第十二章 平
面
向
量
核心速记·必考点夯基
一、
1.大小 方向
2.长度为0 1
3.(1)长度相等且方向相同
(2)相同 相反 任一向量
二、
1.平行四边形 三角形
3.唯一 b=λa
4.(1)|λ||a| (2)同向
三、
不共线 任意 λ1e1+λ2e2
四、
1.|a||b|cos
θ
2.x1x2+y1y2
3.|b|cos
θ
4.(1)a·b=0 (2)|a||b| -|a||b|
a2 |a|2
(3)
(4)≤
5.x1y2-x2y1=0 x1x2+y1y2=0
7.(1)b·a (2)λ(a·b) a·(λb)
(3)a·b+a·c
五、
向量 向量问题 运算
典题突破·热考点精练
【例1】D
【例2】(1)A (2)A
【例3】(1)A (2)B (3)(-1,1)
【例4】(1)(-3,-6) (2)-8
【例5】(1)B (2)C
【例6】【解析】设A(x1,y1),因为EF=AD且EF∥AD,所以=,
即(x1-1,y1-2)=(2-3,7-5),
所以A(0,4).
同理可求得B(2,0),C(4,10).
连接AE,则AE过G,设G(x2,y2),
由=2得(x2,y2-4)=2(3-x2,5-y2),解得G.
达标训练·合格考通关
1.C 2.A 3.D 4.C 5.B 6.D 7.B
8.D 9.C 10.B 11.(1,5) 12.
13.- 14.1
15.【解析】设=(x,y),由题意得:
?
?
??=(14,7),
=-=(11,6).
16.【解析】
(1)由A,B,C三点不能构成三角形,得A,B,C在同一直线上,即向量与平行,
所以4(2-k)-2×3=0,解得k=.
(2)因为=(2-k,3),所以=(k-2,-3),所以=+=(k,1).
若△ABC为直角三角形,
则当A是直角时,⊥,即·=0,所以2k+4=0,解得k=-2;
当B是直角时,⊥,即·=0,所以k2-2k-3=0,解得k=3或k=-1;
当C是直角时,⊥,即·=0,所以16-2k=0,解得k=8.
综上得k的值为-2,-1,3,8.
17.【解析】(1)因为a·b=4×(-1)+3×2=2,|a|==5,
|b|==,
所以cos
θ=
==.
(2)因为a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8),
又(a-λb)⊥(2a+b),
所以7(4+λ)+8(3-2λ)=0,
所以λ=.
PAGE第十二章 平
面
向
量
考试内容
考纲要求
考点1 平面向量的物理背景与概念
识记
考点2 平面向量的几何表示
识记
考点3 相等向量与共线向量
识记
考点4 平面向量加法运算及其几何意义
理解
考点5 平面向量减法运算及其几何意义
理解
考点6 平面向量数乘运算及其几何意义
理解
考点7 平面向量基本定理
理解
考点8 平面向量的正交分解及坐标表示
识记
考点9 平面向量的坐标运算
掌握
考点10 平面向量共线的坐标表示
理解
考点11 平面向量数量积的物理背景及其含义
理解
考点12 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
掌握
考点13 平面向量的应用举例
掌握
一、平面向量的实际背景及基本概念
1.向量既有______又有______,向量不能比较大小.?
2.与向量有关的概念:
零向量
________________的向量,记作0?
单位向量
长度等于____个单位长度的向量?
向量的模(长度)
向量的大小,记作:||
3.两个向量间的关系:
(1)相等向量:________________________的向量.?
(2)平行向量(共线向量)
二、平面向量的线性运算
1.向量的加法法则:____________法则(向量不共线时)与________法则.?
2.向量的减法:
(1)定义:向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即a-b=a+(-b).
(2)几何意义:a-b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
3.共线向量定理:向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有______一个实数λ,使________________.?
4.向量数乘运算:
(1)长度:|λa|=________?
(3)特别地,当λ=0或a=0时λa=0.
三、平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个________向量,那么对于这一平面内的______向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=__________________________________.?
四、平面向量的数量积
1.两个向量的数量积:设a与b的夹角为θ,
则a·b=____________.?
2.平面两向量数量积的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=______________.?
3.向量的数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影____________的乘积.?
4.性质:
(1)a⊥b?________.?
(2)当a与b同向时,a·b=____________.?
当a与b反向时,a·b=__________.?
特别地,a·a=________=________或|a|=?
(3)cos
θ=__________(θ为a与b的夹角).?
(4)|a·b|____|a||b|.?
5.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?________,?
a⊥b?________.?
6.设a,b都是非零向量:
a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角.
