题型分类教案：函数的基本性质（含答案）

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3.1-3.2函数的基本性质
一，函数的概念：
　　设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．
　　记作：?y=f(x)，x∈A．
　　其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|?x∈A?}叫做函数的值域（range）．
　　注意：
　　（1）?“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
（2）?函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．
（3） ?函数是非空数集到非空数集的对应关系。
（4）“f：A→B”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）
二，函数的三要素：
①定义域，②对应法则，③值域。
【函数的概念】（1）下列四个等式中，能表示y是x的函数的是(　 　)
①x－2y＝2；②2x2－3y＝1；③x－y2＝1；④2x2－y2＝4.
A．①②　　 B．①③　　 C．②③ D．①④
答案：　A
下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）.
答案：B；
（3）判断下列各组函数中，是否表示同一函数（ ）
A.f(x)=|x|，g(x)= B.f(x)=， g(x)=
C.f(x)=x2-x-1，g(t)= t2-t-1 D.f(x)=x-1 , g(x)=-1
E.与 F.与
答案：C,J,M；
【代入法求函数】（1）已知函数则 。
答案：0；
【解析】因为函数关系式可知原式等于f(2)=0.
（2）设则的值为（ ）
A B C D
答案：B；

（3）已知，若f(1)＋f(a＋1)＝5，求a的值．
答案：解　f(1)＝1×(1＋4)＝5，
∵f(1)＋f(a＋1)＝5，∴f(a＋1)＝0.
当a＋1≥0，即a≥－1时，
有(a＋1)(a＋5)＝0，
∴a＝－1或a＝－5(舍去)．
当a＋1<0，即a<－1时，
有(a＋1)(a－3)＝0，无解．
综上可知a＝－1.
函数f(x)＝，则f()等于(　 　)
A．f(x) B．－f(x) C. D.
答案：A；
　[f()＝＝＝f(x)．]
（5）设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．
(－∞，]
（6）已知，那么＝__
答案：；
【函数与换元法的应用】
(1)已知f(2x–1)=3x+2，那么f(x)= ，f(2x+1)=
答案：，
(2) 设函数满足，求，。
答案：；；
(3) 已知函数f()＝x，求f(2)的值．
答案：解　由＝2，解得x＝－，所以f(2)＝－.
(4) X#K若f()＝，则f(x)等于(　　)
A.(x≠－1)　　 B.(x≠0) C.(x≠0且x≠－1) D．1＋x(x≠－1)
答案：C；
解析：选C.f()＝＝(x≠0)，
∴f(t)＝(t≠0且t≠－1)，∴f(x)＝(x≠0且x≠－1)．
(5) 若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，求f(x)．
答案：解　令t＝x－1，则1－x＝－t，
原式变为3f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1)，①
以－t代t，原式变为3f(－t)＋2f(t)＝2(1－t)，②
由①②消去f(－t)，得f(t)＝2t＋.
即f(x)＝2x＋.
(6)若函数f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.
【解析】　用替换2f(x)＋f＝3x中的x，得到2f＋f(x)＝，两个方程联立消去f，得f(x)＝2x－.
【答案】　2x－
（7）已知
答案：
【待定系数法求函数】
（1）已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中x∈R，a，b为常数，求a，b．
【答案】　?；
【解析】　∵f(x)＝x2＋2x＋a，
∴f(bx)＝(bx)2＋2(bx)＋a＝b2x2＋2bx＋a.
又∵f(bx)＝9x2－6x＋2，
∴b2x2＋2bx＋a＝9x2－6x＋2，即(b2－9)x2＋2(b＋3)x＋a－2＝0.
∵x∈R，∴，即，
∴f(ax＋b)＝f(2x－3)＝(2x－3)2＋2(2x－3)＋2＝4x2－8x＋5＝0.
∵Δ＝(－8)2－4×4×5＝－16＜0，
∴f(ax＋b)＝0的解集是?.
（2）设二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，对于x∈R恒成立，且f(x)＝0的两个实根的平方和为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．
答案：解：∵f(2＋x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝2对称．
于是，设f(x)＝a(x－2)2＋k(a≠0)，
则由f(0)＝3，可得k＝3－4a，
∴f(x)＝a(x－2)2＋3－4a＝ax2－4ax＋3.
∵ax2－4ax＋3＝0的两实根的平方和为10，
∴10＝x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－，∴a＝1.∴f(x)＝x2－4x＋3.
三，函数的单调性
定义：
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；
增、减函数的图示.
注意：
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1③ 确定函数的单调区间时，遵循最大化原则，单调区间的端点能闭则闭.
