第十三章 三角恒等变换
核心速记·必考点夯基
一、
1.cos
αcos
β+sin
αsin
β
cos
αcos
β-sin
αsin
β
sin
αcos
β+cos
αsin
β
sin
αcos
β-cos
αsin
β
2.2sin
αcos
α cos2α-sin2α
2cos2α-1 1-2sin2α
=
二、
1.1-2sin2α 2α α 1-2sin2
± 2cos2α-1
2cos2-1 ±
±
2.
典题突破·热考点精练
【例1】(1) (2)-3
【例2】(1)A (2)A
(3)①因为α为锐角,且sin
α=,由平方关系得cos
α===
②由倍角公式sin
2α=2sin
α·cos
α=2××=.
【例3】(1)B
(2)①f(0)=0.
②f(x)=2sin
xsin
=2sin
xcos
x=sin
2x,
所以,函数f(x)的最小正周期为π.
【例4】【解析】(1)因为f(x)=sin
x·+cos
x·+cos
x·+
sin
x·=(sin
x-cos
x)=2sin,
所以f(x)的最小正周期是2π,当x-=2kπ-(k∈Z),即x=2kπ-(k∈Z)时,函数取得最小值-2.
(2)因为0<α<β≤,所以>β-α>0,π>β+α>0,因为cos(β-α)=,
所以sin(β-α)=.
因为cos(β+α)=-,
所以sin(β+α)=.
所以sin
2β=sin[(α+β)-(α-β)]
=sin(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)sin(α-β)
=·-·=0,
所以[f(β)]2-2=-2
=4sin2-2
=2-2
=-2sin2β=0,所以结论成立.
【例5】【解析】(1)a=b,则sin
x=cos
x=,所以tan
x==1.
(2)f(x)=a·b+2=sin
x+cos
x+2=sin
+2,
因为sin
(x+)∈[-1,1],
所以f(x)的值域为[1,3].
达标训练·合格考通关
1.B 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D
7. 8.1 9.+1
10.【解析】(1)原式=sin
14°cos
16°+
sin(90°-14°)·cos(90°-16°)
=sin
14°cos
16°+cos
14°sin
16°
=sin(14°+16°)=sin
30°=.
(2)方法一:原式=
2
=2
=-2cos=-2cos
45°
=-.
方法二:原式
=2
=2
=2sin=-2sin
45°=-.
11.【解析】因为α为锐角,且cos
α=,
所以sin
α=
==.
因为α,β为锐角,且cos(α+β)=,
所以0<α+β<π,sin(α+β)===.
所以sin
β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos
α-cos(α+β)sin
α=·-·=.
12.【解析】(1)f(0)=sin
+
sin
+cos
0=1.
(2)因为f(x)=2sin
xcos
+cos
x=2sin,
所以,函数f(x)的最小正周期为2π.
13.【解析】(1)因为a=(,-1),
b=(sin
x,cos
x),
所以f(x)=a·b=sin
x-cos
x=2sin.
因为f(x)=0,所以2sin=0.
所以x-=kπ(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z).
又因为x∈(0,π),所以x=.
(2)由(1)知f(x)=2sin,
求得单调递减区间为,k∈Z.
PAGE第十三章 三角恒等变换
考试内容
考纲要求
考点1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
理解
考点2 二倍角的正弦、余弦、正切公式
理解
考点3 简单的三角恒等变换
理解
一、两角和与差及二倍角的正弦、余弦和正切公式
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
两角差的余弦:cos(α-β)=________________.?
两角和的余弦:cos(α+β)=________________.?
两角和的正弦:sin(α+β)=________________.?
两角差的正弦:sin(α-β)=________________.?
两角和的正切:tan(α+β)=__________.?
两角差的正切:tan(α-β)=__________.?
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式:
二、简单的三角恒等变换
1.半角公式:
2.辅助角公式:
asin
x+bcos
x=____________sin(x+φ)?
.
特别地:sin
α±cos
α=sin.
热点一 两角和与差公式的简单应用
【例1】(1)sin
35°cos
25°+cos
35°sin
25°的值等于______.?
(2)已知tan
α=2,则tan(α+45°)的值为________.?
利用两角和与差公式求值的一般思路
(1)把非特殊角的和差化为特殊角的和差,正用公式直接求解.
(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角和与差公式的右边形式,然后逆用公式求值.
热点二 给值(式)求值(角)
【例2】(1)已知α,β∈,cos
α=,cos(α+β)=-,则β=( )
A.
B.
C.
D.
(2)使得点A(cos
2α,sin
2α)到点B(cos
α,sin
α)的距离为1的α的一个值为( )
A.
B.
C.-
D.
(3)已知α为锐角,且sin
α=.
①求cos
α的值;
②求sin
2α的值.
给值求角问题要注意的两点
(1)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦.
(2)若角的范围是,可选正弦,也可选余弦;若角的范围是(0,π),选余弦比选正弦好.总之,尽量选在区间上单调的函数.
热点三 二倍角公式
【例3】(1)(2020·湖南学业水平考试真题)函数f(x)=2sin
xcos
x的最小正周期是( )
A.
B.π
C.2π
D.4π
(2)已知函数f(x)=2sin
xsin(x∈R).
①求f(0)的值;
②求函数f(x)的最小正周期.
热点四 三角恒等式的证明
【例4】已知函数f(x)=sin+cos,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值;
(2)已知cos(β-α)=,cos(β+α)=-,0<α<β≤,
求证:[f(β)]2-2=0.
热点五 三角恒等变换与平面向量的综合问题
【例5】(2018·湖南学业水平考试真题)已知向量a=(sin
x,cos
x),b=
(1)若a=b,求tan
x的值;
(2)设函数f(x)=a·b+2,求f(x)的值域.
一、选择题
1.cos
28°cos
32°-sin
28°sin
32°=( )
A.-
B.
C.
D.
2.sincos的值为( )
A.
B.
C.
D.1
3.cos2-sin2=( )
A.
B.-
C.
D.-
4.cos
α=-,sin
β=-,α∈,β∈,则cos(α-β)的值
是( )
A.1
B.-1
C.2
D.0
5.函数f(x)=sin
x+cos
x(x∈R)的最小正周期为( )
A.
B.π
C.2π
D.3π
6.若tan
α=2,tan(β-α)=3,则tan(β-2α)的值是( )
A.-1
B.-
C.
D.
二、填空题
7.若cos
α=,α∈,则cos=______.?
8.的值为______.?
9.函数y=2sin
x(sin
x+cos
x)的最大值为________.?
三、解答题
10.化简求值.
(1)sin
76°·cos
74°+sin
14°·cos
16°.
(2)sin
15°-cos
15°.
11.已知锐角α,β满足cos
α=,cos(α+β)=,求sin
β.
12.已知函数f(x)=sin
+sin
+cos
x,x∈R.
(1)求f(0)的值;
(2)求函数f(x)的最小正周期.
13.已知平面向量a=(,-1),b=(sin
x,cos
x),设函数f(x)=a·b.
(1)若f(x)=0且x∈(0,π),求x的值;
(2)求函数f(x)的单调递减区间.
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