高中学业水平考试合格性考试仿真模拟试卷(三)
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.
时量90分钟,满分100分
一、选择题:本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.向量a=(-1,3),b=(2,-4),则a-b=( )
A.(3,1)
B.(-3,7)
C.(3,-7)
D.(1,-1)
2.已知集合A={x|0≤x≤5},B={x∈N
|x-1≤2},则A∩B=( )
A.{x|0≤x≤3}
B.{1,2,3}
C.{0,1,2,3}
D.{x|1≤x≤3}
3.等差数列{an}中,a2=4,a3=5,则a8=( )
A.7
B.8
C.9
D.10
4.圆x2+y2-4x-2y+1=0的圆心在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
5.若函数f(x)=loga
x(0
A.
B.
C.
D.
6.长沙市2016年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示.由图判断,四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是( )
A.第一季度
B.第二季度
C.第三季度
D.第四季度
7.如图所示的程序框图,其输出的结果是( )
A.1
B.
C.
D.
8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2-c2=2b,sin
Acos
C=3sin
Ccos
A,则b的值为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.12π
B.
C.
D.16π
10.为了解某校高三学生的视力情况,随机抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如图.但不慎将部分数据丢失,只知道前4组的频数成等比数列,后6组的频数成等差数列,设最大频率为a,视力在4.6到5.0之间的学生人数为b,则a,b的值分别为( )
A.0.27,78
B.0.27,83
C.2.7,78
D.2.7,83
二、填空题:本大题共5个小题,每小题4分,共20分.
11.若函数f(x)是奇函数,且f(2)=1,则f(-2)=________.?
12.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是________.?
13.已知直线l1:kx+(1-k)y-3=0,l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0,若l1⊥l2,则k=________.?
14.若实数x,y满足约束条件则z=3x+y的最大值为________.?
15.若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值为________.?
三、解答题:本大题共4个小题,共40分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,PC⊥底面ABCD,E为PB上一点,G为PO的中点.
(1)若PD∥平面ACE,求证:E为PB的中点;
(2)若AB=PC,求证:CG⊥平面PBD.
17.(本小题满分10分)某校从参加数学竞赛的学生中随机抽取20名学生的数学成绩(均为整数)整理后分组为[40,50),[50,60),…,[90,100],画出如图所示的频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求这20名学生中分数在[70,80)内的人数;
(2)若从成绩大于或等于80分的学生中随机抽取2人,求恰有1名学生成绩在区间[90,100]内的概率.
18.(本小题满分10分)某同学解答一道解析几何题:“已知直线l:y=2x+4与x轴的交点为A,圆O:x2+y2=r2经过点A.
(1)求r的值;
(2)若点B为圆O上一点,且直线AB垂直于直线l,求.”
该同学解答过程如下:
解答:(1)令y=0,即2x+4=0,解得x=-2,所以点A的坐标为.
因为圆O:x2+y2=r2经过点A,所以r=2.
(2)因为AB⊥l,所以直线AB的斜率为-2.
所以直线AB的方程为y-0=-2,
即y=-2x-4.
代入x2+y2=4消去y整理得5x2+16x+12=0,
解得x1=-2,x2=-.当x2=-时,y2=-.所以点B的坐标为.
所以|AB|==.
指出上述解答过程中的错误之处,并写出正确的解答过程.
19.(本小题满分10分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如下:
(1)根据函数的图象求该函数的解析式;
(2)求函数f(x)的单调增区间.
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1.B a-b=(-1-2,3+4)=(-3,7).
2.B 因为集合A={x|0≤x≤5},
B={x∈N
|x-1≤2}={1,2,3},
所以A∩B={1,2,3}.
3.D 公差d=a3-a2=1,a8=a2+(8-2)d=4+6=10.
4.A 化简x2+y2-4x-2y+1=0得到(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为(2,1),在第一象限.
5.A 因为0a=1,f(x)min=loga2a.由已知得1=3loga
2a,
所以a=(2a)3,
解得a=.
6.B 根据图中数据知,第一季度的数据是72.15,43.96,93.13;
第二季度的数据是66.5,55.25,58.67;
第三季度的数据是59.16,38.67,51.6;
第四季度的数据是82.09,104.6,168.05;
观察得出第二季度的数据波动性最小,所以第二季度的PM2.5平均浓度指数方差最小.
7.C n=1,S=0+=1,n=2,不满足条件,
S=1+=,n=3,不满足条件,
S=+=,n=4,满足条件,
故输出S=.
