2020-2021学年度苏科版八年级上学期数学第2章轴对称图形章末复习训练卷(1)（有答案）
一、选择题
1、下列说法正确的是（?
?
）
A.?轴对称是两个图，轴对称图形是一个图??????????????B.?若两线段互相垂直平分，则这两线段互为对称轴
C.?所有直角三角形都不是轴对称图形?????????????????????D.?两个内角相等的三角形不是轴对称图
2、新冠疫情发生以来，各地根据教育部“停课不停教，停课不停学”的相关通知精神，积极开展线上教学．下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3、如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，
则∠ACB的度数为（ ）
A．40°
B．35°
C．60°
D．70°
4、如图，AD是的角平分线，于点E，于点F，，，，
则AC的长是(
)
A.
6
B.
5
C.
4
D.
3
5、如图，为的角平分线，且为延长线上的一点，,过点作，垂足为.下列结论:①;
②;
③;
④.其中正确的是(
)
A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.①②③④
6、如图，在，点在上，下列四个命题正确的有(
)
①若，则
②若，，则，
③若，，则，
④若，，则，
A.1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
7、在中，有下列判断:①若，则为等边三角形;②若，则
为等边三角形;③有两个角都是60°的三角形是等边三角形;④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.其中正确的有(
)
A.1个
B.
2个
C.3个
D.
4个
8、如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，AD＝AC，过点D作DE⊥BC交AB于E，若△ADE是等腰三角形，则下列判断中正确的是（??
?
）
A.?∠B＝∠CAD?????????????????B.?∠BED＝∠CAD?????????????????C.?∠ADB＝∠AED?????????????????D.?∠BED＝∠ADC
9、如图，已知ΔABC和ΔCDE都是等边三角形，且
A、C、E三点共线．AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；
②∠AOB=60?；
③AP=BQ；④ΔPCQ是等边三角形；⑤PQ?AE．其中正确结论的有（
）个
A．5
B．4
C．3
D．2
10、如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，
那么下列结论正确的是：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；
③△ADE的周长为AB＋AC；
④BD＝CE.(??
)
A.?③④??????????????????B.?①②????????????????C.?①②③???????????????????D.?②③④
二、填空题
11、从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是：，该车牌的后5位号码实际是 BA629
12、下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形.其中一定是轴对称图形的有________个.
13、如图，在四边形中，，在上分别找一点，使的周长最小，此时的度数为
.
14、如图，点P为∠AOB内任一点，E，F分别为点P关于OA，OB的对称点．若∠AOB＝30°，
则∠E+∠F＝
°．
15、如图，在中，，点是上的点，且，垂直平分，垂足是，如果，则等于
．
16、如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有_______个．
17、已知：如图，在中，BD、CE分别平分、，且BD、CE交于点O，过O作于P，于M，于N，则OP、OM、ON的大小关系为_____．
18、在中，为高，这两条高所在的直线相交于点，若，
则
的度数为
.
19、如图，，点是延长线上的一点，cm，动点从点出发沿以2
cm/s
的速度移动，动点从点出发沿以1
cm/s的速度移动，点，同时出发，用表示移动的时间，当
时，是等腰三角形.
20、如图，A、B、C、D、E、F、G都在∠O的边上，OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG，若∠EFG=30°，则∠O=________．
三、解答题
21、如图所示，已知D，E，F，分别是三边上的点，，且和的面积相等．
求证：AD平分．
22、如图，在中，延长到点，使，连接，是的中线，是
的平分线.求证:
.
23、如图，在等边三角形中，点为延长线上一点，
平分，且.
求证:是等边三角形.
24、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M，N分别是AC，BD的中点．求证：MN⊥BD．
25、如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：AD=DC；
（2）如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、
F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．
26、如图，在等腰三角形中，是上一动点，点在的延长线上,且平分，交于点.
(1)如图①，连接，求证:
;
(2)如图②，当时，求证:
;
(3)如图③，当时，若平分，求证:
.
2020-2021学年度苏科版八年级上学期数学第2章轴对称图形章末复习训练卷(1)（答案）
一、选择题
1、下列说法正确的是（?A?
