.平面与平面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的______,则这两个平面垂直.?
4.平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面______.?
热点一 求异面直线所成的角
【例1】如图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2是两条侧面对角线,则在正方体中,l1与l2( )
A.互相平行
B.异面且互相垂直
C.异面且夹角为
D.相交且夹角为
热点二 直线与平面、平面与平面平行的判定
【例2】(1)如图所示,四面体ABCD中,E,F分别为AC,AD的中点,则直线CD与平面BEF的位置关系是( )
A.平行
B.在平面内
C.相交但不垂直
D.相交且垂直
(2)已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
①证明:D1A∥平面C1BD;
②求异面直线D1A与BD所成的角.
线面平行的证明方法及步骤
(1)证明线面平行常用线面平行的判定定理,即证明平面外的一条直线与平面内的某一直线平行.
(2)证明线线平行常用中位线定理或平行四边形进行平行转移.
(3)根据定理书写步骤时,一定要写清一条直线在平面外,一条直线在平面内.
热点三 直线与平面、平面与平面垂直的判定
【例3】(2019·湖南学业水平考试真题)如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥AC.
(1)求证:AB⊥平面ACC1A1;
(2)已知AB=3,AC=4,且异面直线BB1与A1C所成的角为45°,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
热点四 直线与平面所成的角
【例4】(1)如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则AB与平面α所成的角是( )
A.60°
B.45°
C.30°
D.120°
(2)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形,PD⊥底面ABCD.
①求证:AC⊥平面PBD;
②若PD=2,直线PB与平面ABCD所成的角为45°,求四棱锥P-ABCD的体积.
一、选择题
1.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”,正确的是( )
A.A∈l,l?α
B.A∈l,l?α
C.A?l,l?α
D.A?l,l?α
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A.相交
B.异面
C.平行
D.垂直
3.设a,b是互不垂直的两条异面直线,则下列命题成立的是( )
A.存在唯一直线l,使得l⊥a,且l⊥b
B.存在唯一直线l,使得l∥a,且l⊥b
C.存在唯一平面α,使得a?α,且b∥α
D.存在唯一平面α,使得a?α,且b⊥α
4.如图,已知S为四边形ABCD外一点,G,H分别为SB,BD上的点,若GH∥平面SCD,则( )
A.GH∥SA
B.GH∥SD
C.GH∥SC
D.以上均有可能
5.a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是( )
A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面
B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交
C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等
D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c
6.直线a在平面γ外,则( )
A.a∥γ
B.a与γ至少有一个公共点
C.a∩γ=A
D.a与γ至多有一个公共点
7.已知直线l1,l2与平面α,有下列说法:①若l1∥α,l1∥l2,则l2∥α;②l1?α,l2∩α=A,则l1与l2为异面直线;③若l1⊥α,l2⊥α,则l1∥l2;④若l1⊥l2,l1∥α,则l2∥α.
其中正确的个数有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
8.平面α与平面β平行的条件可以是( )
A.α内有无穷多条直线都与β平行
B.直线a∥α,a∥β,且直线a不在α内,也不在β内
C.直线a?α,直线b?β,且a∥β,b∥α
D.α内的任何直线都与β平行
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C与DB的位置关系为( )
A.平行
B.相交
C.异面但不垂直
D.异面且垂直
二、填空题
10.下列命题中不正确的是______.(填序号)?
①没有公共点的两条直线是异面直线;②分别和两条异面直线都相交的两直线异面;
③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行;④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面.
11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若过A,B1,C三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与AC的位置关系是______________.?
12.如图,在三棱锥P-ABC中,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB=______.?
13.已知AE是长方体ABCD-EFGH的一条棱,则在这个长方体的十二条棱中,与AE异面且垂直的棱共有________条.?
三、解答题
14.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.
(1)求四棱锥O-ABCD的体积;
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.
15.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1C,B1C1,C1D1的中点,求证:平面PMN∥平面A1BD.
16.如图,已知三棱锥V-ABC中,∠VAB=∠VAC=90°,∠ABC=90°,AC=AV.
(1)求证:BC⊥平面VAB;
(2)求VC与平面ABC所成的角.
17.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,△PAB是等边三角形,AC⊥BC,且AC=BC=2,O,D分别是AB,PB的中点.
(1)求证:PA∥平面COD;
(2)求三棱锥P-ABC的体积.
18.(2018·湖南学业水平考试真题)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,PA⊥底面ABCD.
(1)求证:CD⊥平面PAD;
(2)若E为PD的中点,三棱锥C-ADE的体积为,求四棱锥P-ABCD的侧面积.
