高中学业水平考试合格性考试仿真模拟试卷(一)
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.
时量90分钟,满分100分
一、选择题:本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|0},B={x|x2-x-6=0},则A∩B=( )
A.{x|1B.{x|0C.
D.{1,2,3}
2.等差数列{an}中,a3+a7=6,则{an}的前9项和等于( )
A.-18
B.27
C.18
D.-27
3.已知向量a=(-1,2),b=(m,-1),若a=λb(λ∈R),则m=( )
A.-2
B.-
C.
D.2
4.下面一段程序执行后的结果是( )
A=2A=A
3PRINT AEND
A.2
B.3
C.6
D.8
5.圆x2+y2-2x-3=0的圆心坐标及半径分别为( )
A.(-1,0)与
B.(1,0)与
C.(1,0)与2
D.(-1,0)与2
6.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上是减函数的是( )
A.y=-x
B.y=cos
x
C.y=
D.y=-x2
7.函数f(x)=2x+x-4的零点所在的区间是( )
A.(-1,0)
B.(2,3)
C.(0,1)
D.(1,2)
8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.16+2
B.16+
C.12+2
D.12+
9.若sin
θ+cos
θ=,则sin
θcos
θ=( )
A.
B.
C.±
D.-
10.满足|x-1|+|y-1|≤1的图形面积为( )
A.1
B.
C.2
D.4
二、填空题:本大题共5个小题,每小题4分,共20分.
11.已知两条平行直线3x+4y-6=0和3x+4y+a=0之间的距离等于2,则实数a的值为________.?
12.如图所示,BD是边长为3的正方形ABCD的对角线,将△BCD绕直线AB旋转一周后形成的几何体的体积等于________.?
13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若A=,a=,b=,则△ABC的面积等于__________
.?
14.定义在R上的奇函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(1)=1,则f(2
019)
=________.?
15.已知向量a=(m,1),b=(4-n,2),m>0,n>0,若a∥b,则+的最小值为________.?
三、解答题:本大题共4个小题,共40分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分10分)对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图),但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失,则依据此图可得:
(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度是多少?
(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数是多少?
17.(本小题满分10分)某同学解答一道三角函数题:“已知函数f=
2sin,且f=.
(1)求φ的值;
(2)求函数f在区间上的最大值及相应x的值.”
该同学解答过程如下:
解答:(1)因为f=2sin
φ=,
所以sin
φ=.因为-<φ<,所以φ=.
(2)因为-≤x≤,所以-≤x+≤.
令t=x+,
则-≤t≤.
画出函数y=2sin
t在上的图象,
由图象可知,当t=,即x=时,函数f的最大值为f=2.
下表列出了某些数学知识:
任意角的概念
任意角的正弦、余弦、正切的定义
弧度制的概念
±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式
弧度与角度的互化
函数y=sin
x,y=cos
x,y=tan
x的图象
三角函数的周期性
正弦函数、余弦函数在区间上的性质
同角三角函数的基本关系式
正切函数在区间上的性质
两角差的余弦公式
函数y=Asin的实际意义
两角差的正弦、正切公式
参数A,ω,φ对函数y=Asin图象变化的影响
两角和的正弦、余弦、正切公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式
请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.
18.(本小题满分10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是PA,PB的中点,求证:
(1)MN∥平面ABCD;
(2)CD⊥平面PAD.
19.(本小题满分10分)土壤重金属污染已经成为快速工业化和经济高速增长地区的一个严重问题,污染土壤中的某些重金属易被农作物吸收,并转入食物链影响大众健康.A,B两种重金属作为潜在的致癌物质,应引起特别关注.某中学科技小组对由A,B两种重金属组成的1
000克混合物进行研究,测得其体积为100立方厘米(不考虑物理及化学变化),已知重金属A的密度大于11
g/cm3,小于
12
g/cm3,重金属B的密度为8.65
g/cm3.试计算此混合物中重金属A的克数的范围.
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1.C 易得B==,
A=
=,
所以A∩B=∩=.
2.B S9====27.
3.C 因为向量a=(-1,2),
b=(m,-1),a=λb(λ∈R),
所以(-1,2)=λ(m,-1),
所以
所以m=.
