人教A版高中数学必修1：3.1.1 方程的根与函数的零点 教案（Word）
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学必修1：3.1.1 方程的根与函数的零点 教案（Word） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 157.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-16 22:27:58 | ||
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文档简介
3.1.1 方程的根与函数的零点
『教材分析』：
知识与技能：理解方程的根和函数的零点的关系，函数零点的定义，学会判断零点存在的条件。
过程与方法：通过学习，培养学生自主探究和独立思考的能力。培养学生函数和方程结合思想的能力。
思想方法：培养学生数形结合的意识与思想。
『重点。难点。关键点』：
重点：理解方程的根和函数零点之间的联系，判断函数零点的存在及其个数的方法。
难点：理解探究发现函数零点的存在性。理解函数的零点就是方程的根及利用函数的图像和性质判别零点的个数。
关键点：帮助学生寻找方程和函数图像之间的联系。
『教学方法和手段』：
教学方法：探究式教学（“启发—探究—讨论”的教学模式）
教学手段：教学软件PPT和几何画板辅助教学。
『教学进程构思及说明』：
置前作业：
1、求下列方程的根并画出对应的函数的图像。
通过观察，你能得到上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图像有什么关系吗？（表格见资料）
课前完成，观察上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图像有什么关系吗？激发学生探究问题的兴趣。（反馈课前作业，抽学生回答。）
分析：
方程的 根为，函数与x轴的交点坐标为（－1，0），（3，0），观察猜想方程的两实根对应与函数与x轴的交点坐标的横坐标。
根据函数图像和方程对应的实根，观察可得到：
方程的 根为，函数与x轴的交点坐标为
（－1，0），（3，0）；方程的 根为，函数与x轴的交点坐标为（1，0）；方程无实根，函数 与x轴没有交点坐标。继而猜想：一元二次方程的根就是对应二次函数图像与x轴的交点坐标的横坐标。
设计意图：问题1的设置，以学生基本掌握了的二次函数和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图像之间的关系。学生很快就容易入手解决，对于猜想，如果学生不能得出，从问题2的 继续观察，学生能够更进一步发现一元二次方程的根就是对应二次函数图像与x轴的交点坐标的横坐标，而问题2包括了三种情况，全面地描述了这个过程，也为接下来的推广奠定了基础。同时引出了 本节课的课题。
一、推广：
思考：对于一般的一元二次方程的根与二次函数的图像是否有上述猜想成立呢？
分析：从一元二次方程根的情况有三种来分析：判别式（采用列表的方法）
（1）当时，一元二次方程有两个不相等的实根，相应的二次函数的图像与x轴有 两个交点（）,()；
(2)当时，一元二次方程有两个相等的实根，相应的二次函数的图像与x轴有唯一一个交点（）；
（3）当时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图像与x轴没有交点。通过学生的探究和老师的辅助讲解，观察可得到
结论一：
一元二次方程的根就是对应二次函数图像与x轴的交点坐标的横坐标。
设计意图：推广练习从特殊到一般是对之间的引例的补充，是其更一般化，进而能够得出结论
二、再次推广：
零点的概念：对于函数，我们把使得的实数x叫做函数的零点。
强调注意：函数的零点不是一个点，也不是f(x),不能写成坐标的形式，而是一个实数x.
分析关于一般的一元二次方程的根与二次函数图像与x轴交点坐标的横坐标从而可以探求出三个等价关系。
方程有实根
函数的图像与x轴有交点
函数有零点
练习巩固（生作）：
请写出下列函数的零点：
例题1：求下列函数的零点：
教学估计：
1．正确的写法：函数的零点分别是x=－1，3
2．错误的写法：函数的零点分别为（-1,0）,(3,0),
强调注意：函数的零点不是一个点，也不是f(x),不能写成坐标的形式，而是一个实数x.
