高三导数复习习题（名校好题+平常练习）（含答案）

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高三导数综合习题（阶段练习/名校好题）
章节训练1
一、选择题
函数有（
?[1]?
）
A.
极大值，极小值
B.
极大值，极小值
C.
极大值，无极小值
D.
极小值，无极大值
若，则（
?[2]?
）
A.
B.
C.
D.
曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（
?[3]?
）
A.
B.
C.
和
D.
和
与是定义在R上的两个可导函数，若,满足,则
与满足（
?[4]?
）
A.
B.
为常数函数
C.
D.
为常数函数
函数单调递增区间是（
?[5]?
）
A.
B.
C.
D.
函数的最大值为（
?[6]?
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
函数在区间上的最大值是
?[7]?
.
函数的图像在处的切线在x轴上的截距为_______?[8]?_________.
函数的单调增区间为
，单调减区间为______?[9]?_____________.
若在增函数，则的关系式为是
?[10]?
.
函数在时有极值，那么的值分别为____?[11]?____.
三、解答题
已知曲线与在处的切线互相垂直，求的值?[12]?.
如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？?[13]?
已知的图象经过点，且在处的切线方程是
（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间.
?[14]?
平面向量，若存在不同时为的实数和，使
且，试确定函数的单调区间.
?[15]?
章节训练题2
（2页，答案3）
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
若函数在区间内可导，且则
的值为（
?[16]?
）
A.
B.
C.
D.
一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（
?[17]?
）
A.
米/秒
B.
米/秒
C.
米/秒
D.
米/秒
函数的递增区间是（
?[18]?
）
A.
B.
C.
D.
,若,则的值等于（
?[19]?
）
A.
B.
C.
D.
(?http:?/??/?www.?/??/??)
函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（
?[20]?
）
A.
充分条件
B.
必要条件
C.
充要条件
D.
必要非充分条件
函数在区间上的最小值为（
?[21]?
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
若，则的值为__________?[22]?_______；
曲线在点
处的切线倾斜角为____?[23]?______；
函数的导数为_____?[24]?____________；
曲线在点处的切线的斜率是______，切线的方程为______?[25]?_____；
三、解答题（本大题共2小题，每小题15分，满分30分）
求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程.
?[26]?
求函数在区间上的最大值与最小值?[27]?.
章节训练题3
（2页，答案3）
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
一物体作竖直上抛运动，它距地面的高度与时间间的函数关系式为，则（　?[28]?　）.
A.－9.8　　　　　B.0.2　　　　　　C.－0.2　　　　　　D.－4.9
过曲线上一点处的切线平行于直线，则点的一个坐标是（
?[29]?
）
A．（0，-2）
B.
(1,
1)
C.
(-1,
－4)
D.
(1,
4)
函数的单调增区间是（　?[30]?　）
A.　　　B.　　　C.　　　　D.
如图是函数的图象，则下列说法正确的是（　?[31]?　）
A.函数在处有极大值，在处有极小值；
B.函数在处有极小值，在处有极大值；
C.函数在处有极大值，在处有极小值；
D.函数在处有极小值，在处有极大值；
函数在区间上的最大值是（　?[32]?　）
A.　　　　B.　　　　C.　　　D.以上都不对
（　?[33]?　）
A.1　　　　　　　　B.　　　　　　　C.－　　　　　　　D.－1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
若函数，则　　?[34]?　　.
曲线在点（）的切线方程为　　　?[35]?　　　.
函数的递减区间是　　?[36]?　　　.
函数的单调区间是
?[37]?
。
三、解答题：本大题共3小题，满分30分，每小题10分.
解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
求函数的极值.?[38]?
求由直线和曲线所围成的图形的面积.?[39]?
做一个体积为32，高为2的长方体纸盒（1）若用表示长方体底面一边的长，表示长方体的侧面积，试写出与间的函数关系式；（2）当取什么值时，做一个这样的长方体纸盒用纸最少？
名校好题
一、选择题
1.
【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试数学（理)试题】已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
2.
【河北省衡水中学2018届高三十六模】已知函数，若对任意的,总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得对任意的恒成立，所以，令，得，当时，
；当时，
；所以当时，
，从而，因为，所以当时，
；当时，
；因此当时，
，选C.
3.
【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】已知函数，若存在三个零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】很明显
，由题意可得：
，
则由
可得
，
由题意得不等式：
，
即：
，
综上可得的取值范围是
.[来源:]
本题选择D选项.
4.
【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】已知是方程的实根，则下列关于实数的判断正确有______.
①
②
③
④
【答案】③.
5.
【衡水中学2019届高三开学二调考试】曲线在处的切线倾斜角是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对函数求导则，则，则倾斜角为．故本题答案选．
6.
【衡水中学2019届高三开学二调考试】若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
7.
