第十五章 数 列
核心速记·必考点夯基
一、
1.顺序 2.n n
二、
1.同一个常数 2.A
3.a1+(n-1)d
4. na1+d
5.ap+aq
三、
1.同一常数
2.G
3.an=a1qn-1
4. na1
5.ap·aq
典题突破·热考点精练
【例1】(1)15
(2)①设等差数列{an}的公差为d,
则an=a1+(n-1)d.
由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2,
从而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n;
②由①可知an=3-2n,
所以Sn==2n-n2.
由Sk=-35,可得2k-k2=-35,
即k2-2k-35=0,
解得k=7或k=-5.
又k∈N
,故k=7.
【例2】(1)B (2)225-1
【例3】【解析】(1)依题意a3·a5=4,
又a3+a5=5,q∈(0,1),
所以a3=4,a5=1,所以q2==,即q=,所以a1==16,an=a1·qn-1=16·=25-n.
(2)因为log2an=5-n,
所以bn=[4+3+…+(5-n)]==.
因为当n<9时,bn>0;当n=9时,bn=0;当n>9时,bn<0.
所以S1S10>S11>….
所以Sn有最大值,此时n=8或9.
达标训练·合格考通关
1.B 2.D 3.A 4.D 5.A 6.B
7.D 8.B 9.±3 10.5 11.2
12.100
13.【解析】(1)由a1+a2=6,得2a1+d=6,又d=2,所以a1=2,
故an=2+2(n-1)=2n.
(2)设等比数列{bn}的公比为q,依题意,得b1=2,b2=a2=2q=4,
即q=2,所以bn=2n,于是an+bn=2n+2n,故Sn=(2+4+…+2n)+(2+22+…+2n)=n2+n+2n+1-2.
14.【解析】因为S10-S7=a8+a9+a10=3a9=30,所以a9=10.
①
由S4==14,
得a1+a4=7.
②
由①②得a1=2,d=1,
所以S9=9×2+×1=54.
15.【解析】(1)设等差数列{an}公差为d,
因为a4=a2+2d,所以4=2+2d,所以d=1,所以an=a2+(n-2)d=2+(n-2)=n.
(2)因为bn=2n,
所以Sn==2n+1-2,
所以S5=26-2=62.
即数列{bn}的前5项和为62.
16.【解析】(1)因为等差数列{an}的公差为2,所以a2=a1+2,a4=a1+6,
因为a1,a1+a2,2(a1+a4)成等比数列,所以(a1+a2)2=2a1·(a1+a4),
即(2a1+2)2=2a1(2a1+6),
解得a1=1.
所以an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)因为bn=an+2n-1=(2n-1)+2n-1.
所以数列{bn}的前n项和Sn=+=n2+2n-1.
17.【解析】(1)a2=4,a3=8.
依题意知数列{an}是首项和公比都为2的等比数列,则an=2·2n-1=2n.
(2)因为an=2n,所以bn=log22n=n,所以数列{bn}的前n项和Sn=1+2+…+n=n(n+1).
18.【解析】(1)因为an=an-1+4,
所以a3=a2+4,
得a2=-13-4=-17.
a2=a1+4,得a1=-17-4=-21.
因为an-an-1=4,
所以数列{an}是等差数列,
且a1=-21,d=4,
因此an=a1+(n-1)d
=-21+(n-1)×4=4n-25.
(2)由an=0,得4n-25=0,
所以n=,
又n∈N,所以a6<0,a7>0,
因此数列S1,S2,S3,…中S6最小,
S6=6a1+×d=6×(-21)+×4=-66.
19.【解析】(1)因为a2+a3=5
所以2a1+3d=5
又因为a1=1
所以d=1
所以an=a1+(n-1)d
=1+(n-1)
=n
(2)bn=an·
=n×2n
①Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n
②2Tn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1
②-①得Tn=-(21+22+23+…+2n)+n×2n+1
=-2n+1+2+n×2n+1
=(n-1)×2n+1+2
(3)Cn==
设数列中的最大项为Ck
所以?
所以k∈[2,3]
所以数列中的最大项为C2,C3且C2=C3=.
20.【解析】(1)由数列满足a1=1,且an+1-an=2.得数列{an}为首项为1,公差为2的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1,
即an=2n-1.
(2)由题意得c1=a1+b1=1-=,c2=a2+b2=3-=,
因为为等比数列,所以公比为==又记等比数列的前n项和为Tn,
得Tn=
=1-,
等差数列的前n项和为Mn,
得Mn==n2
又cn=an+bn,
所以Tn=Sn+Mn
故Sn=Tn-Mn=1--n2.
PAGE第十五章 数 列
考试内容
考纲要求
考点1 数列的概念与简单表示法
识记
考点2 等差数列(包括等差数列通项公式)
掌握
考点3 等差数列的前n项和
掌握
考点4 等比数列(包括等比数列通项公式)
掌握
考点5 等比数列的前n项和
掌握
一、数列的概念
1.数列的概念:
按照一定______排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.?
2.数列的通项公式:
如果数列{an}的第____项与序号____之间的关系可以用一个式子来表示.那么这个公式叫做这个数列的通项公式.?