PAGE第五章 点、直线、平面之间的位置关系
核心速记·必考点夯基
一、
1.两点 此平面内 l?α
不在一条直线上 有且只有
公共直线 α∩β=l,且P∈l 平行
过直线与直线外一点
过两条相交直线 过两条平行直线
相等或互补
2.任何一个平面
3.(1)一个 (2)无数个 (3)没有
(4)平行 相交
二、
1.平面外 平行 2.平行
3.两条相交直线 4.平行
三、
1.两条相交 2.平行
3.垂线 4.垂直
典题突破·热考点精练
【例1】D
【例2】(1)A
(2)①在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为ABD1C1,
所以四边形ABC1D1为平行四边形,因此AD1∥BC1,
BC1?平面C1BD,D1A?平面BC1D,
所以D1A∥平面C1BD.
②由①知∠DBC1为异面直线D1A与BD所成的角,
由于BC1,BD,C1D均为正方体的面对角线,
所以BC1=BD=C1D,故△BC1D为正三角形,
即∠DBC1=60°,所以异面直线D1A与BD所成的角为60°.
【例3】【解析】(1)因为直线AA1⊥底面ABC,AB?平面ABC,
所以AB⊥AA1,
又AB⊥AC且AC∩AA1=A,
所以AB⊥平面ACC1A1.
(2)因为直线BB1∥AA1,
所以∠AA1C为异面直线BB1与A1C所成的角,为45°,所以在三角形AA1C中,
AA1=AC=4.
又S△ABC=AB·AC=×3×4=6,
故三棱柱ABC-A1B1C1的体积为S△ABC·AA1=6×4=24.
【例4】(1)A
(2)①因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,又因为PD⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以PD⊥AC.又因为PD∩BD=D,故AC⊥平面PBD.
②因为PD⊥平面ABCD,
所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角,于是∠PBD=45°,因此BD=PD=2,又AB=AD=2,所以菱形ABCD的面积为S=AB·AD·sin
60°=2.故四棱锥P-ABCD的体积V=S·PD=.
达标训练·合格考通关
1.B 2.A 3.C 4.B 5.C 6.D 7.B 8.D 9.D 10.①② 11.l∥AC 12.
13.4
14.【解析】(1)由已知可求得正方形ABCD的面积=4,
所以四棱锥O-ABCD的体积=×4×2=.
(2)如图,连接AC,设线段AC的中点为E,连接ME,DE.
又M为OA的中点,所以ME∥OC,
则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角,由已知可得DE=,EM=,MD=,
因为()2+()2=()2,
所以△DEM为直角三角形,
所以tan∠EMD===.
所以异面直线OC与MD所成角的正切值为.
15.【证明】连接B1D1,B1C.因为P,N分别是D1C1,B1C1的中点,所以PN∥B1D1.
又B1D1∥BD,所以PN∥BD.
又PN?平面A1BD,BD?平面A1BD,
所以PN∥平面A1BD.同理,
MN∥平面A1BD.
又PN∩MN=N,所以平面PMN∥平面A1BD.
16.【解析】(1)因为VA⊥AB,VA⊥AC,AB∩AC=A,所以VA⊥平面ABC.
所以VA⊥BC,又因为BC⊥AB,
VA∩AB=A,所以BC⊥平面VAB.
(2)因为VA⊥平面ABC,
所以∠VCA为VC与平面ABC所成的角,在Rt△VCA中,AC=VA,
所以∠VCA=45°,
即VC与平面ABC所成的角为45°.
17.【解析】(1)因为O,D分别是AB,PB的中点,所以OD∥AP,
又PA?平面COD,OD?平面COD,
所以PA∥平面COD.
(2)连接OP,由△PAB是等边三角形,则OP⊥AB.
又因为平面PAB⊥平面ABC,所以OP⊥平面ABC,且OP=×2=.所以三棱锥P-ABC的体积V=S△ABC×OP=××22×=.
18.【解析】(1)因为PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD,又底面ABCD为正方形,
所以CD⊥AD.
因为PA?平面PAD,
AD?平面PAD,CD?平面PAD,
PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.
(2)过点E作EF⊥AD.
因为PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥AD,
所以PA∥EF,又E为PD中点,
所以F为AD中点,
所以EF为△PAD中位线,
所以PA=2EF.
因为VC-ADE=·CD·S△AED=S△AED=,
所以S△AED=1,
所以AD·EF=1,
所以EF=1,所以PA=2EF=2,
所以S△PAD=PA·AD=×2×2=2,
PD===2.
因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AC,又AC==2,
所以PC==2.
因为PD2+CD2=12=PC2,
所以△PDC为直角三角形,
所以S△PDC=PD·DC=×2×2=2.
又PB==2,且PB2+BC2=12=PC2,
所以△PBC为直角三角形,
所以S△PBC=PB·BC=×2×2=2,
所以S侧P-ABCD=S△PAD+S△PDC+S△PBC+S△PAB
=2+2+2+PA·AB
=2+2+2+2
=4+4.
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