【衡水中学2019届高三开学二调考试】已知函数，，若对任意的，，都有成立，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
令，则，
所以在单调递减，单调递增，
所以，
则,
所以，令，
则，，
则在区间上，，则单调递减，
又，所以在单调递增，单调递减，
所以，
所以，故选A。
8.
【衡水中学2019届高三开学二调考试】已知函数，则满足的x的取值范围是（
）
A．1B．0C．0D．1【答案】A
二、填空题
1.
【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】函数的图象在点处的切线方程是，则__________．
【答案】
【解析】
由导数的几何意义可知，又，所以.
2.
【衡水中学2019届高三开学二调考试】已知且对任意的恒成立，则的最小值为_____．
【答案】1
【解析】设，则由得：
，当当时，
，当时，
，所以当时，
有唯一极值，也是最小值，所以由对任意的恒成立，得，可得，因为
，故成立，
令（），，当时，
，当时，
，所以当时，
，所以，故填．
三、解答题
1.
【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】已知函数.
（1）若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；
（2）设关于的方程的两个不等实根，求证：（其中为自然对数的底数）.
【答案】(1)
(2)见解析
③当时，令，得，[来源:]
在区间上，，函数单调递增；
在区间上，，函数单调递减，
故当时，取得极大值，
且极大值为，无极小值.
若恰有一个零点，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
设，则上式转化为，
设，，
∴在区间上单调递增，
∴，∴，
即，即.
2.
【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】
已知函数的图象的一条切线为轴.
（1）求实数的值；
（2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证：.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.
又可以写成，当时，，．
因此在上大于0，在上单调递增，又，
因此在上小于0，在上大于0，
且在上单调递减，在上单调递增，．
当时，，
记，
记函数的导函数为，则
，
故在上单调递增，
所以，所以，
不妨设，则，
而，，有单调性知，即．
3.
【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】已知函数．
(1)若，证明：当；
(2)设，若函数上有2个不同的零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
（2）法一：
（i）当时，没有零；
（ii）当时，，
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
故是在上的最小值
①若，即时，在上没有零点；
②若，即时，在上只有1个零点；
③若，即时，由于，所以在（0，2）上有1个零点，
由（1）知，当时，，
因为，
所以.
故在（2，4a）上有1个零点，因此在上有2个不同的零点。
综上，在上有2个不同的零点时，a的取值范围是.
函数在上的图象与直线恰好有2个不同的交点，
即当且仅当a>一时，函数h（x）在（0，+oo）上有2个不同的零点，
故在上有2个不同的零点时，a的取值范围是
4.
【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】已知函数.
（1）当，求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）已知，
，
均为正实数，且，求证
.
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
∵函数在上单调递增，∴在上恒成立，
即在上恒成立.
设
，
∵，∴，则在上单调递增，
∴在上的值域为.
∴在上恒成立，则②
综合①②得实数的取值范围为.
（3）由（2）知，当时，
在上单调递增，
于是当时，
，
当时，
，
∴
，即
，
同理有
，
，
三式相加得
.
5.
【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直．
（1）求的单调区间；
（2）设，对任意，证明：．
【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）证明见解析.
【解析】
（1）因为，由已知得，∴．
所以，
设，则，在上恒成立，即在上是减函数，
由知，当时，从而，当时，从而．
综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）因为，要证原式成立即证成立，
现证明：对任意恒成立，
当时，由（1）知成立；
当时，，且由（1）知，∴．
设，则，
当时，，当时，，所以当时，取得最大值．所以，即时，．
综上所述，对任意．①
令，则恒成立，所以在上递增，
恒成立，即，即．②
当时，有；当时，由①②式，，
综上所述，时，成立，故原不等式成立
6.
【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，函数的图象恒不在轴的上方，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，增区间为，当时，递增区间为，减区间为；（2）.
（2）由题意得，
∵当时，函数的图象恒不在轴的上方，
∴在上恒成立．
设，
则.
令，
则，
①若，则，故在上单调递增，
∴，
∴在上单调递增，
∴，
从而，不符合题意．
②若，当时，，在上单调递增，
∴，
∴在上单调递增，
∴,
从而在上，不符合题意；
③若，则在上恒成立，
∴在上单调递减，
∴，
∴在上单调递减，
∴，
从而恒成立．
综上可得实数的取值范围是.
7.
【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若函数的导函数的图象与轴交于两点，其横坐标分别为，线段的中点的横坐标为，且恰为函数的零点，求证：
【答案】（1）见解析（2）见解析
综上所述，当时，
在内单调递增；当时，
在内单调递减，在，
内单调递增.
（2）由（1）知，
，所以的两根，
即为方程的两根.因为，所以，
，
.又因为，
为的零点，
所以，
，两式相减得，得.而，所以
.