设计意图：再次推广，使得问题结论更一般化，更能 突出本节课的教学目的，让学生觉得学习该内容有一 定的用出，对于练习的设计，我想通过让学生出错和练习，理解零点这一个抽象的概念.强化对于函数零点的求法，对于三个等价条件的应用。借助这个练习，既巩固检测了学生对知识点的掌握情况，又引发学生认知冲突，引出本节课的重点，为新内容的教学作好铺垫。
三、探究：
观察二次函数的图像，我们发现函数在区间上有零点，计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有社么特点？在区间上是否也具有这样特点呢？
探究活动： f(-2)=____ , f(1)=______ ______ 0（填小于或大于或等于）
有零点x＝－1，它是方程的一个根。
f(2)=____ , f(4)=______ ______0（填小于或大于或等于）
有零点x＝3，它是方程的另一个根。
若f(a)·f(b)<0，则二次函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.从具体到一般，同时提出问题若去掉二次，对于一般函数是否也适用呢？打出三张图形引出矛盾，激发学生的兴趣，进而希望进一步探究。
设计意图：进行合情推理，将图形语言抽象成数学语言。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力，体验语言转化的过程。
学生归纳小结，教师具体梳理得出结论：
零点存在性定理：如果函数在区间(a,b)上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么，函数在区间（a,b）内有零点。
设计意图：结合函数零点的定义，启发学生自主发现函数零点的判定方法，培养学生自主探究和归结创造能力。
学生操作两个判断，从而对概念的加强
判断一：如果函数在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，有f(a)·f(b)>0 则函数在(a，b)上一定没有零点.
判断二：如果函数在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，有f(a)·f(b)<0 ，则函数(a，b)上一定有唯一一个零点.
探究：如果函数在区(a，b)上的图像是一条连续不断的曲线，有f(a)·f(b)<0，则函数在什么情况下只有一个零点?
请学生分析正确和错误的原因，从而探究在零点存在性定理下，什么情况只有一个零点？教师归纳，强调。
注意：
1、存在零点：（1）连续
（2）f(a)·f(b)<0
2、只有一个零点：（1）连续
（2）f(a)·f(b)<0
(3)单调
3、若零点存在性定理成立，则零点个数不确定
4、f(a)·f(b)>0不一定没有零点
设计意图：问题设计层层递进，有助于学生理解概念，学生经历总结方法，发出缺陷，然后完善方法的过各，有利于学生对知识的理解和掌握。
求函数的零点个数。
分析：引导学生考虑求函数零点的方法。抓住三个等价转化，方程的根，函数图像与x轴交点的横坐标。我们说这个类型可以直接转化成方程，从而解方程达到目的。从另一个角度引出教材p88例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。对于它用解方程的方法就无法求解，
于是我们就要从另一个角度考虑函数的图像，由于对于这个对数函数，由于进度的问题我们还没有上到这个地方，因此我们就以此题为例，利用函数的图像解决零点的问题。对于我们未知函数的图像，我们往往采用列表，描点，连线的手段，以小组合作的方式，探求关于该函数的图像，同学们可以采用计算器，算出更为精确的数值，从而使图像尽可能精确。
学生展示图像，进一步引出问题，这样的图形是不是非常的精确了？于是借用计算机的作图工具向学生展示该函数的图像,让学生对函数的零点判断形成更加直观的认识，从而说明与X轴的焦点只有一个,所以零点一个,并且可以采用计算机手段找出零点.从另一个角度引导学生,直接利用方程求解,但是具有局限性,不是所有的方程都可以,举出教材的例子.还可采用分别作出两个函数的图像,寻找函数焦点即可.体现数学结合的思想,及转换的思想.
练习：
1、函数的零点所在的大致区间是（ ）
2、若方程在内恰有一解，则的取值范围是（ ）
设计意图：立足教材，选取难易适当的习题，帮助学生进一步落实基本知识，提高能力。
四．小结：
函数零点的概念
函数零点与对应方程的根的联系
函数零点的存在定理
五：作业
练习一，利用函数图像判断下列方程有没有根，有几个根：
利用信息技术手段作出函数的图像，并指出下列函数零点的所在大致区间
作业设计说明：
作业1是巩固练习，学生可以复习本节课的知识。
作业2是对例题的一个再类似运用，使得学生更好地体会，并为接下来的用二分法求解方程的近似解奠定基础。
思考题的设置,为下节课做好铺垫.
