人教版小学数学五年级下册讲义 长方体与正方体的复习（含答案）

第一讲 长方体与正方体的复习
课程目标
认识长方体和正方体的特征，弄清长方体和正方体的关系；
掌握长方体和正方体的棱长和公式、表面积及体积的计算方法。
运用长方体和正方体的表面积和体积的计算公式解决数学问题，并能解决生活 中的一些实际问题。
课程重点
掌握长方体和正方体的表面积的意义，及长方体和正方体的表面积的计算方法，
并能解决生活中的一些实际问题。
课程难点
长方体或正方体的接补部分是增加或减少四个面积的面积；长方体和正方体表面 挖去一个正方体，体积减少了，但是表面积增加了四个面的面积。
教学方法建议
要求学生在熟记正方体和长方体的棱长和公式、侧面积和表面积公式及体积公式 的基础上，再通过练习实际问题进行巩固公式及公式的变形。
一、知识梳理
认识长方体和正方体的特征以及它们的展开图，了解长方体和正方体的关系，掌握长方体和正方体的表面积的意义，及长方体和正方体的表面积的计算方法，初步建立了空间观念， 学会用数学的眼光观察生活中物体的形状，并能解决生活中的一些实际问题。
长方体和正方体都是立体图形，其特征如下：
长方体
正方体
相同点
都有 个面
个顶点 条棱
不同点
面的形状
6 个面一般都是长方形，也可能
（ ）个相对的面是正方形
6 个面都是（
）形
面的大小
相对的面的面积相等
6 个面的面积都相等
棱
长
12 条棱分为三组，每组 4 条，长度
相等
12 条棱的长度都相等
长方体、正方体有关棱长计算公式：
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4 L=（a＋b＋h）×4 长=棱长总和÷4－宽 －高 a=L÷4－b－h
宽=棱长总和÷4－长 －高 b=L÷4－a－h 高=棱长总和÷4－长 －宽 h=L÷4－a－b
113792031750正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12 正方体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷12
长方体或正方体的表面积和体积
表面积
体积
长方体
S 表 ? 2ab ? 2ah ? 2bh S表 ? 2 ? ?ab ? ah ? bh?
(长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2
V ? abh 或V ? 长×宽×高
V ? sh
正方体
S表 ? 6a
2
S表 ? 棱长×棱长×6
V ? a 3 或V ? 棱长×棱长×棱长
V ? s ? h
箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。常用的容积单位有升和毫升也可以写成 L和 ml。
1 升=1 立方分米 1 毫升=1 立方厘米 1 升=1000 毫升
a3 读作“a的立方”表示 3 个 a相乘，(即 a·a·a)
【体积单位换算】 高级单位低级单位
×进率
÷进率
低级单位高级单位
进率： 1 立方米＝1000 立方分米＝1000000 立方厘米1 立方分米＝1000 立方厘米＝1 升＝1000 毫升
1 立方厘米＝1 毫升
1 平方米=100 平方分米=10000 平方厘米
1 平方千米=100 公顷=1000000 平方米
生活实际：
油箱、罐头盒等都是 6 个面；游泳池、鱼缸等都只有 5 个面； 水管、烟囱、 贴墙纸等都只有 4 个面： S=2（ah＋bh）
注意 1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加）
注意 2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。
（如长、宽、高各扩大 2 倍，表面积就会扩大到原来的 4 倍）。
注意 3：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。
长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。
但要从容器里面量长、宽、高。（所以，对于同一个物体，体积大于容积。） 注意 4：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。
（如长、宽、高各扩大 2 倍，体积就会扩大到原来的 8 倍）。
*形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。 排水法的公式：V 物体 =V 现在－V 原来
也可以 V 物体 =S×(h 现在- h 原来)
V 物体 = S×h 升高
二、方法归纳
1.在工程上，“1m?”的土、沙、石等均简称“1 方”。
2.体积单位间的进率：1dm? =1000 cm? 1m? =1000 dm?
