第十四章 解
三
角
形
核心速记·必考点夯基
二、
平方 平方 和 余弦的积 两
b2+c2-2bccos
A a2+c2-2accos
B
a2+b2-2abcos
C
三、
bcsin
A acsin
B
典题突破·热考点精练
【例1】(1)A (2)1 (3)
【例2】(1)C (2)D
【例3】(1)6
(2)①由题意得,sin
A==,
sin
B=sin
=cos
A=,
由正弦定理得=?b==3.
②由余弦定理得cos
A==?c2-4c+9=0,
解得c=或c=3,
又因为B=A+为钝角,所以b>c,即c=.
所以S△ABC=acsin
B=.
【例4】(1) (2)100
达标训练·合格考通关
1.B 2.A 3.C 4.C 5.A 6.C
7.D 8.A 9.D 10.1
11.直角三角形或等腰三角形
12.2
13.【解析】(1)cos
B===,所以B=.
(2)由(1)得f(x)=2sin,它的最大值为2,此时x+=2kπ+,k∈Z,即x=2kπ+,k∈Z.
14.【解析】由正弦定理可得=,
则PB=30(+)(m),设树的高度为h,
则h=PBsin
45°=(30+30)
m.
PAGE第十四章 解
三
角
形
考试内容
考纲要求
考点1 正弦定理和余弦定理(包括三角形的面积公式)
理解
考点2 正弦定理和余弦定理的应用举例(关注实践应用)
应用
一、正弦定理及其变式
二、余弦定理及其变式
文字语言
三角形中任何一边的________等于其他两边的________的__________减去这两边与它们的夹角的________的________倍?
符号语言
a2=______________?b2=______________?c2=______________?
变形
cos
A=__________________?cos
B=__________________?cos
C=__________________?
三、三角形的面积公式
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则
S△ABC=absin
C=________=________.?
四、测量中有关的名称、术语
1.仰角和俯角:
2.方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如北偏东
30°.
3.方位角:从某点的指北方向线起,顺时针方向至目标方向线的水平夹角.
4.坡角:坡面与水平面所成的二面角.
五、应用正、余弦定理解决实际问题
热点一 正弦定理
【例1】(1)在△ABC中,a=2,b=2,B=45°,则A为( )
A.60°或120°
B.60°
C.30°或150°
D.30°
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=2a,sin
A=,则
sin
C=______________.?
(3)在△ABC中,若AB=3,∠ABC=75°,∠ACB=60°,则BC等于________.?
已知两边和其中一边的对角的三角形,可能存在一个、两个,也可能不存在.求角时,注意验证三角形的内角和为π.
热点二 余弦定理
【例2】(1)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos
A=且bA.3
B.2
C.2
D.
(2)(2019·湖南学业水平考试真题)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=b=2,C=120°,则c=( )
A.2
B.2
C.3
D.2
热点三 求三角形面积
【例3】(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=4,b=3,sin
C=1,则△ABC的面积为________.?
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,cos
A=,B=A+.
①求b的值;
②求△ABC的面积.
热点四 正弦定理和余弦定理的应用举例
【例4】(1)如图,某市在进行城市环境建设中,要把一个四边形ABCD区域改造成公园,经过测量得到AB=1
km,BC=2
km,CD=3
km,AD=4
km,且∠ABC=120°,则这个区域的面积是________km2.?
(2)如图,A,B两点在河的两岸,为了测量A,B之间的距离,测量者在A的同侧选定一点C,测得A,C之间的距离是100米,∠BAC=105°,∠ACB=45°,则A,B两点之间的距离为______________米.?
一、选择题
1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=ac,c=2a,则cos
C=( )
A.
B.-
C.
D.-
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=4,b=5,c=,则角C等于( )
A.120°
B.90°
C.60°
D.45°
3.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b=( )
A.4
B.4
C.4
D.
4.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若3bcos
C=c(1-3cos
B),则sin
C∶sin
A=( )
A.2∶3
B.4∶3
C.3∶1
D.3∶2
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b2-2c2-bc=0,a=,cos
A=,则△ABC的面积S为( )
A.
B.
C.
D.6
6.某观察站C与两灯塔A,B的距离分别为300米和500米,测得灯塔A在观察站C北偏东30°,灯塔B在观察站C正西方向,则两灯塔A,B间的距离为( )
A.500米
B.600米
C.700米
D.800米
7.在△ABC中,asin
Asin
B+bcos2A=a,则=( )
A.2
B.2
C.
D.
8.如图,为了测量隧道两出口之间AB的长度,对给出的四组数据,测量时要求最容易,计算时要求最简便,则应当采用的一组是( )
A.a,b,γ
B.a,b,α
C.a,b,β
D.α,β,a
9.在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,c=8,B=60°,则△ABC的周长是( )
A.17
B.19
C.16
D.18
二、填空题
10.在△ABC中,C=90°,A=30°,b=,则a=______________.?
11.在△ABC中,角A,B,C满足sin
Acos
C-sin
Bcos
C=0,则三角形的形状为________.?
12.在△ABC中,A=,b2sin
C=4sin
B,则△ABC的面积为______.?
三、解答题
13.(2020·湖南学业水平考试真题)如图4所示,△ABC中,AB=AC=2,BC=2.
(1)求内角B的大小;
(2)设函数f(x)=2sin(x+B),求f(x)的最大值,并指出此时x的值.
14.如图所示,为测量一树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°,且A,B两点之间的距离为60
m,试求树的高度.
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