令，由得，因为，两边同时除以，得，因为，故，解得或，所以.设，所以，则在上是减函数，所以，
即的最小值为.
所以.
8.
【河北省衡水中学2018届高三十六模】已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直．
（1）求的单调区间；
（2）设，对任意，证明：．
【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）证明见解析.
【解析】
（1）因为，由已知得，∴．
所以，
设，则，在上恒成立，即在上是减函数，
由知，当时，从而，当时，从而．
综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是．
综上所述，对任意．①
令，则恒成立，所以在上递增，[来源:]
恒成立，即，即．②
当时，有；当时，由①②式，，
综上所述，时，成立，故原不等式成立
9.
【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】设函数.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，，证明.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
（2）证明：由题可知
，
所以
.
所以当时，；当时，；当时，.
欲证，只需证，又，即单调递增，故只需证明.
设，是方程的两个不相等的实根，不妨设为，
则
两式相减并整理得
，
从而，
故只需证明，
即.
因为，
所以（
）式可化为，
即.
因为，所以，
不妨令，所以得到，.
记，，所以，当且仅当时，等号成立，因此在单调递增.
又，
因此，，
故，得证，
从而得证.
10.
【河北省衡水中学2019届高三上学期期中考试理科数学试题】已知函数.
(1)若直线过点（1，0），并且与曲线相切，求直线的方程；
(2)设函数在[1,e]上有且只有一个零点，求的取值范围.(其中∈R，e为自然对数的底数)
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
（1）设切点坐标为（x0，y0），则y0=x0lnx0,切线的斜率为lnx0+1，
所以切线l的方程为y-x0lnx0=（lnx0+1）（x-x0），又切线l过点（1，0），
所以有-x0lnx0=（lnx0+1）(1-x0)，即lnx0=x0-1，设h（x）=lnx-x+1，则，x∈（0,1），，h（x）单调递增，x∈（1,），，h（x）单调递减，h（x）max=h(1)=0有唯一解，
所以x0=1，y0=0，所以直线l的方程为y=x-1.
（2）因为g（x）=xlnx-a（x-1），注意到g（1）=0，
所以所求问题等价于函数g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e]上没有零点.
因为.所以由
lnx+1-a<00x>ea-1,
所以g（x）在（0，ea-1）上单调递减，在（ea-1，）上单调递增.
①当ea-1≤1，即a≤1时，g（x）在（1,e]上单调递增，所以g（x）>g(1)=0.
此时函数g（x）在（1,e]上没有零点，
②当1又因为g（1）=0，g（e）=e-ae+a，g（x）在(1,e]上的最小值为g（ea-1）=a-ea-1，
所以（i）当1（ii）当③当e≤ea-1即a≥2时，g（x）在[1,e]上单调递减，所以g（x）在[1,e]上满足g（x）综上，所求的a的取值范围是或.
11.
【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知函数.
（1）当时，求证：；
（2）讨论函数的零点的个数。
【答案】(1)见解析；（2）见解析.
（2）解：据题意，得.
①当时，恒成立.则函数在上是减函数。
又，所以函数有且只有一个零点.
②当时.由，得.
当时，；
当时，，
所以在区间内是减函数，在区间内是增函数.
所以是函数的极小值点，也是最小值点，
即.
令，
则，
当时，；
当时，；
当时，，
所以函数在区间内是增函数，在区间内是减函数，
从而是函数的极大值点.也是最大值点，所以，
即（当且仅当时取等号）
当，即时，函数只有一个零点
当，即，且时，分和两种情况讨论：
（i）当时，，因为，所以在区间内有一个零点；又，因此有两个零点.
（ii）当时，；
由（1），得.即，亦即.
令.则得，即，
12.
【河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试】设函数.
(1)当时，求函数的最大值；
(2)令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；
(3)当，，方程有唯一实数解，求正数的值.
【答案】（1）（2）
（3）
【解析】
(1)依题意，知的定义域为，
当时，，
，
令，解得.(∵)
因为
有唯一解，所以，当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
所以的极大值为，此即为最大值.
(2)，，则有，在上恒成立，
所以，.
当时，取得最大值，所以.
(3)因为方程有唯一实数解，
所以有唯一实数解，
设，
则，令，，
因为，，所以(舍去)，，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，，取最小值.
则，即，
所以，因为，所以(
)
设函数，因为当时，
是增函数，所以至多有一解，
因为，所以方程(
)的解为，即，解得.
13.
【衡水中学2019届高三开学二调考试】已知函数.
（1）求在区间上的值域；
（2）若过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
.
（2）设过点的直线与曲线相切于点,
则,且切线斜率为,
所以切线方程为,[来源:]
因此.
整理得.
设,
则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”.
.