④ 函数的单调性是对区间而言的，如果f(x)在区间(a，b)与(c，d)上都是增(减)函数，不能说 f(x)在(a，b)∪(c，d)上一定是增(减)函数．
(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．
(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降判断它的单调性或写出单调区间．
(3)复合函数法：适用于形如y＝f(φ(x))的复合函数，具体规则如下表：
函数 增减情况
内函数t＝φ(x) 增 增 减 减
外函数y＝f(t) 增 减 增 减
y＝f(φ(x)) 增 减 减 增
y＝f(φ(x))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数．
【函数单调性的判断】
单调性判别式1：
用判别式判断函数单调性的方法步骤：
任取x1，x2∈D，且x1 作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
【抽象类】（1）如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
C
（2）已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
D
（3）函数是上的增函数，若对于都有成立，则必有（ ） A. B. C. D.
C
【定义法】
（1）下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(－∞，0)，当x1(A).f(x)＝－x＋1 (B) f(x)＝2x (C). f(x)＝x2－1 (D).f(x)＝
B
（2）已知函数．判断在区间(0，1]和[1，+∞)上的单调性，说明理由．
答案： ；
【二次函数单调性的应用】
函数f(x)=-x2+2(a-1)x+2在区间（-∞，2]上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A、[3，+∞) B、（-∞，3] C、（-∞，-3] D、[-3，+∞)
A
（2）二次函数在区间(∞，4)上是减函数，你能确定的是（ ）.
A. B. C. D.
C
三，函数的奇偶性
（1）定义：
若的定义域关于原点对称，且满足，则为奇函数。
若的定义域关于原点对称，且满足，则为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
（3）图象的对称性质：奇函数的图象关于原点中心对称；偶函数的图象关于轴轴对称。
若为奇函数，且存在，则=____0_____。
【函数奇偶性的应用】
【对称性】（1）偶函数y＝f(x)的定义域为[t－4，t]，则t＝________________.
答案：2；
解析　偶函数的定义域应当关于原点对称，故t－4＝－t，得t＝2.
（2）如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a＝_______.
答案：8；
解析：∵f(x)是[3－a,5]上的奇函数，∴区间[3－a,5]关于原点对称，∴3－a＝－5，a＝8.
【抽象类】（1）若函数为奇函数，则必有（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：B；
（2）f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是(　 　)
A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝－2f(x) C．f(x)·f(－x)≤0 D.＝－1
答案：D；
　[∵f(－x)＝－f(x)，A、B显然正确，因为f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故C正确．
当x＝0时，由题意知f(0)＝0，故D错误．]
（3）下列四个结论：
①偶函数的图象一定与纵轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点；
③f(x)＝0(x∈R)既是奇函数，又是偶函数； ④偶函数的图象关于y轴对称．
其中正确的命题是________．
答案：③④；
解析：偶函数的图象关于y轴对称，不一定与y轴相交，①错，④对；奇函数当x＝0无意义时，其图象不过原点，②错，③对
【判断函数奇偶性】下列函数：
①，②，③，④，
其中是偶函数的个数有( ) A . 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：B；
【函数奇偶性的应用】
【待定系数法】（1）已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，且定义域为［a－1，2a］，则a = ，b= 。
答案：，0；
（2）已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.求实数a，b的值
解析：　由已知f(x)是奇函数，
∴对定义域内任意x，都有f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
∴(ax2＋2)(3x＋b)＝(－3x＋b)(－ax2－2)，
∴3ax3＋abx2＋6x＋2b＝3ax3－abx2＋6x－2b，
由恒等式的性质，得.∴b＝0.
∵f(2)＝，∴＝，∴a＝2.即a＝2，b＝0，此时f(x)＝
【抽象类】函数为奇函数，且时，，则函数的解析式为 。
答案：；
（2）已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+x);当x<0时，f(x)=( )
A、-x(1-x) B、x(1-x) C、-x(1+x) D、x(1+x)
答案：B
（3）若是R上的偶函数，当时，，求当时，解析式为 ‘
答案：；
【单调性+奇偶性】
（1）已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)f(1)
答案：D；
　[∵f(－3)＝f(3)，∴f(3)∴函数f(x)在x∈[0,5]上是减函数．∴f(0)>f(1)，故选D.]
（2）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：D；
（3）设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，已知x1>0，x2<0，且f(x1)A．x1＋x2<0 B．x1＋x2>0 C．f(－x1)>f(－x2) D．f(－x1)·f(－x2)<0
答案：B；
　[由已知得f(x1)＝f(－x1)，且－x1<0，x2<0，而函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此由f(x1)0.故选B.]
（4）若ρ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)＝aρ(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞，0)上有(　 )
A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3
答案：C ;
解析：选C.ρ(x)、g(x)都是奇函数，
∴f(x)－2＝aρ(x)＋bg(x)为奇函数．
又f(x)有最大值5，∴f(x)－2在(0，＋∞)上有最大值3.
∴f(x)－2在(－∞，0)上有最小值－3，
∴f(x)在(－∞，0)上有最小值－1.
（5）定义在上的偶函数满足：，在区间与上分别递增和递减，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D.
【解析】∵偶函数，∴，又∵在，上分别递增与递减，∴，故选D．
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