3.数列的表示法
(1)列表法.(2)图象法.(3)通项公式法.
二、等差数列
1.定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于____________,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差.递推式:
an-an-1=d.(n≥2)?
2.等差中项:
由三个数a,A,b组成的等差数列中,______叫做a与b的等差中项.?
3.通项公式:
等差数列{an}中,首项为a1,公差为d,则an=__________.?
变形形式:an=am+(n-m)d(n≥m).
4.前n项和公式:
等差数列{an}的前n项和公式为Sn=____________;或Sn=____________.?
5.等差数列的性质:
等差数列{an}中,若m,n,p,q∈N
,且m+n=p+q,则am+an=____________.?
三、等比数列
1.定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于________,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比.递推式:=q.(n≥2)?
2.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么______叫做a与b的等比中项.?
3.通项公式:首项为a1,公比为q的等比数列{an}的通项公式为__________.变形形式an=am·qn-m(n≥m).?
4.前n项和公式:等比数列{an}的前n项和
Sn=或Sn=__________(q≠1).?
5.等比数列的性质:等比数列{an}中,若m,n,p,q∈N
,且m+n=p+q,则am·an
=________________.?
热点一 等差数列
【例1】(1)(2020·湖南学业水平考试真题)已知等差数列{an}满足a1=1,a2=2,则{an}的前5项和S5=______.?
(2)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.
①求数列{an}的通项公式;
②若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.
等差数列中求值问题的方法
(1)求项:关键是确定等差数列的首项a1和公差d,进而利用通项公式求项.
(2)方程思想:等差数列通项公式an=a1+(n-1)d,前n项和公式Sn=na1+d可以知“三”求“二”,即公式是由an,a1,n,d,Sn构成的,可知道其中三个量求另外两个量.
热点二 等比数列
【例2】(1)(2020·湖南学业水平考试真题)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an,则a4=( )
A.4
B.8
C.16
D.32
(2)一条信息,若一人收到后用一小时将信息传给两个人,这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两个人,如此继续下去,一天时间可传遍多少个人?
热点三 数列的综合应用
【例3】在正项等比数列{an}中,公比q∈(0,1),a3+a5=5且a3和a5的等比中项是2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(log2a1+log2a2+…+log2an),判断数列{bn}的前n项和Sn是否存在最大值?若存在,求出使Sn最大时n的值;若不存在,请说明理由.
一、选择题
1.在等差数列{an}中,a1+a5=8,a4=7,则a5=( )
A.11
B.10
C.7
D.3
2.已知an=n(n+1),以下四个数中,哪个是数列{an}中的一项( )
A.18
B.21
C.25
D.30
3.在等差数列{an}中,若Sn为前n项和,2a7=a8+5,则S11的值是( )
A.55
B.11
C.50
D.60
4.已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10,则a2
017=( )
A.2
014
B.2
015
C.-2
014
D.-2
015
5.已知正数组成的等比数列{an},若a1·a20=100,那么a7+a14的最小值为( )
A.20
B.25
C.50
D.不存在
6.若数列{an}满足a1=2,an+1=,则a2
022的值为( )
A.2
B.-3
C.-
D.
7.公差不为零的等差数列{an},a2,a3,a7成等比数列,则它的公比为( )
A.-4
B.-
C.
D.4
8.数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S17=( )
A.8
B.9
C.16
D.17
二、填空题
9.若1,x,9成等比数列,则实数x=________.?
10.已知数列{an}满足a1=1,Sn=n2,则a3的值为________.?
11.已知等差数列{an}中,a1=1,a3=5,则公差d=________.?
12.已知数列{an}满足log2an+1=1+log2an(n∈N
),且a1+a2+a3+…+a10=1,则log2(a101+a102+…+a110)=______.
?
三、解答题
13.已知等差数列{an}的公差d=2,且a1+a2=6.
(1)求a1及an;
(2)若等比数列{bn}满足b1=a1,b2=a2,求数列{an+bn}的前n项和Sn.
14.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S4=14,S10-S7=30,求S9.
15.在等差数列{an}中,a2=2,a4=4.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前5项和.
16.已知等差数列{an}的公差为2,且a1,a1+a2,2(a1+a4)成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=an+2n-1,求数列{bn}的前n项和Sn.
17.在数列{an}中,已知a1=2,an=2an-1(n≥2,n∈N
).
(1)试写出a2,a3,并求数列{an}的通项公式an;
(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和Sn.
18.已知数列{an}满足a3=-13,an=an-1+4(n>1,n∈N).
(1)求a1,a2及通项an;
(2)设Sn是数列{an}的前n项和,则数列S1,S2,S3,…中哪一项最小?并求这个最小值.
19.(2018·湖南学业水平考试真题)在等差数列中,已知a1=1,a2+a3=5.
(1)求an;
(2)设bn=an·,求数列的前n项和Tn;
(3)对于(2)中的Tn,设cn=,求数列中的最大项.
20.(2019·湖南学业水平考试真题)已知数列满足a1=1,且an+1-an=2.
(1)求数列的通项公式;
(2)已知数列满足b1=-,b2=-.设cn=an+bn,若数列为等比数列,求数列的前n项和Sn.
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