『教材分析』：
知识与技能：理解方程的根和函数的零点的关系，函数零点的定义，学会判断零点存在的条件。
过程与方法：通过学习，培养学生自主探究和独立思考的能力。培养学生函数和方程结合思想的能力。
思想方法：培养学生数形结合的意识与思想。
『重点。难点。关键点』：
重点：理解方程的根和函数零点之间的联系，判断函数零点的存在及其个数的方法。
难点：理解探究发现函数零点的存在性。理解函数的零点就是方程的根及利用函数的图像和性质判别零点的个数。
关键点：帮助学生寻找方程和函数图像之间的联系。
『教学方法和手段』：
教学方法：探究式教学（“启发—探究—讨论”的教学模式）
教学手段：教学软件PPT和几何画板辅助教学。
『教学进程构思及说明』：
置前作业：
1、求下列方程的根并画出对应的函数的图像。
通过观察，你能得到上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图像有什么关系吗？（表格见资料）
课前完成，观察上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图像有什么关系吗？激发学生探究问题的兴趣。（反馈课前作业，抽学生回答。）
分析：
方程的 根为，函数与x轴的交点坐标为（－1，0），（3，0），观察猜想方程的两实根对应与函数与x轴的交点坐标的横坐标。
根据函数图像和方程对应的实根，观察可得到：
方程的 根为，函数与x轴的交点坐标为
（－1，0），（3，0）；方程的 根为，函数与x轴的交点坐标为（1，0）；方程无实根，函数 与x轴没有交点坐标。继而猜想：一元二次方程的根就是对应二次函数图像与x轴的交点坐标的横坐标。
设计意图：问题1的设置，以学生基本掌握了的二次函数和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图像之间的关系。学生很快就容易入手解决，对于猜想，如果学生不能得出，从问题2的 继续观察，学生能够更进一步发现一元二次方程的根就是对应二次函数图像与x轴的交点坐标的横坐标，而问题2包括了三种情况，全面地描述了这个过程，也为接下来的推广奠定了基础。同时引出了 本节课的课题。
一、推广：
思考：对于一般的一元二次方程的根与二次函数的图像是否有上述猜想成立呢？
分析：从一元二次方程根的情况有三种来分析：判别式（采用列表的方法）
（1）当时，一元二次方程有两个不相等的实根，相应的二次函数的图像与x轴有 两个交点（）,()；
(2)当时，一元二次方程有两个相等的实根，相应的二次函数的图像与x轴有唯一一个交点（）；
（3）当时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图像与x轴没有交点。通过学生的探究和老师的辅助讲解，观察可得到
结论一：
一元二次方程的根就是对应二次函数图像与x轴的交点坐标的横坐标。
设计意图：推广练习从特殊到一般是对之间的引例的补充，是其更一般化，进而能够得出结论
二、再次推广：
零点的概念：对于函数，我们把使得的实数x叫做函数的零点。
强调注意：函数的零点不是一个点，也不是f(x),不能写成坐标的形式，而是一个实数x.
分析关于一般的一元二次方程的根与二次函数图像与x轴交点坐标的横坐标从而可以探求出三个等价关系。
方程有实根
函数的图像与x轴有交点
函数有零点
练习巩固（生作）：
请写出下列函数的零点：
例题1：求下列函数的零点：
教学估计：
1．正确的写法：函数的零点分别是x=－1，3
2．错误的写法：函数的零点分别为（-1,0）,(3,0),
强调注意：函数的零点不是一个点，也不是f(x),不能写成坐标的形式，而是一个实数x.