）
A.?轴对称是两个图，轴对称图形是一个图??????????????B.?若两线段互相垂直平分，则这两线段互为对称轴
C.?所有直角三角形都不是轴对称图形?????????????????????D.?两个内角相等的三角形不是轴对称图
2、新冠疫情发生以来，各地根据教育部“停课不停教，停课不停学”的相关通知精神，积极开展线上教学．下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（ A ）
A．
B．
C．
D．
3、如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，
则∠ACB的度数为（ ）
A．40°
B．35°
C．60°
D．70°
【解析】如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB＝AB'，∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE∠BAD＝55°，
又∵∠AEC＝90°，∴∠ACB＝∠ACB'＝35°，故选：B．
4、如图，AD是的角平分线，于点E，于点F，，，，
则AC的长是(
D
)
B.
6
B.
5
C.
4
D.
3
5、如图，为的角平分线，且为延长线上的一点，,过点作，垂足为.下列结论:①;
②;
③;
④.其中正确的是(
D
)
A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.①②③④
6、如图，在，点在上，下列四个命题正确的有(
D
)
①若，则
②若，，则，
③若，，则，
④若，，则，
A.1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
7、在中，有下列判断:①若，则为等边三角形;②若，则
为等边三角形;③有两个角都是60°的三角形是等边三角形;④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.其中正确的有(
D
)
A.1个
B.
2个
C.3个
D.
4个
8、如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，AD＝AC，过点D作DE⊥BC交AB于E，若△ADE是等腰三角形，则下列判断中正确的是（??B?
）
A.?∠B＝∠CAD?????????????????B.?∠BED＝∠CAD?????????????????C.?∠ADB＝∠AED?????????????????D.?∠BED＝∠ADC
9、如图，已知ΔABC和ΔCDE都是等边三角形，且
A、C、E三点共线．AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；
②∠AOB=60?；
③AP=BQ；④ΔPCQ是等边三角形；⑤PQ?AE．其中正确结论的有（
）个
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质对各结论逐项分析即可判定．
【解析】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形。
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，则①正确；
②∵∠ACB=∠DCE=60°∴∠BCD=60°∴△DCE是等边三角形
∴∠EDC=60°=∠BCD
∴BC//DE
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+
∠DEO=∠DEC=60°，②正确；
③∵∠DCP=60°=∠ECQ
在△CDP和△CEQ中，∠ADC=∠BEC，CD=CE，∠DCP=∠ECQ
∴△CDP≌△CEQ（ASA）∴CР=CQ∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴△PC2是等边三角形，③正确；
④∠CPQ=∠CQP=60°∴∠QPC=∠BCA∴PQ//AE，④正确；
⑤同④得△ACP≌△BCQ（ASA）∴AP=BQ，⑤正确．故答案为A．
10、如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，
那么下列结论正确的是：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；
③△ADE的周长为AB＋AC；
④BD＝CE.(??C
)
A.?③④??????????????????B.?①②????????????????C.?①②③???????????????????D.?②③④
二、填空题
11、从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是：，该车牌的后5位号码实际是 BA629
12、下列图形：①角；②直角三角形；③等边三角形；④线段；⑤等腰三角形；⑥平行四边形.其中一定是轴对称图形的有____4____个.
13、如图，在四边形中，，在上分别找一点，使的周长最小，此时的度数为
140°
.
14、如图，点P为∠AOB内任一点，E，F分别为点P关于OA，OB的对称点．若∠AOB＝30°，
则∠E+∠F＝
°．
【分析】连接OP，根据轴对称的性质解答即可．
【解析】连接OP，
∵E，F分别为点P关于OA，OB的对称点，
∴∠EOA＝∠AOP，∠POB＝∠BOF，
∵∠AOB＝∠AOP+∠POB，
∴∠EOF＝2∠AOB＝60°，
∵E，F分别为点P关于OA，OB的对称点，
∴PE⊥OA，PF⊥OB，
∵∠AOB＝30°，
∴∠EPF＝150°，
∴∠E+∠F＝360°﹣60°﹣150°＝150°，
故答案为：150．
15、如图，在中，，点是上的点，且，垂直平分，垂足是，如果，则等于
．
【解答】解：是线段的垂直平分线，，，
，，
，，
在中，，，，
故答案为：．
16、如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有___3____个．
17、已知：如图，在中，BD、CE分别平分、，且BD、CE交于点O，过O作于P，于M，于N，则OP、OM、ON的大小关系为_____．
18、在中，为高，这两条高所在的直线相交于点，若，
则
的度数为
45°或135°
.
