江苏省扬州市邗江区蒋王中学2021届高三上学期学情检测数学试卷 Word版含答案

蒋王中学高三学情检测数学试卷 2020.10
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，则（ C ）
A. B. C. D.
2．2．已知复数在复平面内对应的点在直线上，则实数（C ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
3．若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则实数（C）
A. B. 0 C. 1 D. 2
4、设，则“”是“”的 B
A．充分而不必要条 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5、若点坐标为(,)，则点在(? ?B)
A.第一象限?????B.第二象限?????C.第三象限?????D.第四象限
6．函数的图象大致为（ c ）
A． B．
C． D．
7.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x（万元） 2 3 4 5 6
销售额y（万元） 19 25 34 38 44
根据上表可得回归直线方程为，下列说法正确的是（ D ）
A.回归直线必经过样本点、
B.这组数据的样本中心点未必在回归直线上
C.回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元
D.据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元
8．已知函数f(x)＝－x2＋，g(x)＝x2ex，若对任意的x2∈[－1,1]，存在唯一的x1∈，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是（B）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．若，，且，则下列不等式恒成立的是（ ）CD．
A． B． C． D．
10．下列判断正确的是（ ）BCD
A．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件；
B．若随机变量服从正态分布，，则；
C．若随机变量服从二项分布：，则；
D．是的充分不必要条件.
11．如图是2018年10月—2019年10月中国钢铁同比增速及日均产量统计图，则下列陈述中正确的是（ ）ABD

A.2019年6月同比增速最大；
B.2019年3月—5月同比增速平稳；
C.2019年8月钢材总产量比2019年9月钢材总产量低；
D.2019年10月钢材总产量约10264万吨。
12．设函数，，给定下列命题，其中是正确命题的是（ ）ACD
A．不等式的解集为；
B．函数在单调递增，在单调递减；
C．若，则当时，有；
D．若函数有两个极值点，则实数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数在点处的切线与直线垂直，则 ．
14．如果的展开式中各项系数之和为4096，则展开式中x的系数为____1215____．
15．函数（，且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则=
16.一圆柱形封闭容器内有一个棱长为2的正四面体，若该正四面体可以绕其中心在容器内任意转动（正四面体顶点恰好触碰到容器内壁可视为可以转动），则容器体积的最小值为
答案
一、选择题答案：
C；2、C；3、C；4、B；5、B；6、C；7、D；8、B
CD；10、BCD；11、ABD；12、ACD
填空题答案：
13、；14、1215；15、；16、
解答题答案：
17、【本题满分10分】
在①AB＝A，②AB≠，③BA这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．
问题：已知集合A＝，B＝，是否存在实数a，使得 ？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．【本题满分12分，】
设函数
（1）若函数y＝f（x）的图象关于原点对称，求函数的零点；
（2）若函数在的最大值为－2，求实数a的值.
19、【本题满分12分，】
销售甲种商品所得利润是P万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式P＝，销售乙种商品所得利润是Q万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式Q＝bt，其中a，b为常数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f (x)万元．
（1）求函数f (x) 的解析式；
（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．
2、解：（1）由题意，P＝，Q＝bt，
故当t＝3时，P＝＝，Q＝3b＝1． …………………… 3分
解得 a＝3，b＝． …………………… 5分
所以 P＝，Q＝t．
从而 f(x)＝＋，x∈[0，3]． ……………………6分
（2）由（1）可得：f(x)＝＋＝－(＋)．
…………………… 8分
因为x∈[0，3]，所以x＋1∈[1，4]，
故 ＋≥2，
从而 f(x)≤－2＝． …………………… 10分
当且仅当＝，即x＝2时取等号．
所以f(x)的最大值为 ．
答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是万元． …………………… 12分
20．【本题满分12分，】
如图，在四棱锥中，底面，，，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20．解：（1）如图，取的中点，连接，．
∵，分别为，的中点，∴，
又且，∴，∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，∴平面．
（2）由题意知：，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系：
∵，分别为，的中点，∴，
又且，∴，∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，∴平面．
（2）由题意知：，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，，
∴，，，
设平面的法向量，
则，令，则，，∴．
∵平面，∴为平面的一个法向量，
∴，
∵二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为．
21．（12分）《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领。制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基。发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线。某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布，并把质量差在内的产品为优等品，质量差在内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
（1）根据频率分布直方图，求样本平均数
（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率．（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
[参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，
假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求X的分布列以及期望值．
本小题满分12分）
【解析】（1）
.（3分）
（2）由题意样本方差，故.
所以，
由题意，该厂生产的产品为正品的概率
.（6分）
（3）X所有可能为0,1,2,3.

.（10分）
X的分布列为
X 0 1 2 3
P



.（12分）
22．【本题满分12分，】
已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，
求证：对任意，，且，有
22．【详解】（Ⅰ）（i）当时，，．可得，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（ii）依题意，，．
从而可得，整理可得：，
令，解得．
当变化时，，的变化情况如下表：




0
单调递减 极小值 单调递增
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
的极小值为，无极大值．
（Ⅱ）证明：由，得．
对任意的，，且，令，则
．①
令，．
当时，，
由此可得在单调递增，所以当时，，即
因为，，，
所以
．②
由（Ⅰ）（ii）可知，当时，，即，
故③
由①②③可得．
所以，当时，任意的，，且，有．