设计意图：再次推广，使得问题结论更一般化，更能 突出本节课的教学目的，让学生觉得学习该内容有一 定的用出，对于练习的设计，我想通过让学生出错和练习，理解零点这一个抽象的概念.强化对于函数零点的求法，对于三个等价条件的应用。借助这个练习，既巩固检测了学生对知识点的掌握情况，又引发学生认知冲突，引出本节课的重点，为新内容的教学作好铺垫。
三、探究：
观察二次函数的图像，我们发现函数在区间上有零点，计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有社么特点？在区间上是否也具有这样特点呢？
探究活动： f(-2)=____ , f(1)=______ ______ 0（填小于或大于或等于）
有零点x＝－1，它是方程的一个根。
f(2)=____ , f(4)=______ ______0（填小于或大于或等于）
有零点x＝3，它是方程的另一个根。
若f(a)·f(b)<0，则二次函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.从具体到一般，同时提出问题若去掉二次，对于一般函数是否也适用呢？打出三张图形引出矛盾，激发学生的兴趣，进而希望进一步探究。
设计意图：进行合情推理，将图形语言抽象成数学语言。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力，体验语言转化的过程。
学生归纳小结，教师具体梳理得出结论：
零点存在性定理：如果函数在区间(a,b)上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么，函数在区间（a,b）内有零点。
设计意图：结合函数零点的定义，启发学生自主发现函数零点的判定方法，培养学生自主探究和归结创造能力。
学生操作两个判断，从而对概念的加强
判断一：如果函数在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，有f(a)·f(b)>0 则函数在(a，b)上一定没有零点.
判断二：如果函数在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，有f(a)·f(b)<0 ，则函数(a，b)上一定有唯一一个零点.
探究：如果函数在区(a，b)上的图像是一条连续不断的曲线，有f(a)·f(b)<0，则函数在什么情况下只有一个零点?
请学生分析正确和错误的原因，从而探究在零点存在性定理下，什么情况只有一个零点？教师归纳，强调。
注意：
1、存在零点：（1）连续
（2）f(a)·f(b)<0
2、只有一个零点：（1）连续
（2）f(a)·f(b)<0
(3)单调
3、若零点存在性定理成立，则零点个数不确定
4、f(a)·f(b)>0不一定没有零点
设计意图：问题设计层层递进，有助于学生理解概念，学生经历总结方法，发出缺陷，然后完善方法的过各，有利于学生对知识的理解和掌握。
求函数的零点个数。
分析：引导学生考虑求函数零点的方法。抓住三个等价转化，方程的根，函数图像与x轴交点的横坐标。我们说这个类型可以直接转化成方程，从而解方程达到目的。从另一个角度引出教材p88例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。对于它用解方程的方法就无法求解，
于是我们就要从另一个角度考虑函数的图像，由于对于这个对数函数，由于进度的问题我们还没有上到这个地方，因此我们就以此题为例，利用函数的图像解决零点的问题。对于我们未知函数的图像，我们往往采用列表，描点，连线的手段，以小组合作的方式，探求关于该函数的图像，同学们可以采用计算器，算出更为精确的数值，从而使图像尽可能精确。
学生展示图像，进一步引出问题，这样的图形是不是非常的精确了？于是借用计算机的作图工具向学生展示该函数的图像,让学生对函数的零点判断形成更加直观的认识，从而说明与X轴的焦点只有一个,所以零点一个,并且可以采用计算机手段找出零点.从另一个角度引导学生,直接利用方程求解,但是具有局限性,不是所有的方程都可以,举出教材的例子.还可采用分别作出两个函数的图像,寻找函数焦点即可.体现数学结合的思想,及转换的思想.
练习：
1、函数的零点所在的大致区间是（ ）
2、若方程在内恰有一解，则的取值范围是（ ）
设计意图：立足教材，选取难易适当的习题，帮助学生进一步落实基本知识，提高能力。
四．小结：
函数零点的概念
函数零点与对应方程的根的联系
函数零点的存在定理
五：作业
练习一，利用函数图像判断下列方程有没有根，有几个根：
利用信息技术手段作出函数的图像，并指出下列函数零点的所在大致区间
作业设计说明：
作业1是巩固练习，学生可以复习本节课的知识。
作业2是对例题的一个再类似运用，使得学生更好地体会，并为接下来的用二分法求解方程的近似解奠定基础。
思考题的设置,为下节课做好铺垫.