19、如图，，点是延长线上的一点，cm，动点从点出发沿以2
cm/s
的速度移动，动点从点出发沿以1
cm/s的速度移动，点，同时出发，用表示移动的时间，当
或10
时，是等腰三角形.
20、如图，A、B、C、D、E、F、G都在∠O的边上，OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG，若∠EFG=30°，则∠O=________．
【答案】12.5o
【考点】等腰三角形的性质
解：∵∠O=x，OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG，
∴∠BAC=2x，∴∠CBD=3x；∴∠DCE=4x，
∴∠FDE=5x，∴∠FEG=6x，
∵EF=FG，∴∠FEG=∠FGE，
∵∠EFG=30°，∴∠FEG=6x=75°，∴x=12.5o
，
∴∠O=12.5°．故答案为：12.5°．
三、解答题
21、如图所示，已知D，E，F，分别是三边上的点，，且和的面积相等．
求证：AD平分．
证明：如图，过D作，，
和的面积相等，??，?
，?，??平分．
22、如图，在中，延长到点，使，连接，是的中线，是
的平分线.求证:
.
∵CD=CA,CF是的中线，
是的平分线，
∵CE是的平分线,,
23、如图，在等边三角形中，点为延长线上一点，
平分，且.
求证:是等边三角形.
∵ΔABC为等边三角形，
∵CE平分,.
在和中，,，
,
又∵∠BAC=60?,
为等边三角形.
24、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M，N分别是AC，BD的中点．求证：MN⊥BD．
∵RtΔABC、RtΔADC，MA=MC，∴MB=AC=MD，∵MB=MD,NB=ND，∴MN⊥BD
25、如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：AD=DC；
（2）如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、
F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．
（1）证明：∵DC‖AB，∴∠CDB=∠ABD，又∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∴∠CDB=∠CBD，
∴BC=DC，又∵AD=BC，∴AD=DC；
（2）△DEF为等边三角形，
证明：∵BC=DC（已证），CF⊥BD，∴点F是BD的中点，
∵∠DEB=90°，∴EF=DF=BF,
又∵∠BDE=60?,∴△DEF为等边三角形
26、如图，在等腰三角形中，是上一动点，点在的延长线上,且平分，交于点.
(1)如图①，连接，求证:
;
(2)如图②，当时，求证:
;
(3)如图③，当时，若平分，求证:
.
(1)∵平分,∴
∵,
∴
在和中,∴,∴
∵,∴,
∴
(2)连接，由(1)，知
∴，
在上截取，连接.
在和中,∴,∴，
∵，,∴是等边三角形,∴
∴
∵为等边三角形,∴
又∵,
∴，即
(3)连接，延长、，交于点
∵，
∴，
∵平分,
∴
由(1)，得
∴,∴
在和中,∴,∴，即
∵,∴
在和中
∴,∴.由(2)得，,∴2020-2021学年度苏科版八年级上学期数学第2章轴对称图形章末复习训练卷(2)
一、选择题
1、在如图所示的四幅图中，轴对称图形的个数是(
)
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
2、如下书写的八个黑体字，其中为轴对称图形的有(
)
A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个
3、若是内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点，连接，则下列结论正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
且
4、如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8cm，AB=10cm，则△EBC的周长为（??
）
A.?16cm??????????????????????????????????B.?28cm??????????????????????????????????C.?26cm??????????????????????????????????D.?18cm
5、如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系（ ）
A．EF＞BE+CF
B．EF=BE+CF
C．EF＜BE+CF
D．不能确定
6、在中，的垂直平分线分别交于点，连接，则的值为(
)
A.
6
B.10
C.
6或14
D.
6或10
7、如图，在中，分别是上的点，且.若，则的度数为(
)
A.
44°
B.
66°
C.
88°
D.
92°
8、已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在格点上，位置如图，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则点C的个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
9、如图，分别是等边三角形各边上的点，且，则是(
)
A.等边三角形
B.腰和底边不相等的等腰三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
10、如图，,…，若，
则的度数为(
)
A.
B.
C.
D.
二、填空题
11、如图，桌面上有M，N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，
则A，B，C，D4个点中，可以瞄准的是_______点．
12、如图所示，已知O是内的一点，点分别是O点关于的对称点，MN与分别相交于点，已知，则的周长______
cm．
13、如图，△ABC中，∠ABC=45°，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于F，
则∠CAF的大小是________度．
14、如图，在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点.若的周长为2018，则线段的长为
.
