上海市闵行区2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题Word含解析

上海市闵行区2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）
一、填空题
1.函数的定义域为___________.
2.函数的反函数是_______.
3.已知全集，集合，，如图中阴影部分所表示的集合为________.
4.已知奇函数的定义域为，，那么________.
5.已知函数是增函数，则实数的取值范围是_________.
6.已知原命题的逆命题是：“若，则”，试判断原命题的否命题的真假________.（填“真”或“假”）
7.令，则用表示的结果为_________.
8.已知函数是偶函数，当时，，则当时，________.
9.2019年度，国内某电信企业甲投入科研经费115亿美元，国外一家电信企业乙投入科研经费156亿美元，从2020年开始，若企业甲的科研经费每年增加，计划用3年时间超过企业乙的年投入量（假设企业乙每年的科研经费投入量不变）.请写出一个不等式来表达题目中所描述的数量关系：__________.（所列的不等式无需化简）
10.已知函数，定义，则函数的值域为___________.
11.已知，，对于任意的，总存在，使得或，则实数的取值范围是____________.
12.设函数（）的值域依次是，则__________.
二、选择题
13.已知a，b都是实数，那么“”是“” 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
14.如果，那么（ ）
A. B. C. D.
15.已知集合，则下列集合中与相等的是（ ）
A. B.
C. D.
16.若,当时, ,若在区间内,有两个零点,则实数的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
三、解答题
17.已知函数.判断在上的单调性，并给予证明.
18.已知集合，.
（1）求集合和；
（2）若，求实数的取值范围.
19.自2019年春季以来，在非洲猪瘟、环保禁养、上行周期等因素形成的共振条件下，猪肉价格连续暴涨.某养猪企业为了抓住契机，决定扩大再生产，根据以往的养猪经验预估：在近期的一个养猪周期内，每养百头猪，所需固定成本为20万元，其它为变动成本：每养1百头猪，需要成本14万元，根据市场预测，销售收入（万元）与（百头）满足如下的函数关系：（注：一个养猪周期内的总利润（万元）=销售收入-固定成本-变动成本）.
（1）试把总利润（万元）表示成变量（百头）的函数；
（2）当（百头）为何值时，该企业所获得的利润最大，并求出最大利润.
总可以构成三角形，求的取值范围.
21.已知函数（是常数）.
（1）若，求函数的值域；
（2）若为奇函数，求实数.并证明的图像始终在的图像的下方；
（3）设函数，若对任意，以为边长
20.设是由满足以下性质的函数构成的集合：对于的定义域内的任意两个不相等的实数、，不等式都成立.
（1）已知函数，求的反函数，并指出的定义域；
（2）试判断（1）中的函数与是否属于集合，并说明理由；
（3）设，且的定义域为，值域为，试写出一个满足条件的函数的解析式（不用分段函数表示，不需要说明理由）.
上海市闵行区2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）
一、填空题
1.函数的定义域为___________.
【答案】
【解析】
【详解】解析过程略
2.函数的反函数是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据反函数的定义，从原函数式中解出，再进行，互换，即可得反函数的解析式.
【详解】∵，则，
∴，即，
∴将，互换，得.
故答案为：.
【点睛】本题考查反函数的求法，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系，属于基础题.
3.已知全集，集合，，如图中阴影部分所表示的集合为________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出全集，，
，图中阴影部分所表示的集合为.
【详解】由题意得全集，
又集合，，
所以，，，
故，，
所以，图中阴影部分所表示的集合为.
故答案为：.
【点睛】本题考查集合的求法，考查交集、补集、Venn图等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.
4.已知奇函数的定义域为，，那么________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质可知，，代入即可求解.
【详解】由题意，为上的奇函数，则，，
又，故，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了利用奇函数的定义及性质求解函数值，属于基础题.
5.已知函数是增函数，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
结合对数函数的单调性可知，，解不等式即可.
【详解】由题意可得，，
解得：.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，属于基础题.
6.已知原命题的逆命题是：“若，则”，试判断原命题的否命题的真假________.（填“真”或“假”）
【答案】假
【解析】
【分析】
原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，它们的真假性相同，即只需判断原命题逆命题的真假性就可得出结论.