与的变化情况如下:
0
1
0
0
所以,
是的极大值,
是的极小值.
当,即时,
此时在区间和上分别至多有1个零点,
所以至多有2个零点.
当,即时,
此时在区间和上分别至多有1个零点,所以至多有个零点.
当且,即时,
因为,,
所以分别在区间,和上恰有1个零点.
由于在区间和上单调,
所以分别在区间和上恰有1个零点.
综上可知,当过点存在条直线与曲线相切时,的取值范围是.
14.
【衡水中学2019届高三开学二调考试】已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对任意，，，有.
【答案】(1)见解析.
(2)证明明见解析.
（2）考虑函数，
则
由于，故，即在单调增加，从而当时有，即，故，
当时，有.
15.
【衡水中学2019届高三开学二调考试】已知函数（）．　
（1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，且有两个极值点，
（），求取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（2）由（1）知，当时有两个极值点，此时，
，∴，
因为，解得，
由于，于是
.
令，则，
∴在上单调递减，
.
即.
故的取值范围为.
16.
【衡水中学2019届高三开学二调考试】设函数，其中.
（1）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（2）若成立，求的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（Ⅰ），设，则，
当时，，函数在为增函数，无极值点.
当时，，
若时，
，函数在为增函数，无极值点.
若时，设的两个不相等的正实数根，，且，
则
所以当，，单调递增；当，单调递减；
当，
，单调递增.因此此时函数有两个极值点；
同理当时的两个不相等的实数根，，且，
当，，单调递减，当，，单调递增；
所以函数只有一个极值点.
综上可知当时的无极值点；当时有一个极值点；当时，的有两个极值点.
（Ⅱ）对于，
由（Ⅰ）知当时函数在上为增函数，由，所以成立.
若，设的两个不相等的正实数根，，
且，，∴.则若，成立，则要求，
即解得.此时在为增函数，，成立
若当时
令，显然不恒成立.
综上所述，的取值范围是.
17.
【衡水中学2019届高三开学二调考试】已知函数，其中a∈R.
（1）若函数f(x)在x=1处取得极值，求实数a的值；
（2）在（1）的结论下，若关于x的不等式，当x≥1时恒成立，
求t的值.
【答案】(1)
；
(2).
18.
【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
设函数，.
（1）求函数的单调区间；[]
（2）当时，讨论函数与图象的交点个数.
【答案】（1）当时，函数的单调增区间是，无单调减区间；当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；（2）1个.
（2）令
，，问题等价于求函数的零点个数，
当时，，，有唯一零点；
当时，，
当时，，函数为减函数，注意到，，所以有唯一零点；
当时，由得或，由得，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，注意到，
，
所以有唯一零点；
当时，由得，或，
由得，
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精品试卷·第
2
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（共
2
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)
^1
答案：C；
，当时，；当时，
当时，；取不到，无极小值
^2
答案：D；
^3
答案：C；
设切点为，，把，代入到得；把，代入到得，所以和
^4
答案：B；
,的常数项可以任意
^5
答案：C；
令
^6
答案：A；
令，当时，；当时，，，在定义域内只有一个极值，所以
^7
答案：；
，比较处的函数值，得
^8
答案：；
^9
答案：
；
^10
答案：；
恒成立，则
^11
答案：；
，当时，不是极值点
^12
答案：解：
.
^13
答案：解：设小正方形的边长为厘米，则盒子底面长为，宽为
，（舍去）
，在定义域内仅有一个极大值，
^14
答案：解：（1）的图象经过点，则，切点为，则的图象经过点得（2）单调递增区间为
^15
答案：解：由得所以增区间为；减区间为.
^16
答案：B；
^17
答案：C；
^18
答案：C；
对于任何实数都恒成立
^19
答案：D；
^20
答案：D；
对于不能推出在取极值，反之成立
^21
答案：D；
得而端点的函数值，得
^22
答案：；
^23
答案：；
^24
答案：；
^25
答案：；
^26
答案：解：设切点为，函数的导数为切线的斜率，得，代入到得，即，.
^27
答案：解：,
当得，或，或，
∵，，列表:
++↗↗又；右端点处；∴函数在区间上的最大值为，最小值为.
^28
答案：B；
^29
答案：C；
^30
答案：A；
^31
答案：D；
^32
答案：A；
^33
答案：D；
^34
答案：2；
^35
答案：；
^36
答案：；
^37
答案：；解：.令，即，解得；令，即，解得.故函数的单调增区间为；单调减区间为.
^38
答案：解：.令，即，解得，.当变化时，，的变化情况如下表：　　
　　　0　　　　　　　－　　0　　－　　0　　＋　　　　　/　　　　极小值　　因此，当时，有极小值，且.
^39
答案：解：联立，得，.所以，，故所求面积.