15、如图，以正方形ABCD的一边CD为边向形外作等边三角形CDE，则∠AEB=
．
16、（1）在等腰△ABC中，周长=8cm，AC=3cm，BC=
．
（2）等腰△ABC中，若∠A=40°，则底角=
．
17、如图，在和中，
cm，，连接交于点，若，则=
.
18、如图，在中，cm,的垂直平分线交于点，交于点的垂直平分线交于点，交于点，则的长为
.
19、（2019秋?雨花区校级月考）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；
②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的序号是___________
20、（2020郑州初二期末）如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=7，△OMN的面积为14，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为_____
三、解答题
21、如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
22、(1)如图①,
是内一点，在上分别找点，使得的周长最短.画出图形，保留画图痕迹，不写画法.
(2)如图②,
是内的两点，在上分别找点，使得以为顶点的四边形的周长最短.画出图形，保留画图痕迹，不写画法.
23、如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，且.求证:
.
24、（2020春?龙泉驿区期末）如图，C为线段AE上一动点，（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．
求证：（1）AD＝BE
（2）△APC≌△BQC
（3）△PCQ是等边三角形．
25、如图四边形ABCD中，∠A=90°，∠C=90°，EF分别是BD、AC的中点，请你说明EF与AC的位置关系．
26、P是RtΔABC斜边AB上一动点(不与点重合)，分别过点向直线作垂线，垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.
(1)如图①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是
,
QE与QF的数量关系是
(2)如图②，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断EQ与QF的数量关系，并给予证明.
(3)如图③，当点P在线段BA
(或AB)的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明.
2020-2021学年度苏科版八年级上学期数学第2章轴对称图形章末复习训练卷(2)
一、选择题
1、在如图所示的四幅图中，轴对称图形的个数是(
C
)
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
2、如下书写的八个黑体字，其中为轴对称图形的有(
A
)
A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个
3、若是内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点，连接，则下列结论正确的是（
D
）
A.
B.
C.
D.
且
4、如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8cm，AB=10cm，则△EBC的周长为（??D
）
A.?16cm??????????????????????????????????B.?28cm??????????????????????????????????C.?26cm??????????????????????????????????D.?18cm
5、如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系（ ）
A．EF＞BE+CF
B．EF=BE+CF
C．EF＜BE+CF
D．不能确定
【解答】解：由BD平分∠ABC得，∠EBD=∠ABC，
∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC=2∠EBD，∠AEF=∠EBD+∠EDB，∴∠EBD=∠EDB，
∴△BED是等腰三角形，∴ED=BE，
同理可得，DF=FC，（△CFD是等腰三角形）
∴EF=ED+EF=BE+FC，∴EF=BE+CF．
故选B．
6、在中，的垂直平分线分别交于点，连接，则的值为(
C
)
A.
6
B.10
C.
6或14
D.
6或10
7、如图，在中，分别是上的点，且.若，则的度数为(
D
)
A.
44°
B.
66°
C.
88°
D.
92°
8、已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在格点上，位置如图，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则点C的个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【解答】解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；
②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．
所以符合条件的点C共有9个．
故选C．
9、如图，分别是等边三角形各边上的点，且，则是(
A
)
A.等边三角形
B.腰和底边不相等的等腰三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
10、如图，,…，若，
则的度数为(
C
)
A.
B.
C.
D.
二、填空题
11、如图，桌面上有M，N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，
则A，B，C，D4个点中，可以瞄准的是_______点．
解：如图所示：
要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是D．
12、如图所示，已知O是内的一点，点分别是O点关于的对称点，MN与分别相交于点，已知，则的周长___5___
cm．
13、如图，△ABC中，∠ABC=45°，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于F，
则∠CAF的大小是___45_____度．
14、如图，在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点.若的周长为2018，则线段的长为
2018
.