【详解】原命题的逆命题是：“若，则”与原命题的否命题互为逆否命题，它们的真假性相同，
所以，只需要判断原命题的逆命题的真假即可，
若，则可能，，此时，即原命题的逆命题是假命题，
所以，原命题的否命题是假命题.
故答案为：假.
【点睛】本题考查命题的真假关系，属于基础题.
7.令，则用表示的结果为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用对数的运算性质化简即可.
【详解】.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题.
8.已知函数是偶函数，当时，，则当时，________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，则，代入已知函数解析式，再结合偶函数的定义即可求解.
【详解】由题意，当时，，
设，则，此时，
又函数是偶函数，可得，
所以，.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了利用偶函数的定义求解函数解析式，属于基础题.
9.2019年度，国内某电信企业甲投入科研经费115亿美元，国外一家电信企业乙投入科研经费156亿美元，从2020年开始，若企业甲的科研经费每年增加，计划用3年时间超过企业乙的年投入量（假设企业乙每年的科研经费投入量不变）.请写出一个不等式来表达题目中所描述的数量关系：__________.（所列的不等式无需化简）
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得：.
【详解】由题意，企业甲的科研经费每年增加，用3年时间超过企业乙的年投入量，
所以，不等式表达题目的数量关系为：.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了函数的实际运用，属于基础题.
10.已知函数，定义，则函数的值域为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意以及对数的运算性质得出，进而可由基本不等式可得出，从而可得出函数的值域.
【详解】由题意，，
即，
由题意知，，由基本不等式得（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），即，
所以的值域为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数值域的定义及求法，对数的运算性质，基本不等式的运用，考查了计算能力，属于基础题.
11.已知，，对于任意的，总存在，使得或，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
通过去掉绝对值符号，得到分段函数的解析式，求出值域，然后求解的值域，结合已知条件推出的范围即可.
【详解】由题意，对于任意的，总存在，使得或，则与的值域的并集为，又，
结合分段函数的性质可得，的值域为，
当时，可知的值域为，
所以，此时有，解得，
当时，的值域为，满足题意，
综上所述，实数范围为.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数恒成立条件的转化，考查转化思想的应用，注意题意的理解是解题的关键，属于基础题.
12.设函数（）的值域依次是，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出二次函数的对称轴，判断函数的最小值与最大值，然后求解值域的交集即可.
【详解】函数的对称轴为，开口向上，所以函数的最小值为，
函数（）的值域依次是
，它们的最小值都是，
函数值域中的最大值为：当，即时，此时，
所以，值域中的最大值中的最小值为，
所以，.
故答案为：.
【点睛】本题考查二次函数的性质，函数的最值，考查分析问题解决问题的能力，涉及集合的交集计算，属于基础题．
二、选择题
13.已知a，b都是实数，那么“”是“” 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意构造指数函数与幂函数，利用函数的单调性结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】对于“”，考查函数y=在R上单调递增，所以“”与“a>b”等价；
同样对于“”，考查函数y=在R上单调递增，所以“”与“a>b”也等价；
所以“”是“” 的充要条件，故选C.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据指数函数及幂函数的单调性是解决本题的关键．
14.如果，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用对数解得即可.
【详解】由，得.
故选：C.
【点睛】本题考查对数函数的性质，属于基础题.
15.已知集合，则下列集合中与相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用集合相等的定义即可判断.
【详解】集合，
所以且，故A、B选项不正确；
选项C：，故C不正确；
选项D：且，
故D选项正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题.
16.若,当时, ,若在区间内,有两个零点,则实数的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
先求函数的解析式, 把在区间内,函数有两个零点，转化为函数与的图象由两个不同的交点，结合图象，即可求解．
【详解】由题意知，当，则，
又因为当时, ,所以，
所以，所以,
要使得在区间内,函数有两个零点，
即函数与的图象由两个不同的交点，
在同一坐标系内作出两个函数的图象，如图所示，
要使得两函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围是，
故选D．
【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解，以及利用函数的零点问题求解参数的取值范围，其中解答中正确求解函数的解析式，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，结合图象求解是解答关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用，属于中档试题．
三、解答题
17.已知函数.判断在上的单调性，并给予证明.