8.C 由sin
Acos
C=3sin
Ccos
A及正弦定理得acos
C=3ccos
A,
由余弦定理得a·=3c·,
即a2+b2-c2=3(b2+c2-a2),
又a2-c2=2b,
所以b2+2b=3(b2-2b),
即b2=4b,又b>0,
所以b=4.
9.C 该几何体为半个圆柱与半个圆锥形成的组合体,
故V=π·×4+×π·×4=8π+=.
10.A 由频率分布直方图知,组距为0.1,
视力在4.3到4.4之间的频数为100×0.1×0.1=1,
视力在4.4到4.5之间的频数为100×0.1×0.3=3.
因为前4组的频数成等比数列,所以公比为3.
从而视力在4.6到4.7之间的频数最大,为1×33=27,所以a=0.27.
根据后6组的频数成等差数列,且频数之和为100-13=87,设公差为d,则6×27+d=87,
所以d=-5,
从而b=4×27+×(-5)=78.
11.【解析】因为f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
因为f(2)=1,
所以f(-2)=-f(2)=-1.
答案:-1
12.【解析】由三视图知,四棱锥是底面边长为4,高为2的正四棱锥,所以四棱锥的表面积是16+4××4×2=16+16.
答案:16+16
13.【解析】因为l1⊥l2,
所以k·(k-1)+(1-k)·(2k+3)=0,
解得
k=1或k=-3.
答案:1或-3
14.【解析】画出实数x,y满足条件的可行域为:
作直线l0:y=-3x,平移直线l0,当直线过点A(1,0)时,z最大,最大值为zmax=3×1+0=3.
答案:3
15.【解析】圆方程为(x+1)2+(y-2)2=4,圆心为(-1,2),半径为2,若直线被截得弦长为4,说明圆心在直线上,即-2a-2b+2=0,所以a+b=1,
所以+=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当=,即a=b=时,等号成立.
答案:4
16.【证明】(1)如图,连接OE,由四边形ABCD是正方形知,O为BD的中点,
因为PD∥平面ACE,PD?平面PBD,平面PBD∩平面ACE=OE,……………………2分
所以PD∥OE,因为O为BD的中点,
所以E为PB的中点.……………………4分
(2)在四棱锥P-ABCD中,
AB=PC,
因为四边形ABCD是正方形,
所以OC=AB,
所以PC=OC,
因为G为PO的中点,
所以CG⊥PO.……………………7分
又PC⊥底面ABCD,
BD?底面ABCD,
所以PC⊥BD.
而四边形ABCD是正方形,
所以AC⊥BD,
因为AC,PC?平面PAC,
AC∩PC=C,
所以BD⊥平面PAC,
又CG?平面PAC,
所以BD⊥CG.
因为PO,BD?平面PBD,PO∩BD=O,
所以CG⊥平面PBD.……………………10分
17.【解析】(1)1-(0.010+0.015+0.015+0.020+0.005)×10=0.35,0.35×20=7(人),
所以分数在[70,80)内的学生人数为7.……………………5分
(2)因为(0.020+0.005)×10=0.25,0.25×20=5(人),
所以分数大于或等于80分的学生人数为5(其中在区间[90,100]内的学生有1人).
设这5人分别为a,b,c,d,e(e的成绩在[90,100]内),则从中选2人有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10种情况,
其中恰有1名学生成绩在[90,100]内的有ae,be,ce,de,共4种情况,
所以恰有1名学生成绩在区间[90,100]内的概率P==.
……………………10分
18.【解析】直线AB的斜率为-2不对.……………………2分
正确的应该是:
因为AB⊥l,
所以直线AB的斜率为-.
所以直线AB的方程为y-0
=-,
即x=-2y-2.……………………4分
代入x2+y2=4消去x整理得5y2+8y=0,
解得y1=0,y2=-.
当y2=-时,x2=.
所以B的坐标为.
8分
所以|AB|
=
=.……………………10分
19.【解析】(1)由图知=π-
=,
所以T=π,ω=2.……………………2分
当x=-时,y=0,
代入f(x)=2sin(2x+φ),
得2sin=0,
所以φ-=kπ,k∈Z,
又|φ|≤,
所以φ=.
所以f(x)=2sin.……………………5分
(2)由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.……………………7分
所以f(x)=2sin的增区间为,k∈Z.
……………………10分
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