长度单位相邻两个单位之间的进率是 10；面积单位相邻两个单位之间的进率是 100；体积单位相邻两个单位之间的进率是 1000.
单 位 换 算 ： 高 级 单 位 化 低 级 单 位 X 进 率 ； 低 级 单 位 化 高 级 单 位 ÷ 进 率 。
箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升， 也可以写成 L 和 ml。
容积单位间及容积单位和体积单位间的进率：1L=1000ml 1L=1dm? 1ml=1cm?
形状不规则的物体可以用排水法求得它们的体积。
※举例：一个烧杯中原有水 200 毫升，放入西红柿后水位上升至 350 毫升处，则西红柿的体积就是水面上升的那部分水的体积：350-200=150（ml）=150（cm?）
长方体和正方体的表面积及体积的计算： 长方体和正方体的关系：如图（2）
4800600132080长方体所具备的特征正方体都具备，所以正方体是一种特殊的长方体。它们的关系可以 用下图来表示。
生活实际
油箱、罐头盒等都是 6 个面；游泳池、鱼缸等都只有 5 个面；水管、烟囱等都只有 4 个面。
长方体或正方体每截断一次会增加两个截面，所以这时的两个物体的表面积大于原来物 体的表面积。
长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。
（如长、宽、高各扩大 2 倍，表面积就会扩大到原来的 4 倍）。11．容积的计算：
长方体和正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从里面量长、宽、 高。（所以物体的体积大于它的容积）。
12．长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。
13．把长方体或正方体截成若干
长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。
被浸没物体的体积等于上升
① 容器的底面积×上升那部分水的高度。
那部分水的体积
个小 计算方法
② 放入物体后的体积—原来水的体积
（如长、宽、高各扩大 2 倍，体积就会扩大到原来的 8 倍）。13．排水法：（计算不规则物体的体积）
三、课堂精讲
（一）单位间的互化：
例 1 （1）在（ ）里填上合适的单位
（1）一瓶墨水的体积是 60( ) （2）一支粉笔的体积约是 16（ ）
（3）一根木头的体积是 0.2( ) （4）摩托车油箱的容积是 35（ ）。
（5）一个粉笔盒的体积是大约是 1（ ） （6）医药箱的体积是 30( )
（7）一瓶矿泉水的体积是 350（ ） （8）一间教室的面积大约是 60（ ）
（2）单位转换
5.2 立方米=（
）立方分米
0.35 立方分米=（
）立方厘米
7.05 升=（
）毫升
4.15 平方分米=（
）平方厘米
8460 立方分米=（
）立方米
950 毫升=（
）立方厘米
72.5 立方分米=（
）立方厘米
10020 立方分米=（
）立方米
3.2 立方分米=（
）立方厘米
500 立方分米=（
）立方米
9 立方米 500 立方分米=（ ）立方米=（ ）立方分米
3.6 升=（ ）毫升=（ ）立方厘米
1700 平方厘米=（ ）平方分米=（ ）平方米
例 2 （1）用一根长（
）铁丝正好可以做一个长 6 厘米、宽 5 厘米、高 3 厘米的
长方体框架。
A．28 厘米
B．126 平方厘米
C．56 厘米
D．90 立方厘米
（二）正方体与长方体的棱长和