4.C 由程序可知A=2×3=6.
5.C x2+y2-2x-3=0,配方得(x-1)2+y2=4,圆心坐标为(1,0),半径r=2.
6.D 函数y=-x是奇函数,y=cos
x在(0,+∞)上不具有单调性,y=是奇函数,y=-x2既是偶函数又在(0,+∞)上是减函数.
7.D 函数f(x)=2x+x-4,f(1)=21+1-4=-1<0,f(2)=22+2-4=2>0,所以f(1)·f(2)<0,
即f(x)在(1,2)内有零点.
8.A 由三视图可画出几何体的直观图为多面体ABCDEF,放在长方体中如图所示,则几何体的表面由四个全等且直角边长分别为2,3的直角三角形,两个边长分别为,,2的等腰三角形及一个边长为2的正方形构成,故几何体的表面积为4××2×3+2××2×+2×2=16+2.
9.B 由sin
θ+cos
θ=两边平方得sin2θ+2sin
θcos
θ+cos2θ=,
即1+2sin
θcos
θ=,
解得sin
θcos
θ=.
10.C 由题意,可得+≤1?
画出对应的平面区域,如图所示,
其中四边形ABCD为正方形,因为AB=,所以S四边形ABCD=×=2,即+≤1所表示的图形的面积为2.
11.【解析】两条平行线之间的距离d===2,
故a=4或a=-16.
答案:4或-16
12.【解析】旋转后形成的几何体是一个圆柱体挖去一个倒置的圆锥,其中圆柱、圆锥的底面半径、高均为3,
所以V=V柱体-V锥体=π×32×3-×π×32×3=18π.
答案:18π
13.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos
A,
所以5=2+c2-2c,
所以c=3或c=-1(舍去),
所以S△ABC=bcsin
A=.
答案:
14.【解析】由题意得f(x+4)=f(2-(x+2))=f(-x)=-f(x),
所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以函数f(x)以8为周期,
所以f(2
019)=f(3)=f(1)=1.
答案:1
15.【解析】因为a∥b,
所以4-n-2m=0,
即n+2m=4,
因为m>0,n>0,
所以+
=(n+2m)=≥
=,
当且仅当n=4m=时取等号,所以+的最小值是.
答案:
16.【解析】(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h,则5(0.01+h+0.07+
0.06+0.02)=1,解得h=0.04.
…………………………5分
(2)志愿者年龄在[25,35)年龄组的频率为5(0.04+0.07)=0.55,故志愿者年龄在[25,35)年龄组的人数约为0.55×800=440.……………………10分
17.【解析】首先-<φ<,这里出现了负角和弧度表示角,涉及的是任意角的概念和弧度制的概念;由sin
φ=和φ的范围解出φ=,这里涉及的是任意角的正弦的定义;解题时所画的图象涉及的是函数y=sin
x的图象;作出图象后可根据周期性以及单调性计算出最大值,这里涉及的是三角函数的周期性,正弦函数在区间上的性质;用换元法构造正弦函数的图象其实利用的是平移的思想,这里涉及的是参数A,ω,φ对函数y=Asin图象变化的影响.……………………5分
所以,该同学在解答过程中用到了此表中的数学知识为:任意角的概念,弧度制的概念,任意角的正弦的定义,函数y=sin
x的图象,三角函数的周期性,正弦函数在区间上的性质,参数A,ω,φ对函数y=Asin图象变化的影响.
……………………10分
18.【证明】(1)因为M,N分别是PA,PB的中点,
所以MN∥AB.
又因为MN?平面ABCD,
AB?平面ABCD,
所以MN∥平面ABCD.……………………5分
(2)因为PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥CD,
因为四边形ABCD是矩形,
所以CD⊥AD.
因为AD∩PA=A,
所以CD⊥平面PAD.……………………10分
19.【解析】设重金属A的密度为x
g/cm3,此混合物中含重金属A为y克.
由题意可知,重金属B为克,且+
=100.
解得y=.
……………………4分
因为y=
=135,
所以当x>8.65时,y随x的增大而减小,
因为11所以135×=135<135×.……………………8分
解得483故此混合物中重金属A的克数的范围是大于483克,小于631克.
……………………10分
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