夹角公式cos
θ=.
7.向量数量积的运算律:
(1)交换律:a·b=______.?
(2)结合律:(λa)·b=________=________.?
(3)分配律:a·(b+c)=____________.?
五、平面向量应用举例
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
热点一 向量的有关概念辨析问题
【例1】给出下列四种说法,其中正确的说法是( )
A.相等的向量即为模相等的向量
B.方向不同的向量也有可能相等
C.平行向量即为方向相同的向量
D.0平行于任何一个向量
热点二 向量的线性运算
【例2】(1)(2018·湖南学业水平考试真题)如图所示,在平行四边形ABCD中,+=( )
A.
B.
C.
D.
(2)在△ABC中,已知M是BC中点,设=a,=b,则=( )
A.a-b
B.a+b
C.a-b
D.a+b
热点三 平面向量的坐标运算
【例3】(1)已知向量=(1,0),=(1,1),则||等于( )
A.1
B.
C.2
D.
(2)(2020·湖南学业水平考试真题)已知向量a=(2,1),b=(-1,1).若a+b=(x,2),则x=( )
A.0
B.1
C.2
D.3
(3)设向量a,b满足a=(1,-1),|b|=|a|,且b与a的方向相反,则b的坐标为______.?
平面向量坐标运算的技巧
(1)进行平面向量坐标运算前,先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系.
(2)在进行平面向量的坐标运算时,应先将平面向量用坐标的形式表示出来,再根据向量的直角坐标运算法则进行计算.
(3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的应用.
热点四 共线向量
【例4】(1)已知向量a=(1,1),点A(3,0),点B为直线y=2x上的一个动点,若∥a,则点B的坐标为______.
?
(2)设e1,e2是两个不共线的向量,=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则k=________.?
热点五 平面向量的数量积
【例5】(1)若向量a=(x,4)与b=(2,1)垂直,则实数x的值为( )
A.2
B.-2
C.8
D.-8
(2)(2019·湖南学业水平考试真题)已知向量a=(1,1),b=(2,0),则a·b=( )
A.0
B.1
C.2
D.3
向量数量积的运算应注意以下几点
(1)θ的范围为0°≤θ≤180°.
(2)若a·b>0?θ为锐角或零角,若a·b<0?θ为钝角或平角.
热点六 平面向量在几何中的应用
【例6】在△ABC中,D,E,F分别为边AB,BC,CA的中点,G是它的重心,已知D点坐标为(1,2),E点坐标为(3,5),F点坐标为(2,7),求A,B,C,G的坐标.
一、选择题
1.下列说法正确的是( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反
C.向量的长度与向量的长度相等
D.若四边形ABCD是平行四边形,则=
2.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影为( )
A.
B.
C.-
D.-
3.已知向量a=(-1,2),点A(-2,1),若∥a且||=3,O为坐标原点,则的坐标为( )
A.(1,-5)
B.(-5,7)
C.(1,-5)或(5,-7)
D.(1,-5)或(-5,7)
4.已知M(3,-2),N(-5,-1)且=,则点P的坐标为( )
A.(-8,1)
B.
C.
D.(8,-1)
5.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )
A.4
B.3
C.2
D.0
6.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于( )
A.(-2,6)
B.(-4,0)
C.(7,6)
D.(-2,0)
7.若向量a=(1,3)与向量b=(2,x)垂直,则x的值为( )
A.
B.-
C.6
D.-6
8.在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=,则·等于( )
A.-
B.-
C.
D.
9.在△ABC中,设=a,=b,且|a|=2,|b|=1,a·b=-1,则||=( )
A.1
B.
C.
D.
10.如图,D为等腰三角形ABC底边AB的中点,则下列等式恒成立的是( )
A.·=0
B.·=0
C.·=0
D.·=0
二、填空题
11.已知?ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为______.
?
12.设向量a=(0,2),b=(,1),则a,b的夹角等于________.?
13.在等腰△ABC中,AB=AC=2,∠ACB=,D是BC的中点,则在方向上的正射影数量是______.?
14.在平面直角坐标系中,正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0,0),B(1,1),则·=______.?
三、解答题
15.设=(3,1),=(-1,2),⊥,∥,试求满足+=的的坐标(O为坐标原点).
16.已知平面上三点A,B,C,=(2-k,3),=(2,4).
(1)若A,B,C三点不能构成三角形,求实数k应满足的条件;
(2)若△ABC为直角三角形,求k的值.
17.已知a=(4,3),b=(-1,2).
(1)求a与b的夹角的余弦值;
(2)若(a-λb)⊥(2a+b),求实数λ的值.
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