（2）一根铁丝围成了一个长为 6cm、宽 4cm、高 2cm 的长方体的框架。这根铁丝长多少厘米？ 如果用这根铁丝围成一个正方体的框架，这个正方体的棱长是多少厘米？
【搭配课堂训练题】【难度分级】 B
有一根长 52 厘米的铁丝，恰好可以焊接成一个长 6 厘米，宽 4 厘米，高（ ）厘米的长方体。
如图，有一个长 5 分米、宽和高都是 3 分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两
道，长着捆一道，打结处共用 2 分米。一共要用绳子多长？
4521200506730（三）直接运用正方体与长方体的公式例 3．看图计算。
1139825245745
棱长总和： ；棱长总和： ； 表面积： ；表面积： ； 体积： ；体积： ；
例 4. （1）用一张边长是 10 厘米的正方形硬纸板（如图），裁剪粘贴成一个无盖的长方体
（四）正方体与长方体的体积
纸盒（不考虑接缝及损耗，长、宽、高取整厘米数），使这个纸盒的容积大于 65 立方厘米。
并标明有关数据；
②计算你设计的纸盒的容积是多少立方厘米？
①请你在这张正方形纸上画出裁剪草图，
（2）有一块棱长是 80 厘米的正方体的铁块，现在要把它熔铸成一个横截面积是 20 平方厘米的长方体，这个长方体的长是多少厘米？
【搭配课堂训练题】【难度分级】 B
1．长方体的木箱的体积与容积比较（ ）。
A．一样大 B．体积大 C．容积大 D．无法比较大小2．把一个长方体分成几个小长方体后，体积（ ）。
A．不变 B．比原来大了 C．比原来小了
3.一个正方体的棱长如果扩大 2 倍，那么表面积扩大（ ）倍，体积扩大（ ）倍。
（五）与正方体与长方体有关的实际问题
例 5.（1）一个长方体的无盖铁皮水桶，长和宽都是 2.5 分米，高 6 分米。做一对这样的水桶，至少需要多少平方分米铁皮？
一种长 2 米的长方体通气管的横截面是长 2.5 分米，宽 1.5 分米的长方形，制作 100
根这样的通气管至少需要多少平方米？
一盒饼干长 20 厘米，宽 15 厘米，高 30 厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，这张商标纸的面积是多少平方厘米？
【搭配课堂训练题】
【难度分级】 B
学校要砌一道长 20 米，宽 0.24 米、高 2 米的墙，每立方米需要砖 525 块，学校需要买多少块砖？
一个长方体的水池，长 8.5 米，宽 4 米，深 2 米，如果每小时可以放进 8 立方米，要放满这一池水需要多少小时？
在一个长 10 米、宽 3.5 米的长方形客厅的地面上铺设 2 厘米厚的木地板，至少需要木材多少立方米？铺好要在地板上涂上油漆，油漆面积是多少？
是多少分米？
一个长方体的药水箱里装了 60 升的药水，已知药水箱里面长 5 分米，宽 3 分米，它的深
（六）不规则图形的体积
例 6. （1）把一个苹果浸没在一个棱长为 1.5 分米的正方体水箱中，此时水箱刚好满了，拿
出苹果，水面高度为 13 厘米，这个苹果的体积是多少立方厘米？
（2） 把 144 升水倒入一个棱长为 6 分米的正方体容器里，水面距容器口还有多少分米？
【搭配课堂训练题】
【难度分级】 B
一个长方体容器，底面积是 300 平方厘米，高是 10 厘米，里面盛有 5 厘米深的水。现将
一块石头放入水中，水面升高了 2 厘米。这块石头的体积是多少立方厘米?
把一个体积为 460 立方厘米的石块放入一个长方体容器中，完全进入水中后，水面由 148
厘米上升到 150 厘米，这个容器的底面积是多少?
