人教A版（2019）第二章一元二次函数、方程和不等式 单元检测卷（含解析）

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第二章一元二次函数、方程和不等式单元检测卷
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）下列不等式恒成立的是（　　）
A．x2+≥x+
B．
C．|x﹣y|≥|x﹣z|+|y﹣z|
D．
2．（5分）下面比较大小正确的是（　　）
A．（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）
B．（ac+bd）2＜（a2+b2）（c2+d2）
C．（ac+bd）2≥（a2+b2）（c2+d2）
D．（ac+bd）2＞（a2+b2）（c2+d2）
3．（5分）已知a＝+，b＝5，c＝+，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c
B．c＞a＞b
C．c＞b＞a
D．b＞c＞a
4．（5分）已知a＞c，b＞d，则下列结论正确的是（　　）
A．（a+b）2＞（c+d）2
B．ab+cd﹣ad﹣bc＞0
C．ab＞cd
D．a﹣b＞c﹣d
5．（5分）正实数x，y，z，w满足x≥y≥w和x+y≤2（z+w），则+的最小值等于（　　）
A．
B．
C．1
D．前三个答案都不对
6．（5分）已知实数x，y满足x2+y2＝1，则xy的最大值是（　　）
A．1
B．
C．
D．
7．（5分）已知x，y∈R+，且满足+＝1，则x+3y的最小值为（　　）
A．9
B．10
C．12
D．16
8．（5分）若正实数a，b满足+＝，则ab的最小值为（　　）
A．
B．2
C．4
D．8
9．（5分）若函数y＝x2+kx+1的图象与x轴没有交点，则k的取值范围是（　　）
A．（2，+∞）
B．（﹣∞，﹣2）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
D．（﹣2，2）
10．（5分）不等式（x﹣5）（x+3）＜0的解集是（　　）
A．{x|﹣5＜x＜3}
B．{x|﹣3＜x＜5}
C．{x|x＜﹣5或x＞3}
D．{x|x＜﹣3或x＞5}
11．（5分）若函数y＝x2﹣3x﹣4的区间（m﹣3，2m）上为减函数，则实数m的取值范围是（　　）
A．[，+∞）
B．（﹣∞，]
C．（﹣3，]
D．[，+∞）
12．（5分）不等式x2+2x﹣3＜0的解集为（　　）
A．（﹣3，1）
B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
D．﹣3＜x＜1
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）比较大小：　
　．（用＞，＜或＝填空）
14．（5分）已知a＞0，b＞0，则p＝﹣a与q＝b﹣的大小关系是　
　．
15．（5分）已知实数x，y满足x＞0，y＞0，x+2y＝2，则x2+4y2+xy的最小值是　
　．
16．（5分）二次不等式﹣x2﹣5x+6≥0的解集是　
　．
三．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知a，b∈R，比较a2+b2与2a﹣4b﹣5的大小．
18．（12分）设M＝（x+2）（x+3），N＝（x+1）（x+4）﹣a+2．
（1）当a＝2时，比较M，N的大小；
（2）当a∈R时，比较M，N的大小．
19．（12分）若实数x＞0，y＞0，且满足x+y＝8﹣xy．
（1）求xy的最大值；
（2）求x+y的最小值
20．（12分）已知a，b均为正实数，且a+b＝3．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若|对任意的a，b∈R
恒成立，求实数x的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a＞0），当x∈[0，2]时，f（x）的值域为．
（1）求实数a，b的值．
（2）记集合A＝{x∈R|f（x）≤0}，B＝{x∈R|f（f（x））+m≤0}，若A＝B，求实数m的值．
22．（12分）已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+5，其中a＞1．
（Ⅰ）若函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣∞，2]上单调递减，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤3成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．【答案】A
【解答】解：A．x＜0时，x2+≥x+成立；x＞0时，设t＝x+≥2，不等式x2+≥x+化为：t2﹣2≥t，化为（t﹣2）（t+1）≥0，即t≥2，恒成立．因此不等式恒成立．
B．取x﹣y＝﹣1，则|x﹣y|+＝1﹣1＝0＜2，因此不恒成立；
C．由绝对值不等式的性质可得：|x﹣z|+|y﹣z|≥|（x﹣z）﹣（y﹣z）|＝|x﹣y|，因此不恒成立．
D．∵﹣＞，∴﹣＝﹣≤0，∴≤，错误．
2．【答案】A
【解答】解：∵（a2+b2）（c2+d2）＝a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd＝（ac+bd）2；
3．【答案】C
【解答】解：∵，
又，