15、如图，以正方形ABCD的一边CD为边向形外作等边三角形CDE，则∠AEB=
．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=BC，∠ADC=∠BCD=90°．
∵△DCE是等边三角形，∴CD=DE=CE，∠CDE=∠DCE=60°．
∴AD=ED，BC=CE，∠ADE=150°，∠BCE=150°．∴∠AED=∠BEC=15°，
∴∠AEB=60°﹣15°﹣15°=30°．
故答案为30°．
16、（1）在等腰△ABC中，周长=8cm，AC=3cm，BC=
．
（2）等腰△ABC中，若∠A=40°，则底角=
．
【解答】解：（1）当腰长AC=BC=3cm时，底边为8﹣3﹣3=2（cm），而3，3，2能组成三角形，符合题意；
当腰长AC=AB=3cm时，底边为BC=8﹣3﹣3=2（cm），而3，3，2能组成三角形，符合题意；
当底边AC=3cm时，腰长BC=（8﹣3）÷2=2.5（cm），3，2.5，2.5能组成三角形，符合题意．
故BC的长为3cm或2cm或2.5cm．
（2）当∠A=40°为顶角时，底角=（180°﹣40°）÷2=70°；
当∠A=40°为底角时，直接得出结论．
故底角=70°或40°．
故答案为：（1）3cm或2cm或2.5cm；（2）70°或40°．
17、如图，在和中，
cm，，连接交于点，若，则=
4
.
18、如图，在中，cm,的垂直平分线交于点，交于点的垂直平分线交于点，交于点，则的长为
2cm
.
19、（2019秋?雨花区校级月考）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；
②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的序号是___________
【解答】解：①如图1，连接OB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD∠BAC120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°
∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正确；
②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，
故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，∴∠OPC+∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形；故③正确；
④如图2，在AC上截取AE＝PA，连接PB，
∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，∴AC＝AE+CE＝AO+AP；故④正确；
本题正确的结论有：①③④
20、（2020郑州初二期末）如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=7，△OMN的面积为14，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为_____
【解析】解：如图所示，连接OP，过点O作OHNM交NM的延长线于H，
∵，且MN=7，,∴OH=4，
∵点P关于OA对称的点为，点P关于OB对称点为，
∴，，，
∵∠AOB＝45°，∴，
∴是等腰直角三角形，∴当最小时，的面积最小，
根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，∴的面积的最小值＝，故答案为：8．
三、解答题
21、如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
解：所补画的图形如下所示：
22、(1)如图①,
是内一点，在上分别找点，使得的周长最短.画出图形，保留画图痕迹，不写画法.
(2)如图②,
是内的两点，在上分别找点，使得以为顶点的四边形的周长最短.画出图形，保留画图痕迹，不写画法.
解：
(1)如图①，过点分别作关于射线、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、，此时的周长最短，∴点、和即为所求.
(2)如图②.过点、分别作射线、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、，此时四边形的周长最短，∴点、和四边形即为所求.
23、如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，且.求证:
.
解：连接，
∵是的垂直平分线，∴
∵在中.，，，
∴，即
∵为线段的中点，∴
∴垂直平分，∴，∴
24、（2020春?龙泉驿区期末）如图，C为线段AE上一动点，（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．
求证：（1）AD＝BE
（2）△APC≌△BQC
（3）△PCQ是等边三角形．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△CDE是正三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AD＝BE；
（2）∵ADC≌△BEC，∴∠ACP＝∠BCQ，AC＝BC，∠CAP＝∠CBQ，∴△APC≌△BQC（ASA）；
（3）∵CD＝CE，∠DCP＝∠ECQ＝60°，∠ADC＝∠BEC，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．∴CP＝CQ，∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，∴△CPQ是等边三角形．
【点评】本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定等知识点；得到三角形全等是正确解答本题的关键．
25、如图四边形ABCD中，∠A=90°，∠C=90°，EF分别是BD、AC的中点，请你说明EF与AC的位置关系．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．
【解答】解：EF⊥AC，
理由是：连接AE、CE，
∵∠BAD=∠BCD=90°，E为BD中点，∴AE=BD，CE=BD，
∴AE=CE，∵F为AC中点，∴EF⊥AC．
26、P是RtΔABC斜边AB上一动点(不与点重合)，分别过点向直线作垂线，垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.
(1)如图①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是
,
QE与QF的数量关系是
(2)如图②，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断EQ与QF的数量关系，并给予证明.
(3)如图③，当点P在线段BA
(或AB)的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明.
(1)
(2)
如图①，延长交于点
∵为的中点,∴
∵,∴,∴
在和中，,
∴,∴，即
又∵,∴是斜边上的中线,
∴,
∴
(3)结论仍然成立，
当点在线段的延长线上时，如图②，延长、
交于点
∵为的中点,∴
∵,∴,∴
在和中，,∴,∴，即
又∵,∴是斜边上的中线,∴,∴
当点在线段的延长线上时，图形类似，结论成立，证明类似，因此略.