（七）长方体与正方体的截与接：
例 7. （1）一个长 2 米的长方体钢材截成三段，表面积比原来增加 2.4 平方分米，这根钢材原来的体积是( )。
一个长方体，如果长减少 2 厘米，就成为一个正方体，这时，正方体的表面积是 96 平方厘米，原来长方体的体积是( )。
一个长方体，如果高减少 3 厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来减少了 96 平方厘米。原来长方体的体积是( )立方厘米。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】 B
把一根长 2 米的长方体木料锯成两段后，表面积增加了 100 平方厘米，它的体积是（ ）。
A．200 立方厘米 B．10000 立方厘米 C．2 立方分米
一个长方体正好可以切成两个棱长是 3 厘米的正方体，这个长方体的表面积是（ ）。
A．108 平方厘米 B．54 平方厘米 C．90 平方厘米 D．99 平方厘米
用 27 个体积是 1 立方厘米的小正方体粘合成一个大正方体，粘合后的大正方体的表面积是（ ）。
一个长 15 厘米，宽 6 厘米，高 4 厘米的长方体的木块，可以截成（ ）块棱长 2 厘米的正方体木块。
把两个长 5 厘米，宽 4 厘米，高 3 厘米的小长方体拼成一个大长方体，表面积最多减少
（ ）平方厘米，最少减少（ ）平方厘米。
（八）长方体与正方体综合运用
例 8. 有一个新建的小区准备修建一个游泳池，知道同学们这部分知识学得不错，想请同学
们帮个忙：游泳池长 50 米，宽 20 米，深 20 分米。
这个游泳池的占地面积是多少？
需要挖出多少方的土？
挖出的土作为一段路的路基，路宽 2 米，厚度 10 厘米，能铺多长？
如果给这个游泳池的池底和四周贴上瓷砖，每平方米需要 10 块瓷砖，那么至少需要多少块这样的瓷砖？
如果沿着游泳池的池口涂上一条红色的边线，边线的长度是多少米？
如果在游泳池中放入 1.8 米深的水，那么一共需要多少升水？
如果一个成年人的体积是 60 立方分米，100 个人在游泳池游泳，水面最多升高多少？
四、讲练结合题
1．一个长方体的长是 1 米 4 分米，宽是 5 分米，高是 5 分米，这个长方体有（ ）个面是正方形，每个面的面积是（ ）平方分米；其余四个面是长方形的面积大小（ ），每个面的面积是（ ）平方分米；这个长方体的表面积是（ ）平方分米，体积是
2．一个长方体的金鱼缸，长是 8 分米，宽是 5 分米，高是 6 分米，不小心前面的玻璃被打
坏了，修理时配上的玻璃的面积是（
）。
（ ）立方分米。
一个正方体的棱长总和是 72 厘米，它的一个面是边长（ ）厘米的正方形，它的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）。
那么大正方体的表面积是（
）平方厘米，体积是（
）立方厘米。
5．把三个棱长都是 4 厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了（
）平方厘米，它
的体积是（
）立方厘米。
至少要（ ）个小正方体才能拼成一个大正方体，如果一个小正方体的棱长是 5 厘米，
一个正方体的底面积是 25 平方分米，它的表面积是（ ）平方分米，它的体积是
（ ）立方分米。
有一个长方体的木料长 3 厘米，宽 3 厘米，高 2 厘米。把它切成 1 立方厘米的小方块， 可以切成（ ）个小方块。
一个棱长是 5 分米的正方体水池，蓄水后水面低于池口 2 分米，水的体积是（ ） 升。
一根长方体木料，宽 3 分米，厚 2 厘米，体积 0.12 立方米。这根木料的长是（ ） 米，放在地上，占地面积最大是（ ）平方分米。
一个木料长 3 米，宽和高都是 20 厘米，把它截成 4 段，表面积增加（ ）平方米。
二、解决问题：
挖一个长方体蓄水池，水池长 18 米，比宽多 10 米，深度比宽少 2 米。现有 24 个工人参
加挖池工作，如果平均每人每天挖 3 立方米，多少天才能挖完?
把一个长 70 厘米、宽 50 厘米、高 50 厘米的长方体木块削成一个体积最大的正方体，削去部分的体积是多少立方分米?
一块长 9 分米、宽 6 分米、高 8 分米的木料，锯成棱长 2 分米的正方体木块，可以锯多少块?
一个长方体油箱，底面是一个正方形，边长是 6 分米，里面已盛油 144 升，已知里面油的深度是油箱深度的一半，这个油箱深多少分米?
一个水池长 6 米、宽 5 米、高 1.5 米，池里所储的水是 36 立方米，问现在水面距池口多少米?