∴a2＜b2＜c2，∴c＞b＞a．
4．【答案】B
【解答】解：根据a＞c，b＞d，取a＝b＝0，c＝d＝﹣1，则可排除ACD．
5．【答案】D
【解答】解：由x+y≤2（z+w），得，
又x≥y≥w，
∴，
当且仅当，即时取等号．
6．【答案】D
【解答】解：因为x2+y2＝1，
则xy＝，当且仅当x＝y＝时取等号，
7．【答案】D
【解答】解：∵+＝1，
∴x+3y＝（x+3y）（）
＝10+＝16，
当且仅当且+＝1，即x＝y＝4时取等号，
8．【答案】A
【解答】解：正实数a，b满足+＝≥2，
解可得，ab，
当且仅当时取等号，
则ab的最小值为．
9．【答案】D
【解答】解：由题意得：
△＝k2﹣4＜0，解得：﹣2＜k＜2，
10．【答案】B
【解答】解：（x﹣5）（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜5，
∴原不等式的解集为{x|﹣3＜x＜5}．
11．【答案】C
【解答】解：f（x）＝x2﹣3x﹣4的对称轴为x＝，
函数f（x）在（﹣∞，]上单调递减，
∵函数y＝x2﹣3x﹣4的区间（m﹣3，2m）上为减函数，
则2m≤?m≤，m﹣3＜2m，m＞﹣3，
即m的取值范围是（﹣3，]．
12．【答案】A
【解答】解：∵x2+2x﹣3＜0，∴（x+3）（x﹣1）＜0，
解得﹣3＜x＜1．用集合表示为（﹣3，1）．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．【答案】＜．
【解答】解：因为（）2﹣（）2＝12+2﹣24＝2﹣12＝﹣＜0；
∴＜．
14．【答案】p≥q
【解答】解：因为a＞0，b＞0，p＝﹣a与q＝b﹣，
所以p﹣q＝﹣＝＝≥0，b＝a时取等号，
所以p≥q．
15．【答案】
【解答】解：因为x，y满足x＞0，y＞0，x+2y＝2，
由基本不等式可得，xy＝x?（2y）＝，
当且仅当x＝2y＝1即x＝1，y＝时取等号，
则x2+4y2+xy＝（x+2y）2﹣3xy＝
16．【答案】{x|﹣6≤x≤1}．
【解答】解：∵﹣x2﹣5x+6≥0，
∴x2﹣5x﹣6≤0，∴（x+6）（x﹣1）≤0，∴﹣6≤x≤1，
∴原不等式的解集为{x|﹣6≤x≤1}．
三．解答题（共6小题，满分70分）
17．【解答】解：∵a，b∈R，
∴（a2+b2）﹣（2a﹣4b﹣5）
＝a2﹣2a+4b+5+b2
＝（a﹣1）2+（b+2）2≥0，
∴a2+b2≥2a﹣4b﹣5，当且仅当a＝1，b＝﹣2时，等号成立，两式相等．
18．【解答】解：（1）当a＝2时，N＝（x+1）（x+4）．
M﹣N＝（x+2）（x+3）﹣（x+1）（x+4）＝6﹣4＝2＞0，可得：M＞N．
（2）当a∈R时，M﹣N＝（x+2）（x+3）﹣（x+1）（x+4）+a﹣2＝a．
∴a≥0时，M≥N．
a＜0时，M＜N．
19．【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，
∴，
即，解得xy≤4（x＝y＝2取等号）
∴xy的最大值为4．
（2）法一：
∴[（x+y）+8][（x+y）﹣4]≥0
∴x+y≥4（当x＝y＝2取等号）
法二：由（1）可得x+y＝8﹣xy≤8﹣4＝4（x＝y＝2取等号），
即x+y的最小值为4．
20．【解答】解：（Ⅰ）因为a，b∈R
且a+b＝3，得（a+1）+b＝4，
所以（当且仅当a＝1，b＝2时取等号）．
所以，所以成立．
故的最小值为1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知对任意的a，b∈R
恒成立，
?|x﹣2|﹣|x+3|≤1或或，
?x∈?，或﹣1≤x≤2，或x≥2?x≥﹣1．
故实数x的取值范围为[﹣1，+∞）．
21．【解答】解：（1）∵a＞0，x＝0时，f（0）＝1，
而x∈[0，2]时，f（x）的值域为．
故f（x）在[﹣，5]先递减再递增，
故，解得：或（舍），
（2）由（1）得：f（x）＝3x2﹣4x+1，
集合A＝{x∈R|f（x）≤0}＝{x|≤x≤1}，
B＝{x∈R|f（f（x））+m≤0}，
若A＝B，则B＝{x|≤x≤1}，则令t＝f（x）∈[﹣，0]，
则y＝3t2﹣4t+1+m在[﹣，0]递减，
则ymin＝y|x＝0＝1+m＝0，解得：m＝﹣1．
22．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝x2﹣2ax+5，开口向上，对称轴是x＝a＞1，
∴f（x）在[1，a]递减，
∴f（x）max＝f（1）＝6﹣2a＝a，f（x）min＝f（a）＝5﹣a2＝1，
故a＝2；
（Ⅱ）函数f（x）＝x2﹣2ax+5的对称轴是x＝a，则其单调减区间为（﹣∞，a]，
因为f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，所以2≤a，即a≥2．
则|a﹣1|≥|（a+1）﹣a|＝1，
因此任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤3，只需|f（a）﹣f（1）|≤3即可，
即|（a2﹣2a2+5）﹣（1﹣2a+5）|＝|a2﹣2a+1|＝（a﹣1）2≤3，亦即﹣≤a﹣1≤，
解得：1﹣≤a≤1+，又a≥2，
因此a∈[2，1+]．
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精品试卷·第
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