【答案】单调递减，证明见解析.
【解析】
【分析】
直接利用单调性的定义，作差比较即可判断.
【详解】在上单调递减.
证明如下：
设，则
，
由，则，，，
所以，即，
故在上单调递减.
【点睛】本题主要考查了单调性的定义在判断函数单调性中的应用，属于基础题.
18.已知集合，.
（1）求集合和；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用不等式的性质即可求出集合和；
（2）由，得，解不等式组，进而得出实数的取值范围.
【详解】（1）集合，
因，则，
所以集合或.
即集合，.
（2）由（1）知，集合，，
由，得，
所以或，解得或，
故实数的取值范围为.
【点睛】本题考查集合、实数的取值范围的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.
19.自2019年春季以来，在非洲猪瘟、环保禁养、上行周期等因素形成的共振条件下，猪肉价格连续暴涨.某养猪企业为了抓住契机，决定扩大再生产，根据以往的养猪经验预估：在近期的一个养猪周期内，每养百头猪，所需固定成本为20万元，其它为变动成本：每养1百头猪，需要成本14万元，根据市场预测，销售收入（万元）与（百头）满足如下的函数关系：（注：一个养猪周期内的总利润（万元）=销售收入-固定成本-变动成本）.
（1）试把总利润（万元）表示成变量（百头）的函数；
（2）当（百头）为何值时，该企业所获得的利润最大，并求出最大利润.
【答案】（1）；（2），最大利润为109万元.
【解析】
【分析】
（1）根据题意即可求出函数解析式；
（2）分段求出最大值，再比较即可求出当时，该企业所获得的利润最大，从而求出最大利润.
【详解】（1）由题意可得：
所以，总利润.
（2）当时，，当时，的值最大，最大值为，
当时，，当时，的值最大，最大值为，
综上所述，当时，该企业所获得的利润最大，最大利润为万元.
【点睛】本题主要考查了函数的实际运用，属于基础题.
20.设是由满足以下性质的函数构成的集合：对于的定义域内的任意两个不相等的实数、，不等式都成立.
（1）已知函数，求的反函数，并指出的定义域；
（2）试判断（1）中的函数与是否属于集合，并说明理由；
（3）设，且的定义域为，值域为，试写出一个满足条件的函数的解析式（不用分段函数表示，不需要说明理由）.
【答案】（1）（2）；详见解析（3）.（答案不唯一）
【解析】
【分析】
（1）利用反函数的定义直接求出即可；
（2）根据题意，利用作差比较法判断即可；
（3）根据题意，答案不唯一，满足条件即可．
【详解】（1）由题意，，即，得，
所以，，故，其定义域为；
（2）对于：任取且，则，
，
即；
对于：任取且，则，
∵，
且，
∴，∴，
即；
（3）①；②.（答案不唯一）
【点睛】本题考查函数与反函数的关系，判断不等式的大小关系，属于中档题.
21.已知函数（是常数）.
（1）若，求函数的值域；
（2）若为奇函数，求实数.并证明的图像始终在的图像的下方；
（3）设函数，若对任意，以为边长总可以构成三角形，求的取值范围.
【答案】（1）（2）；证明见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）把代入后反解可得，解分式不等式即可；
（2）直接利用奇函数的定义代入即可求解，利用作差法即可证明结论；
（3）由题意可得，结合，利用换元法转化为，，再结合二次函数的性质即可.
【详解】（1）由题意，（是常数），
当时，此时，即，整理可得，
因，则，即，
解得，
故函数的值域为.
（2）由题意，为奇函数，则，即，
化简得，
∵恒不零，
∴且，解得，此时，
∴，
即的图像始终在的图像的下方.
（3）由题意，得，，
令，则，其对称轴为，
①当，即时，此时单调递减，
∴，即，
解得或，
∴；
②当，即时，此时先减后增左端点高，
∴即，无解；
③当，即时，此时先减后增右端点高，
∴即，无解；
④当，即时，此时单调递增，
∴即，
解得或，
∴；
综上，.
【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性，二次函数闭区间最值的求解，体现了分类讨论思想及转化思想的应用，还考查了一定的逻辑推理的能力，属于中档题.
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