一个长方体容器，底面长 60 厘米，宽 38 厘米，里面沉入一个长方体钢块，当钢块取出时，
容器中的水面下降 5 厘米，如果长方体钢块的底面积是 570 平方厘米，钢块高多少厘米?
把 12 个棱长都是 2 厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是多少平方厘米？有几个不同的答案？
五．课后自测练习
一个正方体的底面周长是 16 厘米，它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
将三个棱长是 4 厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的体积是( )立方厘米， 表面积是( )平方厘米。
把一个棱长 10 厘米的正方体，分成两个完全相同的长方体，这两个长方体的体积之和是( )立方厘米，表面积之和是( )平方厘米。
把一个长 6 厘米，宽 5 厘米，高 4 厘米的长方体木块锯成两个小长方体，表面积至少增加( )平方厘米，至多增加( )平方厘米。
把一个横截面的边长为5 厘米，长为 2 米的木料锯成 4 段后，表面积比原来增加了( ) 平方厘米。
把一个长 16 厘米，宽 6 厘米，高 8 厘米的大长方体切成两个小长方体，这两个小长方体的表面积的和最大( )平方厘米。
一个正方体的表面积是 24 平方分米，把它分成两个完全相同的长方体，每个长方体的表面积是( )。
一种正方体的棱长是 5 厘米，用 4 个这样的正方体拼成一个大长方体。大长方体的表面积可能是( )平方厘米，也可能是( )平方厘米。
将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为 1 立方厘米的小正方体，其中一点红色都没有的小正方体只有 3 块。原来长方体的体积是( )立方厘米。
有一个长方体的底面是正方形，边长 12 分米，高为 4.2 分米，将这个长方体平均截成两个相同的长方体，表面积增加（ ）或（ ）。
把长 1.2 米的长方体木料锯成 3 段，表面积增加 48 平方分米，原来木料的体积是
（ ）。
一个长方体的金鱼缸，长是 8 分米，宽是 5 分米，高是 6 分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是（ ）平方分米。
一个长方体铁块，底面积是 64 平方厘米，高是 5 厘米，把它锻造成一个截面边长是 4
厘米的正方形的长方体，这个长方体的高是（ ）。
一个长方体高为 8 厘米，沿它的水平方向将其切成四个长方体，表面积增加了 96 平方厘米，这个长方体的体积是（ ）立方厘米。
把一个长 124 厘米，宽 10 厘米，高 10 厘米的长方体锯成最大的正方体，最多可以锯成
（ ）个。二、解决问题：
把 110 厘米长的铁丝焊成一个长方体框架，长是宽的 2 倍，宽是高的 1.5 倍，这个长方体的体积是多少?
一个长方体蓄水池，长 12 米，宽 8 米，高 4 米，如果将四壁和地面用 4 平方分米的正方形瓷砖贴上，需要多少块?
一个长方体的长、宽、高分别是 11 厘米、6 厘米、4 厘米，如果高增加 3 厘米，表面积增加多少平方厘米?
一个正方体木块，表面积是 30 平方分米，如果把它据成大小一样的 8 个小正方体木块， 每个小木块的表面积是多少?
第一讲 【答案】例 1
毫升 立方厘米立方米 升
立方分米 立方分米毫升 平方米
（2）5200 350
7050 415
8.46 950
72500 10.02
3200 0.5
9.5 9500
3600 3600
17 0.17
【搭配课堂训练题】
例 2 （1）C
（2）48 厘米 4 厘米
【搭配课堂训练题】
3 厘米
42 分米
例 3．棱长总和：104 厘米； 棱长总和：6 分米；
表面积：406 平方厘米； 表面积：1.5 平方分米； 体积：490 立方厘米； 体积：0.125 立方分米；
【搭配课堂训练题】例 4
（1）如图所示：
长和宽为 6 厘米，高是 2 厘米。容积：72 立方厘米
（2）25600 厘米
【搭配课堂训练题】【难度分级】 B B A 4 8
【搭配课堂训练题】例 5 .
（1）（2.5×2.5+2.5×6×4）×2=132.5（平方分米）
（2）2.5 分米=0.25 米，1.5 分米=0.15 米，（2×0.25+2×0.15）×2×100=160（平方米）
（20×30+15×30）×2=2100（平方厘米）
【搭配课堂训练题】
1. 20×0.24×2=9.6（立方米） 525×9.6=5040（块）
2. 8.5×4×2÷8=8.5（小时）
3. 2 厘米=0.02 米 10×3.5×0.02=0.7（立方米） 10×3.5=35（平方米）
4. 60 升=60 立方分米 60÷（5×3）=4（分米）
例 6 .
（1）1.5 分米=15 厘米 15×15×（15－13）=450（立方厘米）
（2）144÷（6×6）=4（分米） 4－2=2（分米）
【搭配课堂训练题】
1. 300×2=600（立方厘米）
2. 460÷（150－148）=230（平方厘米）
例 7 .
（1）12 立方分米
（2）96 立方厘米
（3）704
【搭配课堂训练题】
B C 54 平方厘米 45 40 24
例 8 .
（1）50×20=1000（平方米）
（2）20 分米=2 米 1000×2=2000（立方米）
（3）10 厘米=0.1 米 2000÷（2×0.1）=10000（米）
（4）（50×20+50×2×2+20×2×2）×10=12800（块）
（5）（50+20）×2=140（米）
（6）50×20×1.8=1800（平方米）=1800000（升）
（7）
四、讲练结合题
1. 2，25，相等，70，330，350
2. 48 平方分米
3. 6，216，216 立方厘米
4. 8，600，1000
5. 64，192
6. 150，125
7. 18
8. 75
9. 20，600
10. 0.24 或者 3.6
二．解决问题
1. 18-10=8（米） 8-2=6（米） 18×8×6÷（24×3）=12（天）
2. 70×50×50－50×50×50=50000(平方厘米）=50（立方分米）
3. 9÷2=4 块…1 分米 6÷2=3（块） 8÷2=4（块） 4×3×4=48（块）
4. 144 升=144 立方分米 144÷6÷6=4（分米） 4×2=8（分米）
5. 36÷（6×5）=1.2（米） 1.5－1.2=0.3（米）
6. 60×38×5÷570=20（厘米）
7. 共四种拼法：
（1）12=12×1×1，即长为 24 厘米，宽为 2 厘米，高为 2 厘米； 表面积：24×2×4+2×2×2=200（平方厘米）
（2）12=6×2×1，即长为 12 厘米，宽为 4 厘米，高为 2 厘米； 表面积：（12×4+12×2+4×2）×2=160（平方厘米）
（3）12=4×3×1，即长为 8 厘米，宽为 12 厘米，高为 2 厘米； 表面积：8×12×2+8×2×2+12×2×2=272（平方厘米）
（4）12=3×2×2，即长为 6 厘米，宽为 4 厘米，高为 4 厘米； 表面积：6×4×4+4×4×2=128（平方厘米）
五、课后自测练习1. 96 64
2. 192 224
3. 1000 800
4. 40 60
5. 150
6. 800
7. 16 平方分米8. 400 450 9. 45
288 平方分米 100.8 平方分米
144 立方分米12. 48
13. 20 厘米14. 128
15. 12
三．解决问题
解 ： 110÷4=27.5（厘米）
27.5÷（1+1.5+1.5×2）=5（厘米）
5×1.5=7.5（厘米）
7.5×2=15（厘米）
5×7.5×15=562.5（立方厘米）
解：
4 平方分米=0.04 平方米[（12×8+12×4+8×4）×2－12×8]÷0.04=6400（块）
解：
（11+6）×2×3=102（平方厘米）
解：
30÷6÷4×6=7.5（平方分米）